4.3.2对数的运算法则（3大题型提分练）数学湘教版必修第一册

4.3.2对数的运算法则 题型一 对数的运算 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数运算求得正确答案. 【详解】依题意，，所以. 故选：D 2．若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数、对数运算等知识求得正确答案. 【详解】由得，由， 所以. 故选：D 3．若，则（    ） A．60 B．45 C．30 D．15 【答案】C 【分析】利用指数，对数的运算进行化简求值即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 4．围棋是中国传统棋种，蕴含着中华文化丰富内涵，围棋棋盘横竖各有19条线，共有19×19=361个落子点．每个落子点都有落白子、落黑子和空白三种可能，因此围棋空间复杂度的上限．科学家们研究发现，可观测宇宙中普通物质的原子总数．则下列各数中与最接近的是（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，两边取对数，结合对数的运算性质进行整理，即可求出. 【详解】设，两边取对数，所以， 故选：A. 5．牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：（k为常数）.若，空气温度为，某物体的温度从下降到以下，至少大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．25分钟 B．32分钟 C．35分钟 D．42分钟 【答案】C 【分析】根据题意，建立含指数方程，后指数对数互化，结合对数性质和参考数据可解. 【详解】由题知，所以，可得， 所以. 即某物体的温度从下降到以下，至少大约需要35分钟. 故选：C. 6．天文学中天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足．其中星等为的星的亮度为．已知“河鼓二”的星等约为0.75，“天津四”的星等约为1.25，“河鼓二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是（    ） （注：结果精确到0.01，当较小时，） A．1.56 B．1.57 C．1.58 D．1.59 【答案】B 【分析】根据题意可得，求出即可得解. 【详解】根据题意可得，所以，解得， 根据参考公式可得，故与最接近的是1.57． 故选:B 7．已知，，则用，表示 【答案】 【分析】化简，，结合对数的换底公式，准确运算，即可求解. 【详解】由，，可得，又由. 故答案为：. 8．已知，则 . 【答案】1 【分析】由条件结合指数式与对数式关系求，根据换底公式及对数运算法则求结论. 【详解】因为，所以，， 所以. 故答案为：. 9．已知函数则 ． 【答案】1 【分析】根据自变量确定代入哪段，结合对数性质计算即可. 【详解】因为，，所以． 故答案为：1 10．通过科学研究发现：地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为，，则 【答案】1000 【分析】首先根据题意得到，再作差即可得到答案. 【详解】由题知：. 故答案为：1000 11．计算： (1) (2)． 【答案】(1)；(2)-7. 【分析】（1）直接利用指数幂的运算法则求解即可，解答过程注意避免符号错误； （2）直接利用对数的运算法则求解即可，化简过程注意避免出现计算错误. 【详解】（1） （2） 题型二 对数的运算性质的应用 1．若，则（ ） A．3 B．4 C．9 D．16 【答案】D 【分析】利用对数的运算性质化简给定式子求解即可. 【详解】因为，所以， 故得，化简得，所以，故，故D正确. 故选：D. 2．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先过呢据条件化简得到，法一，根据基本不等式，即可求解；法二，根据条件等式，变形得，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】， 法一：，当且仅当时，上式等号成立， 又，可得时，的最小值为. 故选：A. 法二：，当且仅当时，上式等号成立， 又，可得时，的最小值为. 故选：A. 3．1707年数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系：当，时，等价于.若（e是自然对数的底数），，，则x的值约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指对互化，结合换底公式及对数运算性质化简求值即可. 【详解】因为，，，所以. 故选：B 4（多选题）．已知，，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据对数运算法则和基本不等式可知A正确；根据，将BC中的不等式转化为关于的函数的形式，结合对勾函数单调性和基本不等式可确定BC正误；根据对数运算性质可知D正确. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，，， ， 在上单调递增，， ，，B错误； 对于C，由B知：，， ， ，， （当且仅当，即时取等号）， ，，即，C正确； 对于D，，， 若，则，即， ，，D正确. 故选：ACD. 5．的值为 . 【答案】8 【分析】借助对数的运算法则及换底公式化简计算即可. 【详解】 . 故答案为：8. 6．设正实数满足，则 ． 【答案】 【分析】根据对数的运算法则与性质化简即可得解. 【详解】由，得． 所以． 故答案为： 7． . 【答案】/ 【分析】直接根据指数、对数的运算性质计算即可． 【详解】． 