2.1.1 椭圆及其标准方程-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（北师大版2019）

数学 选择性必修·第一册[BS] 1.1　椭圆及其标准方程 (教师独具内容) 课程标准：1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程． 教学重点：椭圆定义的应用及求椭圆的标准方程． 教学难点：椭圆标准方程的推导． 核心素养：通过研究椭圆的定义及标准方程，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养． 知识点一　椭圆的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离|F1F2|叫作椭圆的焦距． 知识点二　椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦距 |F1F2|＝2c 焦点坐标 (±c，0) (0，±c) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 1．对椭圆定义的理解 设两定点F1，F2，点到F1，F2的距离之和为2a. (1)当2a>|F1F2|时，点的轨迹是椭圆． (2)当2a＝|F1F2|时，点的轨迹是以F1，F2为端点的线段． (3)当2a<|F1F2|时，点的轨迹不存在． 2．用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 (1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两个坐标轴上都有可能． (2)设方程 ①依据上述判断设方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)； ②在不能确定焦点位置的情况下也可设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)． (3)找关系：依据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组． (4)得方程：解方程组，将a，b，c或m，n代入所设方程即为所求． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹称为椭圆．(　　) (2)椭圆的标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关．(　　) (3)椭圆方程的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2＝b2＋c2.(　　) (4)设定点F1(0，－2)，F2(0，2)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝m＋(m＞2)，则点P的轨迹是椭圆．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．做一做 (1)设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则动点M的轨迹是(　　) A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 (2)a＝5，c＝3，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为__________． (3)椭圆的方程为＋＝1，则a＝________，b＝________，c＝________． (4)椭圆＋＝1上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为________． 答案　(1)A　(2)＋＝1　(3)3　2　　(4)6 题型一　椭圆的定义 　(1)已知点M是平面α内的动点，F1，F2是平面α内的两个定点，则“点M到点F1，F2的距离之和为定值”是“点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　若点M到点F1，F2的距离之和恰好为F1，F2两点之间的距离，则轨迹不是椭圆，所以前者不能推出后者．根据椭圆的定义，椭圆到两焦点的距离之和为常数2a，所以后者能推出前者，故前者是后者的必要不充分条件，故选C. [答案]　C (2)已知△ABC的周长是8，且B(－1，0)，C(1，0)，则顶点A的轨迹方程是(　　) A.＋＝1(x≠±3) B.＋＝1(x≠0) C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0) [解析]　∵|AB|＋|AC|＝8－|BC|＝6>|BC|＝2，∴顶点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0)，则a＝3，b＝2.又A，B，C三点不共线，∴顶点A的轨迹方程为＋＝1(x≠±3)． [答案]　A 感悟提升　 1．对椭圆定义的三点说明 (1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视． (2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量． (3)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件． 2．椭圆定义的两个应用 (1)若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则动点M的轨迹是椭圆． (2)若点M在椭圆上，则|MF1|＋|MF2|＝2a. 　(1)下列说法中正确的是(　　) A．到点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B．到点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C．到点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆 D．到点F1(－4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆 答案　C 解析　对于A，|F1F2|＝8，故到点F1，F2的距离之和等于8的点的轨迹是线段F1F2；对于B，到点F1，F2的距离之和等于6的点的轨迹不存在；对于C，根据椭圆的定义，知该轨迹是椭圆；对于D，点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线． (2)已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3，0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程． 