1.1.1 空间向量及其线性运算-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 选择性必修 第一册［RJ］ 1．1．1　空间向量及其线性运算 (教师独具内容) 课程标准：1．经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念．2．经历由平面向量的运算及法则推广到空间向量的过程，掌握空间向量的线性运算． 教学重点：空间向量的加减、数乘运算在空间几何体中的应用． 教学难点：空间几何体中向量的运算． 核心素养：在空间向量概念的形成和线性运算的过程中，经历由具体到抽象、由图形语言到符号语言的表达过程，发展直观想象、数学抽象及数学运算素养． 知识点一　空间向量 (1)定义 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． (3)表示方法 几何表示法 空间向量用有向线段表示 字母 表示法 如图，此向量的起点是A，终点是B，可记作a，也可记作，其模记为|a|或|| (4)几类特殊的空间向量 ①零向量：长度为0的向量叫做零向量，记为0．当有向线段的起点A与终点B重合时，＝0． ②单位向量：模为1的向量叫做单位向量． ③相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a． ④相等向量：方向相同且模相等的向量叫做相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量． [提醒]　(1)单位向量有无数个，它们的方向并不确定，它们不一定相等． (2)零向量也有无数个，它们的方向是任意的，但规定所有的零向量都相等． (3)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． 知识点二　空间向量的加减法 (1)定义 类似平面向量，定义空间向量的加法、减法运算(如图)： a＋b＝＋＝； a－b＝－＝． (2)加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a； ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． [说明]　空间向量加减运算的运算法则所满足的运算律与平面向量完全相同． 知识点三　空间向量的数乘运算 (1)向量a与λa的关系 λ的范围 方向关系 几何表示 λ>0 方向相同 λ<0 方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 (2)空间向量的数乘运算律 设λ，μ是实数，则有： ①结合律：λ(μa)＝(λμ)a． ②分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb． [提醒]　(1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0． (2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度． 知识点四　共线向量与共面向量 (1)共线(平行)向量 定义 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量 规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a 充要 条件 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb 直线的方向向量 如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa．我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量 [提醒]　(1)向量a，b共线时，表示向量a，b的有向线段不一定在同一条直线上． (2)因为零向量0＝0·a，所以零向量和空间任一向量a是共线(平行)向量，这一性质使共线向量不具有传递性，即若a∥b，b∥c，则a∥c不一定成立．因为当b＝0时，a∥0，0∥c，但a与c不一定共线． (2)共面向量 定义 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量 充要 条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb [拓展]　共面向量充要条件的理解 如图，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y．或者等价于：对空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内(P，A，B，C四点共面)的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝＋x＋y，该式称为空间平面ABC的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 1．(空间向量的概念)给出下列命题： ①向量与的长度相等； ②将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个圆； ③空间向量就是空间中的一条有向线段； ④方向相同且模相等的两个向量是相等向量． 其中是真命题的为________(写出所有真命题的序号)． 答案　①④ 2．(空间向量的数乘运算)已知a，b是空间两个向量，且b＝－5a，|a|＝2，则向量b的长度为________，向量b的方向与向量a的方向________． 答案　10　相反 3．(空间向量的加减运算)如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，化简下列向量的表达式： (1)－＝________； (2)＋＋＝________； (3)＋－＝________． 答案　(1)　(2)　(3) 4．(共线向量)非零向量e1，e2不共线，使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k的值是________． 答案　±1 5．