1.1.1 第2课时 空间向量的数量积-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（人教B版2019）

数学 选择性必修·第一册[RJ] 第2课时　空间向量的数量积 (教师独具内容) 课程标准：1．掌握空间向量的数量积．2．了解空间向量投影的概念以及投影的意义． 教学重点：1．空间向量夹角的概念．2．空间向量数量积的概念、性质及计算方法． 教学难点：投影的概念及利用向量的数量积解决立体几何问题． 核心素养：1．通过对空间向量数量积的概念、性质的学习提升数学抽象素养．2．通过运用空间向量的数量积求空间向量的夹角、证明垂直提升数学运算素养． 知识点一　空间向量的夹角 给定两个非零向量a，b，任意在空间中选定一点O，作＝a，＝b，则大小在[0，π]内的∠AOB称为a与b的夹角，记作〈a，b〉．特别地，如果〈a，b〉＝，则称向量a与b垂直，记作a⊥b；约定零向量与任意向量都垂直． [点拨]　(1)两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时夹角为0，反向时夹角为π，即〈a，b〉＝0或π⇔a∥b(a，b为非零向量)． (2)零向量与其他向量之间不定义夹角，并规定0与任意向量平行，约定0与任意向量都垂直．两非零向量的夹角是唯一确定的． (3)对空间任意两向量a，b有： ①〈a，b〉＝〈b，a〉＝〈－a，－b〉＝〈－b，－a〉； ②〈a，－b〉＝〈－a，b〉＝π－〈a，b〉； ③〈，〉＝〈，〉＝π－〈，〉． 知识点二　空间向量的数量积 (1)定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定零向量与任意向量的数量积为0． (2)几何意义：a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积．特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量． (3)投影：空间向量a在向量b上的投影a′，可以过a的始点和终点分别作与b所在直线垂直的平面得到．如图，向量b在棱AB上，a＝，因为＝，BC⊥AB，所以a在向量b上的投影a′＝． [提醒]　(1)a·b是数量而不是向量，a·b的正负由cos〈a，b〉确定． (2)a·b是两向量之间的一种乘法，与数的乘法不同．书写时应写成a·b，而不能写成ab，也不能写成a×b． (3)若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝． 知识点三　空间向量数量积的性质 (1)a⊥b⇔a·b＝0． (2)a·a＝|a|2＝a2． (3)|a·b|≤|a||b|． (4)(λa)·b＝λ(a·b)． (5)a·b＝b·a(交换律)． (6)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． [拓展]　(1)a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中e为单位向量)． (2)|a|＝＝． [提醒]　|a·b|≤|a||b|中，当且仅当a，b共线时等号成立． 1．(空间向量的夹角)若△ABC为正三角形，则与的夹角为(　　) A． B． C． D． 答案　B 2．(空间向量数量积的性质)(多选)已知空间向量a，b，c，下列结论正确的是(　　) A．＝|a| B．m(λa)·b＝(mλ)a·b(m，λ∈R) C．a·(b＋c)＝(b＋c)·a D．a2b＝b2a 答案　ABC 3．(空间向量的数量积运算)已知空间向量a，b，|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝30°，则a·b＝________． 答案　3 4．(空间向量的投影)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，则在上的投影为________；在平面ABCD上的投影的数量为________． 答案　　2 题型一　空间向量的夹角　合作研习 　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量与的夹角〈，〉＝________；向量与的夹角〈，〉＝________． [解析]　如图，连接A1D，BD．∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥C1B，故〈，〉＝90°，∵∥，∴〈，〉＝〈，〉＝180°－∠A1BD，∵△A1BD为等边三角形，∴∠A1BD＝60°，∴〈，〉＝120°． [答案]　90°　120° 感悟提升 找两向量的夹角关键是把两向量平 移到一个公共的起点，找到向量的夹角，再利用解三角形求角，注意向量夹角的范围是[0，π]． [跟踪训练1]　在正四面体A－BCD中，E，F分别是AC，AD的中点，则与的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案　C 解析　由题意，可得＝，所以〈，〉＝〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°． 题型二　空间向量数量积的计算　合作研习 　(2024·石家庄润德学校高二月考)如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，E，F分别是AB，AD的中点，计算： (1)·；(2)·；(3)·；(4)·． [解]　(1)·＝·＝||·||·cos〈，〉＝×1×1×cos60°＝． (2)·＝·＝||||·cos〈，〉＝×1×1×cos0°＝． (3)·＝·＝||||·cos〈，〉＝×1×1×cos120°＝－． (4)·＝(＋)·(＋)＝[·(－)＋·(－)＋·＋·]＝×[－·－·＋(－)·＋·]＝×＝－． 感悟提升 空间向量数量积的运算方法 (1)直接利用空间向量数量积的定义并结合运算律进行计算． (2)在几何体中求空间向量的数量积的步骤 [跟踪训练2]　(1)(2024·太原五中高二月考)已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案　C 解析　＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)，＝＋，则·＝·(＋)＋(||2＋2·＋||2)＝1．