4.2.2指数函数的图象和性质（3大题型提分练）数学湘教版必修第一册

4.2.2指数函数的图象和性质 题型一 指数(型)函数的定义域、值域 1．函数的定义域是（    ） A．R B． C． D．且 【答案】C 【分析】由题意可知：要有意义，进而可得定义域. 【详解】由题意可知：要有意义，可得，所以函数的定义域是. 故选：C. 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性，结合分母不为零、交集思想进行求解即可. 【详解】函数的定义域满足，解得且． 则函数定义域为， 故选：D 3．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别由指数函数和一元二次函数性质化简集合，，再由两个集合的交集的定义即可求出. 【详解】因为时且， 所以集合，， 所以. 故选：A. 4．函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】利用分母不为0即可求解. 【详解】由，解得：，所以函数的定义域为. 故答案为： 5．将函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据指数函数的性质，即可求得答案. 【详解】由于，故且，故函数的值域为， 故答案为： 6．函数的值域为 . 【答案】 【分析】分和两种情况，结合幂函数以及指数函数单调性求值域. 【详解】解：当时，单调递减，所以函数的值域为， 当时，单调递增，所以函数的值域为，综上所述，函数的值域为. 故答案为： 7．已知函数是定义在R上的奇函数． (1)求的解析式； (2)求当时，函数的值域． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用奇函数定义及性质，列式计算求出a，b作答. （2）由（1）的结论，求出函数的解析式，结合二次函数求出值域.. 【详解】（1）由函数是上的奇函数，则有，解得，即， ，， 即，，解得，经验证得，时，是奇函数， 所以. （2）由（1）知，， 当时，，因此当时，，当时，， 所以所求值域为. 题型二 指数函数的图象及应用 1．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性以及指数函数性质，利用排除法即可得出结论． 【详解】易知函数定义域为， 且满足，可得其为偶函数，图象关于轴对称； 又当时，，因此排除A，又， 利用指数函数图象性质可知其在上单调递增，且增长速度越来越快，即排除CD， 故选：B. 2．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的性质，利用排除法进行求解即可. 【详解】因为，所以当时，函数，因此排除D. 当时，函数，因此排除A和C， 故选：B 3．函数的大致图像是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据函数奇偶性以及指数函数性质，利用排除法即可得出结论. 【详解】易知函数定义域为， 且满足，可得其为偶函数，图像关于轴对称；又当时，，因此排除A， 又，利用指数函数图象性质可知其在上单调递增，且增长速度越来越快， 即排除CD， 故选：B 4．在下图中，二次函数与指数函数的图像只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排除法，根据指数函数和二次函数的图象与性质分析判断即可 【详解】因为为指数函数，所以，且， 所以， 因为二次函数的对称轴为直线，所以排除BD， 由指数函数的图象可知，所以， 所以二次函数图象顶点的横坐标在内，所以C错误， 故选：A 5．函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】结合函数对称性的定义，设，可得，即可得解. 【详解】设，，显然， 故与的图象关于直线对称. 故选：B. 6．函数（且）无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为 . 【答案】 【分析】根据题意，令，求得和，即可求解. 【详解】由函数（且）， 令，解得，则，所以函数恒经过定点. 故答案为：. 7．如果且，那么函数的图像在第 象限． 【答案】一、三、四 【分析】根据指数函数图像性质及函数的平移可得解. 【详解】如图所示， 由，可知经过一、二象限，且恒过点，函数值域为 当时，，当时，， 函数使由向下平移个单位，且， 所以图象过，而在y轴负半轴上，如图 即存在，使，且函数的值域为， 所以函数过第一、三、四象限， 故答案为：一、三、四. 8．函数的图像一定过 象限． 【答案】第一象限和第二 【分析】根据指数函数的图象与性质判断即可. 【详解】，在上单调递减， 根据指数函数的图象，知一定过第一象限和第二象限. 故答案为：第一象限和第二 题型三 利用指数函数性质比大小 1．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数、指数函数的单调性判定大小即可. 【详解】易知，又定义域上单调递减，，所以， 易知单调递增，，则， 综上. 故选：A 2．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知利用指数函数的单调性有，再利用函数和的单调性比较三个数的大小. 【详解】若，且， 函数在R上为减函数，，则， 函数在R上为减函数，有，函数在上为增函数，，可得. 故选：C. 3．设，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合幂函数与指数函数的单调性即可得到答案. 【详解】易知幂函数在上单调递增函数，所以，即， 又指数函数在上单调递减函数，所以，即.于是. 故选：B. 4．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数的性质判定大小即可. 【详解】由指数函数的性质易得，所以，，故. 故选：D 5．已知，则m，n的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用指数函数单调性比较大小即可. 【详解】函数是R上的减函数，由，得. 故选：B 6．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数、幂函数的性质比较大小即得. 【详解】依题意，结合对应幂、指数函数单调性，知，所以. 故选：A 7．比较大小： （）． 【答案】 【分析】利用指数函数的性质比较即可 【详解】因为在上递增，且，所以. 故答案为： 8．比较下列各组数的大小： (1)，；(2)，；(3)，；(4)，；(5)，． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5). 【分析】（1）（2）利用指数函数单调性质比较大小. （3）利用幂函数单调性比较大小即得. （4）利用指数函数单调性，结合媒介数比较大小. （5）利用指数函数、幂函数单调性比较大小. 【详解】（1）因为是增函数，，所以． （2）因为是减函数，，所以． （3）因为在上递增，，所以． （4）因为，，所以. （5）函数是减函数，则；函数在上递增，则， 所以. 题型四 利用指数函数的性质求参数 1．若函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数幂的运算化简后再结合指数函数的单调性及题意解析即可； 【详解】， 由指数函数的单调性可得函数为递减函数，因为图象不经过第一象限， 所以当时，，解得， 故选：A. 2．若函数（且）的图象在第二、三、四象限内，则（　　） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】根据满足条件的指数型函数的图象，列不等式求结果． 