专题4 函数的概念及其表示讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

专题4 函数的概念及其表示 1、 函数的定义 给定两个非空数集A,B,如果按照某种确定的对应关系f,对于集合A中的每一个实数x,在集合B中都有唯一确定的实数和它对应,那么就称为从集合A到集合B的一个函数,记作:,. 2、 函数的三要素 (1)函数的定义域、值域: 在函数,中,叫做自变量,的取值范围叫做函数的定义域; 与x的值相对应的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域. (2)函数的三要素:定义域、对应关系和值域. (3)由函数的定义可知,虽然两个函数的表达形式不同,但如果其对应关系相同,定义域相同,那么这两个函数就是同一个函数。 三、分段函数 (1)定义:一般地,在定义域不同的部分,有不同的解析式,像这样的函数叫作分段函数. (2)理解: 分段函数是一个函数,而不是几个函数 写分段函数的定义域时,区间的端点位置要不重不漏 处理分段函数问题时,先要确定自变量的取值属于哪一段,然后选取相应的对应关系. 分段函数的定义域是各段定义域的并集;分段函数的值域是分别求出各段上的值域取并集;分段函数的最大(小)值则是分别在每段上求出最大(小)值,然后在各段的最大(小)值中取最大(小)值. (3)分段函数的图象 分段函数有几段,它的图像就由几条曲线组成.在同一直角坐标系中,根据每段定义区间和表达式依次画图像,要注意每段图像的端点是空心点还是实心点,将每段图像组合到一起就得到整个分段函数的图象. 题型1 函数的概念与表示方法 1.已知,,下列对应法则不可以作为从到的函数的是( ) A. B. C. D. 2.若函数的定义域为,值域为,则函数的图像可能是( ) A.B.C.D. 3.设,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是( ) A. B. C. D. 4.用区间表示下列集合: ① ; ② ; ③ . 5.已知区间,则实数a的取值范围为 .(用区间表示) 6.已知函数的对应关系如下表,函数的图象为如图所示的曲线,其中,,,则( ). 1 2 3 2 3 0 A.3 B.2 C.1 D.0 7.(多选)如图,正方形的边长为4,为正方形边上一动点,运动路线,设点经过的路程为,以点、、为顶点的三角形的面积是.则下列图象不能大致反映与的函数关系的是( ) A. B. C. D. 8.已知函数f(x)=,则f(-2)=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 9.已知f(x)= (x≠-1),g(x)=x2+2,则f(2)= ,= . 10.若二次函数,且,那么的值为( ) A.或 B.或 C. D. 11.已知数. (1)求; (2)已知,求的值. 12.已知函数,. (1)求,,,; (2)求. 13.下列各组函数表示同一函数的是( ) A. B. C. D. 14.(多选)下列各组函数表示同一个函数的是( ). A. B.与 C., D.与 题型2 函数的定义域 15.求下列函数的定义域: (1) (2) (3) (4) (5) (6) 16.求下列函数的定义域: (1)已知函数的定义域为[1,2],求函数的定义域; (2)已知函数的定义域[1,2],求函数的定义域; (3)已知函数的定义域[1,2],求函数的定义域. 17.求下列函数的定义域: (1)若函数的定义域为,求的定义域; (2)已知函数的定义域为,求函数的定义域; (3)若函数的定义域为,求的定义域。 18.若函数中的取值范围为R,则的取值范围是 . 19.若函数的定义域为,则实数m的取值范围为 . 20.已知函数的定义域为,则 . 题型3 函数的解析式 21.已知,则( ) A. B. C. D. 22.已知,求的解析式? 23.函数满足,则函数( ) A. B. C. D. 24.求下列函数的解析式 (1)设函数是一次函数,且满足,求的解析式? (2)设满足,求的解析式? 25.已知函数满足,则 . 26.已知函数是一次函数,且,则 . 27.根据下列条件,求的解析式. (1)已知 (2)已知是二次函数,且满足 28.定义在R上的函数f(x)满足,并且对任意实数x,y都有,求的解析式. 29.已知函数满足:对一切实数、,均有成立,且.求函数的表达式. 30. 