1.1.3 第1课时 直线方程的点斜式-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案课件PPT（北师大版2019）

第一章　直线与圆 §1　直线与直线的方程 1.3　直线的方程 第1课时　直线方程的点斜式 (教师独具内容) 课程标准：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的点斜式与斜截式． 教学重点：会求直线方程的点斜式、斜截式． 教学难点：能利用直线方程的点斜式、斜截式解决相应的问题． 核心素养：通过推导直线方程的点斜式及斜截式的过程，提升逻辑推理及数学抽象素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 每一点 都在 核心概念掌握 5 y－y0＝k(x－x0) y＝y0 x＝x0 斜率 截距 核心概念掌握 6 核心概念掌握 7 (3)当k取任意实数时，方程y－y0＝k(x－x0)表示恒过定点(x0，y0)的无数条直线． 2．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别，当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数；当k＝0时，y＝b不是一次函数，一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线方程的斜截式．截距不是距离，可正、可负也可为零． 核心概念掌握 8 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当直线的倾斜角为0°时，过(x0，y0)的直线l的方程为y＝y0.(　　) (2)直线与y轴的交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念．(　　) (3)直线方程的点斜式不能表示坐标平面上的所有直线．(　　) 2．做一做 (1)已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　) A．直线经过点(－1，2)，斜率为－1 B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 答案 √ × √ 核心概念掌握 9 答案 2 y＝2x＋3 核心概念掌握 10 核心素养形成 题型一　直线方程的点斜式 　 分别求满足下列条件的直线方程的点斜式． (1)过点(－1，2)，且斜率为3； (2)已知点A(3，3)，B(－1，5)，过线段AB的中点且倾斜角为60°； (3)过点(－1，2)且直线的一个方向向量为v＝(2，－1)． 核心素养形成 12 解 核心素养形成 13 感悟提升　直线方程的点斜式的适用范围 已知直线上一点的坐标以及直线的斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示直线，点斜式应在直线斜率存在的条件下使用，当直线的斜率不存在时，过点(x0，y0)的直线方程为x＝x0. 核心素养形成 14 解 [跟踪训练1]　写出下列直线方程的点斜式： (1)过点P(－4，3)，且斜率k＝－3； (2)过点P(3，－4)，且与x轴平行； (3)过P(－2，3)，Q(5，－4)两点． 解　(1)∵直线过点P(－4，3)，且斜率k＝－3， ∴该直线方程的点斜式为y－3＝－3(x＋4)． (2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0， ∴该直线方程的点斜式为y－(－4)＝0×(x－3)． 核心素养形成 15 解 核心素养形成 16 题型二　直线方程的斜截式 　 根据条件写出下列直线方程的斜截式： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 核心素养形成 17 解 核心素养形成 18 感悟提升　直线方程的斜截式的求解策略 (1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别． (2)直线方程的斜截式y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式，利用k，b的几何意义进行判断． 核心素养形成 19 核心素养形成 20 解 核心素养形成 21 随堂水平达标 1．直线y＝k(x＋2)＋3必过一定点，则该定点为(　　) A．(3，2) B．(2，3) C．(2，－3) D．(－2，3) 答案 解析 解析　直线方程可化为y－3＝k(x＋2)，由直线方程的点斜式可知该直线的斜率为k，且过点(－2，3)． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 23 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 24 答案 解析 3．倾斜角为120°，在y轴上的截距是－3的直线方程的斜截式为___________． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 25 答案 解析 4．