1.2.2 充分条件和必要条件-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　必修 第一册（湘教） 1.2.2　充分条件和必要条件 (教师独具内容) 课程标准：通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系． 教学重点：掌握充分条件、必要条件、充要条件的意义，会判断条件与结论之间的充要性． 教学难点：判断条件与结论之间的充要性． 核心素养：1.通过充要条件的判断提升逻辑推理素养.2.借助充要条件的应用培养数学运算素养． 知识点一　充分条件与必要条件 (1)当“若p，则q”成立，即p⇒q时，把p叫作q的充分条件，q叫作p的必要条件． (2)p⇒q可以理解为若p成立，则q一定也成立，即p对于q的成立是充分的；反过来，若q不成立，则p必不成立，即q对于p的成立是必要的． 自然地，若p q，则p不是q的充分条件，q也不是p的必要条件． (3)充分条件、必要条件还与数学中的判定定理、性质定理有关． 知识点二　充要条件 如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.即p既是q的充分条件，又是q的必要条件，此时我们称p是q的充分必要条件，简称充要条件．当然，此时q也是p的充分必要条件． 换句话说，如果一个命题和它的逆命题都成立，则此命题的条件和结论互为充分必要条件． 1．从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 (1)若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若p⇔q，则p是q的充要条件． (3)若p⇒q，且qp，则称p是q的充分而不必要条件． (4)若pq，且q⇒p，则称p是q的必要而不充分条件． (5)若pq，且qp，则称p是q的既不充分又不必要条件． 2．从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A⊆B，则p是q的充分条件． (2)若B⊆A，则p是q的必要条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． (4)若A⊆B且BA，即AB，则p是q的充分而不必要条件． (5)若B⊆A且AB，即BA，则p是q的必要而不充分条件． (6)若AB且BA，则p是q的既不充分又不必要条件． 3．“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(　　) (2)符号“⇔”具有传递性．(　　) (3)若pq和qp有一个成立，则p一定不是q的充要条件．(　　) (4)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充分而不必要条件．(　　) (5)“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充要条件．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√ 2．做一做 (1)“x2－3x＋2＝0”的充要条件是_________________________________________________ _______________________． (2)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________条件．(填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) (3)如果不等式x≤m成立的充分而不必要条件是1≤x≤2，则m的最小值为________． 答案：(1)x＝1或x＝2　(2)充要　(3)2 　充分条件、必要条件的判断 　下列说法中，p是q的充分条件的是________． ①p：“x＝1”，q：“x2－2x＋1＝0”； ②设a，b是实数，p：“a＋b>0”，q：“ab>0”； ③已知a，b为正实数，p：a>b>1，q：a2>b2>0. [解析]　①当x＝1时，x2－2x＋1＝0，故p⇒q，所以p是q的充分条件． ②由a＋b>0不能推出ab>0，故p不是q的充分条件． ③因为a>b>1⇒a2>b2>0，所以p是q的充分条件． [答案]　①③ 【感悟提升】　充分条件的两种判定方法 (1)定义法 ①确定谁是条件，谁是结论； ②尝试从条件推结论，若由条件能推出结论，则条件是结论的充分条件，否则就不是充分条件． (2)命题判断法 ①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； ②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件． 【跟踪训练】 1．设A，B是两个集合，判断“A∩B＝A”是“A⊆B”的什么条件． 解：由题意，得A∩B＝A⇒A⊆B，反之，A⊆B⇒A∩B＝A，故“A∩B＝A”是“A⊆B”的充分条件，也是必要条件． 　在下列各题中，q是p的必要条件吗？为什么？ (1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0； (2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等； (3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根． [解]　(1)∵x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0， ∴q是p的必要条件． (2)∵两个三角形相似推不出两个三角形全等， ∴q不是p的必要条件． (3)∵方程x2－x－m＝0无实根， ∴Δ＝b2－4ac＝1－4×1×(－m)＝1＋4m<0， 解得m<－. ∵m<－2⇒m<－，∴q是p的必要条件． 