3.1.1 对函数概念的再认识-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　必修 第一册（湘教） 3.1.1　对函数概念的再认识 (教师独具内容) 课程标准：1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.2.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域． 教学重点：1.理解函数的定义，会求一些简单函数的定义域和值域.2.明确函数的两个要素，了解同一个函数的定义，会判定两个给定的函数是否是同一个函数． 教学难点：1.对应关系f的正确理解，函数符号y＝f(x)的理解.2.抽象函数的定义域.3.一些简单函数值域的求法． 核心素养：1.通过学习函数的概念培养数学抽象素养.2.借助函数定义域、值域的求解提升数学运算素养.3.借助f(x)与f(a)的关系培养逻辑推理素养． 知识点一　函数的概念 设A，B是两个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一的数y和它对应，那么称这样的对应f：A→B为定义于A取值于B的函数，也记作y＝f(x)(x∈A，y∈B)．其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；与x∈A对应的数y叫作函数值，记作f(x)，所有函数值组成的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．值域是集合B的子集． 知识点二　确定函数的两个要素 (1)定义域； (2)对应关系． 知识点三　函数相等 两个函数f(x)和g(x)，当且仅当有相同的定义域U且对每个x∈U都有f(x)＝g(x)时，叫作相等． 对函数概念的理解 (1)A，B都是非空实数集，因此定义域或值域为空集的函数不存在，如y＝就不是函数． (2)集合A就是定义域，因为给定A中的每一个x值都有唯一的y值与之对应． (3)集合B不一定是函数的值域，即B中的元素可以没有与之对应者，若将函数的值域记为C，容易得到C⊆B. (4)符号“y＝f(x)”表示“x对应的函数值”，f表示对应关系． (5)“f(x)”是一个整体，不可分开，也不能理解成“f·x”． (6)f(a)(a∈A)与f(x)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时的函数值，是值域内的一个数值，是常量；f(x)表示自变量为x的函数，表示的是变量．例如，f(x)＝2x表示函数；当x＝3时，f(3)＝6，是一个常量． (7)函数的概念中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，这是因为函数定义中明确要求是对于非空实数集A中的任何一个(任意性)数x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y和它对应，这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应．(　　) (2)任何两个集合之间都可以建立函数关系．(　　) (3)函数的定义域必须是实数集，值域可以为其他集合．(　　) (4)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.(　　) (5)在函数的定义中，集合B是函数的值域．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2．做一做 (1)下列关于函数y＝f(x)的说法正确的是(　　) ①y是x的函数；②x是y的函数；③对于不同的x，y也不同；④f(a)表示当x＝a时，f(x)的函数值是一个常数． A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ (2)下列表示的是y关于x的函数的是(　　) A．y＝x2 B．y2＝x C．|y|＝x D．|y|＝|x| (3)函数y＝的定义域是(　　) A．[－1，＋∞) B．[－1，0) C．(－1，＋∞) D．(－1，0) (4)若f(x)＝，则f(2)＝________． 答案：(1)A　(2)A　(3)C　(4) 　函数关系的判断 　(1)下图中，能表示函数y＝f(x)的图象的是(　　) [解析]　由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，结合选项可知D中图象表示y是x的函数． [答案]　D (2)下列从集合A到集合B的对应关系中，不能确定y是x的函数的是(　　) ①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，对应关系f：x→y＝；②A＝{x|x>0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y2＝3x；③A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y：x2＋y2＝25；④A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y＝x2；⑤A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝{s|s∈R}，对应关系f：(x，y)→s＝x＋y；⑥A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，对应关系f：x→y＝0. A．