2.3.2 一元二次不等式的应用-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　必修 第一册（湘教） 2.3.2　一元二次不等式的应用 (教师独具内容) 课程标准：能从实际情境中抽象出一元二次不等式，并通过解一元二次不等式解决实际问题． 教学重点：利用一元二次不等式解决实际问题． 教学难点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型． 核心素养：借助一元二次不等式在实际问题中的应用培养数学建模素养． 知识点　　利用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤 (1)理解题意，分析清楚量与量之间的关系； (2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为一元二次不等式问题； (3)解这个一元二次不等式得到实际问题的解． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)利用一元二次不等式解决实际问题时，要理解题意，分析清楚量与量之间的关系．(　　) (2)用不等式解决实际问题最后要结合题目的实际意义确定答案．(　　) 答案：(1)√　(2)√ 2．做一做 (1)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是(　　) A．{x|10≤x≤20} B．{x|20≤x≤30} C．{x|15≤x≤30} D．{x|10≤x≤30} (2)有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的纯农药液不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________． 答案：(1)D　(2) 　利用一元二次不等式判断车速 　某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车车速x km/h有如下关系：s＝x＋x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？(精确到0.01 km/h) [解]　设这辆汽车刹车前的车速为x km/h， 根据题意，得x＋x2＞39.5. 移项整理，得x2＋9x－7110＞0. 显然Δ＞0，x2＋9x－7110＝0有两个实数根， 即x1≈－88.941，x2≈79.941. 然后根据二次函数y＝x2＋9x－7110的图象，得 不等式的解集为{x|x＜－88.941或x＞79.941}． 在这个实际问题中，x＞0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.95 km/h. 【感悟提升】　一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要审清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”． 【跟踪训练】 1．汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.问：超速行驶应负主要责任的是谁？ 解：由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2>12，即x2＋10x－1200>0，解得x>30或x<－40(不符合实际意义，舍去)，这表明甲车的车速超过30 km/h. 但根据题意刹车距离略超过12 m，由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h. 对于乙车，有0.05x＋0.005x2>10，即x2＋10x－2000>0，解得x>40或x<－50(不符合实际意义，舍去)， 这表明乙车的车速超过40 km/h，即超过规定限速，所以乙应负主要责任． 　利用一元二次不等式解决面积问题 　某物流公司购买了一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块，计划把图中矩形ABCD建设为仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，假设AB的长度为x米． (1)求矩形ABCD的面积S关于x的函数关系式； (2)要使仓库ABCD占地的面积不少于144平方米，则AB的长度应在什么范围内？ [解]　(1)根据题意，得△NDC与△NAM相似， 所以＝，即＝， 解得AD＝20－x. 所以矩形ABCD的面积S关于x的函数关系式为S＝20x－x2(0<x<30)． (2)要使仓库ABCD占地的面积不少于144平方米，即20x－x2≥144， 化简得x2－30x＋216≤0，解得12≤x≤18， 所以AB长度的范围为[12，18]． 【感悟提升】　解答不等式应用题，首先要认真审题，弄清题意，建立合理的不等式模型，防止在解答本题时，建立不正确的不等式20x－x2≤144，错误的原因是对“不少于”含义的错误理解． 【跟踪训练】 2.要在长为800 m、宽为600 m的一块长方形地面上进行绿化，要求四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪如图，即阴影部分种草坪，要求草坪的面积不少于总面积的一半，求花卉带宽度的范围． 解：设花卉带的宽度为x m， 则由题意，得(800－2x)(600－2x)≥×800×600， 即4x2－1400×2x＋×800×600≥0， x2－700x＋600×100≥0， (x－600)(x－100)≥0， 解得0＜x≤100或x≥600.