【感悟提升】　必要条件的判定方法 (1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断p⇒q和q⇒p是否成立，最后得出结论． (2)集合法：对于涉及取值范围的判断题，可从集合的角度研究，若两个集合具有包含关系，则小范围⇒大范围，大范围小范围． (3)传递法：若p1⇒p2⇒p3⇒…⇒pn，则pn是p1的必要条件． 【跟踪训练】 2．在下列各题中，q是p的必要条件吗？p是q的必要条件吗？为什么？ (1)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0； (2)p：a<b，q：<1. 解：(1)∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0， ∴q是p的必要条件． ∵a＋b＝0推不出a2＋b2＝0， ∴p不是q的必要条件． (2)由于a<b，当b<0时，>1；当b>0时，<1， 故a<b推不出<1.∴q不是p的必要条件． 当b>0，<1时，可以推出a<b； 当b<0，<1时，可以推出a>b. ∴p不是q的必要条件． 　充要条件的判断 　下列各题中，p是q的充要条件吗？ (1)p：x≠0，q：x＋|x|>0； (2)p：关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，q：a>0； (3)a，b∈R，p：ab>0，q：|a＋b|＝|a|＋|b|. [解]　(1)因为由x≠0推不出x＋|x|>0，如x＝－1时，x＋|x|＝0，所以pq，所以p不是q的充要条件． (2)若关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，则a≠0，所以pq，所以p不是q的充要条件． (3)因为a＝0时，也有|a＋b|＝|a|＋|b|， 所以qp，所以p不是q的充要条件． [题型探究]　已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问： (1)p是r的什么条件？ (2)s是q的什么条件？ (3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？ 解：作出“⇒”图，如右图所示，可知p⇒q，r⇒q，q⇒s，s⇒r. (1)p⇒q⇒s⇒r，且r⇒q，q能否推出p未知， ∴p是r的充分条件． (2)∵s⇒r⇒q，q⇒s，∴s是q的充要条件． (3)共有三对充要条件：q⇔s；s⇔r；r⇔q. 【感悟提升】　从命题角度判断p是q的充要条件 (1)原理：判断p是q的充要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立． (2)方法 ①若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； ②若q⇒p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件； ③若二者都成立，则p与q互为充要条件． 【跟踪训练】 3．下列各题中，p是q的什么条件？ (1)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B； (2)p：c＝0，q：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点； (3)已知实数a，b，p：a>0且b>0，q：a＋b>0且ab>0. 解：(1)因为A∪B＝A⇔B⊆A，而A∩B＝B⇔B⊆A，所以A∪B＝A⇔A∩B＝B，所以p是q的充要条件． (2)当c＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点；当y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点时，0＝a×02＋b×0＋c，所以c＝0，所以p⇔q，所以p是q的充要条件． (3)由a>0且b>0⇒a＋b>0且ab>0，并且由a＋b>0且ab>0⇒a>0且b>0，所以p是q的充要条件． 　充要条件的证明 　　已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件． [证明]　①充分性：∵a＋b＝1，∴b＝1－a， ∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0， 即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0； ②必要性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0， ∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0， ∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0. ∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，∴a2－ab＋b2≠0. ∴a＋b－1＝0，∴a＋b＝1. 综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件． [题型探究]　已知a，b是实数，求证：a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1成立的充分条件．该条件是否为必要条件？试证明你的结论． 证明：因为a2－b2＝1，所以a4－b4－2b2＝(a2－b2)(a2＋b2)－2b2＝(a2＋b2)－2b2＝a2－b2＝1. 即a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1成立的充分条件． 