①⑤⑥ B．②④⑤⑥ C．②③④ D．①②③⑤ [解析]　①在对应关系f下，A中不能被3整除的数在B中没有数与它对应，所以不能确定y是x的函数．②在对应关系f下，A中的数在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数．③在对应关系f下，A中的数(－5<x<5时)在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数．⑤A不是实数集，所以不能确定y是x的函数．④⑥显然满足函数的特征，y是x的函数．故选D. [答案]　D 【感悟提升】　 1．根据图形判断对应关系是否是函数的方法 (1)任取一条垂直于x轴的直线l； (2)在定义域内平行移动直线l； (3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数，如图所示． 2．判断一个对应关系是否是函数的两个条件 (1)A，B必须是非空实数集； (2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与其对应． 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系． 【跟踪训练】 1．(1)图中①②③④四个图形各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数的有________． 答案：②③ 解析：由根据图形判断对应关系是否是函数的方法，可知当－1≤a≤1时，只有图形②③与直线x＝a仅有一个交点；当a>1或a<－1时，图形①②③④与直线x＝a均没有交点．故可以表示y是x的函数的有②③. (2)判断下列对应是否为函数： ①x→，x≠0，x∈R； ②x→y，其中|y|＝x，x∈R，y∈R. 解：①是函数．因为任取一个非零实数x，都有唯一确定的与之对应． ②不是函数．当x＝1时，y＝±1，即一个非零实数x，对应两个y的值，不符合函数的概念． 　求函数的定义域 　求下列函数的定义域： (1)f(x)＝； (2)f(x)＝(x－1)0＋； (3)f(x)＝·； (4)f(x)＝－. [解]　(1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数f(x)＝有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}． (2)函数有意义，当且仅当 解得x>－1且x≠1， 所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}． (3)函数有意义，当且仅当解得1≤x≤3， 所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}． (4)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足 解得x≤1且x≠－1， 所以这个函数的定义域为{x|x≤1且x≠－1}． [条件探究]　在本例(3)条件不变的前提下，求函数y＝f(x＋1)的定义域． 解：由1≤x＋1≤3得0≤x≤2. 所以函数y＝f(x＋1)的定义域为[0，2]． 【感悟提升】　求函数定义域的常用方法 (1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零． (2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零． (3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合． (4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集． (5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． 【跟踪训练】 2．求下列函数的定义域： (1)y＝2x＋3；(2)f(x)＝；(3)y＝＋；(4)y＝；(5)y＝(1－2x)0. 解：(1)函数y＝2x＋3的定义域为{x|x∈R}． (2)要使函数式有意义，即分式有意义，则x＋1≠0，x≠－1. 故函数的定义域为{x|x≠－1}． (3)要使函数式有意义，则即所以x＝1，从而函数的定义域为{x|x＝1}． (4)因为当x2－1≠0，即x≠±1时，有意义，所以函数的定义域为{x|x≠±1}． (5)因为1－2x≠0，即x≠， 所以函数的定义域为. 　已知自变量的值求函数值 　已知函数f(x)＝，g(x)＝. (1)求f(2)，f(3)，f(g(2))，f(g(3))； (2)求f(g(x))，并证明f(x)＋f(g(x))是常数． [解]　(1)f(2)＝＝－.f(3)＝＝－. ∵g(2)＝，∴f(g(2))＝f＝＝. ∵g(3)＝，∴f(g(3))＝f＝＝. (2)∵f(g(x))＝f＝＝(x≠0)， ∴f(x)＋f(g(x))＝＋＝＝2. ∴f(x)＋f(g(x))是常数2. 