斜率为2的直线与两坐标轴围成的三角形面积为1，则此直线的方程为__________________________． y＝2x＋2或y＝2x－2 随堂水平达标 1 2 3 4 5 26 随堂水平达标 1 2 3 4 5 27 解 随堂水平达标 1 2 3 4 5 28 解 随堂水平达标 1 2 3 4 5 29 课后课时精练 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 31 2．已知ab>0，bc>0，则直线ax＋by＝c经过(　　) A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 32 3．已知直线l的倾斜角为45°，且过点(1，2)，则在直线l上的点是(　　) A．(0，1) B．(－2，3) C．(3，3) D．(3，2) 答案 解析 解析　直线l的斜率k＝tan45°＝1，且过点(1，2)，则直线方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1，将A，B，C，D中的各点的坐标代入，可知A正确． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 33 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 34 答案 解析 5．(多选)在同一直角坐标系中，直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2(k1>k2，b1<b2)的图象可能是(　　) 解析　在C中，b1>b2，不符合题意；在D中，k1<k2，不符合题意．故选AB. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 35 答案 二、填空题 6．直线y＝2x－3在y轴上的截距为________． 解析　对于直线y＝2x－3，当x＝0时，y＝－3，故直线y＝2x－3在y轴上的截距为－3. －3 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 36 答案 7．直线过点(2，－3)，且在y轴上的截距为－5，则这样的直线方程为________． 解析　由题意，得直线的斜率存在．设直线方程为y－(－3)＝a(x－2)，显然a≠0，令x＝0，得y＝－2a－3，－2a－3＝－5，解得a＝1.故所求直线的方程为y＋3＝x－2，即y＝x－5. y＝x－5 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 37 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 38 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 39 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 40 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 41 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 42 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 43 1．已知△ABC的两个顶点A(1，1)，B(5，1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求： (1)边AB所在直线的方程； (2)边AC和BC所在直线方程的点斜式． 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 44 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 45 2．已知直线l：y＝kx＋2k＋1. (1)求证：直线l过定点； (2)当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围． 解　(1)证明：由y＝kx＋2k＋1， 得y－1＝k(x＋2)． 由直线方程的点斜式可知，直线l过定点(－2，1)． 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 46 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 47 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　直线l的方程 一般地，如果一条直线l上的eq \x(\s\up1(01))________的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程的解为坐标的点eq \x(\s\up1(02))_______直线l上，那么这个方程称为直线l的方程． 知识点二　直线方程的点斜式 (1)经过点P(x0，y0)且斜率为k的直线方程为eq \x(\s\up1(01))_____________，称为直线方程的点斜式． (2)经过点P(x0，y0)且斜率为0的直线方程为eq \x(\s\up1(02))_______，经过点P(x0，y0)且斜率不存在的直线方程为eq \x(\s\up1(03))_______． 