另一方面，若a4－b4－2b2＝1， 即a4－(b4＋2b2＋1)＝0，a4－(b2＋1)2＝0， (a2－b2－1)(a2＋b2＋1)＝0. 又a2＋b2＋1≠0，所以a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1. 因此a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1成立的必要条件． 【感悟提升】　充要条件的证明策略 (1)要证明一个条件p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真． (2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的． 提醒：证明时一定要注意分清充分性与必要性的证明方向． 【跟踪训练】 4．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 证明：必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，∴Δ＝b2－4ac>0，x1x2＝<0，∴ac<0. 充分性：由ac<0可得b2－4ac>0及x1x2＝<0， ∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根． 综上可知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 　利用充分条件与必要条件求参数的取值范围 　已知p：≤x≤，q：0≤x≤3. (1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围； (2)若p是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围． [解]　记A＝， B＝{x|0≤x≤3}． (1)若p是q的充分条件，则A⊆B. 注意到B＝{x|0≤x≤3}≠∅，分两种情况讨论： ①若A＝∅，即＞， 解得m＜0，此时A⊆B，符合题意； ②若A≠∅，即≤，解得m≥0， 要使A⊆B，应有 综上可得，实数m的取值范围是(－∞，3]． (2)若p是q的必要而不充分条件，则BA. 因为B≠∅，所以A≠∅，即≤，解得m≥0. 要使BA，应有或解得m>3. 综上可得，实数m的取值范围是(3，＋∞)． 【感悟提升】　利用充分条件、必要条件求参数取值范围的思路 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，先将p，q等价转化，再根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解． 【跟踪训练】 5．(1)已知p：x2＋x－6＝0，q：mx＋1＝0(m≠0)，且q是p的充分条件，求m的值． 解：解x2＋x－6＝0得x＝2或x＝－3， 解mx＋1＝0得x＝－， 令A＝{2，－3}，B＝， 因为q是p的充分条件，所以B⊆A. 当－＝2时，m＝－； 当－＝－3时，m＝. 所以m＝－或m＝. (2)已知集合M＝{x|a－1<x<a＋1}，N＝{x|－3<x<8}，命题p：x∈M，命题q：x∈N.若q是p的必要而不充分条件，求a的取值范围． 解：因为q是p的必要而不充分条件， 所以MN. 于是或 解得－2≤a≤7. 故a的取值范围为－2≤a≤7. 　探求充要条件 　求关于x的方程x2－2mx＋m2－m＋3＝0的两根都大于2的充要条件． [解]　设关于x的方程x2－2mx＋m2－m＋3＝0的两根为x1，x2.依题意，得不等式组等价于 即 解得所以m≥3. 即关于x的方程x2－2mx＋m2－m＋3＝0的两根都大于2的充要条件是m≥3. 【感悟提升】　探求充要条件的两种方法 (1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明． (2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证． 【跟踪训练】 6．求关于x的方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实根的充要条件． 解：若关于x的方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实根，设为x0，则 由②，得k＝－x－x0，代入①，得x＝1，解得x0＝1， 因此k＝－2. 反过来，当k＝－2时， x2＋kx＋1＝x2－2x＋1＝0，解得x1＝x2＝1. x2＋x＋k＝x2＋x－2＝0，解得x1＝1，x2＝－2. 因此两个方程有公共实根1， 所以关于x的方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实根的充要条件是k＝－2. 1．设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案：A 解析：若x>1且y>1，则x＋y>2.所以p⇒q；反之，x＋y>2x>1且y＝1.例如x＝3，y＝0，所以qp.因此p是q的充分而不必要条件．故选A. 2．设x∈R，则“x<－1”是“|x|>1”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案：A 解析：因为x<－1⇒|x|>1，而|x|>1x<－1，故“x<－1”是“|x|>1”的充分而不必要条件． 3．(多选)设全集为U，在下列条件中，是B⊆A的充要条件的是(　　) A．A∪B＝A B．(∁UA)∩B＝∅ C．∁UA⊆∁UB D．A∪(∁UB)＝U 答案：ABCD 解析：画出下图可知，B⊆A⇔A∪B＝A；B⊆A⇔(∁UA)∩B＝∅；B⊆A⇔∁UA⊆∁UB；B⊆A⇔A∪(∁UB)＝U.故选ABCD. 4．关于x的不等式|x|>a的所有解组成的集合为R的充要条件是________． 答案：a<0 解析：由题意知|x|>a恒成立，∵|x|≥0，∴a<0. 