解　设圆P的半径为r. 又圆P过点B，∴|PB|＝r. 又圆P与圆A内切，圆A的半径为10. ∴两圆的圆心距|PA|＝10－r， 即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)． ∴圆心P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆． ∴2a＝10，2c＝|AB|＝6， ∴a＝5，c＝3. ∴b2＝a2－c2＝25－9＝16. 即圆心P的轨迹方程为＋＝1. 题型二　椭圆的标准方程 　求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标分别为(0，－2)，(0，2)，且经过点(4，3)； (2)a＝8，c＝6； (3)经过两点P1，P2. [解]　(1)解法一：由题意， 得2a＝＋ ＝12， 得a＝6. 又c＝2，∴b2＝a2－c2＝32. ∴所求椭圆的标准方程为＋＝1. 解法二：∵椭圆的焦点在y轴上， 设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 由题意得 得 ∴所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)∵a＝8，c＝6， ∴b2＝a2－c2＝64－36＝28. 当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为＋＝1； 当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为＋＝1. 故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. (3)解法一：①当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 依题意知解得 ∵a2＝<＝b2， ∴焦点在x轴上的椭圆不存在； ②当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 由题意得 解得 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. 解法二：设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)． 由题意得 解得 ∴所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1， 即标准方程为＋＝1. 感悟提升　求椭圆标准方程的方法 (1)关键量代入法：先确定椭圆的焦点位置，明确其标准方程的形式，再利用定义及a2－b2＝c2求出参数a，b，最后代入椭圆标准方程． (2)待定系数法：构造a，b，c三者之间的关系，通过解方程组求出a，b.但是要注意先确定焦点所在的位置，其主要步骤可归纳为“先定位，后定量”． 当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．因为它包括焦点在x轴上(m<n)或焦点在y轴上(m>n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到简化运算的目的． 　(1)过点(－3，2)且与＋＝1有相同焦点的椭圆的方程为________． 答案　＋＝1 解析　∵c2＝9－4＝5，焦点在x轴上，∴设椭圆的方程为＋＝1.∵点(－3，2)在椭圆上，∴＋＝1，∴a2＝15，∴所求椭圆的方程为＋＝1. (2)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，求椭圆E的方程． 解　设点A在点B上方，F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝.因为AF2⊥x轴，所以点A的坐标为(c，b2)，设点B的坐标为(x0，y0)，由|AF1|＝3|F1B|，可得＝3，即解得代入椭圆方程可得＋b2＝1，得b2＝，所以椭圆E的方程为x2＋＝1. 题型三　点与椭圆的位置关系 　已知椭圆C：＋＝1，则下列各点不在椭圆内部的是(　　) A．(1，1) B．(，－1) C．(，) D. [解析]　椭圆C的方程为＋＝1，因为＋＝<1，所以点(1，1)在椭圆内部，A不符合题意；因为＋＝<1，所以点(，－1)在椭圆内部，B不符合题意；因为＋＝>1，所以点(，)在椭圆外部，C符合题意；因为＋＝<1，所以点在椭圆内部，D不符合题意．故选C. [答案]　C 感悟提升　 点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔＋＝1；点P在椭圆内部⇔＋<1；点P在椭圆外部⇔＋>1. 　若点P(a，1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为________． 答案　∪ 解析　因为点P(a，1)在椭圆＋＝1的外部，所以＋>1，即a2>，解得a<－或a>. 题型四　椭圆的焦点三角形问题 　已知椭圆＋＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积． [解]　由＋＝1可知a＝2，b＝， 所以c＝＝1，从而|F1F2|＝2c＝2. 在△PF1F2中，由余弦定理得 |PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|cos∠PF1F2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.① 由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4.② 由①②联立可得|PF1|＝. 所以S△PF1F2＝|PF1|·|F1F2|sin∠PF1F2＝××2×＝. 【条件探究】若本例中“∠PF1F2＝120°”改为“∠F1PF2＝60°”，其他条件不变，应该怎样解答？ 解　由已知a＝2，b＝， 得c＝＝＝1. ∴|F1F2|＝2c＝2. 在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°， 即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos60°. ∴4＝16－3|PF1|·|PF2|， ∴|PF1|·|PF2|＝4， ∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|sin60°＝×4×＝. 感悟提升　 1．