1.1.1 第1课时 空间向量的概念及其线性运算-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案课件PPT（人教B版2019）

第一章 空间向量与 立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其运算 第1课时　空间向量的概念及其线性运算 (教师独具内容) 课程标准：1．经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念．2．经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程．3．掌握空间向量的线性运算． 教学重点：空间向量的加减、数乘运算． 教学难点：空间几何体中向量的线性运算． 核心素养：1．通过对空间向量概念的学习提升数学抽象素养．2．通过对空间向量线性运算的学习培养直观想象素养和数学运算素养．3．通过运用空间向量的线性运算解决问题培养逻辑推理素养． 目录 核心概念掌握 核心素养形成 课后课时精练 随堂水平达标 核心概念掌握 目录 大小 方向 大小 大小相等、方向相同 始点和终点相同 0 0 模等于1 相同或者相反 平行 同一平面内 * 知识点一　空间向量的概念 eq \o(0,\s\up16(→)) 目录 * [提醒]　(1)空间向量不能比较大小，模可以比较大小． (2)空间共线向量不一定具备传递性，比如当其中一个向量为0时，不具备传递性． (3)空间中任意两个向量都是共面向量． 目录 * 知识点二　空间向量的加法运算 (1)运算法则 ①三角形法则：给定两个平面向量a，b，在该平面内任取一点A，作eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(BC,\s\up16(→))＝b，作出向量eq \o(AC,\s\up16(→))，则eq \x(\s\up1(01))_____是向量a与b的和(也称eq \x(\s\up1(02))______为向量a与b的和向量)，向量a与b的和向量记作a＋b，因此eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \x(\s\up1(03))______．当平面向量a与b不共线时，a，b，a＋b正好能构成一个三角形，这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则．因为空间中的任意两个向量都共面，因此向量加法的三角形法则在空间中也成立． eq \o(AC,\s\up16(→)) eq \o(AC,\s\up16(→)) eq \o(AC,\s\up16(→)) 目录 * ②平行四边形法则：任意给定两个不共线的向量a，b，在空间中任取一点A，作eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(AC,\s\up16(→))＝b，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量eq \o(AD,\s\up16(→))，则eq \x(\s\up1(04))______＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))． (2)运算律 加法交换律：eq \x(\s\up1(05))________________________． 加法结合律：eq \x(\s\up1(06))______________________________． eq \o(AD,\s\up16(→)) a＋b＝b＋a (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 目录 首尾相接 第一个向量 最后一个向量 体对角线 * (3)有限个空间向量的和：为了得到有限个空间向量的和，只需将这些空间向量依次eq \x(\s\up1(07))_____________，那么以eq \x(\s\up1(08))____________的始点为始点，eq \x(\s\up1(09))_____________的终点为终点的向量，就是这些向量的和向量．例如，eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CO,\s\up16(→))＝eq \x(\s\up1(10))______． 结论：三个不共面的向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的eq \x(\s\up1(11))__________________所表示的向量． eq \o(AO,\s\up16(→)) 目录 方向相反 大小相等 * 知识点三　空间向量的减法运算 (1)给定一个空间向量，我们把与这个向量eq \x(\s\up1(01))____________、eq \x(\s\up1(02))____________的向量称为它的相反向量． (2)三角形法则：在空间中任取一点O，作eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，作出向量eq \o(BA,\s\up16(→))，则向量eq \x(\s\up1(03))______就是向量a与b的差(也称eq \x(\s\up1(04))______为向量a与b的差向量)，即eq \o(OA,\s\up16(→))－eq \o(OB,\s\up16(→))＝eq \x(\s\up1(05))_________．当a与b不共线时，向量a，b，a－b正好能构成一个三角形． (3)转化为加法运算：a－b＝a＋eq \x(\s\up1(06))_______________． [提醒]　求向量和时，可以首尾相接(若为封闭图形，则和为0)，也可共起点；求向量差时，可以共起点． eq \o(BA,\s\up16(→)) eq \o(BA,\s\up16(→)) eq \o(BA,\s\up16(→)) (－b) 目录 相同 相反 0 * 知识点四　空间向量的数乘运算 (1)数乘向量的定义：给定一个实数λ与任意一个空间向量a，规定它们的乘积是一个空间向量，记作eq \x(\s\up1(01))______，上述实数λ与空间向量a相乘的运算简称为数乘向量． 当λ≠0且a≠0时，λa的模为eq \x(\s\up1(02))________，而且λa的方向： ①当λ>0时，与a的方向eq \x(\s\up1(03))__________； ②当λ<0时，与a的方向eq \x(\s\up1(04))________． 当λ＝0或a＝0时，λa＝eq \x(\s\up1(05))______． (2)向量平行：如果存在实数λ，使得eq \x(\s\up1(06))__________，则b∥a． λa |λ||a| b＝λa 目录 * (3)三点共线：如果存在实数λ，使得eq \x(\s\up1(07))_________________，则eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(AC,\s\up16(→))平行且有公共点A，从而A，B，C三点一定共线．