2.2 从函数观点看一元二次方程-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　必修 第一册（湘教） (教师独具内容) 课程标准：1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数.2.了解一元二次函数的零点与方程根的关系.3.掌握一元二次方程根与系数的关系． 教学重点：1.利用一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数.2.一元二次方程根与系数的关系． 教学难点：一元二次方程根与系数的关系． 核心素养：通过利用一元二次函数的图象判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数培养直观想象素养． 知识点一　二次函数与一元二次方程的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个相异实根x1，x2(x1<x2) 有两个相等实根x1＝x2＝－ 没有实根 知识点二　二次函数的零点 一般地，我们把使得ax2＋bx＋c＝0(a≠0)成立的实数x叫作二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二次函数的零点是一个点．(　　) (2)二次函数y＝x2－2x－1的图象与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝2.(　　) (3)函数f(x)＝x2＋x＋1有零点．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 2．做一做 (1)已知某函数的图象如图所示，则此函数的零点为________． (2)函数f(x)＝x2＋3x的零点是________． (3)已知α，β是函数y＝x2＋2x－7的两个零点，则α2－2αβ＋β2＝________． 答案：(1)0.3，2　(2)0，－3　(3)32 　结合函数图象判断方程根的情况 　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根； (2)若方程ax2＋bx＋c＝m有两个不相等的实数根，求m的取值范围． [解]　(1)观察图象可知，二次函数的图象与x轴交于(－1，0)，(2，0)，故方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝2. (2)若方程ax2＋bx＋c＝m有两个不相等的实数根，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝m有两个不同的交点，观察图象可知，二次函数图象的顶点的纵坐标为－，所以m的取值范围为m＞－. 【感悟提升】　 (1)求方程的根有两种方法：①令y＝0，求出的x值就是方程的根；②画出函数的图象，图象与x轴交点的横坐标就是方程的根． (2)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝m的交点个数分别为2，1，0，则方程ax2＋bx＋c＝m有两个不相等的实数根、两个相等的实数根、没有实数根． 【跟踪训练】 1．根据函数图象判断下列方程有没有实数根，有几个根． (1)－x2－x＋6＝0；(2)x2－2x－15＝0； (3)4x2－3x＝6x2＋5；(4)x2－6x＋4＝－2x. 解：(1)－x2－x＋6＝0，即x2＋x－6＝0. 令y＝x2＋x－6，其图象如图所示． 由图可知原方程有两个不相等的实数根． (2)令y＝x2－2x－15，其图象如图所示． 由图可知原方程有两个不相等的实数根． (3)4x2－3x＝6x2＋5，即2x2＋3x＋5＝0. 令y＝2x2＋3x＋5，其图象如图所示． 由图可知原方程没有实数根． (4)x2－6x＋4＝－2x，即x2－4x＋4＝0. 令y＝x2－4x＋4，其图象如图所示． 由图可知原方程有两个相等的实数根． 　一元二次方程根与系数的关系 　已知二次函数y＝2x2＋bx＋c的图象与y轴交于点(0，－6)，与x轴的两个交点的横坐标的平方的倒数和为，求二次函数的表达式． [解]　由二次函数的图象与y轴交于点(0，－6)知，c＝－6. 设二次函数的图象与x轴交点的横坐标为x1，x2，则x1，x2是一元二次方程2x2＋bx－6＝0的两个根，由根与系数的关系知x1＋x2＝－，x1x2＝－3，＋＝＝＝＝，解得b＝±3. 