28.2 解直角三角形及应用（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（人教版）

28.2 解直角三角形及应用 【考点1 解直角三角形的相关计算】 【考点2 解非直角三角形】 【考点3 解直角三角形的应用-坡度坡角】 【考点4 解直角三角形的应用-仰角俯角问题】 【考点5 解直角三角形应用-方向角问题】 知识点1 ：解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， (1) 【考点1 解直角三角形的相关计算】 【典例1】如图，中，，，，是上的一点，垂足为，若，则的长为（    ） A． B．2 C．3 D．5 【变式1-1】如图，含角的直角三角尺的斜边与矩形直尺的边在同一直线上，此时直尺的另一边与直角三角尺的直角边的交点D恰好是的中点，若，则的长为（    ） A．4 B． C． D． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为，，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在中，， 点D是上一点，过点D作于点E，已知，，则的长为（    ） A．4 B． C． D．3 【考点2 解非直角三角形】 【典例2】在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【变式2-2】如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 【变式2-3】如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（    ） A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4） C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2） 【考点3 解直角三角形的应用-坡度坡角】 【典例3】过街天桥的出现，解决了“过街”难题，也已成为一道独特的风景线，下图是某 过街天桥的截横面，桥顶 平行于地面， 天桥斜面的坡度为， 长， 天桥另一斜面的坡角． (1)求点 D到地面 的距离； (2)为了更方便过路群众，若对该过街天桥进行改建，使斜面的坡角变为30°，改建后斜面为，则斜面的坡角，试计算此改建需占路面的宽度的长(结果精确到)(参考数据) 【变式3-1】如图，为一个斜面，坡比．斜面的高．为了减小小球下滑的速度，将坡面换成新坡面，且． (1)求新坡面的坡比以及新坡面的长； (2)原坡面的底部距离铁板的距离为．经过实验，坡面底部与铁板的距离必须大于，小球才不和铁板相撞．请你通过计算，判断小球从新坡面静止滑下，会不会与铁板相撞？ 【变式3-2】如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为，已知原传送带长为4米．（计算结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） (1)求新传送带的长度． (2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物是否需要挪走，并说明理由． 【变式3-3】图1是一段横截面为四边形CBNM（如图2）的防洪堤，在四边形中，已测得：，，；现有一位同学为了获得防洪堤横截面相关数据，采用如下方案测量：如图2，把一根长为6的竹竿斜靠在防洪堤上面C处（E与C重合），在离A端1.5的D处，测得它离地面高度为0.6，又量得坡面的长为4．（，，） (1)试求出防洪堤的高和坡面倾斜角度数； (2)当防洪堤上面宽时，计算防洪堤横截面的面积． 【考点4 解直角三角形的应用-仰角俯角问题】 【典例4】某校研究性学习小组测量学校旗杆的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为，在教学楼五楼D处测得旗杆顶部的仰角为，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知米，求旗杆的高度．    【变式4-1】某同学利用数学知识测量建筑物的高度．他从点出发沿着坡度为的斜坡步行米到达点处，用测角仪测得建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为．若为水平的地面，测角仪竖直放置，其高度米．    (1)求点到水平地面的距离． (2)求建筑物的高度．（精确到米） （参考数据：，，，） 【变式4-2】 如图，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对他所在小区居民楼的高度进行测量，从小敏家阳台C测得点A的仰角为，测得点B的俯角为，已知观测点到地面的高度，求居民楼的高度（结果保留整数．参考数据：，，）． 【变式4-3】如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树的高度，甲同学在点测得大树顶端的仰角为，乙同学从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡度为． (1)求乙同学从点到点的过程中上升的高度； (2)依据他们测量的数据求出大树的高度．（参考数据：，，） 【考点5 解直角三角形应用-方向角问题】 【典例5】如图，一艘货轮由南向北航行，其正前方有艘护航舰同向航行，某一时刻在灯塔P处观测到货轮在南偏东方向的A处，同时观测到护航舰在北偏东方向的B处，距离灯塔60海里． (1)求此时货轮与护航舰相距多少海里？（结果保留一位小数） (2)若护航舰速度为30海里/时，继续航行多少小时可使护航舰在灯塔P北偏东方向？（参考数据：，，，） 【变式5-1】如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东方向，距离小岛80海里的点A处，它沿着点A的南偏东方向航行．（结果保留根号） (1)渔船航行多远与小岛B的距离最近？ (2)渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行海里到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问：救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少？ 【变式5-2】为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时海里的速度向正东方航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行小时到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上． (1)求的度数； (2)已知在灯塔的周围海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？ 【变式5-3】小亮为测量某铁桥的长度，乘车在与该铁桥平行且处于同一水平面的一段东西走向的公路上行驶时，在A处发现桥的起点B在A点的北偏东的方向上，并测得米，当车前进146米到达D处时，测得桥的终点C在D点的北偏东的方向上，求该桥的长度．（结果保留整数，参考数据：) 1．某次户外研学活动中，数学老师给同学们布置了一项测量树高的任务．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角，若米，则树高为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．如图，城关镇某村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为m米，那么这两树在坡面上的距离为（　　） A． B． C． D． 3．如图，滑雪场有一坡角为的滑雪道，滑雪道长米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（     ）米 A． B． C． D． 4．如图，某地修建一座高的天桥，已知天桥斜面的坡度为，则斜坡的长度为（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为，看这栋楼底部C处的俯角为，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（    ） A． B． C． D． 6．如图，从山下乘缆车上山，缆绳与水平方向成的夹角，已知缆车速度为每分钟米，从山脚到山顶需分钟，则山的高度为（     ）    A．米 B．米 C．米 D．米 7．在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（     ） A．米 B．25米 C．米 D．50米 8．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则旗杆的高度是（    ） A． B．40 C． D． 9．如图，水库边有一段长300米，高8米的大坝，大坝的横截面为梯形，其中，背水坡坡角．现要对大坝进行维修，维修方案是：将大坝上底加宽2米，并使背水坡坡角为，则维修此大坝需要土石（  ）立方米． A． B． C． D． 10．如图，在观测站O处测得船A和灯塔B分别位于正东方向和北偏东方向，灯塔B位于船A的北偏东方向海里处，若船A向正东航行，则船A离灯塔B的最近距离是（　　） A．海里 B．海里 C．海里 D．4海里 11．如图，某河堤的横断面是梯形，迎水坡长13米，且斜坡的坡度为，则河堤的高为 米． 12．如图，从一个建筑物的A处测得对面楼的顶部B的仰角为，底部C的俯角为，观测点与楼的水平距离为，则楼的高度约为 （结果取整数）．（参考数据：） 13．如图，一山坡的坡度，小明从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小明上升了（） 米． 14．如图，线段，分别表示甲、乙建筑物的高，两座建筑物间的距离为．若在点A处测得点D的俯角为，点C的仰角为，则乙建筑物的高约为 ． 15．农用温室大棚的上半部分如图，迎阳坡的坡度，背阳坡的坡脚满足，棚宽，则拱高 ． 16．如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点测得该楼顶部点的仰角为，测得底部点的俯角为，点与楼的水平距离，则这栋楼的高度为 m（结果保留根号）． 17．如图，一幢居民楼后面有一处斜坡，已知斜坡的坡角，斜坡长，一人站在坡面的顶端A处看居民楼顶端C点，仰角为，而居民楼底端距离坡面底端长，请根据以上数据求居民楼的高度．（参考数据：，，） 18．王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜面的坡度为：点、、在同一水平线上． (1)求王刚同学从点到点的过程中上升的高度； (2)求大树的高度（结果保留根号）． 19．奇山秀水聚宝盆——湖南首届旅游大会在张家界召开．如图①为某景区山地剖面图，为给游客提供更好的游览体验，拟在山上修建观光索道．如图②所示为索道的设计示意图，以山顶为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山脚处，中途观光平台为，且与平行．索道与水平线的夹角为，与水平线夹角为，、两处的水平距离为，，垂足为点．（参考数据：，，，） (1)求索道的长（结果精确到0.）； (2)求水平距离的长（结果精确到0.）． 20．如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，求此时轮船所在的处距离灯塔有多远．（结果取整数，参考数据：，，，，，） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 28.2 解直角三角形及应用 【考点1 解直角三角形的相关计算】 【考点2 解非直角三角形】 【考点3 解直角三角形的应用-坡度坡角】 【考点4 解直角三角形的应用-仰角俯角问题】 【考点5 解直角三角形应用-方向角问题】 知识点1 ：解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， (1) 【考点1 解直角三角形的相关计算】 【典例1】如图，中，，，，是上的一点，垂足为，若，则的长为（    ） A． B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先利用勾股定理得到，再解直角三角形得到，则． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 在中，， 故选：C． 【变式1-1】如图，含角的直角三角尺的斜边与矩形直尺的边在同一直线上，此时直尺的另一边与直角三角尺的直角边的交点D恰好是的中点，若，则的长为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形的应用，掌握直角三角形的性质，灵活运用锐角三角函数是解题关键．过点作于点，由矩形的性质可得，利用锐角三角函数求出，进而得到，再根据30度角所对的直角边等于斜边一半，即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意可知，，， ， 四边形是矩形，， ， ， 在中，， ， 是的中点 ， 在中，， ， 故选：D 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为，，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于，利用菱形的性质，直角三角函数解答即可． 本题考查了菱形的性质，三角函数的应用，熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键． 【详解】解：作于， ∵菱形，，点B的坐标为， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选B． 【变式1-3】如图，在中，， 点D是上一点，过点D作于点E，已知，，则的长为（    ） A．4 B． C． D．3 【答案】B 【分析】该题主要考查了解直角三角形，解题的关键是理解正弦的定义． 根据算出，再算出，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【考点2 解非直角三角形】 【典例2】在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 【变式2-1】如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 【变式2-2】如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 【答案】B 【分析】过点作的垂线，垂足分别为，在，中，求得的长，进而证明是等腰三角形，即可求解． 【详解】解：如图，过点作的垂线，垂足分别为， 在中，， 在中，， ∵中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选:B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形． 【变式2-3】如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（    ） A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4） C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2） 【答案】C 【分析】先求出点A的坐标，再根据旋转变换中，坐标的变换特征求解；或根据题意画出图形旋转后的位置，根据旋转的性质确定对应点A′的坐标． 【详解】过点A作于点C． 在Rt△AOC中， ． 在Rt△ABC中， ． ∴　． ∵OA＝4，OB＝6，AB＝2， ∴． ∴． ∴点A的坐标是． 根据题意画出图形旋转后的位置，如图， ∴将△AOB绕原点O顺时针旋转90°时，点A的对应点A′的坐标为； 将△AOB绕原点O逆时针旋转90°时，点A的对应点A′′的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形、旋转中点的坐标变换特征及旋转的性质．（a，b）绕原点顺时针旋转90°得到的坐标为（b，-a），绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为（－b，a）． 【考点3 解直角三角形的应用-坡度坡角】 【典例3】过街天桥的出现，解决了“过街”难题，也已成为一道独特的风景线，下图是某 过街天桥的截横面，桥顶 平行于地面， 天桥斜面的坡度为， 长， 天桥另一斜面的坡角． (1)求点 D到地面 的距离； (2)为了更方便过路群众，若对该过街天桥进行改建，使斜面的坡角变为30°，改建后斜面为，则斜面的坡角，试计算此改建需占路面的宽度的长(结果精确到)(参考数据) 【答案】(1)点D到地面BC的距离为 ； (2)改建后需占路面宽度 的长为 【分析】本题考查了坡度坡角的知识，解答本题的关键是理解坡度坡角的定义，掌握坡度坡角的正切值． （1）作于点，根据坡度的概念求出； （2）过点A作，根据坡角的度数和铅直高的长求出水平宽、的长，进而可由求得的长． 【详解】（1）作于点， ， ∵斜面的坡度为 ， , , 答：点到地面的距离为； （2）作 于点， ∵天桥斜面的坡角， ， ∵斜面的坡角， ， ， , 答：此改建需占路面的宽度的长约为． 【变式3-1】如图，为一个斜面，坡比．斜面的高．为了减小小球下滑的速度，将坡面换成新坡面，且． (1)求新坡面的坡比以及新坡面的长； (2)原坡面的底部距离铁板的距离为．经过实验，坡面底部与铁板的距离必须大于，小球才不和铁板相撞．请你通过计算，判断小球从新坡面静止滑下，会不会与铁板相撞？ 【答案】(1)新坡面的坡比， (2)会，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的坡角即正切值，勾股定理，线段的和与差，三角形外角性质，等腰三角形性质，理解坡角的概念是解题的关键． （1）根据坡比得到，利用三角形外角性质得到，利用等腰三角形性质得到，利用解直角三角形得到，，进而得到，即可得到新坡面的坡比以及新坡面的长； （2）根据题意得到，再与进行比较判断，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 新坡面的坡比； 新坡面的长为：； （2）解：由题知，， ， ， ， 小球从新坡面静止滑下，会与铁板相撞． 