设定义在上的函数满足,且对任意的、,都有.求函数的解析式? 题型4 函数的值域 31.求下列函数的值域: (1),; (2); (3),; (4); (5),; (6). 32.求下列函数的值域: (1); (2); (3),; (4); (5); (6). 33.求下列函数的值域: (1); (2); (3); 34.求下列函数的值域: (1); (2); (3); (4) 35.(1)若函数的值域为,求实数的取值范围? (2)已知函数的值域为,求实数的取值范围? 36.(1)已知函数的定义域与值域均为,求实数的取值范围? (2)函数在内的值域为,求实数m的取值范围? 题型5 分段函数 37.已知函数,则 . 38.设函数,则 . 39.设函数,则的值为 . 40.已知函数,若,则实数 . 41.设函数,若,则 . 42.已知函数,若,则 . 43.设,求不等式的解集? 44.已知,则不等式的解集是 . 45.设函数,若,则的取值范围是 . 专题4 函数的概念及其表示参考答案 题型1 函数的概念与表示方法 1.已知,,下列对应法则不可以作为从到的函数的是( ) A. B. C. D. 答案:C 解析:对于A选项,当时,,且, A中的对应法则可以作为从到的函数; 对于B选项,当时,,且, B中的对应法则可以作为从到的函数; 对于C选项,当时,,且, C中的对应法则不能作为从到的函数; 对于D选项,当时,,则,且, D中的对应法则可以作为从到的函数.故选:C. 2.若函数的定义域为,值域为,则函数的图像可能是( ) A.B.C. D. 答案:A 解析:由题意,在中,定义域为,值域为, 选项A,定义域为,值域为,满足题意,A正确. 选项B,定义域,值域为,不满足定义域和值域,B错误. 选项C,定义域为,值域为,不满足定义域,故C错误. 选项D,根据函数定义知,对于每一个都有唯一确定的对应, 所以故D中图象不是函数的图像,D错误.故选:A. 3.设,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是( ) A. B. C. D. 答案:C 解析:对于A,集合M中的3对应了集合N中的两个数,A错误; 对于B,集合M中的2对应了集合N中的两个数,B错误; 对于C,集合M中的每个数在集合N中都有唯一的数对应,C正确; 对于D,集合M中的3对应了集合N中的两个数,D错误,故选:C. 4.用区间表示下列集合: ① ; ② ; ③ . 答案: 解析:,,. 5.已知区间,则实数a的取值范围为 .(用区间表示) 答案: 解析:由,得.即.故答案为:. 6.已知函数的对应关系如下表,函数的图象为如图所示的曲线,其中,,,则( ). 1 2 3 2 3 0 A.3 B.2 C.1 D.0 答案:B 解析:由图可知,,由表格可知,故选:B. 7.如图,正方形的边长为4,为正方形边上一动点,运动路线,设点经过的路程为,以点、、为顶点的三角形的面积是.则下列图象不能大致反映与的函数关系的是( ) A. B. C. D. 答案:ACD 解析:当点P在点AD上运动,即时,不能构成三角形,故y值为0, 选项ACD都不能大致反映与的函数关系. 当点P在DC上运动,即时,的一边,高,则; 当点P在CB上运动,即时,的面积不变,; 当点P在BA上运动,即时,的一边,高, 综上,,图象如选项B所示,能大致反映该函数关系. 故选:ACD. 8.已知函数f(x)=,则f(-2)=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案:C 解析:由题意知f(-2)==1.故选:C 9.已知f(x)= (x≠-1),g(x)=x2+2,则f(2)= ,= . 答案: 解析:因为,故可得;又,故可得, 故.故答案为:;. 10.若二次函数,且,那么的值为( ) A.或 B.或 C. D. 答案:C 解析:函数为二次函数,则,则, ,,,.故选:C. 11.已知数. (1)求; (2)已知,求的值. 答案:(1),;(2) 解析:(1),. (2)由,, 所以,显然在定义域内,所以. 12.已知函数,. (1)求,,,; (2)求. 答案:(1),,,(2) 解析:(1)., ∵,∴.∵,∴. (2)∵,∴. 13.下列各组函数表示同一函数的是( ) A. B. C. D. 答案:C 解析:对于A,,定义域和对应法则不一样,故不为同一函数; 对于B,,定义域不同,故不为同一函数; 对于C,,定义域和对应法则均相同,故为同一函数: 对于D,,定义域不同,故不为同一函数. 