特别地，当λ＝eq \x(\s\up1(08))______时，B为线段AC的中点． (4)运算律：λa＋μa＝eq \x(\s\up1(09))____________(λ，μ∈R)，λ(a＋b)＝eq \x(\s\up1(10))_______________ (λ∈R)． 空间向量的加法、减法与数乘运算，以及它们的混合运算，统称为空间向量的eq \x(\s\up1(11))_______________运算． [点拨]　(1)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度． (2)向量λa与向量a一定是共线向量． eq \o(AB,\s\up16(→))＝λeq \o(AC,\s\up16(→)) eq \f(1,2) (λ＋μ)a λa＋λb 线性 目录 答案 * 1．(空间向量的概念)在单位正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量eq \o(AA1,\s\up16(→))与eq \o(CC1,\s\up16(→))是________向量，向量eq \o(AC,\s\up16(→))与eq \o(C1A1,\s\up16(→))是________向量． 2．(空间向量的加减运算)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(AA1,\s\up16(→))＝________，eq \o(DD1,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＝________． 3．(空间向量的数乘运算)化简：5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝________． 相等 相反 eq \o(AC1,\s\up16(→)) eq \o(BD1,\s\up16(→)) 3a－2b 核心素养形成 目录 答案 * 题型一　空间向量的概念　自主研习 A．若两个空间向量共线，则这两个空间向量的方向相同或相反 B．将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 C．两个相等的空间向量，若它们的起点相同，则终点必相同 D．若两个空间向量的模相等，则这两个空间向量相等 目录 解析 * 解析　对于A，零向量与任意向量共线，但零向量的方向是任意的，故A错误；对于B，将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个球面，故B错误；对于C，根据空间向量相等的定义可知，两个相等向量若起点相同，终点也必须相同，这样才能保证它们的模相等，方向相同，故C正确；对于D，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，故D错误．故选C． 目录 * 感悟提升 判断空间向量有关概念问题的策略 目录 答案 解析 * [跟踪训练1]　(多选)下列命题为真命题的是(　　) A．若空间向量a，b满足|a|>|b|，且a，b同向，则a>b B．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(A1C1,\s\up16(→)) C．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p D．空间中，a∥b，b∥c，则a∥c 解析　A为假命题，向量不能比较大小；B为真命题，eq \o(AC,\s\up16(→))与eq \o(A1C1,\s\up16(→))的方向相同，模也相等，故eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(A1C1,\s\up16(→))；C为真命题，向量的相等满足传递性；D为假命题，平行向量不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行．故选BC． 目录 解 * 解　(1)在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，因为eq \o(BB′,\s\up16(→))＝eq \o(DD′,\s\up16(→))，eq \o(A′D′,\s\up16(→))＝eq \o(BC,\s\up16(→))，所以eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BB′,\s\up16(→))－eq \o(D′A′,\s\up16(→))＋eq \o(D′D,\s\up16(→))－eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋(eq \o(BB′,\s\up16(→))＋eq \o(D′D,\s\up16(→)))－(eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(D′A′,\s\up16(→)))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋0－0＝eq \o(AB,\s\up16(→))． (2)在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，因为eq \o(CC′,\s\up16(→))＝eq \o(AA′,\s\up16(→))，所以eq \o(AC′,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AA′,\s\up16(→))＝(eq \o(CC′,\s\up16(→))－eq \o(AA′,\s\up16(→)))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))． 题型二　空间向量的加减运算　合作研习 (1)eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BB′,\s\up16(→))－eq \o(D′A′,\s\up16(→))＋eq \o(D′D,\s\up16(→))－eq \o(BC,\s\up16(→))； (2)eq \o(AC′,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AA′,\s\up16(→))． 目录 * 感悟提升 空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法、减法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果． 