专题3.2 函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）（考点精练）-【中职专用】2025年技能高考数学一轮复习讲练测（湖北专用）

专题3.2 函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性） 一、单选题 1．已知函数为奇函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义列式计算即得. 【详解】函数的定义域为R，由函数为奇函数，得， 即， 所以. 故选：B 2．若函数是奇函数，函数是偶函数，则（    ） A．函数是奇函数 B．函数是奇函数 C．函数是奇函数 D．函数是奇函数 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，函数是奇函数，函数是偶函数， A选项，，所以是偶函数，A选项错误. B选项，， 所以函数是偶函数，B选项错误. C选项，， 所以函数是奇函数，C选项正确. D选项，， 所以函数是非奇非偶函数，D选项错误. 故选：C 3．若函数是定义在上的奇函数，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由奇函数的性质即可求解 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以， 所以 故选：A 4．若函数是定义在上的奇函数，，则（    ） A．2 B．0 C．60 D．62 【答案】A 【分析】根据题意得出函数的周期性、对称性，进一步得出即可得解. 【详解】由题意，所以的周期为4， 且关于直线对称， 而， 所以. 故选：A. 5．定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中条件可知当时，，当时，，进而分类讨论解求得x的取值范围. 【详解】因为定义域为的奇函数在内单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由，可得：，或，或， 解得或， 所以满足的x的取值范围是， 故选：C. 6．已知函数是定义在上的增函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的定义域及单调性计算即可. 【详解】由题意可知，解不等式得. 故选：D 二、多选题 7．已知函数在R上单调递减，且为奇函数，若，则满足的x值可能为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】CD 【分析】利用奇函数的性质及其单调性可得求自变量范围，即可得答案. 【详解】由题设，且，又在R上单调递减， 所以，即，符合要求的x值为C、D. 故选：CD 8．已知是奇函数，是偶函数，且，则（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】CD 【分析】根据奇偶函数定义直接判断即可. 【详解】是奇函数，； 是偶函数，； 对于A，， 不是奇函数，A错误； 对于B，， 不是奇函数，B错误； 对于C，，是奇函数，C正确； 对于D，，是奇函数，D正确. 故选：CD. 三、填空题 9．函数的奇偶性为 ． 【答案】既是奇函数又是偶函数 【分析】先求出函数的定义域，然后对函数化简，再根据奇偶性的定义分析判断. 【详解】由，得，解得， 所以函数定义域为，定义域关于原点对称， 所以， 因为，且， 所以函数既是奇函数又是偶函数. 故答案为：既是奇函数又是偶函数 10．设是以为最小正周期的周期函数，且当时，，则 ， ． 【答案】 / 【分析】根据函数解析式和周期函数即可求解. 【详解】解析：，， 故答案为：； 11．若函数为偶函数，则下列关系一定成立的是 .（填写正确的序号） ①；        ②； ③；    ④. 【答案】② 【分析】借助偶函数的性质可得，从而可得，即可得解. 【详解】由为偶函数，则有，故②正确，③错误； 则，故①、④错误. 故答案为：②. 12．已知定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意作出示意图，结合图形可求不等式的解集. 【详解】因为是定义在上的奇函数，且在上单调递减，， 作出示意图如图所示：    由图形可知满足不等式的的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 13．已知函数且． (1)求的值； (2)判定的奇偶性． 【答案】(1) (2)奇函数 【分析】（1）代入，可得； （2）利用定义法可判断奇偶性. 【详解】（1）由且， 则 解得； （2）由（1）得， 则，， ， 所以函数为奇函数. 14．已知函数． (1)若为奇函数，求a的值； (2)试判断在上的单调性，并用定义证明． 【答案】(1)； (2)在上递增，证明见解析. 【分析】（1）由奇偶性定义，先确定函数定义域，再由求参数. （2）令，应用作差法比较大小即可证. 【详解】（1）由题设，且定义域为， 又为奇函数，则， 所以. （2）在上递增，证明如下： 令，则， ，，故，即， 所以在上递增. 一、单选题 1．已知是定义在上的奇函数，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质求出函数的性质，进而求出. 【详解】由是定义在上的奇函数，得， 即，令，则，而， 所以. 故选：C 2．已知函数对于任意实数满足条件，若，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】根据函数关系计算得出函数周期为4，再结合已知求得，从而得解. 【详解】因为， 所以，则周期为4， 又因为，所以， 所以. 故选：D. 3．设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，探讨函数的周期，再借助周期求出函数值. 【详解】由是定义在R上的奇函数，得， 即，则，函数的周期为2， 所以. 故选：B 4．若函数为奇函数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于函数为奇函数，则，从而可求解.. 【详解】由为奇函数， 则，故B正确. 故选：B. 5．已知函数是定义在上的偶函数，又，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先求出的值，由二次函数的性质分析的单调性，进而分析的对称性和单调性，由此分析可得答案. 【详解】根据题意，数是定义在上的偶函数， 则有，解可得， 则函数是开口向下的二次函数，在区间上为减函数， 又，函数的对称轴为，且在上为减函数， 则有， 即. 故选：D. 6．已知函数是定义域为R的偶函数，且对任意，,，当时总有，则满足的的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件判断函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可． 【详解】任意，,，当时总有， 在,上是增函数， 又是定义域为的偶函数， 故在,上是减函数． 由可得． 所以，解得， 即不等式的解集为,， 故选：A． 二、多选题 7．已知奇函数的定义域为，若，则（ ） A． B．