知识点三　直线方程的斜截式 (1)方程y＝kx＋b中的k为直线l的eq \x(\s\up1(01))_____，b为直线l在y轴上的eq \x(\s\up1(02))_____． (2)称y＝kx＋b为直线方程的斜截式． 1．关于点斜式的几点说明 (1)直线方程的点斜式的前提条件：①斜率必须存在；②已知一点P(x0，y0)和斜率k.只有这两个条件都具备，才可以写出直线方程的点斜式． (2)方程y－y0＝k(x－x0)与方程k＝eq \f(y－y0,x－x0)不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P(x0，y0)的一条直线． (2)过点P(－1，2)，且倾斜角为60°的直线方程的点斜式为________________． (3)已知直线l：y＝2－eq \r(3)x，则直线l的斜率是_____，在y轴上的截距为____． (4)斜率为2，且过点A(0，3)的直线方程的斜截式为__________． y－2＝eq \r(3)(x＋1) －eq \r(3) 解　(1)y－2＝3(x＋1)． (2)斜率k＝tan60°＝eq \r(3)，AB的中点为(1，4)，则该直线方程的点斜式为y－4＝eq \r(3)(x－1)． (3)直线的一个方向向量为v＝(2，－1)， ∴k＝eq \f(－1,2)＝－eq \f(1,2)，故该直线方程的点斜式为y－2＝－eq \f(1,2)(x＋1)． (3)过P(－2，3)，Q(5，－4)两点的直线的斜率kPQ＝eq \f(－4－3,5－（－2）)＝eq \f(－7,7)＝－1. 又直线过点P(－2，3)， ∴该直线方程的点斜式为y－3＝－(x＋2)． 解　(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5. (2)由于倾斜角α＝150°， 则斜率k＝tan150°＝－eq \f(\r(3),3)， 由斜截式可得所求直线方程为y＝－eq \f(\r(3),3)x－2. (3)由于直线的倾斜角为60°，则其斜率k＝tan60°＝eq \r(3).由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，则直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线方程为y＝eq \r(3)x＋3或y＝eq \r(3)x－3. [跟踪训练2]　 (1)写出直线斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线方程的斜截式； (2)求过点A(6，－4)，斜率为－eq \f(4,3)的直线方程的斜截式； (3)已知直线方程为2x＋y－1＝0，求直线的斜率、在y轴上的截距以及与y轴交点的坐标． 解　(1)易知k＝－1，b＝－2，由直线方程的斜截式知，所求直线方程为y＝－x－2. (2)由于直线的斜率k＝－eq \f(4,3)，且过点A(6，－4)，则直线方程的点斜式为y＋4＝－eq \f(4,3)(x－6)，化为斜截式为y＝－eq \f(4,3)x＋4. (3)直线方程2x＋y－1＝0可化为y＝－2x＋1，由直线方程的斜截式知，直线的斜率k＝－2，在y轴上的截距b＝1，直线与y轴交点的坐标为(0，1)． 2．(多选)方程y＝ax＋eq \f(1,a)表示的直线可能是(　　) 解析　易知a≠0，当a>0时，eq \f(1,a)>0，即直线的斜率为正，直线在y轴上的截距为正，A符合；当a<0时，eq \f(1,a)<0，即直线的斜率为负，直线在y轴上的截距为负，B符合．故选AB. 解析　∵所求直线的倾斜角为120°，∴它的斜率k＝tan120°＝－eq \r(3)，又b＝－3，∴所求直线方程的斜截式为y＝－eq \r(3)x－3. y＝－eq \r(3)x－3 解析　设直线方程为y＝2x＋b，当x＝0时，y＝b，当y＝0时，x＝－eq \f(b,2)，则S＝eq \f(1,2) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2)))))＝1，b＝±2，故所求直线方程为y＝2x＋2或y＝2x－2. 5．已知直线y＝－eq \f(\r(3),3)x＋5的倾斜角是直线l的倾斜角的大小的5倍，分别求满足下列条件的直线l的方程： (1)过点P(3，－4)； (2)过点(－2，0)； (3)在y轴上的截距为3. 解　设直线y＝－eq \f(\r(3),3)x＋5的倾斜角为α， 则直线y＝－eq \f(\r(3),3)x＋5的斜率k＝tanα＝－eq \f(\r(3),3)，所以α＝150°. 故直线l的倾斜角为30°，斜率k′＝eq \f(\r(3),3). (1)过点P(3，－4)， 由直线方程的点斜式，得y＋4＝eq \f(\r(3),3)(x－3)， 即y＝eq \f(\r(3),3)x－eq \r(3)－4. (2)过点(－2，0)，由直线方程的点斜式， 得y－0＝eq \f(\r(3),3)(x＋2)，即y＝eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(2\r(3),3). (3)在y轴上的截距为3， 由直线方程的斜截式，得y＝eq \f(\r(3),3)x＋3. 一、选择题 1．