而x≥600不符合题意，舍去． 故所求花卉带宽度的范围为(0，100]． 　利用一元二次不等式解决利润问题 　某摩托车生产企业，上年度生产摩托车投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.设年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？ [解]　(1)依题意，得y＝[1.2(1＋0.75x)－(1＋x)]×1000×(1＋0.6x)＝1000(－0.06x2＋0.02x＋0.2)． ∴所求关系式为y＝1000(－0.06x2＋0.02x＋0.2)(0＜x＜1)． (2)依题意，得1000(－0.06x2＋0.02x＋0.2)＞(1.2－1)×1000. 化简，得3x2－x＜0，解得0＜x＜. ∴投入成本增加的比例x的范围是. 【感悟提升】　解不等式应用题，一般可按四步进行：①审题，找出关键量和不等关系；②引进数学符号，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)；③解不等式(或求函数最值)；④回归到实际问题． 【跟踪训练】 3．将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖出500个．已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个．问为了使赚得的利润不少于8000元，该商品销售时的单价应定在什么范围？这时进货量又应在什么范围？ 解：如果按单价50元售出，每个利润是10元，卖出500个，只能赚得5000元． 为了使赚得的利润不少于8000元，只能涨价，但要适度，否则销售量就少得太多． 设该商品涨价x元，则该商品销售时的单价是(50＋x)元，每个商品的利润是[(50＋x)－40]元，销售量是(500－10x)个． 由题意可列不等式为[(50＋x)－40](500－10x)≥8000， 整理，得x2－40x＋300≤0. 解这个一元二次不等式，得10≤x≤30. 故该商品销售时的单价应定在[60，80]． 因为销售量和该商品涨价x元之间是一次函数关系，且当该商品销售时的单价为60元时，其销售量是500－10×10＝400(个)；当该商品销售时的单价为80元时，其销售量是500－10×30＝200(个)． 故这时进货量应在[200，400]． 1．在一幅长60 cm、宽40 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如下图所示．如果要使整个挂图的面积不大于2816 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的不等式是(　　) A．(60＋2x)(40＋2x)≤2816 B．(60＋x)(40＋x)≥2816 C．(60＋2x)(40＋x)＞2816 D．(60＋x)(40＋2x)＜2816 答案：A 解析：“不大于”就是“≤”，所以根据题意可列出不等式为(60＋2x)(40＋2x)≤2816. 2．某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万立方米．为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是(　　) A．[1，4] B．[2，5] C．[3，5] D．[1，3] 答案：C 解析：设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2400×t%＝60(8t－t2)．令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5. 3.某小学为了美化校园，准备在一块长32米，宽20米的长方形场地上修筑两条宽度相同的道路，余下部分作草坪．现在有一位学生设计了如图所示的方案，则为了使草坪的面积不小于540平方米，图中道路的宽最大为(　　) A．3米 B．2米 C．1米 D．5米 答案：B 解析：设道路的宽为x米．根据题意可列不等式(32－x)(20－x)≥540.解这个不等式，得x≥50(不符合题意，舍去)或x≤2.故图中道路的宽最大为2米时，可使草坪的面积不小于540平方米． 4．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x件与单价p元/件之间的关系为p＝160－2x，生产x件这种风衣所需成本为c＝500＋30x元，假设所生产的这种风衣能够全部售出，该厂日产量为________件时，可使该厂日获利不少于1300元． 答案：[20，45] 解析：设该厂日产量为x件，日获利为y元，则y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500，∴－2x2＋130x－500≥1300，解得20≤x≤45.∴当该厂日产量为[20，45]件时，可使该厂日获利不少于1300元． 5．某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车车速x km/h有如下关系：s＝－2x＋x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于22.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？ 