目录 解 * [跟踪训练2]　如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，BD的中点，请化简下列运算，并在图中标出表示化简结果的向量． (1)eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(CB,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))； (2)eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(GD,\s\up16(→))－eq \o(CE,\s\up16(→))． 解　(1)eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(CB,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))． (2)eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(GD,\s\up16(→))－eq \o(CE,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(EF,\s\up16(→))＋eq \o(EC,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(EF,\s\up16(→))＋eq \o(BE,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BE,\s\up16(→))＋eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \o(AF,\s\up16(→))．作出向量如图所示． 目录 * 题型三　空间向量的数乘运算　师生共研 (1)eq \o(AA1,\s\up16(→))－eq \o(CB,\s\up16(→))； (2)eq \o(AB1,\s\up16(→))＋eq \o(B1C1,\s\up16(→))＋eq \o(C1D1,\s\up16(→))； (3)eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(A1A,\s\up16(→))． 目录 解 * 解　(1)eq \o(AA1,\s\up16(→))－eq \o(CB,\s\up16(→))＝eq \o(CC1,\s\up16(→))－eq \o(CB,\s\up16(→))＝eq \o(BC1,\s\up16(→))． (2)eq \o(AB1,\s\up16(→))＋eq \o(B1C1,\s\up16(→))＋eq \o(C1D1,\s\up16(→))＝eq \o(AC1,\s\up16(→))＋eq \o(C1D1,\s\up16(→))＝eq \o(AD1,\s\up16(→))． (3)eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(A1A,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→)))－eq \f(1,2) eq \o(A1A,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(A1A,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AA1,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(CC1,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AC1,\s\up16(→))＝eq \o(AM,\s\up16(→))． 目录 * 感悟提升 利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． 目录 * [跟踪训练3]　如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设eq \o(AA1,\s\up16(→))＝a，eq \o(AB,\s\up16(→))＝b，eq \o(AD,\s\up16(→))＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下向量： (1)eq \o(AP,\s\up16(→))；(2)eq \o(MP,\s\up16(→))＋eq \o(NC1,\s\up16(→))． 目录 解 * 解　(1)∵P是C1D1的中点， ∴eq \o(AP,\s\up16(→))＝eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \o(A1D1,\s\up16(→))＋eq \o(D1P,\s\up16(→)) ＝a＋eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(D1C1,\s\up16(→))＝a＋c＋eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝a＋c＋eq \f(1,2)b． (2)∵M是AA1的中点， ∴eq \o(MP,\s\up16(→))＝eq \o(MA,\s\up16(→))＋eq \o(AP,\s\up16(→)) 目录 解 * ＝－eq \f(1,2) eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \o(AP,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2)a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c＋\f(1,2)b)) ＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c． 又N是BC的中点， ∴eq \o(NC1,\s\up16(→))＝eq \o(NC,\s\up16(→))＋eq \o(CC1,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(AA1,\s\up16(→)) ＝eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(AA1,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)c＋a， ∴eq \o(MP,\s\up16(→))＋eq \o(NC1,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋c))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c＋a)) ＝eq \f(3,2)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(3,2)c． 随堂水平达标 目录 1 2 3 4 5 答案 解析 * 1．(2024·福州外国语学校高二月考)关于空间向量，下列四个结论正确的是(　　) A．方向相反的两个向量是相反向量 B．任意两个空间向量总是共面的 C．