已知直线方程y－3＝eq \r(3)(x－4)，则这条直线经过的点和倾斜角分别为(　　) A．(4，3)，60° B．(－3，－4)，30° C．(4，3)，30° D．(－4，－3)，60° 解析　由直线方程的点斜式易知直线过点(4，3)，且斜率为eq \r(3)，所以倾斜角为60°. 解析　把直线ax＋by＝c化为y＝－eq \f(a,b)x＋eq \f(c,b)，∵ab>0，bc>0，∴－eq \f(a,b)<0，eq \f(c,b)>0.故直线经过第一、二、四象限． 4．经过点(－1，1)，斜率是直线y＝eq \f(\r(2),2)x－2的斜率的2倍的直线是(　　) A．x＝－1 B．y＝1 C．y－1＝eq \r(2)(x＋1) D．y－1＝2eq \r(2)(x＋1) 解析　∵直线y＝eq \f(\r(2),2)x－2的斜率为eq \f(\r(2),2)，∴所求直线的斜率为eq \r(2)，又直线过点(－1，1)，∴其直线方程为y－1＝eq \r(2)(x＋1)． 8．直线l1过点P(－1，2)，斜率为－eq \f(\r(3),3)，则直线l1方程的点斜式为______________________，把l1绕点P按顺时针方向旋转30°角得直线l2，则直线l2方程的点斜式为________________． y－2＝－eq \f(\r(3),3)(x＋1) y－2＝－eq \r(3)(x＋1) 解析　直线l1方程的点斜式为y－2＝－eq \f(\r(3),3)(x＋1)．∵k1＝－eq \f(\r(3),3)＝tanα1，∴α1＝150°.如图，l1绕点P按顺时针方向旋转30°，得到直线l2的倾斜角为α2＝150°－30°＝120°，∴k2＝tan120°＝－eq \r(3)，∴直线l2方程的点斜式为 y－2＝－eq \r(3)(x＋1)． 三、解答题 9．已知直线m的一个方向向量为v＝(3，eq \r(3))，直线l的倾斜角为直线m的倾斜角的2倍．求当直线l分别满足下列条件时直线l方程的点斜式： (1)过点P(3，－4)； (2)与y轴的交点为(0，－3)． 解　∵直线m的一个方向向量为v＝(3，eq \r(3))， ∴直线m的斜率为eq \f(\r(3),3)， 则直线m的倾斜角为30°， ∴直线l的倾斜角为60°， ∴直线l的斜率为tan60°＝eq \r(3). (1)∵直线l过点P(3，－4)， ∴直线l方程的点斜式为y－(－4)＝eq \r(3)(x－3)． (2)∵直线l与y轴的交点为(0，－3)， ∴直线l方程的点斜式为y－(－3)＝eq \r(3)(x－0)． 10．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l方程的斜截式． (1)过定点A(－3，4)； (2)斜率为eq \f(1,6). 解　(1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4(k≠0)， 则直线l与x轴的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,k)－3，0))，与y轴的交点为(0，3k＋4)， 由已知，得eq \f(1,2) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(（3k＋4）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,k)－3))))＝3， 解得k＝－eq \f(2,3)或－eq \f(8,3). ∴直线l方程的斜截式为y＝－eq \f(2,3)x＋2或y＝－eq \f(8,3)x－4. (2)设直线l在y轴上的截距为b， 则直线l方程的斜截式是y＝eq \f(1,6)x＋b，它在x轴上的截距是－6b， 由已知，得|－6b·b|＝6，解得b＝±1. ∴直线l方程的斜截式为y＝eq \f(1,6)x＋1或y＝eq \f(1,6)x－1. 解　(1)∵A，B两点的纵坐标均为1， ∴边AB所在直线的方程为y＝1. (2)由(1)知AB平行于x轴， 当点C在第一象限时，kAC＝tan60°＝eq \r(3)， kBC＝tan(180°－45°)＝－tan45°＝－1， ∴边AC所在直线方程的点斜式为y－1＝eq \r(3)(x－1)，边BC所在直线方程的点斜式为y－1＝－(x－5)； 当点C在第四象限时，kAC＝tan(180°－60°)＝－tan60°＝－eq \r(3)，kBC＝tan45°＝1， ∴边AC所在直线方程的点斜式为y－1＝－eq \r(3)(x－1)，边BC所在直线方程的点斜式为y－1＝x－5. (2)设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)． 当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方， 需满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－3）≥0，,f（3）≥0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3k＋2k＋1≥0，,3k＋2k＋1≥0，)) 解得－eq \f(1,5)≤k≤1. 所以实数k的取值范围是－eq \f(1,5)≤k≤1. $$