第一章 直线与圆 单元质量测评-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（北师大版2019）

数学 选择性必修·第一册[BS] 第一章　单元质量测评 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．直线x＋y＋1＝0的倾斜角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案　D 解析　根据一般式方程，其斜率k＝－＝－，设该直线的倾斜角为α，从而tanα＝－，故该直线的倾斜角为150°. 2．若直线mx＋2ny－4＝0(m，n∈R)始终平分圆x2＋y2－4x－2y＝0的周长，则mn的取值范围是(　　) A．(0，1) B．(0，1] C．(－∞，1) D．(－∞，1] 答案　D 解析　∵直线mx＋2ny－4＝0始终平分圆x2＋y2－4x－2y＝0的周长，∴圆心在直线上，又圆心为(2，1)，∴2m＋2n－4＝0，∴n＝2－m，∴mn＝m(2－m)＝－(m－1)2＋1≤1.故选D. 3．已知直线x－2y＋m＝0(m>0)与直线x＋ny－3＝0互相平行，且它们间的距离是，则m＋n＝(　　) A．0 B．1 C．－1 D．2 答案　A 解析　由题意，所给两条直线平行，∴n＝－2.由两条平行直线间的距离公式，得d＝＝＝，解得m＝2或m＝－8(舍去)，∴m＋n＝0. 4．直线y＝ax＋b和y＝bx＋a在同一坐标系中的图形可能是(　　) 答案　D 解析　当ab＝0时，两直线中至少有一条与x轴平行或重合；当ab≠0时，两直线与x轴交点的横坐标分别为－和－，两者同号，只能选D. 5．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2.则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　) A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 答案　B 解析　圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，表示以(0，a)为圆心，a为半径的圆，其中圆心到直线x＋y＝0的距离d＝，由弦长公式可得2＝2，得a＝2，从而两圆的圆心距|MN|＝＝∈(2－1，2＋1)＝(1，3)，故两圆相交．故选B. 6．将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则实数λ的值为(　　) A．－3或7 B．－2或8 C．0或10 D．1或11 答案　A 解析　由题意知，直线2x－y＋λ＝0平移后方程为2(x＋1)－y＋λ＝0，圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心坐标为(－1，2)，半径为.直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，因而有＝，得λ＝－3或7. 7．将一张画有平面直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A(0，2)与点B(4，0)重合，若此时点C(7，3)与点D(m，n)也重合，则m＋n的值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　根据题意，得到折痕为A，B的对称轴，也是C，D的对称轴．kAB＝＝－，且AB的中点坐标为(2，1)，所以图纸的折痕所在的直线方程为y－1＝2(x－2)．所以kCD＝＝－　①，CD的中点坐标为，所以－1＝2　②，由①②解得m＝，n＝，则m＋n＝.故选A. 8.在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，AC反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则|AP|＝(　　) A．2 B．1 C. D. 答案　D 解析　以AB为x轴，AC为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知B(4，0)，C(0，4)，A(0，0)，则直线BC的方程为x＋y－4＝0，设P(t，0)(0<t<4)，由对称知识可得点P关于直线BC的对称点P1的坐标为(4，4－t)，点P关于y轴的对称点P2的坐标为(－t，0)，根据反射定理可知P1P2就是光线QR所在直线．由P1，P2两点坐标可得直线P1P2的方程为y＝·(x＋t)，设△ABC的重心为G，易知G.因为重心G在光线QR上，所以有＝·，即3t2－4t＝0.所以t＝0或t＝，因为0<t<4，所以t＝，即|AP|＝.故选D. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知圆C：x2＋y2－2x＝0，点A是直线y＝kx－3(k∈Z)上任意一点，若以点A为圆心，半径为1的圆A与圆C没有公共点，则整数k的值可能为(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 答案　ABC 解析　圆C的方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，半径为1，由题意可得，圆心(1，0)到直线y＝kx－3的距离大于2，即>2，解得<k<，因为k∈Z，所以k＝－2或k＝－1或k＝0.