故选C． (2)(2024·西安中学高二质检)已知四面体ABCD的所有棱长都是2，E是AD的中点，则·＝(　　) A．1 B．－1 C． D．－ 答案　A 解析　如图，＝＋，所以·＝·＋·＝2×2×cos60°＋2×1×cos120°＝1．故选A． 题型三　空间向量数量积的应用　师生共研 　(1)已知空间向量a，b，|a|＝2，|b|＝，a·b＝－2，则〈a，b〉＝________． [解析]　∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，∴cos〈a，b〉＝＝＝－．又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝． [答案]　 (2)已知空间向量a，b，|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝________． [解析]　∵|a＋b|＝24，∴(a＋b)2＝576，则a2＋2a·b＋b2＝576，∴2a·b＝576－132－192＝46．又|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝132＋192－46＝484，∴|a－b|＝22． [答案]　22 (3)(2024·南京高二期中)如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则向量在上的投影为________． [解析]　∵PA⊥平面ABC，则PA⊥BC，·＝(＋＋)·＝·＋·＋·＝0＋6×6×＋62＝54．向量在上的投影为·＝＝． [答案]　 感悟提升 利用空间向量的数量积可以求空间向量的夹角、模以及解决与垂直有关的问题等． [跟踪训练3]　(1)(2024·肇庆高二期末教学质量检测)如图，圆台的高为4，上、下底面半径分别为3，5，M，N分别在上、下底面圆周上，且〈，〉＝120°，则||＝(　　) A． B．5 C． D．5 答案　A 解析　∵O2M⊥O1O2，O1N⊥O1O2，∴·＝0，·＝0，∵·＝3×5×cos60°＝，＝＋＋，∴2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝9＋16＋25＋15＝65，∴||＝． (2)(多选)设a，b，c是任意的非零空间向量，且它们互不共线，则下列结论正确的是(　　) A．(a·b)c－(c·a)b＝0 B．|a|－|b|<|a－b| C．(c·b)a－(c·a)b与c垂直 D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 答案　BCD 解析　对于A，由空间向量数量积的定义可知a·b和c·a是实数，而c与b不共线，故A错误；对于B，由于空间向量a，b不共线，故a，b，a－b构成三角形，故B正确；对于C，因为[(c·b)a－(c·a)b]·c＝(c·b)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，所以(c·b)a－(c·a)b与c垂直，故C正确；由空间向量数量积的运算律可知D正确．故选BCD． 1．对于空间向量a，b，c和实数λ，下列命题为真命题的是(　　) A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b>0，则〈a，b〉是锐角 答案　B 解析　对于A，当a⊥b时，a·b＝0，但向量a和b可能均不为零向量，A为假命题；B为真命题；对于C，当a2＝b2时，只能推得|a|＝|b|，而不能得到a＝b或a＝－b，C为假命题；对于D，当a·b>0时，〈a，b〉也可能为0，D为假命题．故选B． 2．(多选)(2024·南昌二中高二月考)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是(　　) A．与 B．与 C．与 D．与 答案　AD 解析　把两个向量平移到同一个起点，易知与的夹角为45°，与的夹角为135°，与的夹角为135°，与的夹角为45°．故选AD． 3．(2024·张家界高二期中)已知等边三角形ABC的边长为2，则向量在向量上的投影为(　　) A．－ B． C．2 D．2 答案　A 解析　在等边三角形ABC中，因为A＝60°，所以向量在向量上的投影为，所以向量在向量上的投影为－． 4．(2024·合肥八中高二阶段练习)如图，已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是(　　) A．与 B．与 C．与 D．与 答案　A 解析　对于A，PC与BD不一定垂直，即向量，不一定垂直，则向量，的数量积不一定为0，故A符合题意；对于B，由于PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，则PA⊥AD，又AD⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，则有AD⊥平面PAB，而PB⊂平面PAB，则有AD⊥PB，即向量，一定垂直，则向量，的数量积一定为0，故B不符合题意；对于C，由于PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，则PA⊥AB，又AD⊥AB，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，则有AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，则有AB⊥PD，即向量，一定垂直，则向量，的数量积一定为0，故C不符合题意；对于D，由于PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，则PA⊥CD，即向量，一定垂直，则向量，的数量积一定为0，故D不符合题意．故选A． 5．已知a，b，c是空间中两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|＝________． 答案　 解析　因为a，b，c是两两垂直的单位向量，所以|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝a·c＝b·c＝0．所以|a－2b＋3c|＝＝＝． 一、选择题 1．下列命题正确的是(　　) A．|a|a＝a2 B．(a·b)2＝a2·b2 C．a(a·b)＝b·a2 D．