1.1.1 第1课时 空间向量的概念及其线性运算-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（人教B版2019）

数学 选择性必修·第一册[RJ] 1．1．1　空间向量及其运算 第1课时　空间向量的概念及其线性运算 (教师独具内容) 课程标准：1．经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念．2．经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程．3．掌握空间向量的线性运算． 教学重点：空间向量的加减、数乘运算． 教学难点：空间几何体中向量的线性运算． 核心素养：1．通过对空间向量概念的学习提升数学抽象素养．2．通过对空间向量线性运算的学习培养直观想象素养和数学运算素养．3．通过运用空间向量的线性运算解决问题培养逻辑推理素养． 知识点一　空间向量的概念 [提醒]　(1)空间向量不能比较大小，模可以比较大小． (2)空间共线向量不一定具备传递性，比如当其中一个向量为0时，不具备传递性． (3)空间中任意两个向量都是共面向量． 知识点二　空间向量的加法运算 (1)运算法则 ①三角形法则：给定两个平面向量a，b，在该平面内任取一点A，作＝a，＝b，作出向量，则是向量a与b的和(也称为向量a与b的和向量)，向量a与b的和向量记作a＋b，因此＋＝．当平面向量a与b不共线时，a，b，a＋b正好能构成一个三角形，这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则．因为空间中的任意两个向量都共面，因此向量加法的三角形法则在空间中也成立． ②平行四边形法则：任意给定两个不共线的向量a，b，在空间中任取一点A，作＝a，＝b，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量，则＝＋． (2)运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a． 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． (3)有限个空间向量的和：为了得到有限个空间向量的和，只需将这些空间向量依次首尾相接，那么以第一个向量的始点为始点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和向量．例如，＋＋＝． 结论：三个不共面的向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的体对角线所表示的向量． 知识点三　空间向量的减法运算 (1)给定一个空间向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量． (2)三角形法则：在空间中任取一点O，作＝a，＝b，作出向量，则向量就是向量a与b的差(也称为向量a与b的差向量)，即－＝．当a与b不共线时，向量a，b，a－b正好能构成一个三角形． (3)转化为加法运算：a－b＝a＋(－b)． [提醒]　求向量和时，可以首尾相接(若为封闭图形，则和为0)，也可共起点；求向量差时，可以共起点． 知识点四　空间向量的数乘运算 (1)数乘向量的定义：给定一个实数λ与任意一个空间向量a，规定它们的乘积是一个空间向量，记作λa，上述实数λ与空间向量a相乘的运算简称为数乘向量． 当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向： ①当λ>0时，与a的方向相同； ②当λ<0时，与a的方向相反． 当λ＝0或a＝0时，λa＝0． (2)向量平行：如果存在实数λ，使得b＝λa，则b∥a． (3)三点共线：如果存在实数λ，使得＝λ，则与平行且有公共点A，从而A，B，C三点一定共线．特别地，当λ＝时，B为线段AC的中点． (4)运算律：λa＋μa＝(λ＋μ)a(λ，μ∈R)，λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)． 空间向量的加法、减法与数乘运算，以及它们的混合运算，统称为空间向量的线性运算． [点拨]　(1)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度． (2)向量λa与向量a一定是共线向量． 1．(空间向量的概念)在单位正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量与是________向量，向量与是________向量． 答案　相等　相反 2．(空间向量的加减运算)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＋＋＝________，－＋＝________． 答案　　 3．(空间向量的数乘运算)化简：5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝________． 答案　3a－2b 题型一　空间向量的概念　自主研习 　下列说法正确的是(　　) A．若两个空间向量共线，则这两个空间向量的方向相同或相反 B．将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 C．两个相等的空间向量，若它们的起点相同，则终点必相同 D．若两个空间向量的模相等，则这两个空间向量相等 [解析]　对于A，零向量与任意向量共线，但零向量的方向是任意的，故A错误；对于B，将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个球面，故B错误；对于C，根据空间向量相等的定义可知，两个相等向量若起点相同，终点也必须相同，这样才能保证它们的模相等，方向相同，故C正确；对于D，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，故D错误．