零向量没有方向 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 解析　对于A，方向相反长度相等的向量是相反向量，故A错误；对于B，空间中，任意两个向量是共面的，故B正确；对于C，零向量的方向是任意的，故C错误；对于D，两个不相等的向量模长可以相等，此时方向不相同，即为不相等的向量，故D错误．故选B． 目录 1 2 3 4 5 答案 解析 * 2．已知空间向量a，b，c，化简(a－2b－3c)＋(－a＋3b＋3c)的结果为(　　) A．0 B．b C．－b D．－a 解析　(a－2b－3c)＋(－a＋3b＋3c)＝(1－1)a＋(－2＋3)b＋(－3＋3)c＝b．故选B． 目录 1 2 3 4 5 答案 解析 * 3．(2024·贵阳高二阶段测试)如图所示，空间四边形OABC中，eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，eq \o(OC,\s\up16(→))＝c，点M在OA上，且M为OA的中点，N为BC的中点，则eq \o(MN,\s\up16(→))＝(　　) A．－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c B．eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c C．eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c D．eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c 解析　由题意，得eq \o(MN,\s\up16(→))＝eq \o(ON,\s\up16(→))－eq \o(OM,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→)))－eq \f(1,2) eq \o(OA,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c．故选A． 目录 1 2 3 4 5 答案 * 4．(多选)(2024·聊城一中高二校考)如图正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量相等的是(　　) A．eq \o(DO,\s\up16(→))与eq \o(BO,\s\up16(→)) B．eq \o(AC,\s\up16(→))与eq \o(DB,\s\up16(→)) C．eq \o(AD,\s\up16(→))与eq \o(B1C1,\s\up16(→)) D．eq \o(A1B,\s\up16(→))与eq \o(D1C,\s\up16(→)) 目录 1 2 3 4 5 解析 * 解析　由正四棱柱可知，对于A，|eq \o(DO,\s\up16(→))|＝|eq \o(BO,\s\up16(→))|，但eq \o(DO,\s\up16(→))与eq \o(BO,\s\up16(→))方向相反，故A不符合题意；对于B，|eq \o(AC,\s\up16(→))|＝|eq \o(DB,\s\up16(→))|，但eq \o(AC,\s\up16(→))与eq \o(DB,\s\up16(→))方向不同，故B不符合题意；对于C，|eq \o(AD,\s\up16(→))|＝ |eq \o(B1C1,\s\up16(→))|，且eq \o(AD,\s\up16(→))与eq \o(B1C1,\s\up16(→))方向相同，故C符合题意；对于D，|eq \o(A1B,\s\up16(→))|＝|eq \o(D1C,\s\up16(→))|，且eq \o(A1B,\s\up16(→))与eq \o(D1C,\s\up16(→))方向相同，故D符合题意．故选CD． 目录 1 2 3 4 5 答案 解析 * 5．(2024·广州六中高二阶段测试)在四面体OABC中，eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(CB,\s\up16(→))＝________． eq \o(OC,\s\up16(→)) 解析　eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(CB,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(OC,\s\up16(→))． 课后课时精练 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 * 一、选择题 1．下列命题中正确的有(　　) ①空间向量就是空间中一条有向线段；②若A，B，C，D是不共线的四点，则eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(DC,\s\up16(→))是四边形ABCD是平行四边形的充要条件；③若a，b是空间两个向量，且a≠b，则a与b的方向不同；④若eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(CD,\s\up16(→))是空间两个向量，则eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(CD,\s\up16(→))的充要条件是A与C重合，B与D重合． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 * 解析　①错误，有向线段是表示向量的一种图形工具；②正确，由eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(DC,\s\up16(→))知AB∥DC或A，B，C，D四点共线，|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝|eq \o(DC,\s\up16(→))|，因此在A，B，C，D四点不共线的前提下，eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(DC,\s\up16(→))⇔四边形ABCD是平行四边形；③错误，不相等的向量方向可以相同；④错误． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 2．(2024·广安高二期中)直三棱柱ABC－A1B1C1中，若eq \o(CA,\s\up16(→))＝a，eq \o(CB,\s\up16(→))＝b，eq \o(CC1,\s\up16(→))＝c，则eq \o(A1B,\s\up16(→))＝(　　) A．－a＋b－c B．a－b＋c C．－a＋b＋c D．a＋b－c 解析　根据空间向量的加减法运算法则，得eq \o(A1B,\s\up16(→))＝eq \o(A1C1,\s\up16(→))＋eq \o(C1C,\s\up16(→))＋eq \o(CB,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(CC1,\s\up16(→))＋eq \o(CB,\s\up16(→))＝－eq \o(CA,\s\up16(→))－eq \o(CC1,\s\up16(→))＋eq \o(CB,\s\up16(→))＝－a－c＋b．