椭圆中焦点三角形的解题策略 在解焦点三角形的相关问题时，一般利用两个关系式： (1)由椭圆的定义可得|PF1|，|PF2|的一个关系式，|PF1|＋|PF2|＝2a. (2)利用正、余弦定理可得|PF1|，|PF2|的一个关系式． 这样我们便可求解出|PF1|，|PF2|. 但是通常情况下我们是把|PF1|±|PF2|，|PF1|·|PF2|看成一个整体进行转化求解，而不是具体求出|PF1|与|PF2|的值，所以在解题时注意椭圆定义及正、余弦定理的灵活运用． 2．焦点三角形的常用公式 (1)焦点三角形的周长L＝2a＋2c. (2)在△F1PF2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2. (3)焦点三角形的面积S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝b2tan. 　(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则|PF1|·|PF2|＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．5 答案　B 解析　解法一：因为·＝0，所以∠F1PF2＝90°，从而S△F1PF2＝b2tan45°＝1＝|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝2.故选B. 解法二：因为·＝0，所以∠F1PF2＝90°，由椭圆方程可知，c2＝5－1＝4⇒c＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝42＝16，又|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝16＋2|PF1|·|PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|＝2.故选B. 1．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2，0)，则椭圆的方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C．x2＋＝1 D.＋＝1 答案　D 解析　由题意知，椭圆的焦点在x轴上，且c＝2，所以a2＝2＋4＝6，因此椭圆的方程为＋＝1.故选D. 2．若直线y＝k(x－2)＋1恒过定点M，则点M与椭圆＋＝1的位置关系是(　　) A．点M在椭圆外 B．点M在椭圆内 C．点M在椭圆上 D．无法判断 答案　B 解析　直线y＝k(x－2)＋1恒过定点M(2，1)，将点M(2，1)代入椭圆方程，得＋<1，所以点M(2，1)在椭圆内． 3．(多选)椭圆＋＝1上一点P到两焦点的距离之积为m，则m取最大值时，P点坐标可以是(　　) A．(0，－3) B. C．(0，3) D. 答案　AC 解析　记F1(－4，0)，F2(4，0)，|PF1|·|PF2|≤＝＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|时，等号成立．∴P应在椭圆与y轴的交点处，∴P(0，3)或(0，－3)． 4．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2＝________． 答案　2　120° 解析　由椭圆＋＝1知a＝3，c＝＝，∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝6－|PF1|＝2.在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝＝－.又0°<∠F1PF2<180°，∴∠F1PF2＝120°. 5.如图，已知定点A(－2，0)，动点B是圆F：(x－2)2＋y2＝64上一点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，求动点P的轨迹方程． 解　连接PA，圆F：(x－2)2＋y2＝64的圆心为F(2，0)，半径R＝8. ∵线段AB的垂直平分线交BF于点P， ∴|PA|＝|PB|， ∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝|BF|＝R＝8>|AF|＝4. 由椭圆的定义，知点P的轨迹是椭圆． 依题意，有2a＝8，c＝2， ∴b2＝a2－c2＝12， ∴动点P的轨迹方程为＋＝1. 一、选择题 1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点F在BC上，则△ABC的周长是(　　) A．2 B．6 C．4 D．12 答案　C 解析　由题意可知a＝，由椭圆的定义得|BF|＋|BA|＝|CF|＋|CA|＝2a＝2，所以(|BF|＋|CF|)＋|BA|＋|CA|＝|BA|＋|CA|＋|BC|＝4，即△ABC的周长为4.故选C. 2．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　) A．(3，＋∞) B．(－∞，－2) C．(－∞，－2)∪(3，＋∞) D．(－6，－2)∪(3，＋∞) 答案　D 解析　由椭圆＋＝1的焦点在x轴上，可得解得所以a＞3或－6＜a＜－2.故选D. 3．已知动点M(x，y)满足＋＝4，则动点M的轨迹曲线的形状为(　　) A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 答案　D 解析　设F1(－2，0)，F2(2，0)．由题意知动点M满足|MF1|＋|MF2|＝4＝|F1F2|，故动点M的轨迹是线段F1F2. 4.我们把由半椭圆＋＝1(x≥0)与半椭圆＋＝1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2＝b2＋c2，a>b>c>0)．如图所示，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x轴和y轴的交点，若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为(　　) A.，1 B.，1 C．5，3 D．5，4 答案　A 解析　由题意知，a2－b2＝＝，b2－c2＝＝，∴a2－c2＝1.又a2＝b2＋c2，∴b2＝1，b＝1，∴a2＝，a＝. 5．(2023·全国甲卷)已知椭圆＋＝1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2＝，则|PO|＝(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　解法一：设∠F1PF2＝2θ，0＜θ＜，所以S△PF1F2＝b2tan＝b2tanθ，由cos∠F1PF2＝cos2θ＝＝＝，解得tanθ＝.