故选C． [答案]　C 感悟提升 判断空间向量有关概念问题的策略 [跟踪训练1]　(多选)下列命题为真命题的是(　　) A．若空间向量a，b满足|a|>|b|，且a，b同向，则a>b B．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝ C．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p D．空间中，a∥b，b∥c，则a∥c 答案　BC 解析　A为假命题，向量不能比较大小；B为真命题，与的方向相同，模也相等，故＝；C为真命题，向量的相等满足传递性；D为假命题，平行向量不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行．故选BC． 题型二　空间向量的加减运算　合作研习 　根据如图的平行六面体ABCD－A′B′C′D′，化简下列各式： (1)＋－＋－； (2)－＋－． [解]　(1)在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，因为＝，＝，所以＋－＋－＝＋(＋)－(＋)＝＋0－0＝． (2)在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，因为＝， 所以－＋－＝(－)＋＝． 感悟提升 空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法、减法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果． [跟踪训练2]　如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，BD的中点，请化简下列运算，并在图中标出表示化简结果的向量． (1)－＋； (2)＋－． 解　(1)－＋＝＋＋＝． (2)＋－＝＋＋＝＋＋＝＋＋＝． 作出向量如图所示． 题型三　空间向量的数乘运算　师生共研 　已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，M是体对角线AC1的中点，化简下列表达式： (1)－； (2)＋＋； (3)＋－． [解]　(1)－＝－＝． (2)＋＋＝＋＝． (3)＋－＝(＋)－＝－＝＋＝＋＝＝． 感悟提升 利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． [跟踪训练3]　如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下向量： (1)；(2)＋． 解　(1)∵P是C1D1的中点， ∴＝＋＋ ＝a＋＋＝a＋c＋ ＝a＋c＋b． (2)∵M是AA1的中点， ∴＝＋ ＝－＋＝－a＋ ＝a＋b＋c． 又N是BC的中点， ∴＝＋＝＋ ＝＋＝c＋a， ∴＋＝＋ ＝a＋b＋c． 1．(2024·福州外国语学校高二月考)关于空间向量，下列四个结论正确的是(　　) A．方向相反的两个向量是相反向量 B．任意两个空间向量总是共面的 C．零向量没有方向 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 答案　B 解析　对于A，方向相反长度相等的向量是相反向量，故A错误；对于B，空间中，任意两个向量是共面的，故B正确；对于C，零向量的方向是任意的，故C错误；对于D，两个不相等的向量模长可以相等，此时方向不相同，即为不相等的向量，故D错误．故选B． 2．已知空间向量a，b，c，化简(a－2b－3c)＋(－a＋3b＋3c)的结果为(　　) A．0 B．b C．－b D．－a 答案　B 解析　(a－2b－3c)＋(－a＋3b＋3c)＝(1－1)a＋(－2＋3)b＋(－3＋3)c＝b．故选B． 3．(2024·贵阳高二阶段测试)如图所示，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且M为OA的中点，N为BC的中点，则＝(　　) A．－a＋b＋c B．a＋b＋c C．a＋b－c D．a－b＋c 答案　A 解析　由题意，得＝－＝(＋)－＝－a＋b＋c．故选A． 4．(多选)(2024·聊城一中高二校考)如图正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量相等的是(　　) A．与 B．与 C．与 D．与 答案　CD 解析　由正四棱柱可知，对于A，||＝||，但与方向相反，故A不符合题意；对于B，||＝||，但与方向不同，故B不符合题意；对于C，||＝||，且与方向相同，故C符合题意；对于D，||＝||，且与方向相同，故D符合题意．故选CD． 5．(2024·广州六中高二阶段测试)在四面体OABC中，＋－＝________． 答案　 解析　＋－＝＋＋＝＋＝． 一、选择题 1．下列命题中正确的有(　　) ①空间向量就是空间中一条有向线段；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD是平行四边形的充要条件；③若a，b是空间两个向量，且a≠b，则a与b的方向不同；④若与是空间两个向量，则＝的充要条件是A与C重合，B与D重合． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案　A 解析　①错误，有向线段是表示向量的一种图形工具；②正确，由＝知AB∥DC或A，B，C，D四点共线，||＝||，因此在A，B，C，D四点不共线的前提下，＝⇔四边形ABCD是平行四边形；③错误，不相等的向量方向可以相同；④错误． 2．(2024·广安高二期中)直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A．－a＋b－c B．a－b＋c C．－a＋b＋c D．a＋b－c 答案　A 解析　根据空间向量的加减法运算法则，得＝＋＋＝－＋＝－－＋＝－a－c＋b．故选A． 3．(2024·娄底一中高二阶段测试)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与B1相等的向量是(　　) A．－a＋b＋c B．a＋b＋c C．a－b＋c D．－a－b＋c 答案　A 解析　由于E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，所以四边形EFGH为平行四边形，其中＝，且＝，故＋＋－＝＋＋＋＝0，＋－＋＝＋＋＋＝＋＝0，即B，C正确，而A，D都不成立．故选AD． 4．(多选)在空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则下列各式中不成立的是(　　) A．＋－＋＝0 B．＋＋－＝0 C．＋－＋＝0 D．－＋＋＝0 答案　AD 解析　由于E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，所以四边形EFGH为平行四边形，其中＝，且＝，故＋＋－＝＋＋＋＝0，＋－＋＝＋＋＋＝＋＝0，即B，C正确，而A，D都不成立．故选AD． 5．(多选)(2024·长沙长郡中学高二月考)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中(　　) A．单位向量有8个 B．与相等的向量有3个 C．向量的相反向量有4个 D．向量，，共面 答案　ABC 解析　由题可知单位向量有，，，，，，，，共8个，故A正确；与相等的向量有，，，共3个，故B正确；向量的相反向量有，，，，共4个，故C正确；因为＝，向量，，有一个公共点A1，而点A1，B1，D1都在平面A1B1C1D1内，点A在平面A1B1C1D1外，所以向量，，不共面，故D错误．故选ABC． 二、填空题 6．已知空间向量a，b，c互相平行，其中a，c同向，a，b反向，|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，则|a＋b＋c|＝________． 答案　2 解析　因为a，c同向，a，b反向，所以|a＋b＋c|＝|a|－|b|＋|c|＝3－2＋1＝2． 7．(2024·郑州一中高二阶段练习)在四面体O－ABC中，D为BC的中点，＝a，＝b，＝c，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)． 答案　a＋b＋c 解析　 ∵D为BC的中点，＝a，＝b，＝c，E为AD的中点，∴＝(＋)＝＋＝＋＋＝a＋b＋c． 8．(2024·安庆二中高二质检)在三棱锥A－BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则＋－－化简的结果为________． 答案　0 解析　如图，延长DE交BC于点F，连接AF，则F为BC的中点，且＝，因为＋＝，＋＝＋＝，所以＋－－＝0． 三、解答题 9．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点，化简下列各式： (1)＋； (2)＋＋； (3)＋－． 解　(1)＋＝． (2)＋＋＝＋＋＝． (3)＋－＝＋＋＝0． 10．(2024·襄阳六中高二质检)如图，长方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别是A′D′，BD的中点，＝a，＝b，＝c，将下列两组中相等的向量连线． a－b－c b＋c a－c a＋b－c 解　长方体ABCD－A′B′C′D′中， a－b－c＝(－)－＝－＝－＝， b＋c＝＋＝＋＝＋＝， ＝＋＋＝＋＋＝(＋)－＝－＝a－c， a＋b－c＝＋－＝－＝， 故两组中相等的向量连线如图． 1．(2024·聊城三中高二月考)光岳楼，亦称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，始建于公元1374年，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇江楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼．其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其上缘边长与底边边长之比约为，则＋＋＝________． 答案　 解析　如图，延长EA，FB，GC，HD相交于一点O，则＝，＝，∴＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝＋＝． 2．空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别在边CB，CD上，且＝，＝．证明：四边形EFGH为梯形． 证明　根据题意， ∵E，H分别是AB，AD的中点， ∴＝．① ∵＝－，＝－， 又＝，＝， ∴＝(－)＝．② 由①②得，＝． ∴∥，又||≠||，且点F不在直线EH上， ∴EH∥FG且EH≠FG． ∴四边形EFGH为梯形． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$