|a·b|≤|a||b| 答案　D 解析　根据空间向量数量积的性质可判断出D正确． 2．(2024·新疆昌吉高二期中)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，则 ·＝(　　) A．－9 B．－3 C．3 D．9 答案　C 解析　·＝0，·＝0，·＝0，则·＝(＋＋)·(－)＝－2＋2＝－1＋4＝3．故选C． 3．已知a，b是空间向量，若|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为(　　) A．60° B．30° C．135° D．45° 答案　D 解析　设a与b的夹角为θ．∵|a|＝1，|b|＝，a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝a2－b·a＝12－×1×cosθ＝0，∴cosθ＝．∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°．故选D． 4．(2024·济南一中高二月考)如图，三棱锥A－BCD的各棱长都是a，E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，则a2＝(　　) A．2· B．2· C．2· D．2· 答案　B 解析　由题意，三棱锥A－BCD为正四面体，∵E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，∴EF⊥FG，且EF＝FG＝a．对于A，2·＝2a2·cos120°＝－a2；对于B，2·＝2a2·cos60°＝a2；对于C，2·＝2·a2·cos180°＝－a2；对于D，2·＝2·a2·cos120°＝－a2．故选B． 5．(2024·广元高二阶段练习)已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量，，两两的夹角均为60°，且||＝1，||＝2，||＝3，则||＝(　　) A．5 B．6 C．4 D．8 答案　A 解析　如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量，，两两的夹角均为60°，且||＝1，||＝2，||＝3，∴＝＋＋，∴2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋4＋9＋2×1×2×cos60°＋2×1×3×cos60°＋2×2×3×cos60°＝25，∴||＝5．故选A． 二、填空题 6．(2024·大连二十四中高二期中)已知空间向量a，b，c两两的夹角均为60°，其模均为1，则|a＋2b－3c|＝________． 答案　 解析　单位向量a，b，c两两的夹角均为60°，则a·b＝b·c＝c·a＝1×1×cos60°＝，所以 |a＋2b－3c|＝＝＝＝． 7．(2024·晋城第一中学高二月考)如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，已知AB＝1，AD＝2，AA′＝3，则向量在，，上的投影的数量分别为________． 答案　1，2，3 解析　非零向量a在非零向量b上的投影的数量为|a|·cos〈a，b〉＝|a|·＝，由空间向量的平行六面体法则，得＝＋＋，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，·＝·＝·＝0，因此，向量在上的投影的数量为＝＝||＝1；向量在上的投影的数量为＝＝||＝2；向量在上的投影的数量为＝＝||＝3． 8．已知正四面体O－ABC的棱长为1，则(－)·(＋)＝________，|＋|＝________． 答案　0　 解析　(－)·(＋)＝·(＋)＝·＋·＝1×1×cos60°＋1×1×cos120°＝0．|＋|＝|＋－|＝ ＝ ＝． 三、解答题 9．已知a，b是空间向量，且〈a，b〉＝120°，|a|＝3，|b|＝4．求： (1)a·b；(2)a2与b2；(3)(3a－2b)·(a＋2b)． 解　(1)a·b＝3×4×cos120°＝－6． (2)a2＝|a|2＝9，b2＝|b|2＝16． (3)(3a－2b)·(a＋2b)＝3|a|2－4|b|2＋4a·b＝3×9－4×16＋4×(－6)＝27－64－24＝－61． 10．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝2，AD＝4． 求：(1)·； (2)·； (3)·． 解　如图所示， ||＝2，||＝＝2． (1)连接DC1． ∵＝， ∴〈，〉＝〈，〉＝180°－∠C1DC＝135°， ·＝||||cos135°＝2×2×＝－4． (2)∵四边形CDD1C1为正方形， ∴DC1⊥CD1，∴CD1⊥AB1， ∴·＝0． (3)解法一：∵＝， ∴〈，〉＝〈，〉＝∠D1BC． 在Rt△D1BC中，cos∠D1BC＝＝＝， ∴·＝||||cos∠D1BC＝2×4×＝16． 解法二：∵＝， ∴·＝·． 又在上的投影为， ∴·＝||2＝16，即·＝16． 1．(2024·株洲二中高二质检)柏拉图多面体是柏拉图及其追随者对正多面体进行系统研究后而得名的几何体．如图是棱长均为1的柏拉图多面体EABCDF，P，Q，M，N分别为DE，AB，AD，BF的中点，则·＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案　A 解析　由柏拉图多面体的性质可知，侧面均为等边三角形，四边形ABCD是边长为1的菱形，又△AEC≌△BED，所以AC＝BD，故四边形ABCD为正方形，同理四边形BEDF也为正方形．取AE的中点K，连接PK，KQ，则＝＋＝＋，同理，＝＋，所以·＝·＝·＋·＋·＋·＝×1×1×cos60°＋0＋×1×1＋×1×1×cos60°＝．故选A． 2．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝2，AA1＝2，AD1＝2，∠BAD＝60°，∠BAA1＝45°． 求：(1)·； (2)∠DAA1． 解　(1)·＝||||cos∠BAD＝4×2×cos60°＝4． (2)因为ABCD－A1B1C1D1为平行六面体，所以四边形AA1D1D为平行四边形，所以＝＋， 所以2＝(＋)2＝2＋＋2·＝4＋8＋2·＝20， 得·＝4， 又cos∠DAA1＝＝＝，所以∠DAA1＝． 8 学科网（北京）股份有限公司 $$