由椭圆方程可知，a2＝9，b2＝6，c2＝a2－b2＝3，所以S△PF1F2＝|F1F2|×|yP|＝×2×|yP|＝6×，解得y＝3，所以x＝9×＝，因此|PO|＝＝＝.故选B. 解法二：因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6　①，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝12　②，联立①②，解得|PF1||PF2|＝，|PF1|2＋|PF2|2＝21，而＝(＋)，所以|PO|＝||＝|＋|，即||＝|＋|＝＝＝.故选B. 解法三：因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6　①，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝12　②，联立①②，解得|PF1|2＋|PF2|2＝21，由中线定理可知，(2|PO|)2＋|F1F2|2＝2(|PF1|2＋|PF2|2)＝42，易知|F1F2|＝2，解得|PO|＝.故选B. 二、填空题 6．椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的________倍． 答案　7 解析　由已知椭圆的方程得a＝2，b＝，c＝3，不妨设F1(－3，0)，F2(3，0)．∵焦点F1和F2关于y轴对称，∴PF2必垂直于x轴．∴P或P，|PF2|＝，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝.∴|PF1|＝7|PF2|. 7．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________． 答案　7 解析　由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7. 8．已知F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，M是椭圆上的一点，且在y轴的左侧，过点F2作∠F1MF2的平分线的垂线，垂足为N，若|ON|＝2(O为坐标原点)，则|MF2|－|MF1|＝________，|OM|＝________． 答案　4　2 解析　延长F2N，MF1并相交于点Q，由题意知，MN⊥F2Q，且MN平分∠F1MF2，所以|MF2|＝|MQ|，N为F2Q的中点，又因为O为F1F2的中点，所以ON∥F1Q，且|ON|＝|F1Q|，因为|ON|＝2，所以|F1Q|＝4，|MF2|－|MF1|＝4，因为|MF2|＋|MF1|＝8，所以|MF2|＝6，|MF1|＝2，所以|MF2|2＝|MF1|2＋|F1F2|2，所以MF1⊥OF1，所以|OM|＝＝2. 三、解答题 9．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0，1)，且3a2＝4b2. (1)求椭圆的标准方程； (2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值． 解　(1)依题意，知c＝1， 又c2＝a2－b2，且3a2＝4b2， 所以a2－a2＝1，即a2＝1， 所以a2＝4，b2＝3， 故椭圆的标准方程为＋＝1. (2)由于点P在椭圆上， 所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×2＝4. 又|PF1|－|PF2|＝1， 所以|PF1|＝，|PF2|＝. 又|F1F2|＝2c＝2， 所以由余弦定理得 cos∠F1PF2＝＝. 故∠F1PF2的余弦值为. 10．如图，已知点P(3，4)是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若·＝0. (1)求椭圆的方程； (2)求△PF1F2的面积． 解　(1)∵·＝0， ∴△PF1F2是直角三角形， ∴|OP|＝|F1F2|＝c. 又|OP|＝＝5，∴c＝5. ∴椭圆的方程为＋＝1. 又P(3，4)在椭圆上，∴＋＝1， ∴a2＝45或a2＝5. 又a>c，∴a2＝5舍去． 故所求椭圆的方程为＋＝1. (2)由椭圆的定义知， |PF1|＋|PF2|＝6，① 又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，② 由①2－②得2|PF1|·|PF2|＝80， ∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×40＝20. 1．已知P是椭圆＋y2＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点． (1)当∠F1PF2＝60°时，求△F1PF2的面积； (2)当∠F1PF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围． 解　(1)由椭圆的定义， 得|PF1|＋|PF2|＝4 且F1(－，0)，F2(，0)．① 在△F1PF2中，由余弦定理，得 |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos60°.② 由①②得|PF1||PF2|＝. 所以S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2 ＝. (2)设点P(x，y)，由已知∠F1PF2为钝角，得·<0，即(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2＋y2－3<0. 又y2＝1－，所以x2<2， 解得－<x<. 所以点P横坐标的取值范围是. 2.如图所示，△ABC的底边BC的长为12，其他两边AB和AC上中线的和为30，求此三角形重心G的轨迹方程，并求顶点A的轨迹方程． 解　以边BC的中点为原点，边BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(6，0)，C(－6，0)，CE，BD分别为边AB，AC上的中线， 则|BD|＋|CE|＝30. 由重心的性质可知， |GB|＋|GC|＝(|BD|＋|CE|)＝20. ∵B，C是两个定点，点G到B，C的距离和等于定值20，且20>12， ∴点G的轨迹是椭圆，B，C是椭圆的两个焦点， ∴2c＝|BC|＝12，c＝6，2a＝20，a＝10， ∴b2＝a2－c2＝102－62＝64， 故点G的轨迹方程为＋＝1(x≠±10)． 设G(x′，y′)，A(x，y)，则有＋＝1. 由重心坐标公式知 故顶点A的轨迹方程为＋＝1(x≠±30)， 即＋＝1(x≠±30)． 97 学科网（北京）股份有限公司 $$