5．若“x<m”是“x>2或x<1”的充分条件，求m的取值范围． 解：记A＝{x|x>2或x<1}，B＝{x|x<m}． 由题意可得B⊆A，即{x|x<m}⊆{x|x>2或x<1}， 所以m≤1.故m的取值范围为m≤1. 一、选择题 1．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的(　　) A．充要条件 B．既不充分又不必要条件 C．必要而不充分条件 D．充分而不必要条件 答案：C 解析：“a，b全不为零”⇒“a2＋b2≠0”，反之不成立，a，b可能只有一个为0.所以“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的必要而不充分条件． 2．命题“对任意1≤x<2，x2－a<0”为真命题的一个充分而不必要条件可以是(　　) A．a≥4 B．a>4 C．a≥1 D．a>1 答案：B 解析：对任意1≤x<2，x2－a<0，即a>x2，故a≥4是命题为真命题的充要条件，故B为命题为真命题的充分而不必要条件． 3．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案：C 解析：“a>0且b>0”可以推出“a＋b>0且ab>0”，反之也是成立的． 4．已知a>0，设p：－a≤x≤3a；q：－1<x<6.若p是q的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是(　　) A．1<a<2 B．1≤a≤2 C．0<a<1 D．0<a≤1 答案：C 解析：因为p是q的充分而不必要条件，所以解得0<a<1.所以实数a的取值范围是0<a<1. 5．(多选)已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则(　　) A．p是q的既不充分又不必要条件 B．p是s的充分条件 C．r是q的必要而不充分条件 D．s是q的充要条件 答案：BD 解析：由已知，得p⇒r⇒s⇒q；q⇒r⇒s.所以p是q的充分条件；p是s的充分条件；r是q的充要条件；s是q的充要条件．故选BD. 二、填空题 6．已知a，b是实数，则“ab＝0”是“a2＋b2＝0”的________条件． 答案：必要而不充分 解析：因为ab＝0a2＋b2＝0，而a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，即ab＝0.故“ab＝0”是“a2＋b2＝0”的必要而不充分条件． 7．“方程x2－2x－a＝0无实根”的充要条件是________． 答案：a<－1 解析：方程x2－2x－a＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.反之，若a<－1，则Δ<0，方程x2－2x－a＝0无实根．故“方程x2－2x－a＝0无实根”的充要条件是a<－1. 8．若“－<x<3”是“0≤x≤m”的必要而不充分条件，则实数m的取值范围是________． 答案：m<3 解析：若“－<x<3”是“0≤x≤m”的必要而不充分条件，则“－<x<3”不能推出“0≤x≤m”成立，“0≤x≤m”能推出“－<x<3”成立．记A＝，B＝{x|0≤x≤m}．由题意可得BA，即m<3.故实数m的取值范围是m<3. 三、解答题 9．已知p：0<m<；q：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实数根，那么p是q的什么条件？ 解：设x1，x2是方程mx2－2x＋3＝0的两个根， 则方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实数根等价于 因此p是q的充要条件． 10．已知a，b是正实数，求证：＋＋2＝的充要条件是a＋b＝1. 证明：必要性：若＋＋2＝， 则＝， 即a2＋a＋b2＋b＋2ab＝2， 即(a＋b)2＋(a＋b)－2＝0， 即(a＋b－1)(a＋b＋2)＝0， 因为a，b是正实数， 所以a＋b＋2>0， 所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1. 充分性：若a＋b＝1， 则＋＋2 ＝ ＝ ＝＝＝， 故＋＋2＝的充要条件是a＋b＝1. 11．求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． 解：①当a＝0时，解得x＝－1，满足条件； ②当a≠0时，显然方程没有零根， 若方程有两异号实根， 则必须满足解得a<0； 若方程有两个负实根， 则必须满足解得0<a≤. 综上，若方程至少有一个负实根，则a≤. 反之，若a≤，则方程至少有一个负实根． 因此，关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤. 12．请在①充分而不必要条件，②必要而不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数m存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 已知集合A＝{x|－2≤x≤6}，B＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}． 探究：若x∈A是x∈B的________条件，判断实数m是否存在． 解：若选择条件①，即x∈A是x∈B的充分而不必要条件，集合A是集合B的真子集， 则有(等号不同时成立)，解得m≥5， 所以实数m的取值范围是m≥5. 若选择条件②，即x∈A是x∈B的必要而不充分条件，集合B是集合A的真子集， 则有(等号不同时成立)，解得0<m≤3. 所以实数m的取值范围是0<m≤3. 若选择条件③，即x∈A是x∈B的充要条件，则集合A等于集合B， 则有方程组无解． 所以不存在满足条件的实数m. 3 学科网（北京）股份有限公司 $$