(共面向量)对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是________向量(填“共线”“共面”“不共线”或“不共面”)． 答案　共面 题型一　空间向量的概念 　　　(2024·聊城一中高二月考)给出下列命题： ①空间向量就是空间中的一条有向线段； ②在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝； ③|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件； ④若空间向量m，n，p满足m∥n，n∥p，则m∥p． 其中正确命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 [解析]　有向线段起点和终点是固定的，而空间向量是可以平移的，故①错误；和大小一样、方向相同，则＝，故②正确；若|a|＝|b|，则a和b的模相等，方向不一定相同，若a＝b，则a和b的模相等，方向也相同，所以|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件，故③正确；向量的平行不具有传递性，比如当n为零向量时，零向量与任何向量都平行，则m，p不一定平行，故④错误．故选B． [答案]　B 感悟提升 处理空间向量概念问题要关注的两个要素和两个关系 (1)两个要素 判断与空间向量有关的命题时，要抓住空间向量的两个主要要素，即大小与方向，两者缺一不可． (2)两个关系 ①模相等与空间向量相等的关系：两个空间向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个空间向量(非零向量)的模相等是两个空间向量相等的必要不充分条件； ②向量的模与空间向量大小的关系：由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对空间向量来说是没有意义的．但空间向量的模是可以比较大小的． [跟踪训练1]　(2024·西安中学高二期中)下列关于空间向量的说法中正确的是(　　) A．若非零向量a，b平行，则a，b所在直线平行 B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足||>||，则> D．相等向量其方向必相同 答案　D 解析　若非零向量a，b平行，则a，b所在直线平行或重合，故A错误；若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向不存在确定关系，故B错误；向量不能比较大小，故C错误；相等向量其方向必相同，故D正确．故选D． 题型二　空间向量的加减运算 　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的是(　　) ①(－)－；②(＋)－；③(－)－；④(－)＋． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ [解析]　①(－)－＝－＝；②(＋)－＝＋＋＝＋＝；③(－)－＝－＝－＝≠；④(－)＋＝＋＋＝＋＋＝＋≠．因此，①②两式的运算结果为向量，而③④两式的运算结果不为向量．故选A． [答案]　A 【结论探究】　在本例条件下，判断下列各式中运算结果为向量的有哪些？ ①(＋)＋；②(＋)＋；③(＋)－；④(－)＋． 解　①(＋)＋＝＋＋＝； ②(＋)＋＝＋＝； ③(＋)－＝＋＝； ④(－)＋＝(＋)＋＝＋＝． 故①②③④式运算结果都是向量． 感悟提升 1．空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加减法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果． 2．化简空间向量的常用思路 (1)分组：合理分组，以便灵活利用三角形法则、平行四边形法则进行化简． (2)多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则．若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和． (3)走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)． [跟踪训练2]　(1)(2024·芜湖一中高二月考)对于空间中的非零向量，，，下列关系式中一定不成立的是(　　) A．＋＝ B．－＝ C．||＋||＝|| D．||－||＝|| 答案　B 解析　根据空间向量的加减法运算，对于A，＋＝恒成立；对于C，当，方向相同时，有||＋||＝||；对于D，当，方向相同且||≥||时，有||－||＝||；对于B，由向量减法可知－＝，又为非零向量，所以B一定不成立．故选B． (2)化简(－)－(－)＝________． 答案　0 解析　解法一：(转化为加法运算) (－)－(－)＝－－＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝0． 解法二：(转化为减法运算) (－)－(－)＝(－)＋(－)＝＋＝0． (3)(2024·华南师大附中高二质检)如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果． ①＋－； ②－－． 解　①＋－＝＋＋＝＋＝，如图中向量． ②－－＝＋＋＝＋＝，如图中向量． 题型三　空间向量的数乘运算 　如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： (1)；(2)；(3)＋． [解]　(1)∵P是C1D1的中点， ∴＝＋＋ ＝a＋＋＝a＋c＋ ＝a＋c＋b． (2)∵N是BC的中点， ∴＝＋＋＝－a＋b＋ ＝－a＋b＋＝－a＋b＋c． (3)∵M是AA1的中点， ∴＝＋＝＋ ＝－a＋ ＝a＋b＋c． 又＝＋＝＋ ＝＋＝c＋a， ∴＋＝＋ ＝a＋b＋c． 感悟提升 利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． [跟踪训练3]　(1)(2024·合肥高二期中)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点F是侧面CD1的中心，且＝＋m－n，则m，n的值分别为(　　) A．