故选A． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 * 3．(2024·娄底一中高二阶段测试)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若eq \o(A1B1,\s\up16(→))＝a，eq \o(A1D1,\s\up16(→))＝b，eq \o(A1A,\s\up16(→))＝c，则下列向量中与B1eq \o(M,\s\up16(→))相等的向量是(　　) A．－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c B．eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c C．eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c D．－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 * 解析　因为在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，eq \o(BM,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2)(eq \o(A1D1,\s\up16(→))－eq \o(A1B1,\s\up16(→)))，所以eq \o(B1M,\s\up16(→))＝eq \o(B1B,\s\up16(→))＋eq \o(BM,\s\up16(→))＝eq \o(A1A,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(A1D1,\s\up16(→))－eq \o(A1B1,\s\up16(→)))＝－eq \f(1,2) eq \o(A1B1,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(A1D1,\s\up16(→))＋eq \o(A1A,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c．故选A． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 * 4．(多选)在空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则下列各式中不成立的是(　　) A．eq \o(EB,\s\up16(→))＋eq \o(BF,\s\up16(→))－eq \o(EH,\s\up16(→))＋eq \o(GH,\s\up16(→))＝0 B．eq \o(EB,\s\up16(→))＋eq \o(FC,\s\up16(→))＋eq \o(EH,\s\up16(→))－eq \o(EG,\s\up16(→))＝0 C．eq \o(EF,\s\up16(→))＋eq \o(FG,\s\up16(→))－eq \o(EH,\s\up16(→))＋eq \o(GH,\s\up16(→))＝0 D．eq \o(EF,\s\up16(→))－eq \o(FB,\s\up16(→))＋eq \o(CG,\s\up16(→))＋eq \o(GH,\s\up16(→))＝0 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 * 解析　由于E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，所以四边形EFGH为平行四边形，其中eq \o(EH,\s\up16(→))＝eq \o(FG,\s\up16(→))，且eq \o(FC,\s\up16(→))＝eq \o(BF,\s\up16(→))，故eq \o(EB,\s\up16(→))＋eq \o(FC,\s\up16(→))＋eq \o(EH,\s\up16(→))－eq \o(EG,\s\up16(→))＝eq \o(EB,\s\up16(→))＋eq \o(BF,\s\up16(→))＋eq \o(FG,\s\up16(→))＋eq \o(GE,\s\up16(→))＝0，eq \o(EF,\s\up16(→))＋eq \o(FG,\s\up16(→))－eq \o(EH,\s\up16(→))＋eq \o(GH,\s\up16(→))＝eq \o(EF,\s\up16(→))＋eq \o(FG,\s\up16(→))＋eq \o(HE,\s\up16(→))＋eq \o(GH,\s\up16(→))＝eq \o(EG,\s\up16(→))＋eq \o(GE,\s\up16(→))＝0，即B，C正确，而A，D都不成立．故选AD． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 * 5．(多选)(2024·长沙长郡中学高二月考)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中(　　) A．单位向量有8个 B．与eq \o(AB,\s\up16(→))相等的向量有3个 C．向量eq \o(AA1,\s\up16(→))的相反向量有4个 D．向量eq \o(A1D1,\s\up16(→))，eq \o(A1B1,\s\up16(→))，eq \o(CC1,\s\up16(→))共面 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 * 解析　由题可知单位向量有eq \o(AA1,\s\up16(→))，eq \o(A1A,\s\up16(→))，eq \o(BB1,\s\up16(→))，eq \o(B1B,\s\up16(→))，eq \o(CC1,\s\up16(→))，eq \o(C1C,\s\up16(→))，eq \o(DD1,\s\up16(→))，eq \o(D1D,\s\up16(→))，共8个，故A正确；与eq \o(AB,\s\up16(→))相等的向量有eq \o(A1B1,\s\up16(→))，eq \o(D1C1,\s\up16(→))，eq \o(DC,\s\up16(→))，共3个，故B正确；向量eq \o(AA1,\s\up16(→))的相反向量有eq \o(A1A,\s\up16(→))，eq \o(B1B,\s\up16(→))，eq \o(C1C,\s\up16(→))，eq \o(D1D,\s\up16(→))，共4个，故C正确；因为eq \o(CC1,\s\up16(→))＝eq \o(AA1,\s\up16(→))，向量eq \o(A1D1,\s\up16(→))，eq \o(A1B1,\s\up16(→))，eq \o(AA1,\s\up16(→))有一个公共点A1，而点A1，B1，D1都在平面A1B1C1D1内，点A在平面A1B1C1D1外，所以向量eq \o(A1D1,\s\up16(→))，eq \o(A1B1,\s\up16(→))，eq \o(CC1,\s\up16(→))不共面，故D错误．