故选ABC. 10．如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对(p，q)是点M的“距离坐标”．下列四个命题中正确的是(　　) A．若p＝q＝0，则“距离坐标”为(0，0)的点有且仅有1个 B．若pq＝0，且p＋q≠0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且仅有2个 C．若pq≠0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且仅有4个 D．若p＝q，则点M的轨迹是一条过O点的直线 答案　ABC 解析　若p＝q＝0，则“距离坐标”为(0，0)的点是两条直线的交点O，因此有且仅有1个，A正确．若pq＝0，且p＋q≠0，则当p＝0，q≠0时，点M在直线l1上(不含点O)，此时满足题意的点M(0，q)有2个，且关于点O对称；当q＝0，p≠0时，点M在直线l2上(不含点O)，此时满足题意的点M(p，0)有2个，且关于点O对称．又直线l1上的两点与直线l2上的两点不能同时取到，因此满足条件的点有且仅有2个，B正确．若pq≠0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且仅有4个，如图所示，C正确．若p＝q，则点M的轨迹是两条过点O的直线，分别是角平分线所在的直线，因此D不正确．故选ABC. 11．已知圆C1：x2＋y2＝r2，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，下列结论正确的是(　　) A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0 B．2ax1＋2by1＝a2＋b2 C．x1＋x2＝a D．y1＋y2＝2b 答案　ABC 解析　两圆方程相减可得直线AB的方程为a2＋b2－2ax－2by＝0，即2ax＋2by＝a2＋b2，故B正确；分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)两点代入2ax＋2by＝a2＋b2得2ax1＋2by1＝a2＋b2，2ax2＋2by2＝a2＋b2，两式相减得2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，故A正确；由圆的性质可知，线段AB与线段C1C2互相平分，所以x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，故C正确，D错误．故选ABC. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中的横线上) 12．若过点P(1－a，1＋a)与点Q(3，2a)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是________． 答案　(－2，1) 解析　由直线的斜率k＝＝<0，得－2<a<1. 13.如图所示，A，B是直线l上的两点，且|AB|＝2.两个半径相等的动圆分别与l相切于点A，B，C是两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成的图形的面积S的最大值是________． 答案　2－ 解析　如图所示，由题意知，当两动圆外切时，围成的图形的面积S取得最大值，此时四边形ABO2O1为矩形，且Smax＝2×1－×π×12×2＝2－. 14．已知点P(0，5)，圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0，若直线l过点P且被圆C截得的弦AB的长为4，则直线l的方程为________________，圆C的过点P的弦的中点的轨迹方程为________________． 答案　3x－4y＋20＝0或x＝0　x2＋y2＋2x－11y＋30＝0 解析　由题意，知圆心C(－2，6)，圆C的半径为4.如图所示，过点C作CD⊥AB于点D，则D是AB的中点． 由题意，知|AB|＝4，|AC|＝4，|AD|＝2，在Rt△ADC中，可得|CD|＝2.当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由点到直线的距离公式，得＝2，解得k＝.此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0；当直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时直线l的方程为x＝0.综上，直线l的方程为3x－4y＋20＝0或x＝0.设圆C的过点P的弦的中点为E(x，y)．当点E不与点P，C重合时，(x，y)≠(0，5)且(x，y)≠(－2，6)．在Rt△CEP中，有|CE|2＋|EP|2＝|CP|2，即(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－0)2＋(y－5)2＝(－2－0)2＋(6－5)2，化简得x2＋y2＋2x－11y＋30＝0((x，y)≠(0，5)且(x，y)≠(－2，6))．当点E与点P重合时，点E的坐标为(0，5)，满足方程x2＋y2＋2x－11y＋30＝0；当点E与点C重合时，点E的坐标为(－2，6)，满足方程x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.