【变式3-2】如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为，已知原传送带长为4米．（计算结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） (1)求新传送带的长度． (2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物是否需要挪走，并说明理由． 【答案】(1)新传送带AC的长度为6.1米 (2)货物需要搬走，理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用－坡度坡角问题． （1）过A作，在和中，利用解直角三角形求解即可； （2）在和中，求得和的长，根据，代入数据计算即可求解． 【详解】（1）解：过A作， 在中， ， 米， 在中， ， 米， 答：新传送带AC的长度为6.1米； （2）解：在中， ， 米， 在中，， 米， ， ， 货物需要搬走． 【变式3-3】图1是一段横截面为四边形CBNM（如图2）的防洪堤，在四边形中，已测得：，，；现有一位同学为了获得防洪堤横截面相关数据，采用如下方案测量：如图2，把一根长为6的竹竿斜靠在防洪堤上面C处（E与C重合），在离A端1.5的D处，测得它离地面高度为0.6，又量得坡面的长为4．（，，） (1)试求出防洪堤的高和坡面倾斜角度数； (2)当防洪堤上面宽时，计算防洪堤横截面的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形实际应用． （1）如图，过C作于F，于G，解直角三角形即可得到结论； （2）过M作于，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，根据梯形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）如图，过C作于F，于G， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴． （2）过M作于， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴． 【考点4 解直角三角形的应用-仰角俯角问题】 【典例4】某校研究性学习小组测量学校旗杆的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为，在教学楼五楼D处测得旗杆顶部的仰角为，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知米，求旗杆的高度．    【答案】18米 【分析】该题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，矩形的性质和判定，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线． 如图，过点D作于点H，则四边形是矩形，设，在中，求出，得出，，在中，求出，根据，求出，即可求解； 【详解】解：如图，过点D作于点H， 则四边形是矩形，    设， 在中，， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， 答：旗杆的高度为． 【变式4-1】某同学利用数学知识测量建筑物的高度．他从点出发沿着坡度为的斜坡步行米到达点处，用测角仪测得建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为．若为水平的地面，测角仪竖直放置，其高度米．    (1)求点到水平地面的距离． (2)求建筑物的高度．（精确到米） （参考数据：，，，） 【答案】(1)米； (2)米． 【分析】（1）延长交于，作于，直接利用坡度的定义和勾股定理，得出的长， （2）根据矩形的判定和性质得出的长，进而利用锐角三角函数关系得出的长，进而得出的长，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示：延长交于，作于，    在中，，，， ∴， 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ∴点到水平地面的距离米． （2）解：∵， ∴四边形是矩形， ∴米， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：建筑物高约米． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角，坡度问题，勾股定理，矩形的判定和性质，正确得出的长是解题关键． 【变式4-2】 如图，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对他所在小区居民楼的高度进行测量，从小敏家阳台C测得点A的仰角为，测得点B的俯角为，已知观测点到地面的高度，求居民楼的高度（结果保留整数．参考数据：，，）． 【答案】居民楼的高度约为 【分析】此题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．过点C作于点E，则，先证明四边形是矩形，，在中，，，在中，，，求得，进而得到居民楼的高度． 【详解】解：如图，过点C作于点E，则， 由题意可知， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意得，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 答：居民楼的高度约为． 【变式4-3】如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树的高度，甲同学在点测得大树顶端的仰角为，乙同学从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡度为． (1)求乙同学从点到点的过程中上升的高度； (2)依据他们测量的数据求出大树的高度．