故选:C. 14.下列各组函数表示同一个函数的是( ). A. B.与 C., D.与 答案:BC 解析:选项A,函数与的定义域不同,所以两个函数不是同一函数; 选项B,与定义域都为,对应关系完全一致,故是同一个函数; 选项C,函数的解析式相同,定义域也相同,所以为同一函数; 选项D,对,由,解得, 所以的定义域为,对,由,解得或, 所以的定义域为, 两函数定义域不同,故不是同一个函数.故选:BC. 题型2 函数的定义域 15.求下列函数的定义域: (2) (2) (3) (4) (5) (6) 答案:(1)(2)(3) (4)(5)(6) 解析:(1)由题意,得,解得且, 即函数的定义域为. (2)要使得函数有意义,则,且, 解得,且,即定义域为. (3)对于函数,则,解得且, 所以函数的定义域为. (4)由函数有意义,得 ,解得且, 所以原函数的定义域是. (5)要使函数有意义, 则,解得且, 因此,函数的定义域为. (6)由题得,解得。 16.求下列函数的定义域: (1)已知函数的定义域为[1,2],求函数的定义域; (2)已知函数的定义域[1,2],求函数的定义域; (3)已知函数的定义域[1,2],求函数的定义域. 答案:(1)[0,] (2)[3,5] (3)[2,3] 解析:(1)设,由于函数定义域为[1,2], 故,即,解得,所以函数的定义域为[0,]; (2)设,因为, 所以,即,函数的定义域为[3,5], 由此得函数的定义域为[3,5]; (3)因为函数的定义域为[1,2],即, 所以,所以函数的定义域为[3,5],由,得, 所以函数的定义域为[2,3]. 17.求下列函数的定义域: (1)若函数的定义域为,求的定义域; (2)已知函数的定义域为,求函数的定义域; (3)若函数的定义域为,求的定义域。 答案:(1) (2) (3)(1,2.5] 解析:(1)因为函数的定义域为,则,可得, 所以,函数的定义域为, 对于函数,则有,解得, 因此,函数的定义域为. (2)因为函数的定义域为,所以满足,即, 又函数有意义,得,解得, 所以函数的定义域为. (3) 由题意可知,所以,要使函数有意义,则 解得.所以函数的定义域为(1,2.5] 18.若函数中的取值范围为R,则的取值范围是 . 答案: 解析:由已知恒成立,当时符合题意, 当时,,,综上所述,故答案为:. 19.若函数的定义域为,则实数m的取值范围为 . 答案: 解析:因为的定义域为,所以恒成立,当时,显然成立; 当时,有,解得; 综上可得实数m的取值范围为. 20.已知函数的定义域为,则 . 答案:2. 解析:由题意得不等式的解集为,∴和是方程的两个根,且,于是解得.故答案为:2. 题型3 函数的解析式 21.已知,则( ) A. B. C. D. 答案:B 解析:令,则,所以, 即.故选:B. 22.已知,求的解析式? 答案: 解析:方法一:把的右边配成的表达式, 即,然后整体换成,得:, 故的解析式为:. 方法二:令,得代入得: ,然后t换成x即, 故的解析式为: 23.函数满足,则函数( ) A. B. C. D. 答案:B 解析:因为①,所以②, 得,即.故选:B. 24.求下列函数的解析式 (1)设函数是一次函数,且满足,求的解析式 (2)设满足,求的解析式 答案:(1)或;(2) 解析:(1)设一次函数的解析式为,则,所以,解得,或, 所以或. (2)由①,得②, ①②得,即. 25.已知函数满足,则 . 答案: 解析:由①,得②, 由①②得,则, 令,则,所以,故. 故答案为:. 26.已知函数是一次函数,且,则 . 答案:11 解析:设,则, 整理得,所以,解, 所以,所以. 27.根据下列条件,求的解析式. (1)已知 (2)已知是二次函数,且满足 答案:(1);(2) 解析:(1)令,则,,所以由, 得,所以; (2)由题意设,因为,所以, 因为,所以, 所以,所以,得,所以. 28.定义在R上的函数f(x)满足,并且对任意实数x,y都有,求的解析式. 答案: 解析:对任意实数,,, 令,得,即, 又,所以. 29.已知函数满足:对一切实数、,均有成立,且.求函数的表达式. 答案:. 解析:由已知等式,令,,得. 又,所以.再令,可得,即. 因此,函数的表达式为. 30.设定义在上的函数满足,且对任意的、,都有.求函数的解析式? 答案: 解析:令,得,即. 令,则,则. 题型4 函数的值域 31.