故选ABC． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 答案 解析 * 二、填空题 6．已知空间向量a，b，c互相平行，其中a，c同向，a，b反向，|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，则|a＋b＋c|＝________． 解析　因为a，c同向，a，b反向，所以|a＋b＋c|＝|a|－|b|＋|c|＝3－2＋1＝2． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 7．(2024·郑州一中高二阶段练习)在四面体O－ABC中，D为BC的中点，eq \o(OA,\s\up16(→))＝ a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，eq \o(OC,\s\up16(→))＝c，E为AD的中点，则eq \o(OE,\s\up16(→))＝______________(用a，b，c表示)． 解析　∵D为BC的中点，eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，eq \o(OC,\s\up16(→))＝c，E为AD的中点，∴eq \o(OE,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OD,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2) eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)（\o(OB,\s\up16(→))＋\o(OC,\s\up16(→))）))＝eq \f(1,2) eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \f(1,4) eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \f(1,4) eq \o(OC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c． eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 答案 解析 * 8．(2024·安庆二中高二质检)在三棱锥A－BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up16(→))－eq \f(3,2) eq \o(DE,\s\up16(→))－eq \o(AD,\s\up16(→))化简的结果为________． 解析　如图，延长DE交BC于点F，连接AF，则F为BC的中点，且eq \o(DE,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(DF,\s\up16(→))，因为eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(AF,\s\up16(→))，eq \f(3,2) eq \o(DE,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(DF,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(AF,\s\up16(→))，所以eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up16(→))－eq \f(3,2) eq \o(DE,\s\up16(→))－eq \o(AD,\s\up16(→))＝0． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 * 三、解答题 9．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点，化简下列各式： (1)eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BA1,\s\up16(→))； (2)eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(B1C1,\s\up16(→))＋eq \o(C1C,\s\up16(→))； (3)eq \f(1,2) eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AM,\s\up16(→))． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解 * 解　(1)eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BA1,\s\up16(→))＝eq \o(AA1,\s\up16(→))． (2)eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(B1C1,\s\up16(→))＋eq \o(C1C,\s\up16(→))＝eq \o(A1B1,\s\up16(→))＋eq \o(B1C1,\s\up16(→))＋eq \o(C1C,\s\up16(→))＝eq \o(A1C,\s\up16(→))． (3)eq \f(1,2) eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AM,\s\up16(→))＝eq \o(BM,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(MA,\s\up16(→))＝0． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 * 10．