故所求二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－6或y＝2x2－3x－6. 【感悟提升】　一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与系数的关系为x1＋x2＝－，x1x2＝.根据题中所给条件进行灵活变形． 【跟踪训练】 2．二次函数y＝x2＋(p－2)x－21的图象与x轴的交点为A(α，0)，B(β，0)，与y轴的交点为C. (1)若α2＋β2＝51，求p的值； (2)若△ABC的面积为105，求p的值． 解：(1)由题意，令x2＋(p－2)x－21＝0， Δ＝(p－2)2＋84＞0，所以方程有两个不同的实根， 易知α，β为方程x2＋(p－2)x－21＝0的两个实根， 则 ∴α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝51， ∴(2－p)2＋42＝51，解得p1＝－1，p2＝5， 即p的值为－1或5. (2)C(0，－21)，S△ABC＝|α－β|×21＝105， ∴|α－β|＝10，∴(α＋β)2－4αβ＝100， ∴(2－p)2＋84＝100，解得p1＝－2，p2＝6. 即p的值为－2或6. 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，若b2＞4ac，则函数零点的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．不能确定 答案：C 解析：因为b2＞4ac，所以Δ＝b2－4ac＞0，所以函数有2个零点． 2．函数y＝2x2－6的零点为(　　) A．±3 B．±6 C．± D．± 答案：C 解析：解方程2x2－6＝0，得x＝±，所以±是函数y＝2x2－6的零点． 3．若x1，x2是二次函数y＝x2－5x＋6的两个零点，则＋的值为(　　) A．－ B．－ C．－ D. 答案：D 解析：解一元二次方程x2－5x＋6＝0，即可求得x1＝2，x2＝3，代入可得，＋＝＋＝. 4．二次函数y＝x2－ax的一个零点为2，则a＝________． 答案：2 解析：由题意，x＝2是方程x2－ax＝0的根，所以4－2a＝0，解得a＝2. 5．若函数y＝x2－2ax＋a2－1的两个零点分别为m，n，且m＜－1，n＞，求实数a的取值范围． 解：函数y＝x2－2ax＋a2－1的两个零点分别为m，n， 又x2－2ax＋a2－1＝0的两个实数根为a－1，a＋1， 所以解得－＜a＜0， 即实数a的取值范围是. 一、选择题 1．二次函数y＝2x2＋bx－3(b∈R)的零点个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 答案：C 解析：已知二次函数y＝2x2＋bx－3(b∈R)，因为Δ＝b2＋24＞0，所以二次函数y＝2x2＋bx－3(b∈R)有2个零点． 2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝3，且ax2＋bx＋c＝0有两个实数根x1，x2，则x1＋x2＝(　　) A．0 B．3 C．6 D．不能确定 答案：C 解析：因为二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝3，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根x1，x2，所以x1＋x2＝3×2＝6，故选C. 3．若函数y＝ax＋b(a≠0)的图象经过点(2，0)，则函数y＝bx2－ax的零点是(　　) A．0，2 B．0， C．0，－ D．2，－ 答案：C 解析：因为函数y＝ax＋b的图象经过点(2，0)，所以2a＋b＝0，所以b＝－2a，所以y＝bx2－ax＝－2ax2－ax，令－2ax2－ax＝0，则x1＝0，x2＝－，所以函数y＝bx2－ax的零点是0和－. 4．已知函数y＝ax2＋bx＋1有两个零点x1，x2，则“|a|≥1”是“|x1|＋|x2|≤2”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 答案：B 解析：由题意得a≠0，且x1，x2是方程f(x)＝0的两个根，故x1x2＝，所以＝|x1x2|＝|x1|·|x2|≤，当且仅当|x1|＝|x2|时等号成立．