2.4.2 圆的一般方程 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.4.2 圆的一般方程 作者编号：32101 学习目标 1.掌握圆的一般方程及其特点. 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小. 3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程. 作者编号：32101 复习回顾 问题1:圆的标准方程是什么？ 它是关于x，y的什么形式的方程？ (x-a)2 +(y-b)2 =r2 (r>0) (a，b)为圆心， r为半径 x2 +y2 =r2 圆心在原点 二元二次方程 圆的标准方程的两种求法: (1)几何法 (2)待定系数法 一般步骤是:①设②列③解④代 作者编号：32101 新课讲授 问题2:一般地, 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开后，会得出怎样的形式？ (x-1)2+(y-2)2=4 x2+y2-2x+4y+1=0 (x-a)2+(y-b)2=r2 x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0 x2+y2+Dx+Ey+F=0 能否将形式写得更简单一点呢？ 作者编号：32101 问题3:反过来, 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否表示圆呢? 将方程左边配方, 并把常数项移到右边, 得 方程无实数解，所以不表示任何图形. 表示以( )为圆心， 以 为半径的圆. D2+E2-4F >0， =0， <0， (x-a)2+(y-b)2=r2 >0 方程只有一组解 ，表示一个点( ). 作者编号：32101 1.圆的一般方程 当D2+E2-4F>0时, 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆, 我们把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程. 问题4:观察圆的一般方程，你发现它有哪些结构特征？ 注意：①关于x，y的二元二次方程，x2与y2系数都是1； ②没有xy这样的二次项； ③圆心为( , )，半径为 . 作者编号：32101 标准方程 一般方程 方程 代数特征 系数 圆心 半径 问题5:圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点呢？ 平方和 特殊的二元二次方程 （a,b） r 作者编号：32101 例1 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆. (1)求实数m的取值范围； (2)写出圆心坐标和半径. 解：(1)由表示圆的充要条件得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 解得m＜，即实数m的取值范围为(﹣∞，). (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝. 作者编号：32101 练1.当圆C：x2＋y2－4x－2my＋2m＝0的面积最小时，m的值为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 D 分析：由圆C：x2＋y2－4x－2my＋2m＝0，得圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－m)2＝m2－2m＋4， 从而对于圆C的半径r有r2＝m2－2m＋4＝(m－1)2＋3≥3， 所以当m＝1时，r2取得最小值，此时圆C的面积最小. 作者编号：32101 例2 求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径. 解：设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ① 因为O，M1，M2三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解. 所以，所求圆的方程是x2＋y2－8x＋6y＝0. 作者编号：32101 问题6:什么是待定系数法？如何运用待定系数法求圆的方程呢？ 一般先写出含有未知系数的解的形式（如一种类型的方程、算式或表达式），然后再根据问题所给的条件解得所设的未知系数．由于其中的系数是未知和待定的，这类方法就被称为待定系数法． (1) 待定系数法： 其大致步骤是: ①根据题意， 选择标准方程或一般方程; ②根据条件列出关于a， b， r或D， E， F的方程组; ③解出a， b， r或D， E， F， 得到标准方程或一般方程. 2.求圆的方程的方法 (2) 几何法 作者编号：32101 练2.已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1). (1)求△ABC的外接圆的一般方程； (2)若点M(a，2)在△ABC的外接圆上，求a的值. 解：(1)设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 即△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0. 作者编号：32101 (2)若点M(a，2)在△ABC的外接圆上，求a的值. (2)由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0， 易知M的一个坐标为(2，2)，即a＝2， 又点M(a，2)在△ABC的外接圆上， ∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0， 即a2－8a＋12＝0，解得a＝6，综上，a＝2或6. 作者编号：32101 例3 已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 解：设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0). 由于点B的坐标是(4，3)，且M是线段AB的中点， 于是有x0＝2x－4，y0＝2y－3， ① 因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，所以点A的坐标满足圆的方程， 作者编号：32101 例3 已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 把①代入②，得(2x－4＋1)2＋(2y－3)2＝4， 作者编号：32101 课堂总结 回顾本节课，回答下列问题： (1)圆的一般方程如何表示？ (2)如何求动点的轨迹方程. 作者编号：32101 当堂检测 1.若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是( ) C 2.已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1，0)，则圆C的圆心的轨迹是( ) A.点 B.直线 C.线段 D.圆 D 作者编号：32101 当堂检测 3.△ABC三个顶点的坐标分别是A(-1，-5)， B(2，4)，C(5，-5)，则△ABC外接圆的方程是(　　) A.x2+y2-4x-2y-20=0 B.x2+y2+4x-2y-20=0 C.x2+y2-4x+2y-20=0 D.x2+y2+4x+2y-20=0 C 作者编号：32101 综上所述所求圆的圆心坐标是(4，－3)，半径r＝＝5. 把它们的坐标依次代入方程①，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组 解得 由题意，得 解得 所以x＝，y＝. 整理得(x-)2＋(y-)2＝1. 这就是点M的轨迹方程，它表示以(，)为圆心，半径为1的圆. 即(x0＋1)2＋y＝4， ② A. B. C. D. $$