解：由题设条件应列式为－2x＋x2≥22.5， 移项、整理、化简得不等式x2－36x－405≥0. 因为Δ>0， 所以方程x2－36x－405＝0有两个实数根x1＝－9，x2＝45， 所以不等式的解集为{x|x≤－9或x≥45}． 在这个实际问题中x>0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为45 km/h. 一、选择题 1.如图，在一块长为22 m，宽为17 m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪的面积不小于300 m2.设道路宽为x m，根据题意可列出的不等式为(　　) A．(22－x)(17－x)≤300 B．(22－x)(17－x)≥300 C．(22－x)(17－x)>300 D．(22－x)(17－x)<300 答案：B 解析：“不小于”就是“≥”，所以由题意可以列出的不等式为(22－x)(17－x)≥300，故选B. 2．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，售价所在的范围应是(　　) A．(90，100) B．(90，110) C．(100，110) D．(80，100) 答案：A 解析：设每个涨价x元，y表示涨价后的利润与原利润之差，则y＝(10＋x)(400－20x)－10×400＝－20x2＋200x.要使商家利润有所增加，则必须使y＞0，即x2－10x＜0，得0＜x＜10.所以售价应在(90，100)范围之内． 3．某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值是(　　) A．30 B．40 C．10 D．20 答案：D 解析：由题意，得3860＋500＋[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]×2≥7000，化简，得(x%)2＋3x%－0.64≥0，解得x%≥0.2或x%≤－3.2(舍去)，所以x≥20，即x的最小值为20. 4．一个容积为1000毫升的容器里盛满浓度为80%的酒精．第一次倒出若干毫升后，用水加满，搅拌均匀；第二次又倒出同样毫升数的溶液，再用水加满．要使这时容器内的酒精的浓度不大于20%，则每次至少倒出的溶液量为(　　) A．300毫升 B．500毫升 C．200毫升 D．100毫升 答案：B 解析：设每次倒出溶液x毫升．根据题意，得1000×80%－1000×20%≤80%x＋ x.整理，得x2－2000x＋750000≤0.解得500≤x≤1500.又因为x≤1000，所以500≤x≤1000.故每次至少倒出500毫升溶液． 5．某商品定价上涨x成，销量则减少成．若对这种商品根据营业额按比例纳税，且无论怎么涨价，从营业额里扣除税金后得到的金额总比涨价前的营业额要少，则税率的范围为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：设定价为a，税率为p，则对任意x，都有a(1－p)＜a.由题意，a＞0，0＜p＜1，所以(1－p)＜1.整理，得(p－1)x2－10(p－1)x－200p＜0，由Δ＝100(p－1)2＋800p(p－1)＝100(p－1)·(9p－1)＜0，得＜p＜1.故税率p∈. 二、填空题 6．某农家院有客房20间，日常每间客房日租金为80元，每天都客满．该农家院欲提高档次，并提高租金，经市场调研，每间客房日租金每增加10元，客房出租数就会减少1间．每间客房日租金不得超过130元，要使每天客房的租金总收入不低于1800元，该农家院每间客房日租金提高的范围是________． 答案：[20，50] 解析：设每间客房日租金提高x个10元，即每间客房日租金提高到(80＋10x)元，则客房出租数减少x(x∈N)间，此时客房的租金总收入为(80＋10x)(20－x)元．又因为每天客房的租金总收入不低于1800元，所以(80＋10x)·(20－x)≥1800，化简，得x2－12x＋20≤0，解得2≤x≤10.由题意可知，每间客房日租金不得超过130元，即80＋10x≤130，所以x≤5.综上，2≤x≤5.所以每间客房日租金提高的范围是[20，50]． 7．国家为了加强对烟酒生产的宏观调控，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税R元(叫作税率R%)，则每年的销售量减少10R万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税金额不少于112万元，则R的取值范围是________． 答案：[2，8] 解析：设产销量每年为x万瓶，则销售收入为每年70x万元，从中征收的附加税金额为70x·R%万元，其中x＝100－10R.由题意，得70(100－10R)·R%≥112，整理，得R2－10R＋16≤0.因为Δ＝36＞0，所以方程R2－10R＋16＝0的两个实数根分别为R1＝2，R2＝8.由二次函数y＝R2－10R＋16的图象，得不等式的解集为{R|2≤R≤8}．所以当2≤R≤8时，每年在此项经营中所收附加税金额不少于112万元． 8．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是________斤(用含x的代数式表示)，销售这种水果要想每天至少盈利300元，张阿姨需将每斤的售价至多降低________元． 答案：200x＋100　1 解析：每天的销售量是(200x＋100)斤．根据题意可列不等式为(4－x－2)(200x＋100)≥300.整理，得2x2－3x＋1≤0.解不等式，得0.5≤x≤1.