（参考数据：，，） 【答案】(1)上升的高度为6米 (2)大树的高度约为24米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握三角形函数的相关定义和运算是解题关键． （1）作于，根据题意可得，然后利用勾股定理求解即可； （2）过点作于点，证明四边形为矩形，易得，；设米，证明为等腰直角三角形，可得，进一步可得，，然后利用三角函数求解即可． 【详解】（1）解：作于，如图所示， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（米）． 答：乙同学从点到点的过程中，他上升的高度为6米； （2）解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 设米， 在中，， ∴， ∴， 由（1）得， ∴在矩形中，，， 在中，， ∵， ∴， 解得 ， 答：大树的高度约为24米． 【考点5 解直角三角形应用-方向角问题】 【典例5】如图，一艘货轮由南向北航行，其正前方有艘护航舰同向航行，某一时刻在灯塔P处观测到货轮在南偏东方向的A处，同时观测到护航舰在北偏东方向的B处，距离灯塔60海里． (1)求此时货轮与护航舰相距多少海里？（结果保留一位小数） (2)若护航舰速度为30海里/时，继续航行多少小时可使护航舰在灯塔P北偏东方向？（参考数据：，，，） 【答案】(1)此时货轮与护航舰相距海里 (2)继续航行2小时，护航舰在灯塔P北偏东方向 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，理解题意，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）如图1，过点P作，过点P作于点C，在中，算出海里，海里，在中，算出海里，即可求解； （2）如图2，在（1）的基础上，护航舰由B航行到处，由题意可知，在中，算出海里，解出（海里），即可求解； 【详解】（1）解：如图1，过点P作，过点P作于点C， ∴． 由题意可知：，，海里， ∴，． 在中，，即， ∴海里， ，即， ∴海里， 在中，，即， ∴海里， ∴（海里）． 答：此时货轮与护航舰相距海里． （2）解：如图2，在（1）的基础上，护航舰由B航行到处，由题意可知． ∴． 在中，，即， ∴海里， ∴（海里）， （小时）， 答：继续航行2小时，护航舰在灯塔P北偏东方向． 【变式5-1】如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东方向，距离小岛80海里的点A处，它沿着点A的南偏东方向航行．（结果保留根号） (1)渔船航行多远与小岛B的距离最近？ (2)渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行海里到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问：救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少？ 【答案】(1)渔船航行海里与小岛的距离最近． (2)救援队从处出发沿着点的南偏东方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里 【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题： （1）过点作于点，根据题意可得，解直角三角形求出的长即可； （2）解直角三角形得到的度数，进而求出的度数和的长，据此可得答案． 【详解】（1）解：过点作于点，如图所示． 由题意，知． 在中，，海里， ∴海里． 答：渔船航行海里与小岛的距离最近． （2）解：由（1）得海里， ∵海里， ∴． ∴． ∵， ∴． 在中，，海里， ∴海里． 答：救援队从处出发沿着点的南偏东方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里． 【变式5-2】为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时海里的速度向正东方航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行小时到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上． (1)求的度数； (2)已知在灯塔的周围海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？ 【答案】(1) (2)海监船继续向正东方向航行是安全的，理由见解析 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题； （1）利用三角形的外角性质结合已知条件即可解决问题； （2）作于．求出的值即可判定． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 由题意得，，， ， 故的度数为； （2）由（1）可知， （海里） 在中， （海里）， ， ∴海监船继续向正东方向航行是安全的． 【变式5-3】小亮为测量某铁桥的长度，乘车在与该铁桥平行且处于同一水平面的一段东西走向的公路上行驶时，在A处发现桥的起点B在A点的北偏东的方向上，并测得米，当车前进146米到达D处时，测得桥的终点C在D点的北偏东的方向上，求该桥的长度．（结果保留整数，参考数据：) 【答案】米 【分析】此题考查了解直角三角形的应用一方向角问题，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 过作于，过C作于，根据矩形的性质得到，解直角三角形即可得到结论． 【详解】过作于，过C作于， ∴， 有题意可得米，米， ∴米， ∴米， ∵， ∴米， ∴(米)， 答：桥的长度约为264米． 1．某次户外研学活动中，数学老师给同学们布置了一项测量树高的任务．