【感悟提升】　函数求值的方法及关注点 (1)方法 ①求f(a)：已知f(x)时，只需用a替换f(x)中的x即得f(a)的值； ②求f(g(a))：已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． (2)关注点：用来替换f(x)中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义． 【跟踪训练】 3．已知函数f(x)＝，g(x)＝3x2＋1. (1)求f(1)，g(1)的值； (2)求f(g(1))的值； (3)求f(a－1)，g(a＋1)，f(g(a＋1))． 解：(1)f(1)＝＝，g(1)＝3×12＋1＝4. (2)f(g(1))＝f(4)＝＝. (3)f(a－1)＝＝， g(a＋1)＝3(a＋1)2＋1＝3a2＋6a＋4， f(g(a＋1))＝f(3a2＋6a＋4)＝. 　已知函数值求自变量的值 　已知函数f(x)＝2x2－4，x∈R，若f(x0)＝2，求x0的值． [解]　易知f(x0)＝2x－4， ∴2x－4＝2，即x＝3. 又x0∈R，∴x0＝±. 【感悟提升】　就本例而言，已知函数值求自变量的值就是解方程，需要注意：所求的自变量的值必须在函数的定义域内．如果本例中加一个条件“x∈[0，＋∞)”，则x0＝(－不符合题意，舍去)． 【跟踪训练】 4．已知函数f(x)＝x2＋2x－5，x∈R，若f(a)＝3，求a的值． 解：由题意知f(a)＝a2＋2a－5， 所以a2＋2a－5＝3，即a2＋2a－8＝0. 解得a＝2或a＝－4. 　同一个函数的判定 　下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　) A．f(x)＝x，g(x)＝()2 B．f(x)＝x2＋1，g(t)＝t2＋1 C．f(x)＝1，g(x)＝ D．f(x)＝x，g(x)＝|x| [解析]　对于A，由于f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝()2的定义域为{x|x≥0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一个函数；对于B，函数的定义域、值域和对应关系都相同，所以它们是同一个函数；对于C，由于f(x)＝1的定义域为R，g(x)＝的定义域为{x|x≠0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一个函数；对于D，两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以它们不是同一个函数． [答案]　B 【感悟提升】　判断两个函数为同一个函数的条件 (1)判断两个函数是同一个函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同．定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． (2)函数是两个实数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．另外，在化简解析式时，必须是等价变形． 【跟踪训练】 5．下列各组函数中，是同一个函数的是(　　) A．y＝2x＋1与y＝ B．y＝与y＝x0 C．y＝与y＝x－1 D．y＝2x2＋x＋1与y＝2t2＋t＋1 答案：D 解析：∵y＝＝＝|2x＋1|，∴A中的对应关系不同；B中的对应关系不同；C中的定义域不同；只有D符合题意． 1．下列四个图中，不是以x为自变量的函数的图象是(　　) 答案：C 解析：根据函数的定义，可知对自变量x的任意一个值，都有唯一确定的实数(函数值)与之对应，显然A，B，D满足函数的定义，而C不满足，故选C. 2．函数f(x)＝＋(x－2)0的定义域为(　　) A．[1，＋∞) B．[1，2)∪(2，＋∞) C．(1，＋∞) D．(1，2)∪(2，＋∞) 答案：D 解析：由题意，知解得x>1，且x≠2.所以函数f(x)的定义域为(1，2)∪(2，＋∞)． 3．下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．y＝2x＋1与y＝2m＋1 B．y＝与y＝2x－1 C．y＝1与y＝x0 D．y＝与y＝()2 答案：A 解析：B中的两个函数对应关系不同，值域不同，不是同一个函数；C，D中的两个函数的定义域不相同，不是同一个函数；A中的两个函数的定义域与对应关系都相同，是同一个函数．故选A. 4．(多选)已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤4}，则下列对应关系，能够构成以A为定义域，B为值域的函数的是(　　) A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝|4－2x| D．y＝x＋5 答案：ABC 解析：对于A，y＝2x，当定义域为A＝{x|0≤x≤2}时，显然其值域为B＝{y|0≤y≤4}，故A满足条件；对于B，y＝x2，当定义域为A＝{x|0≤x≤2}时，其值域为B＝{y|0≤y≤4}，故B满足条件；对于C，y＝|4－2x|，当定义域为A＝{x|0≤x≤2}时，其值域为B＝{y|0≤y≤4}，故C满足条件；对于D，y＝x＋5，若其定义域为A＝{x|0≤x≤2}，则其值域为B＝{y|5≤y≤7}，故D不满足条件．故选ABC. 5．已知函数f(x)＝x2＋x－1. (1)求f(2)，f，f(a＋1)； (2)若f(x)＝5，求x. 