又因为200x＋100≥260，解得x≥0.8.所以0.8≤x≤1.故为保证每天至少售出这种水果260斤，且每天至少盈利300元，张阿姨需将每斤的售价至多降低1元． 三、解答题 9．为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．某大学毕业生按照相关政策投资销售一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之间的关系近似满足一次函数y＝－10x＋500. (1)设他每月获得的利润为w(单位：元)，写出他每月获得的利润w与销售单价x的函数关系式； (2)相关部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果他想要每月获得的利润不少于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？ 解：(1)依题意可知每件节能灯的销售利润为(x－10)元，每月的销售量为(－10x＋500)件， 所以每月获得的利润w与销售单价x的函数关系式为w＝(x－10)(－10x＋500)． (2)由每月获得的利润不小于3000元，得 (x－10)(－10x＋500)≥3000. 化简，得x2－60x＋800≤0，解得20≤x≤40. 又因为这种节能灯的销售单价不得高于25元， 所以20≤x≤25. 设政府每个月为他承担的总差价为p元， 则p＝(12－10)(－10x＋500)＝－20x＋1000. 由20≤x≤25，得500≤－20x＋1000≤600. 故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为[500，600]元． 10．某地区上年度电价为0.8元/kW·h，年用电量为a kW·h.本年度计划将电价降价到0.55元/kW·h至0.75元/kW·h之间，而用户期望电价为0.4元/kW·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/kW·h. (1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式； (2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%? 注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价)． 解：(1)设下调后的电价为x元/kW·h， 依题意知，用电量增至＋a， 电力部门的收益为y＝(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)． (2)依题意，有(x－0.3)≥[a×(0.8－0.3)](1＋20%)(0.55≤x≤0.75)． 整理，得x2－1.1x＋0.3≥0(0.55≤x≤0.75)． 解此不等式，得0.60≤x≤0.75. ∴当电价最低定为0.60元/kW·h时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%. 11．国家原计划以2400元/t的价格收购某种农产品m t．按规定，农民向国家纳税：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，国家制定积极的收购政策，根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的取值范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%. 解：“税率降低x个百分点”， 即调节后税率为(8－x)%， “收购量能增加2x个百分点”时， 总收购量为m(1＋2x%) t， 总收购款为2400m(1＋2x%)元， “总收入不低于原计划的78%”， 即税率调低后，税收总收入≥2400m×8%×78%. 设税率调低后的“税收总收入”为y元， y＝2400m(1＋2x%)(8－x)%＝－m(x2＋42x－400)(0＜x≤8)， 所以y≥2400m×8%×78%，解得－44≤x≤2. 又0＜x≤8，所以0＜x≤2. 所以x的取值范围是(0，2]． 12．某自来水厂的蓄水池存有400 t水，水厂每小时可向蓄水池中注水60 t，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，x h内供水总量为120(0≤x≤24)． (1)从供水开始到第几个小时蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？ (2)若蓄水池中水量少于80 t时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24 h内，有几个小时出现供水紧张现象？ 解：(1)设x h后蓄水池中的水量为y t， 则y＝400＋60x－120， 设＝u，则u2＝6x(u∈[0，12])， 所以y＝400＋10u2－120u＝10(u－6)2＋40. 因为u∈[0，12]，故当u＝6即x＝6时，ymin＝40. 即从供水开始到第6 h时，蓄水池中的存水量最少，为40 t. (2)依题意，得400＋10u2－120u＜80， 即u2－12u＋32＜0，解得4＜u＜8，所以16＜u2＜64. 又u2＝6x，所以16＜6x＜64，所以＜x＜. 又－＝8，所以在一天的24 h内，约有8 h出现供水紧张现象． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$