综上，所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)已知直线l1：y＝－k(x－a)和直线l2在x轴上的截距相等，且它们的倾斜角互补，又知直线l1过点P(－3，3)．如果点Q(2，2)到直线l2的距离为1，求直线l2的方程． 解　由题意，可设直线l2的方程为y＝k(x－a)，即kx－y－ak＝0， ∵点Q(2，2)到直线l2的距离为1， ∴＝1，① 又直线l1的方程为y＝－k(x－a)，且直线l1过点P(－3，3)，∴ak＝3－3k.② 由①②得＝1，两边平方整理得12k2－25k＋12＝0，解得k＝或k＝. ∴当k＝时，代入②得a＝－，此时直线l2的方程为4x－3y＋3＝0； 当k＝时，代入②得a＝1，此时直线l2的方程为3x－4y－3＝0. 综上所述，直线l2的方程为4x－3y＋3＝0或3x－4y－3＝0. 16．(本小题满分15分)过坐标原点O作圆C：x2＋y2＋6x＝0的弦OA. (1)求弦OA的中点M的轨迹方程； (2)延长OA到N，使|OA|＝|AN|，求点N的轨迹方程． 解　(1)圆C的方程x2＋y2＋6x＝0可化为(x＋3)2＋y2＝9. 如图1所示，连接CM，则CM⊥OA，所以点M的轨迹是以OC为直径的圆，其圆心为，半径为， 又点M必在圆C的内部， 所以弦OA的中点M的轨迹方程为＋y2＝(x≠0)，即x2＋y2＋3x＝0(x≠0)． (2)设点D为圆C与x轴除原点外的另一个交点，连接ND，AC，如图2所示，因为A，C分别为NO，DO的中点，所以|ND|＝2|AC|＝6，所以点N的轨迹是以点D(－6，0)为圆心，6为半径的圆(除去原点)，其轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(x≠0)，即x2＋y2＋12x＝0(x≠0)． 17．(本小题满分15分)已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x＋3y－29＝0相切． (1)求圆的方程； (2)若直线ax－y＋5＝0(a≠0)与圆交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P(－2，4)的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由． 解　(1)设圆心为(m，0)(m∈Z)． 由于圆与直线4x＋3y－29＝0相切，且半径为5，所以＝5，即|4m－29|＝25， 解得m＝或m＝1， 因为m为整数，故m＝1， 所以所求圆的方程是(x－1)2＋y2＝25. (2)假设符合条件的实数a存在， 因为a≠0，则直线l的斜率为－，l的方程为y＝－(x＋2)＋4，即x＋ay＋2－4a＝0. 由于l垂直平分弦AB， 故圆心M(1，0)必在l上． 所以1＋0＋2－4a＝0，解得a＝. 经检验，a＝时，直线ax－y＋5＝0与圆有两个交点，故存在实数a＝，使得过点P(－2，4)的直线l垂直平分弦AB. 18．(本小题满分17分)已知三条直线l1：mx－y＋m＝0，l2：x＋my－m(m＋1)＝0，l3：(m＋1)x－y＋(m＋1)＝0，它们围成△ABC. (1)求证：不论m取何值时，△ABC中总有一个顶点为定点； (2)当m取何值时，△ABC的面积取最值？并求出最值． 解　(1)证明：设直线l1与直线l3的交点为A. 由解得 ∴点A的坐标为(－1，0)， ∴不论m取何值，△ABC中总有一个顶点A(－1，0)为定点． (2)由 解得 即l2与l3的交点为B(0，m＋1)． 再由 解得 即l1与l2的交点为C. 设边AB上的高为h，又直线AB的方程为(m＋1)x－y＋m＋1＝0， ∴S△ABC＝|AB|·h＝·· ＝·＝· ＝. 当m＝0时，S＝； 当m≠0时，S＝. ∵函数f(x)＝x＋的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)． ∴－≤<0或0<≤， ∴≤S<或<S≤. 当m＝1时，△ABC的面积取得最大值，为； 当m＝－1时，△ABC的面积取得最小值，为. 19．(本小题满分17分)如图，直线l是森林的边界线，图中阴影部分是与l垂直的一道铁丝网，兔子和狼分别位于草原上点A和点B处，其中|AB|＝|BC|＝1 km，现兔子随机的沿直线AD，以速度2v准备越过森林边界l逃入森林，同时，狼沿线段BM以速度v进行追击，若狼比兔子先到或同时到达点M处，狼就会吃掉兔子．某同学为了探究兔子能否逃脱狼的追捕，建立了平面直角坐标系xCy，并假设点M的坐标为(x，y)． (1)求兔子的所有不幸点M(即兔子被狼吃掉的地方)组成的区域的面积S； (2)若兔子随机沿与AC成锐角θ(θ＝∠CAD)的路线越过l向森林逃跑，求兔子能够逃脱的θ的取值范围． 解　(1)由题意知B(0，1)，A(0，2)，M(x，y)． 狼要想吃掉兔子，就必须先到达点M或与兔子同时到达点M， 即有t狼＝≤t兔＝. 化简得2|BM|≤|AM|， 即2≤， 两边平方并整理得3x2＋3y2－4y≤0， 即x2＋≤. 又x≥0，∴兔子的所有不幸点M组成的区域为半圆x2＋＝(x≥0)及其内部． ∴S＝π·＝. 故兔子的所有不幸点M组成的区域的面积S为. (2)如图，过点A作半圆P：x2＋＝的切线，切点为F，连接PF. 在Rt△APF中， sin∠PAF＝＝＝， ∴∠PAF＝30°. 兔子要想不被狼吃掉，则不能沿∠CAF及其以内的方向逃跑，故所求θ的取值范围为30°<θ<90°. 97 学科网（北京）股份有限公司 $$