的图象关于直线对称 C． D．的一个周期为 【答案】ACD 【分析】由奇函数可得，再根据函数的周期性与对称性分别判断. 【详解】对于A，由定义域为且函数为奇函数，可得，A选项正确； 对于B，由，可得，则函数关于直线对称，B选项错误； 对于C，由以及奇函数性质可知， 可得，即可得，即C选项正确； 对于D，根据C中的结论可知， 即可得，函数的一个周期为，D选项正确； 故选：ACD. 8．已知函数，下列说法错误的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上是减函数 D．在上是减函数 【答案】BC 【分析】由偶函数的性质和图像逐一判断即可； 【详解】易知函数的定义域为R，且，所以是偶函数，故A正确，B错误； 当时，，此时单调递增且过原点， 由函数为偶函数作出图像如下：    由图像可得在上是增函数，在上是减函数，故C错误，D正确； 故选：BC. 三、填空题 9．若函数为偶函数，则 . 【答案】1 【分析】根据偶函数的定义求解即可. 【详解】的定义域为， 因为是偶函数，所以对于定义域内任意恒成立， 则对于定义域内任意恒成立， 则对于定义域内任意恒成立， 即对于定义域内任意恒成立， 即，对于定义域内任意恒成立， 解得. 故答案为：. 10．已知函数满足，，则 . 【答案】-2 【分析】根据已知条件求出函数的周期，利用周期性对所求函数值进行化简，进而得出结论. 【详解】由题意可得，， 所以，则是周期函数，且一个周期是8.        所以.     故答案为：－2. 11．已知函数的定义域为，且是奇函数，为偶函数，则 . 【答案】0 【分析】根据奇偶函数的性质求函数值即可. 【详解】因为是奇函数，所以. 因为为偶函数，所以. 取，得， 所以. 故答案为：0 12．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则的解集为 . 【答案】 【分析】当时，可得，根据偶函数的性质可知，当时，由可得，进而可得. 【详解】当时，得， 又函数是定义在上的偶函数， 故当时，由可得， 综上的解集为， 故答案为： 四、解答题 13．已知函数，且其定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； (3)解不等式． 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）检验与的关系即可判断; （2）任取，然后利用作差法比较与的大小即可判断; （3）结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式. 【详解】（1）为奇函数，理由如下： 因为，且函数定义域为，关于原点对称， 所以为奇函数. （2）任取， 所以，， 则， 所以， 故在上单调递减； （3）可转化为， 则，所以，解得， 故的范围为. 14．已知是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数，恒有. (1)求的值； (2)证明：为偶函数； (3)若在上单调递增，求不等式的解集. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)或， 【分析】（1）令以及即可求解， （2）令，即可根据偶函数的定义求解， （3）先得出，根据函数的奇偶性和单调性求解. 【详解】（1）令得：，故， 令得：，故. （2）因为是定义在非零实数集上的函数， 令，故， 为偶函数； （3）在上单调递增，且为偶函数， 故在上是减函数，由于， 则， 故，且，解得且， 故不等式的解集为或. 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性） 一、单选题 1．已知函数为奇函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 2．若函数是奇函数，函数是偶函数，则（    ） A．函数是奇函数 B．函数是奇函数 C．函数是奇函数 D．函数是奇函数 3．若函数是定义在上的奇函数，则（    ） A．0 B．1 C． D． 4．若函数是定义在上的奇函数，，则（    ） A．2 B．0 C．60 D．62 5．定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数是定义在上的增函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知函数在R上单调递减，且为奇函数，若，则满足的x值可能为（    ） A． B．0 C．1 D．2 8．已知是奇函数，是偶函数，且，则（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 三、填空题 9．函数的奇偶性为 ． 10．设是以为最小正周期的周期函数，且当时，，则 ， ． 11．若函数为偶函数，则下列关系一定成立的是 .（填写正确的序号） ①；        ②； ③；    ④. 12．已知定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是 ． 四、解答题 13．已知函数且． (1)求的值； (2)判定的奇偶性． 14．已知函数． (1)若为奇函数，求a的值； (2)试判断在上的单调性，并用定义证明． 一、单选题 1．已知是定义在上的奇函数，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 2．已知函数对于任意实数满足条件，若，则（    ） A． B． C． D．4 3．设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ） A． B． C． D． 4．若函数为奇函数，则（     ） A． B． C． D． 5．已知函数是定义在上的偶函数，又，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数是定义域为R的偶函数，且对任意，,，当时总有，则满足的的范围是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知奇函数的定义域为，若，则（ ） A． B．的图象关于直线对称 C． D．的一个周期为 8．已知函数，下列说法错误的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上是减函数 D．在上是减函数 三、填空题 9．若函数为偶函数，则 . 10．已知函数满足，，则 . 11．已知函数的定义域为，且是奇函数，为偶函数，则 . 12．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则的解集为 . 四、解答题 13．已知函数，且其定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； (3)解不等式． 14．已知是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数，恒有. (1)求的值； (2)证明：为偶函数； (3)若在上单调递增，求不等式的解集. 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$