，－ B．－，－ C．－， D．， 答案　A 解析　由于＝＋＝＋(＋)＝＋＋，所以m＝，n＝－．故选A． (2)(2024·唐山高二期中)在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，G为△ABC的重心，点M在线段OC上，且OM＝2MC，则＝(　　) A．a＋b－c B．a＋b＋c C．－a＋b＋c D．a－b＋c 答案　A 解析　画出图形，D为BC的中点，如图所示，由三角形重心的性质，可知G为AD上靠近D的三等分点，所以＝－，所以＝＋＋＝c＋(b－c)－＝c＋(b－c)－(＋)＝c＋(b－c)－(b－a＋c－a)＝a＋b－c．故选A． 题型四　共线向量 　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝． 求证：E，F，B三点共线． [证明]　连接EF，EB(图略)， 设＝a，＝b，＝c． ∵＝2，＝， ∴＝，＝． ∴＝＝b， ＝(－) ＝(＋－)＝a＋b－c． ∴＝－ ＝a－b－c＝． 又＝＋＋ ＝－b－c＋a＝a－b－c， ∴＝， ∴E，F，B三点共线． 【条件探究】　将本例条件改为“O为A1C上一点，且＝，BD与AC交于点M”．求证：C1，O，M三点共线． 证明　连接AO，AC1，A1C1． ∵＝， ∴＝＋ ＝＋ ＝＋(＋) ＝＋． ∵＝2，＝＋＝－＝－2， ∴＝(－2)＋＝＋． ∵＋＝1，∴C1，O，M三点共线． 感悟提升 1．判断空间向量共线的策略 (1)熟记空间向量共线的充要条件：①a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ，使a＝λb；②若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0，则a∥b． (2)判断空间向量共线的关键：找到实数λ． 2．证明空间三点共线的三种思路 对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ，使＝λ成立． (2)对空间任一点O，有＝＋t(t∈R)． (3)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)． [跟踪训练4]　(1)(2024·嘉兴一中高二月考)已知A，B，C三点共线，O为直线外空间任意一点，若＝m＋n，则m＋n＝________． 答案　1 解析　由于A，B，C三点共线，所以存在实数λ，使得＝λ，即－＝λ(－)，所以＝(1－λ)＋λ，所以m＝1－λ，n＝λ，所以m＋n＝1． (2)(2024·石家庄二中高二质检)设e1，e2是空间中两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则实数k的值为________． 答案　－8 解析　∵＝e1＋3e2，＝2e1－e2，∴＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2．∵A，B，D三点共线，∴可设＝λ，λ∈R，∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2．∵e1，e2是空间中两个不共线的向量，∴∴k＝－8． 题型五　共面向量 　(2024·开封高中高二月考)如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE．求证：向量，，共面． [证明]　因为M在BD上，且BM＝BD， 所以＝＝＋． 同理＝＋． 所以＝＋＋ ＝＋＋ ＝＋＝＋． 又与不共线，根据向量共面的充要条件，可知，，共面． 感悟提升 证明空间向量共面、点共面的常用方法 (1)证明空间三个向量共面常用的方法 ①证明其中一个空间向量可以表示成另两个空间向量的线性组合，即若a＝xb＋yc，则空间向量a，b，c共面； ②寻找平面α，证明这些空间向量与平面α平行． (2)对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面 ①＝x＋y； ②对空间任一点O，＝＋x＋y； ③对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)； ④∥(或∥或∥)． [跟踪训练5]　(1)(2024·烟台龙口一中月考)已知O为空间任意一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，且＝m＋2＋，则m的值为(　　) A．－1 B．－2 C．－3 D．1 答案　B 解析　O为空间任意一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，且＝m＋2＋，则m＋2＋1＝1，解得m＝－2．故选B． (2)(2024·南昌二中高二质检)如图，从▱ABCD所在平面外一点O作向量＝k，＝k，＝k，＝k．求证：A′，B′，C′，D′四点共面． 证明　因为四边形ABCD为平行四边形， 所以＝＋， 因为从▱ABCD所在平面外一点O作向量＝k，＝k，＝k，＝k， 所以＝－＝k(－)＝k＝k(＋)＝k(－＋－)＝k－k＋k－k＝－＋－＝＋， 所以，，共面， 因为，，有公共端点A′， 所以A′，B′，C′，D′四点共面． 1．(2024·贵阳高二联考)关于空间向量，下列四个结论正确的是(　　) A．方向相反的两个向量是相反向量 B．任意两个空间向量总是共面的 C．零向量没有方向 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 答案　B 解析　对于A，方向相反、长度相等的向量是相反向量，故A错误；对于B，空间中，任意两个向量是共面的，故B正确；对于C，零向量的方向是任意的，故C错误；对于D，两个不相等的向量模可以相等，此时只要方向不相同，即为不相等的向量，故D错误．故选B． 2．(2024·临汾高二期中)已知，是空间两个不共线的向量，＝5－3，那么必有(　　) A．，共线 B．，共线 C．，，共面 D．，，不共面 答案　C 解析　若，共线，则＝λ(λ∈R)，又＝5－3，所以λ＝5－3，＝，则，共线，与条件矛盾，故A错误；若，共线，则＝μ(μ∈R)，又＝5－3，所以μ＝5－3，＝，则，共线，与条件矛盾，故B错误；根据空间向量的共面定理，可知，，共面，故C正确，D错误．