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角，若米，则树高为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．根据题意可知，在中，米，，利用三角函数即可求出的高度． 【详解】解：∵，米，， ∴， ∴（米）． 故选：D． 2．如图，城关镇某村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为m米，那么这两树在坡面上的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．直接利用锐角三角函数关系得出，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得： ， 则． 故选：B． 3．如图，滑雪场有一坡角为的滑雪道，滑雪道长米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（     ）米 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题．根据正弦的定义进行解答即可． 【详解】解：， 米， 故选：A． 4．如图，某地修建一座高的天桥，已知天桥斜面的坡度为，则斜坡的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据坡度等于铅直高与水平距离的比值，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴； ∴； 故选A． 5．如图所示，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为，看这栋楼底部C处的俯角为，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：， 在中，， ， 在中，， ， ， 这栋楼的高度为， 故选：A． 6．如图，从山下乘缆车上山，缆绳与水平方向成的夹角，已知缆车速度为每分钟米，从山脚到山顶需分钟，则山的高度为（     ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，先求出的长，再根据正弦的定义即可得到答案． 【详解】解：由题意得（米）， 在中，，， （米）， 故选A． 7．在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（     ） A．米 B．25米 C．米 D．50米 【答案】A 【分析】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 设米，在中，利用锐角三角函数定义表示出，在中，利用锐角三角函数定义表示出，再由列出关于的方程，求出方程的解得到的值即可． 【详解】解：设米， 在中，， ，即， 整理得：米， 在中，， ，即， 整理得：米， ∵米， ∴，即， 解得：， 侧这栋楼的高度为米． 故选：A． 8．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则旗杆的高度是（    ） A． B．40 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形的应用，分别解直角三角形求出的长，再用进行求解即可． 【详解】解：由题意，在中，， 在中，， ∴； 故选D． 9．如图，水库边有一段长300米，高8米的大坝，大坝的横截面为梯形，其中，背水坡坡角．现要对大坝进行维修，维修方案是：将大坝上底加宽2米，并使背水坡坡角为，则维修此大坝需要土石（  ）立方米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，矩形的判定与性质，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过点作于点，过点作于点，根据等腰直角三角形的性质求出，根据正切的定义求出，进而求出，根据梯形的面积公式求出梯形的面积，进而求出需要土石的立方数． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， 米，米， 在中，，米， 则米， 在中，，米， ， （米）， 米， 维修此大坝需要土石：（立方米）， 故选：D． 10．如图，在观测站O处测得船A和灯塔B分别位于正东方向和北偏东方向，灯塔B位于船A的北偏东方向海里处，若船A向正东航行，则船A离灯塔B的最近距离是（　　） A．海里 B．海里 C．海里 D．4海里 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．作于D．作于E．根据题意可得是等腰直角三角形，从而得到．进而得到，继而得到，即可求解． 【详解】解：如图，作于D．作于E． 根据题意得：，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在直角中， ∵， ∴． 在直角中， ∵， ∴， ∴． 在直角中， ∵， ∴． 即船A离灯塔B的最近距离是海里． 故选：A． 11．如图，某河堤的横断面是梯形，迎水坡长13米，且斜坡的坡度为，则河堤的高为 米． 【答案】12 【分析】本题主要考查的是坡度的定义和勾股定理的应用，由已知斜坡的坡度，可得到的比例关系，进而由勾股定理求得的长，由此得解．解题的关键是从图中抽象出直角三角形． 【详解】解：由已知斜坡的坡度，得： ， 设米，则米， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ， 即， 解得：或（舍去）， ， 即河堤高等于12米． 故答案为：12． 12．如图，从一个建筑物的A处测得对面楼的顶部B的仰角为，底部C的俯角为，观测点与楼的水平距离为，则楼的高度约为 （结果取整数）．（参考数据：） 【答案】 【分析】此题考查了仰角与俯角的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．在中，根据正切函数求得，在中，求得，再根据，代入数据计算即可． 