求下列函数的值域: (1),; (2); (3),; (4); (5),; (6). 答案: (1); (2); (3); (4) (5) (6). 解析:(1),且,则. 所以函数的值域为. (2)函数的定义域为,由,得, 所以的值域为. (3)函数图象的对称轴为,而, 当时,,当时,,所以函数的值域为. (4)函数的图象是一条开口向下的抛物线,对称轴为, 所以,又,所以,即函数的值域为. (5),则, 所以函数在此区间上的值域为. (6), 所以,所以函数的值域为. 32.求下列函数的值域: (1); (2); (3),; (4); (5); (6). 答案:(1);(2),,;(3);(4);(5);(6). 解析:(1), ,,,即的值域为. (2)函数的定义域为,, ∵;又,; 函数的值域为,,. (3), 因为,所以,所以,所以,所以函数的值域为. (4), 因为向右平移个单位可得,再向上平移2个单位可得, 所以当时,, 的值域为. (5), 显然,则,于是, 所以函数的值域是. (6)因为,所以 ,当且仅当,即时,等号成立. 故函数的值域为. 33.求下列函数的值域: (1); (2); (3); 答案:(1);(2)(-∞,]; (3); 解析:(1)设,则,且,则函数可化为,所以函数的值域为. (2)设,则, 因为,所以时,的值域是(-∞,]. (3)令,则,可得, 且开口向上,对称轴为,可知当时,取到最小值2, 所以的值域为,即函数的值域为. 34.求下列函数的值域: (1); (2); (3); (4) 答案:(1);(2); (3);(4). 解析:(1)由,得, 当时,上式无解; 当时,要使方程有解,需满足 即,解得或.∴的值域为. (2)设题中函数为,则,当时,; 当时,视其为关于x的二次方程,判别式, 综上,故值域为. (3)由可得,由于函数,所以,故,故值域为. (4)当时,;当时,设,则, 从而.令,, 又,所以的值域为, 所以的值域为. 综上,的值域为. 35.(1)若函数的值域为,求实数的取值范围? (2)已知函数的值域为,求实数的取值范围? 答案:(1)(2) 解析:(1)当时,,即值域为,满足题意; 当时,设,若使函数的值域为, 则只需取大于等于零的实数,只需的图象与轴有交点即可, 因此,解得 综上, (2)由题意,令,则为其值域的一个子集, 当时,,令,解得,故当时,; 当时,,该函数为开口向下的二次函数,则必定存在最大值,故不符合题意; 当时,,该函数为开口向上的二次函数,令,则,整理可得,即,解得或,此时符合题意. 综上,可得. 36.(1)已知函数的定义域与值域均为,求实数的取值范围? (2)函数在内的值域为,求实数m的取值范围? 答案:(1)(2)1≤m≤3 解析:(1)∵的解集为,∴方程的解为或4, 则,,, ∴,又因函数的值域为,∴,∴. (2)∵f(x)=x2﹣2x﹣3的开口向上,对称轴x=1,且f(﹣1)=f(3)=0,f(1)=﹣4, ∵函数f(x)在[﹣1,m]内的值域为[﹣4,0],则实数1≤m≤3. 题型5 分段函数 37.已知函数,则 . 答案: 解析:因为,所以,所以。 38.设函数,则 . 答案:7 解析:. 39.设函数,的值为 . 答案: 解析:函数,,. 40.已知函数,若,则实数 . 答案:或 解析:当时,由,可得,合乎题意; 当时,由,解得,合乎题意; 当时,由,解得,不合乎题意. 综上所述,或. 41.设函数,若,则 . 答案:6 解析:,所以, 由得,解得或(舍去),则。 42.已知函数,若,则 . 答案: 解析:时,,则,进一步分类讨论,时,即时,,整理得,根据条件得; 时,即时,,得,不符题意; 时,,,进一步分类讨论,时,即时,与不符; 时,即,所以时,有,得,与题意不符; 综上所述: 43.设,求不等式的解集? 答案: 解析:当时,由得:,解得:或,; 当时,由得:,解得:,;不等式的解集是. 44.已知,则不等式的解集是 . 答案: 解析:∵,∴ (1)当时,原不等式等价于,解得,∴此时; (2)当时,原不等式等价于,解得,∴此时; 综上所述,原不等式的解集为. 45.设函数,若,则的取值范围是 . 答案: 解析:(i)当,即时,,, 由得,即, 因为,所以恒成立,所以; (ii)当,即时,,, 由得,即,即恒成立, 所以; (iii)当,即时,,, 由得,即,所以, 综上所述:的取值范围是. 1 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 $$