专题2.2 一元二次不等式（考点精讲）-【中职专用】2025年技能高考数学一轮复习讲练测（湖北专用）

专题2.2 一元二次不等式 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 3 考点一：解不含参的一元二次不等式 3 考点二：解含参的一元二次不等式 4 考点三：由一元二次不等式的解确定参数 5 考点四：一元二次不等式的恒成立问题 5 考点五：一元二次不等式的实际应用问题 6 【考纲要求】 1. 掌握一元二次不等式的解，会求不含参的和简单含参的. 2. 根据一元二次不等式的解集求一元二次不等式的解集. 3. 会简单的实际应用. 【考向预测】 1.解一元二次不等式 2.解含参的一元二次不等式 3.根据一元二次不等式的解集求一元二次不等式的解集 4.实际应用问题 【知识导图】 【知识清单】 1. 二次函数的图象与性质 函数图象 开口方向 向上 向下 对称轴方程 最值 2. 一元二次方程求根公式及韦达定理 一元二次方程求根公式 的根为： 韦达定理（根与系数的关系） 的两根为，；则 3. 解一元二次不等式 “三个二次”：一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的联系 判别式 一元二次方程 的根 有两个不等实根 ，（设） 有两个相等实根 无实数根 二次函数 的图象 的解集 的解集 ∅ ∅ ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＞0且b2－4ac＜0(x∈R)． ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＜0且b2－4ac＜0(x∈R)． 【考点分类剖析】 考点一：解不含参的一元二次不等式 例1．已知则不等式的解集为 ． 【变式探究】若实数满足不等式，则的取值范围是 . 例2．不等式 的解集为 ． 【变式探究】不等式的解为 ． 例3．不等式的解集为 .（用区间表示） 【变式探究】不等式的解集是 . 考点二：解含参的一元二次不等式 例1．若，则不等式的解集为 ． 【变式探究】不等式解集是 ． 例2．解关于的不等式．（只需结果，不需过程） 可因式分解为 ． 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ． 【变式探究】已知，则关于x的不等式的解集是 . 考点三：由一元二次不等式的解确定参数 例1．已知关于x的不等式的解集是或，则不等式的解集是 . 【变式探究】已知不等式的解集为，则不等式的解集为 . 例2．已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 【变式探究】若一元二次不等式的解集为，则 . 考点四：一元二次不等式的恒成立问题 例1．已知对一切实数恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】若不等式对一切实数x都成立，则的范围是（    ） A． B． C． D．或 例2．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】已知当时，恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点五：一元二次不等式的实际应用问题 例1．商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售．每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件可定为（    ） A．11元 B．16元 C．12元到16元之间 D．13元到15元之间 【变式探究】某地每年消耗木材约20万立方米，每立方米售价480元，为了减少木材消耗，决定按征收木材税，这样，每年的木材消耗量减少万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于180万元，t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2．为建设美丽中国，增强民众幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区计划建设一块长为、宽为的矩形花园，其四周种植花卉，中间种植草坪（如图所示）．如果花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的三分之一，那么花卉带的宽度可能为（    ）    A． B． C． D． 【变式探究】某种汽车在水泥路面上的刹车距离（单位：）和汽车刹车前的车速（单位：）之间有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于，则这辆汽车刹车前的车速至少为 ． 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 一元二次不等式 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 3 考点一：解不含参的一元二次不等式 3 考点二：解含参的一元二次不等式 5 考点三：由一元二次不等式的解确定参数 7 考点四：一元二次不等式的恒成立问题 9 考点五：一元二次不等式的实际应用问题 11 【考纲要求】 1. 掌握一元二次不等式的解，会求不含参的和简单含参的. 2. 根据一元二次不等式的解集求一元二次不等式的解集. 3. 会简单的实际应用. 【考向预测】 1.解一元二次不等式 2.解含参的一元二次不等式 3.根据一元二次不等式的解集求一元二次不等式的解集 4.实际应用问题 【知识导图】 【知识清单】 1. 二次函数的图象与性质 函数图象 开口方向 向上 向下 对称轴方程 最值 2. 一元二次方程求根公式及韦达定理 一元二次方程求根公式 的根为： 韦达定理（根与系数的关系） 的两根为，；则 3. 解一元二次不等式 “三个二次”：一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的联系 判别式 一元二次方程 的根 有两个不等实根 ，（设） 有两个相等实根 无实数根 二次函数 的图象 的解集 的解集 ∅ ∅ ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＞0且b2－4ac＜0(x∈R)． ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＜0且b2－4ac＜0(x∈R)． 【考点分类剖析】 考点一：解不含参的一元二次不等式 例1．已知则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】求出方程的解后可求不等式的解集. 【详解】方程的解为或， 故不等式的解集为， 故答案为：. 【变式探究】若实数满足不等式，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】不等式，即，解得，则的取值范围是. 故答案为：. 例2．不等式 的解集为 ． 【答案】或 【分析】根据一元二次不等式的解集公式可直接求得结果. 【详解】不等式可化为， 解得或， ∴原不等式的解集为或. 故答案为：或. 【变式探究】不等式的解为 ． 【答案】 【分析】利用一元二次不等式的求解方法可得答案. 