【详解】如图所示，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上（纵截距小于零），即，且， ，且． 故选：． 3．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数的单调性，结合二次函数的单调性列式求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故选：D. 4．若，（且）恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】将原不等式变形为，由指数函数的图象性质可解. 【详解】由，且，所以，则，所以. 故答案为： 5．命题：“，”的否定形式为 ；若为真命题，则实数的最大值为 . 【答案】 ：“，” 0 【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定；转化为恒成立，由于，从而求出的取值范围，得到最大值. 【详解】：“，”，恒成立，其中，故， 即的最大值为0. 故答案为：：“，”，0 6．若函数有最小值，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分段函数解析式分类讨论，分别计算可得； 【详解】函数在上的值域为， 在上的值域为，则，即， 所以的取值范围是. 故答案为：. 7．已知，则的解集为 ． 【答案】 【分析】探讨给定函数的奇偶性及单调性，再解不等式即得. 【详解】函数的定义域为R，，则是R上的奇函数， 函数在R上都单调递减，则函数在R上单调递减， 不等式，因此， 即，解得或，所以原不等式的解集为. 故答案为： 8．已知e是自然对数的底数，若函数，且是偶函数． (1)求实数a的值； (2)判断函数的单调性（不用证明），并求不等式的解集． 【答案】(1)；(2)在上单调递减，在上单调递增；. 【分析】（1）根据偶函数定义利用可求得； （2）根据复合函数单调性可判断得出在上单调递减，在上单调递增，再利用偶函数性质解一元二次不等式可得结果. 【详解】（1）因为是偶函数，所以， 即，可得，也即， 又，不恒等于0，因此需满足，解得； 经检验当时，为偶函数，满足题意；所以 （2）因为函数是偶函数，所以只需判断上单调性即可； 易知，当时， 结合复合函数以及对勾函数单调性可知在上单调递增， 由偶函数性质可得在上单调递减， 因此可得在上单调递减，在上单调递增； 所以对函数来说，距离其对称轴轴越近，函数值越小， 因此不等式等价于，也即，整理可得， 解得或； 所以不等式的解集为. 1．已知函数的值域为，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】先分别求出分段函数在不同区间函数的值域，再结合函数值域为,得出参数范围. 【详解】当,当, 因为函数的值域为,所以. 故答案为：. 2．观察同一直角坐标系中函数的图象如图所示，能得到什么规律？ 【答案】答案见解析 【详解】（1）当时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快． （2）当时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快． （3）底数互为倒数时，图象关于y轴对称，即与图象关于y轴对称． 3．若函数有最小值，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，将转化为关于的函数，讨论开口方向与对称轴判断即可. 【详解】设，则，，有最小值. 当时，二次函数开口向下，无最小值；当时，无最小值； 当时，若在上有最小值，则对称轴，解得. 故选：A 4．已知指数函数 的图象经过点 . (1)求函数 的解析式并判断 的单调性； (2)函数 ， 求函数 在区间 上的最小值. 【答案】(1)；在R上单调递增；(2). 【分析】（1）将代入即可求解，则解析式和单调性可求； （2）利用换元法，结合指数函数以及二次函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为函数（且）的图象过点，则， 解得，因此，， 由于，结合指数函数的性质可知，是R上的单调递增函数； （2），令，因为，则， 令，，关于对称， 当时，函数在上单调递增，此时，， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，， 当时，函数在上单调递减，此时，，综上：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.2.2指数函数的图象和性质 题型一 指数(型)函数的定义域、值域 1．函数的定义域是（    ） A．R B． C． D．且 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．函数的定义域为 ． 5．将函数的值域为 . 6．函数的值域为 . 7．已知函数是定义在R上的奇函数． (1)求的解析式； (2)求当时，函数的值域． 题型二 指数函数的图象及应用 1．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 2．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 3．函数的大致图像是（    ） A．   B．   C．   D．   4．在下图中，二次函数与指数函数的图像只可能是（    ） A． B． C． D． 5．函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 6．函数（且）无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为 . 7．如果且，那么函数的图像在第 象限． 8．函数的图像一定过 象限． 题型三 利用指数函数性质比大小 1．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．若，则（    ） A． B． C． D． 3．设，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，则m，n的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 6．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．比较大小： （）． 8．比较下列各组数的大小： (1)，；(2)，；(3)，；(4)，；(5)，． 题型四 利用指数函数的性质求参数 1．若函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若函数（且）的图象在第二、三、四象限内，则（　　） A． B．且 C．且 D． 3．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若，（且）恒成立，则实数a的取值范围是 . 5．命题：“，”的否定形式为 ；若为真命题，则实数的最大值为 . 6．若函数有最小值，则的取值范围是 . 7．已知，则的解集为 ． 8．已知e是自然对数的底数，若函数，且是偶函数． (1)求实数a的值； (2)判断函数的单调性（不用证明），并求不等式的解集． 1．已知函数的值域为，则实数a的取值范围是 . 2．观察同一直角坐标系中函数的图象如图所示，能得到什么规律？ 3．若函数有最小值，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知指数函数 的图象经过点 . (1)求函数 的解析式并判断 的单调性； (2)函数 ， 求函数 在区间 上的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$