解：(1)f(2)＝22＋2－1＝5， f＝＋－1＝， f(a＋1)＝(a＋1)2＋(a＋1)－1＝a2＋3a＋1. (2)∵f(x)＝x2＋x－1＝5，∴x2＋x－6＝0， ∴x＝2或x＝－3. 一、选择题 1．下列对应关系是从集合M到集合N的函数的是(　　) A．M＝R，N＝(0，＋∞)，f为“求绝对值” B．M＝N，N＝N＋，f为“先减1，再求绝对值” C．M＝(0，＋∞)，N＝R，f为“求平方” D．M＝R，N＝[0，＋∞)，f为“求非负平方根” 答案：C 解析：对于A，0∈M，但|0|＝0∉N；对于B，1∈M，但|1－1|＝0∉N；对于D，集合M中元素取负数时，集合N中没有元素与之对应；分析知C中对应关系是集合M到集合N的函数． 2．下列函数中，与函数y＝有相同定义域的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝|x| D．f(x)＝ 答案：A 解析：函数y＝的定义域为{x|x>0}；函数f(x)＝的定义域为{x|x>0}；函数f(x)＝的定义域为{x∈R|x≠0}；函数f(x)＝|x|的定义域为R；函数f(x)＝的定义域为{x|x≥1}．所以与函数y＝有相同定义域的是f(x)＝. 3．函数y＝的值域为(　　) A．[－1，＋∞) B．[0，＋∞) C．(－∞，0] D．(－∞，－1] 答案：B 解析：由于≥0，所以函数y＝的值域为[0，＋∞)． 4．已知f(x)＝(x－1)2＋1，则f(x＋1)＝(　　) A．(x＋2)2＋1 B．x2＋1 C．(x－2)2＋1 D．4x2＋1 答案：B 解析：∵f(x)＝(x－1)2＋1，∴f(x＋1)＝[(x＋1)－1]2＋1＝x2＋1.故选B. 5．(多选)下列各组函数中，是同一个函数的是(　　) A．y＝与y＝x＋3 B．y＝－1与y＝|x|－1 C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0) D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z 答案：BC 解析：A中两函数的定义域不同；D中两函数的对应关系不同；B，C中定义域与对应关系都相同．故选BC. 二、填空题 6．设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝，则g(f(2))＝________． 答案： 解析：∵f(2)＝2×22＋2＝10，∴g(f(2))＝g(10)＝＝. 7．已知函数f(x)＝ax2－1(a≠0)，且f(f(1))＝－1，则a的取值为________． 答案：1 解析：因为f(x)＝ax2－1，所以f(1)＝a－1，f(f(1))＝f(a－1)＝a(a－1)2－1＝－1，所以a(a－1)2＝0，又因为a≠0，所以a－1＝0，所以a＝1. 8．已知f(x)＝x2－1的定义域为{－1，0，1}，则值域为________． 答案：{－1，0} 解析：因为f(－1)＝f(1)＝0，f(0)＝－1，所以f(x)的值域为{－1，0}． 三、解答题 9．已知函数f(x)＝＋， (1)求函数的定义域； (2)求f(－3)，f的值； (3)当a>0时，求f(a)，f(a－1)的值． 解：(1)要使函数有意义，则x应满足 解得－3≤x<－2或x>－2. 即函数的定义域是[－3，－2)∪(－2，＋∞)． (2)f(－3)＝＋＝－1. f＝　＋＝＋. (3)∵a>0，∴a，a－1∈[－3，－2)∪(－2，＋∞)． 即f(a)，f(a－1)有意义． 则f(a)＝＋， f(a－1)＝＋＝＋. 10．求使函数y＝的值恒小于2的a的取值范围． 解：令<2， 因为x2－x＋1＝＋>0， 所以x2＋ax－2<2x2－2x＋2， 即x2－(a＋2)x＋4>0对x∈R恒成立． 所以Δ＝[－(a＋2)]2－4×4<0， 化简，得(a＋6)(a－2)<0，解得－6<a<2. 所以使函数y＝的值恒小于2的a的取值范围是(－6，2)． 11．已知函数f(x)＝. (1)求f(2)＋f，f(3)＋f的值； (2)求证：f(x)＋f是定值； (3)求f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2024)＋f的值． 解：(1)∵f(x)＝， ∴f(2)＋f＝＋＝1， f(3)＋f＝＋＝1. (2)证明：∵f(x)＋f ＝＋ ＝＋ ＝＝1， ∴f(x)＋f是定值． (3)由(2)，知f(x)＋f＝1， ∴f(2)＋f＝1， f(3)＋f＝1， f(4)＋f＝1， … f(2024)＋f＝1. ∴f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2024)＋f＝2023. 12．已知函数f(x)＝的定义域为集合A，函数g(x)＝x2－2x＋a，x∈[0，4]的值域为集合B，若A∪B＝R，求实数a的取值范围． 解：由题意，函数f(x)＝的定义域需满足x2－16≥0，解得x≤－4或x≥4， 所以集合A＝{x|x≤－4或x≥4}， 函数g(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1，因为x∈[0，4]， 当x＝1时，函数g(x)取得最小值为a－1； 当x＝4时，函数g(x)取得最大值为a＋8； 所以函数g(x)的值域为[a－1，a＋8]， 所以集合B＝[a－1，a＋8]， 因为A∪B＝R，如图所示， 所以需满足解得－4≤a≤－3， 故实数a的取值范围为[－4，－3]． 13 学科网（北京）股份有限公司 $$