(2024·襄阳六中高二质检)如图，长方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别是A′D′，BD的中点，eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(AD,\s\up16(→))＝b，eq \o(AA′,\s\up16(→))＝c，将下列两组中相等的向量连线． eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b－c eq \o(A′C,\s\up16(→)) eq \f(1,2)b＋c eq \o(AE,\s\up16(→)) eq \f(1,2)a－c eq \o(D′F,\s\up16(→)) a＋b－c eq \o(EF,\s\up16(→)) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解 * 解　长方体ABCD－A′B′C′D′中， eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b－c＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AD,\s\up16(→)))－eq \o(AA′,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(DB,\s\up16(→))－eq \o(AA′,\s\up16(→))＝eq \o(DF,\s\up16(→))－eq \o(DD′,\s\up16(→))＝eq \o(D′F,\s\up16(→))， eq \f(1,2)b＋c＝eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(AA′,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(A′D′,\s\up16(→))＋eq \o(AA′,\s\up16(→))＝eq \o(A′E,\s\up16(→))＋eq \o(AA′,\s\up16(→))＝eq \o(AE,\s\up16(→))， eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \o(ED′,\s\up16(→))＋eq \o(D′D,\s\up16(→))＋eq \o(DF,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(A′D′,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(DB,\s\up16(→))＋eq \o(A′A,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(DB,\s\up16(→)))－eq \o(AA′,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AA′,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)a－c， a＋b－c＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AA′,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AA′,\s\up16(→))＝eq \o(A′C,\s\up16(→))， 故两组中相等的向量连线如图． 目录 1 2 答案 * 1．(2024·聊城三中高二月考)光岳楼，亦称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，始建于公元1374年，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇江楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼．其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其上缘边长与底边边长之比约为eq \f(9,10)，则eq \o(HE,\s\up16(→))＋eq \o(FB,\s\up16(→))＋eq \f(1,9) eq \o(DC,\s\up16(→))＝________． eq \o(HA,\s\up16(→)) 目录 1 2 解析 * 解析　如图，延长EA，FB，GC，HD相交于一点O，则eq \f(FB,FO)＝eq \f(1,10)，eq \f(DC,HG)＝eq \f(9,10)，∴eq \o(HE,\s\up16(→))＋eq \o(FB,\s\up16(→))＋eq \f(1,9) eq \o(DC,\s\up16(→))＝eq \o(HE,\s\up16(→))＋eq \f(1,10) eq \o(FO,\s\up16(→))＋eq \f(1,10) eq \o(HG,\s\up16(→))＝eq \o(HE,\s\up16(→))＋eq \f(1,10) eq \o(FO,\s\up16(→))＋eq \f(1,10) eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \o(HE,\s\up16(→))＋eq \f(1,10) eq \o(EO,\s\up16(→))＝eq \o(HE,\s\up16(→))＋eq \o(EA,\s\up16(→))＝eq \o(HA,\s\up16(→))． 目录 1 2 * 2．空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别在边CB，CD上，且eq \o(CF,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(CB,\s\up16(→))，eq \o(CG,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(CD,\s\up16(→))．证明：四边形EFGH为梯形． 目录 1 2 证明 * 证明　根据题意， ∵E，H分别是AB，AD的中点， ∴eq \o(EH,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up16(→))．① ∵eq \o(FG,\s\up16(→))＝eq \o(CG,\s\up16(→))－eq \o(CF,\s\up16(→))，eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \o(CD,\s\up16(→))－eq \o(CB,\s\up16(→))， 又eq \o(CG,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(CD,\s\up16(→))，eq \o(CF,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(CB,\s\up16(→))， ∴eq \o(FG,\s\up16(→))＝eq \f(2,3)(eq \o(CD,\s\up16(→))－eq \o(CB,\s\up16(→)))＝eq \f(2,3) eq \o(BD,\s\up16(→))．② 目录 1 2 证明 * 由①②得，eq \o(EH,\s\up16(→))＝eq \f(3,4) eq \o(FG,\s\up16(→))． ∴eq \o(EH,\s\up16(→))∥eq \o(FG,\s\up16(→))，又|eq \o(EH,\s\up16(→))|≠|eq \o(FG,\s\up16(→))|，且点F不在直线EH上， ∴EH∥FG且EH≠FG． ∴四边形EFGH为梯形． 　　　　　　　　　　　　　 R $$