【详解】在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 故楼的高度大约为． 故答案为：． 13．如图，一山坡的坡度，小明从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小明上升了（） 米． 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，设根据坡度的概念得到，根据勾股定理求出，得到的长. 【详解】设 ∵山坡的坡度 ， 由勾股定理得，， 则 解得， (米)， 故答案为： . 14．如图，线段，分别表示甲、乙建筑物的高，两座建筑物间的距离为．若在点A处测得点D的俯角为，点C的仰角为，则乙建筑物的高约为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，先证明四边形是矩形，再根据三角函数解直角三角形即可，解题的关键是借助仰角俯角，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 【详解】解：由题意得：，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．农用温室大棚的上半部分如图，迎阳坡的坡度，背阳坡的坡脚满足，棚宽，则拱高 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、正弦、坡度等知识点，灵活运用正弦和坡度的知识是解题的关键． 设，根据正弦和勾股定理可得，再根据坡度可得，最后根据列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵, ∴， 解得：， ∴， ∵迎阳坡的坡度， ∴,即 ，解得：， ∵, ∴， 解得：． 故答案为：3.3m 16．如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点测得该楼顶部点的仰角为，测得底部点的俯角为，点与楼的水平距离，则这栋楼的高度为 m（结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查解直角三角形—仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解答此题的关键．根据题意得，然后利用三角函数求解即可． 【详解】解：依题意，． 在中，， 在中，， ∴． 故答案为：． 17．如图，一幢居民楼后面有一处斜坡，已知斜坡的坡角，斜坡长，一人站在坡面的顶端A处看居民楼顶端C点，仰角为，而居民楼底端距离坡面底端长，请根据以上数据求居民楼的高度．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】过点A作于点E，过点B作于点F，利用解直角三角形的相关知识坡角计算即可． 本题考查了坡角，仰角的应用，熟练掌握解直角三角形的知识是解题的关键． 【详解】解：过点A作于点E，过点B作于点F， 则四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 答：居民楼的高度为． 18．王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜面的坡度为：点、、在同一水平线上． (1)求王刚同学从点到点的过程中上升的高度； (2)求大树的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)1米 (2)米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、解直角三角形等知识点，灵活应用所学知识成为解题的关键． （1）如图：过点D作交于点H，设米，米，在中运用勾股定理列方程求解即可； （2）如图，过点作交于点，设米，再证四边形为矩形可得米、， 进而得到，最后根据正切函数列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图：过点D作交于点H， 由题意知米， 斜面的坡度为， ， 设米，米， 在中，， ，解得：，舍， 米． 答：王刚同学从点到点的过程中上升的高度为米． （2）解：如图，过点作交于点， 设米， ， 四边形为矩形， 米，米， ， 米， 米， ， 在中，， ，解得：， 米． 答：大树的高度是米． 19．奇山秀水聚宝盆——湖南首届旅游大会在张家界召开．如图①为某景区山地剖面图，为给游客提供更好的游览体验，拟在山上修建观光索道．如图②所示为索道的设计示意图，以山顶为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山脚处，中途观光平台为，且与平行．索道与水平线的夹角为，与水平线夹角为，、两处的水平距离为，，垂足为点．（参考数据：，，，） (1)求索道的长（结果精确到0.）； (2)求水平距离的长（结果精确到0.）． 【答案】(1)的长约为600m (2)的长为1049m 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）通过解可求得的长； （2）延长交于G，证明四边形是矩形，可得，，再解可求解的长，进而可求解． 【详解】（1）在中，，，， ∴， 即的长约为600m； （2）延长交于G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即的长为1049m． 20．如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，求此时轮船所在的处距离灯塔有多远．（结果取整数，参考数据：，，，，，） 【答案】海里． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题意得，，，解可得海里，进而解即可得到海里，正确计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，，， 在中，，， ∴海里， 在中，，， ∴海里， 答：海轮所在的处距离灯塔约有海里． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$