【详解】因为，所以. 故答案为： 例3．不等式的解集为 .（用区间表示） 【答案】 【分析】直接解一元二次不等式即可. 【详解】由， 解之得. 故答案为：. 【变式探究】不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的求解即可得作答. 【详解】由得， 故答案为：. 考点二：解含参的一元二次不等式 例1．若，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由题可知，对应的一元二次函数开口向上，因此根据口诀“大于取两边，小于取中间”即可一元二次不等式. 【详解】因为， 所以, 所以由， 得, 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 【变式探究】不等式解集是 ． 【答案】 【分析】根据已知不等式，直接求解即可. 【详解】令，解得或， 故不等式的解集为. 故答案为：. 例2．解关于的不等式．（只需结果，不需过程） 可因式分解为 ． 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合一元二次不等式的解法，合理分类讨论，即可求解. 【详解】由题意得：方程可分解为， 若时，不等式即为，解得，不等式的解集为； 若时，令，解得或， 当时，即时，由，解得，此时解集为； 当时，即时，由，解得，此时解集为； 当时，此时，由，解得，此时解集为； 当时，此时，由，解得或，此时解集为； 故答案为：；；；；；；；；；；. 【变式探究】已知，则关于x的不等式的解集是 . 【答案】 【分析】将不等式的左边进行因式分解，然后比较和的大小，再利用一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】因为关于x的不等式可化为： ，又因为，所以， 所以不等式的解集为， 则关于x的不等式的解集是， 故答案为：. 考点三：由一元二次不等式的解确定参数 例1．已知关于x的不等式的解集是或，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】依题意可得为关于的方程的两根且，利用韦达定理，即可得到，再代入目标不等式，解出即可. 【详解】因为关于的不等式的解集是或， 所以为关于的方程的两根，且， 所以，则， 所以不等式，即，即， 解得，所以不等式的解集是. 故答案为：. 【变式探究】已知不等式的解集为，则不等式的解集为 . 【答案】或 【分析】由一元二次不等式的解集的特点可得方程的实数根为和5，利用韦达定理得到和的值，从而解新的一元二次不等式得到结果. 【详解】由题意知方程的实数根为和5， 所以解得， 则不等式可化为， 解得或， 所以不等式的解集为或， 故答案为：或. 例2．已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 【答案】D 【分析】根据不等式与方程的关系，结合韦达定理，求得的关系，再分析选项即可求解． 【详解】对于A，由已知可得开口向下，即，故A错误； 对于BCD，是方程的两个根， 所以， 所以，， ，故BC错误，D正确； 故选：D． 【变式探究】若一元二次不等式的解集为，则 . 【答案】/ 【分析】根据一元二次不等式的解集先求出的值，再求. 【详解】因为一元二次不等式的解集为， 所以方程的两根分别为2，4， 由韦达定理得：，解得，则. 故答案为： 考点四：一元二次不等式的恒成立问题 例1．已知对一切实数恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分和两种情况讨论即可求得答案. 【详解】当时，，成立. 当时，需满足， 所以. 综上，. 故选：D. 【变式探究】若不等式对一切实数x都成立，则的范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由已知不等式得出函数的判别式与的关系，即可求出的范围. 【详解】由题意， 在中，开口向上，对称轴， 不等式对一切实数x都成立， ∴，解得：， 故选：B. 例2．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，分离参数再利用基本不等式求出最小值即得. 【详解】不等式对任意恒成立，则，成立， 而，当且仅当，即时取等号，因此， 所以实数的取值范围是. 故选：B 【变式探究】已知当时，恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式的性质，结合任意性的定义进行求解即可. 【详解】因为， 所以由， 当时，恒成立，等价于当时，恒成立， 则有， 故选：D 考点五：一元二次不等式的实际应用问题 例1．商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售．每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件可定为（    ） A．11元 B．16元 C．12元到16元之间 D．13元到15元之间 【答案】C 【解析】设销售价定为每件元，利润为元，根据题意可得利润的函数解析式.由题意可得关于的一元二次不等式，解不等式即可求得每件销售价的范围. 【详解】设销售价定为每件元,利润为元， 则， 由题意可得：， 即， 所以， 解得：， 所以每件销售价应定为12元到16元之间， 故选：C 【变式探究】某地每年消耗木材约20万立方米，每立方米售价480元，为了减少木材消耗，决定按征收木材税，这样，每年的木材消耗量减少万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于180万元，t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，列出不等式，即可求解. 【详解】由题意，每年消耗木材为万立方米，所以每年税金为， 要保证税金收入每年不少于万元，可得且， 解得，即实数的取值范围为. 故选：C. 例2．为建设美丽中国，增强民众幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区计划建设一块长为、宽为的矩形花园，其四周种植花卉，中间种植草坪（如图所示）．如果花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的三分之一，那么花卉带的宽度可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设花卉带的宽度为，由题设有且求范围，即可得答案. 【详解】设花卉带的宽度为，则， 所以，即，可得， 又，故，而，则可能取值为2. 故选：B 【变式探究】某种汽车在水泥路面上的刹车距离（单位：）和汽车刹车前的车速（单位：）之间有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于，则这辆汽车刹车前的车速至少为 ． 【答案】 【分析】设这辆汽车刹车前的车速，利用题设中的的关系式和不等式关系可得的一元二次不等式，求的范围可得． 【详解】设这辆汽车刹车前的车速为， 根据题意，有， 整理得， 解得或（舍去）， 所以这辆汽车刹车前的速度至少为． 故答案为： 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$