若|x1|＋|x2|≤2，则|a|≥1，反之，若|a|≥1，则|x1|·|x2|≤1，当x1＝2，x2＝时，|x1|·|x2|＝＜1，但|x1|＋|x2|＝＞2，故“|a|≥1”是“|x1|＋|x2|≤2”的必要而不充分条件． 5．(多选)函数y＝(x－2)(x－4)－1有两个零点x1，x2，且x1＜x2，下列关于x1，x2的关系中错误的是(　　) A．x1＜2且2＜x2＜4 B．x1＞2且x2＞4 C．x1＜2且x2＞4 D．2＜x1＜4且x2＞4 答案：ABD 解析：令y1＝(x－2)(x－4)，则y＝y1－1，∴函数y＝(x－2)(x－4)－1的零点就是函数y1＝(x－2)(x－4)与函数y＝1图象交点的横坐标．在同一平面直角坐标系中作出函数y1＝(x－2)(x－4)的图象与y＝1的图象，结合图象知C正确．故选ABD. 二、填空题 6．若二次函数y＝x2＋ax＋b的两个零点分别是2和3，则2a＋b的值为________． 答案：－4 解析：据题意，解得∴2a＋b＝－4. 7．若函数y＝(ax＋1)(x＋2)的唯一零点为－2，则实数a的取值集合为________． 答案： 解析：当a＝0时，由y＝0得x＝－2，符合题意；当a≠0时，由y＝0得x1＝－2，x2＝－，因为函数y＝(ax＋1)(x＋2)的唯一零点为－2，所以－＝－2即a＝，所以实数a 的取值集合为. 8．已知某二次函数图象与x轴的交点为A(－1，0)，B(m，0)，且过第四象限内的点C(1，n)，而m＋n＝－1，mn＝－12，则此二次函数的表达式是________． 答案：y＝x2－2x－3 解析：由题意，得m，n为方程x2＋x－12＝0的两根，解得m＝－4，n＝3或m＝3，n＝－4.又(1，n)在第四象限，∴n＜0.∴m＝3，n＝－4，即B(3，0)，C(1，－4)．设二次函数的表达式为y＝a(x－3)(x＋1)．把(1，－4)代入上式，得－4＝a(1－3)(1＋1)，∴－4a＝－4，∴a＝1.∴y＝(x－3)(x＋1)＝x2－2x－3. 三、解答题 9．求证：二次函数y＝x2－3x＋1有两个零点，且在区间(2，3)上存在零点． 证明：因为Δ＝(－3)2－4×1×1＝5＞0， 所以方程x2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根， 因此二次函数y＝x2－3x＋1有两个零点． 又因为方程x2－3x＋1＝0的两个实数根分别为 x1＝，x2＝，其中2＜＜3， 因此二次函数y＝x2－3x＋1在区间(2，3)上存在零点． 10．已知关于x的方程x2－2ax＋a＋2＝0有两根x1，x2且满足x1<1<3<x2，求实数a的取值范围． 解：记函数y＝x2－2ax＋a＋2，由已知条件得到函数的大致图象如图． 设x的值为1，3时，对应的函数值分别为y1，y2， 由图象可知函数在x＝1和x＝3处的图象在x轴下方，图象是开口向上的抛物线，所以图象在区间[1，3]外一定与x轴有交点，符合条件． 所以解得a>3. 综上，实数a的取值范围是(3，＋∞)． 11．若二次函数y＝x2＋mx＋4m2－3的两个零点分别为x1，x2，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值为________． 答案： 解析：根据题意，二次方程x2＋mx＋4m2－3＝0的两个实数根分别为x1，x2，则有Δ＝m2－4(4m2－3)≥0，变形可得m2≤，则x1＋x2＝－m，x1x2＝4m2－3，若x1＋x2＝x1x2，则有－m＝4m2－3，解得m＝－1或，又m2≤，则m＝. 12．已知二次函数y＝x2－4x＋2k. (1)若二次函数y＝x2－4x＋2k有零点，求实数k的取值范围； (2)如果k是满足(1)的最大整数，且二次函数y＝x2－4x＋2k的零点是二次函数y＝x2－2mx＋3m－1的一个零点，求m的值及二次函数y＝x2－2mx＋3m－1的另一个零点． 解：(1)由题意得Δ≥0，所以16－8k≥0，解得k≤2. (2)由(1)可知k＝2，所以方程x2－4x＋2k＝0的根x1＝x2＝2，二次函数y＝x2－4x＋2k的零点是2， 所以二次函数y＝x2－2mx＋3m－1的一个零点是2， 所以方程x2－2mx＋3m－1＝0的一个根为2， 所以4－4m＋3m－1＝0， 解得m＝3. 所以方程x2－2mx＋3m－1＝0即x2－6x＋8＝0， 解得x＝2或x＝4. 所以二次函数y＝x2－2mx＋3m－1的另一个零点为4. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$