故选C． 3．(2024·天津西青区高二月考)如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则＋(＋)＝(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　E，F分别是BC，CD的中点，则＋(＋)＝＋＝．故选D． 4．(2024·抚顺高二期中)已知P为△ABC所在平面内一点，O为平面ABC外一点，若＝m＋n＋2，则m＋n的值为(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 答案　B 解析　因为＝m＋n＋2，且A，B，C，P四点共面，所以m＋n＋2＝1，所以m＋n＝－1．故选B． 5．(多选)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量运算正确的是(　　) A．＝－a＋b＋c B．＝－a＋b＋c C．＝a＋b＋c D．＝－a－b＋c 答案　ABC 解析　＝＋＝＋(＋)＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c，A正确；＝＋＝(b－a)＋c＝－a＋b＋c，B正确；＝＋＝＋＋＝a＋b＋c，C正确；＝＋＝c＋(a＋b)＝a＋b＋c，D错误．故选ABC． 一、选择题 1．(2024·深圳高二期中)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，＋＋＝(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，＝，故＋＋＝＋＋＝．故选A． 2．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量，，是(　　) A．有相同起点的向量 B．等长向量 C．共面向量 D．不共面向量 答案　C 解析　如图所示，因为－＝，而＝，所以－＝，即＝＋．而与不共线，所以，，三向量共面． 3．(2024·涟水一中高二月考)已知四面体OABC，空间的一点M满足＝＋＋λ，若M，A，B，C四点共面，则λ＝(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　在四面体OABC中，空间的一点M满足＝＋＋λ，因为M，A，B，C四点共面，所以＋＋λ＝1，解得λ＝．故选A． 4．(2024·山东省实验中学高二月考)若A，B，C，D为空间不同的四个点，则下列各式不一定为零向量的是(　　) A．＋2＋2＋ B．2＋2＋3＋3＋ C．＋＋ D．－＋－ 答案　A 解析　对于A，＋2＋2＋＝＋＋＋＋＋＝＋，故A符合题意；对于B，2＋2＋3＋3＋＝2(＋＋＋)＋(＋＋)＝0，故B不符合题意；对于C，＋＋＝＋＋＝0，故C不符合题意；对于D，－＋－＝＋＋＋＝0，故D不符合题意．故选A． 5．(2024·安溪县高二期中)在三棱锥O－ABC中，M为OA的中点，点N在线段BC上，若＝－＋a＋，则a＝(　　) A． B．1 C． D． 答案　D 解析　在三棱锥O－ABC中，M为OA的中点，点N在线段BC上，所以＝λ，整理得－＝λ－λ，故＝λ＋(1－λ)，如图所示，所以＝－＝－＝λ＋(1－λ)－，由于＝－＋a＋，故λ＝，a＝1－λ＝．故选D． 6．(多选)如图，四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且＝，＝，则(　　) A．＝ B．＝ C．＝ D．四边形EFGH是梯形 答案　ABD 解析　∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH是△ABD的中位线，则＝，又＝－＝－＝(－)＝，故A正确；＝＝×＝，故B正确；显然直线EF和直线HG相交，故C不正确，D正确． 二、填空题 7．(2024·湖北名校高二联考)已知空间向量a，b，c，化简(a＋2b－3c)＋5－3(a－2b＋c)＝________． 答案　a＋b－c 解析　原式＝a＋b－c＋a－b＋c－3a＋6b－3c＝a＋b－c． 8．已知空间向量a，b，c互相平行，其中a，c同向，a，b反向，|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，则|a＋b＋c|＝________． 答案　2 解析　由a，c同向，a，b反向及|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，画图可知，|a＋b＋c|＝|a|＋|c|－|b|＝3＋1－2＝2． 9．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设G是CD的中点，则＋(＋)＝________． 答案　 解析　如图所示，∵G是CD的中点，∴(＋)＝，∴＋(＋)＝． 三、解答题 10．(2024·临汾一中高二月考)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中： (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出与相等的所有向量； (3)试写出的相反向量． 解　(1)由题意，单位向量有，，，，，，，，共8个． (2)由题意，与相等的向量有，，． (3)由题意，的相反向量为，，，． 1．如图，已知OE是平行六面体OADB－CFEG的体对角线，点M是△ABC的重心，求证：点M在直线OE上． 证明　如图，连接AM并延长交BC于点H，因为M是△ABC的重心，所以H为BC的中点， 所以＝(＋)， 所以＝＝(＋) ＝[(－)＋(－)] ＝＋－， 所以＝＋＝(＋＋)． 又因为＝＋＋＝＋＋， 所以＝，所以点M在直线OE上． 2．如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点，且＝，点G在AH上，且＝m，若G，B，P，D四点共面，求m的值． 解　连接BG． 因为＝－，＝， 所以＝－． 因为＝＋， 所以＝＋－＝－＋＋． 因为＝，所以＝， 所以＝(－＋＋)＝－＋＋． 又因为＝－， 所以＝－＋＋． 因为＝m， 所以＝m＝－＋＋． 因为＝－＋＝－＋， 所以＝＋＋． 又因为G，B，P，D四点共面， 所以1－＝0，m＝． 18 学科网（北京）股份有限公司 $$