故答案为：． 8．已知函数，若，则实数的值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意，结合分段函数的解析式，分类讨论，即可求解. 【详解】由函数，且， 当时，可得，即，方程无解；当时，可得，解得， 综上可得，实数的值为. 故答案为：. 9．已知函数，且. (1)求的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由，可得，结合，可得； （2）由（1）可得在上单调递增，结合，可解不等式. 【详解】（1）因为，所以， 则. 又，所以，所以， 从而. （2）由（1）可知，显然在上单调递增. 因为，所以由，可得， 则，解得或， 故不等式的解集为. 10．计算 (1)；(2) 【答案】(1)；(2)2. 【分析】（1）根据指数的运算求解即可； （2）根据对数的运算求解即可. 【详解】（1） （2）. 题型三 利用换底公式进行化简计算 1．已知，则（   ） A． B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据题意，利用对数的运算法则，求得，结合指数幂与对数的运算法则，即可求解. 【详解】由，可得，则， 则. 故选：D. 2．化简的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据对数的性质及换底公式可求代数式的值. 【详解】原式. 故选：B 3．若，，则的值是（    ） A．3 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式互化关系及对数换底公式及运算法则计算即得. 【详解】由，得，而， 所以. 故选：A 4．的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用对数的换底公式和运算性质，即可求解. 【详解】因为， 故选：D. 5．下列各式正确的是（   ） A．设，则 B．已知，则 C．若 D．，则 【答案】BD 【分析】利用根式与分数指数幂的运算计算可判断A；由分数指数的运算性质计算可判断B；利用完全平方公式计算可判断C；利用对数的换底公式与对数运算公式计算可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由，两边平方得，两边再平方可得，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 6．下列运算结果为1的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于AC：根据指数运算分析判断；对于B：根据对数运算分析判断；对于D：利用换底公式分析判断. 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D正确； 故选：BCD. 7．已知，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】由对数的定义求出，，代入，利用对数的运算即可求解. 【详解】由，则，， 则，因此可得， 故答案为：. 8． . 【答案】 【分析】根据对数的运算性质和换底公式求解即可 【详解】 . 故答案为：3 9．求值： (1)；(2)． 【答案】(1)；(2)2. 【分析】（1）根据指数幂的运算即可求解. （2）根据对数的运算性质，结合换底公式计算即可. 【详解】（1）. （2）. 10．（1）求值：； （2）设，，用m，n来表示． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由对数的运算性质化简求解即可； （2）利用对数的换底公式进行化简求解即可. 【详解】（1）原式 . （2）， 因为，所以，即，所以，即，所以， 故. 1．已知，且，则的最小值为 ． 【答案】81 【分析】根据对数的运算性质可得，再结合基本不等式进行求解即可. 【详解】由，，则，，， 又，则，即， 又， 当且仅当，即时，等号成立，所以可得，因此的最小值为81. 故答案为：81. 2．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：） A．72 B．73 C．74 D．75 【答案】B 【分析】由题意先得，接着由和得，再结合对数运算性质解不等式即可得解. 【详解】由题，，所以， 又由题当时，，即， 所以，令即即， 解得，故， 所以学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为73. 故选：B. 3．“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率"都是，那么一年后是．一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（    ）天“进步者”是“退步者"的2倍（参考数据：，） A．33 B．35 C．37 D．39 【答案】B 【分析】根据题意列出不等式，利用指数和对数的运算性质求解即可． 【详解】假设经过天，“进步者”是“退步者”的2倍，列方程得， 解得， 即经过约35天，“进步者”是“退步者”的2倍． 故选：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3.2对数的运算法则 题型一 对数的运算 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．若，则（    ） A．60 B．45 C．30 D．15 4．围棋是中国传统棋种，蕴含着中华文化丰富内涵，围棋棋盘横竖各有19条线，共有19×19=361个落子点．每个落子点都有落白子、落黑子和空白三种可能，因此围棋空间复杂度的上限．科学家们研究发现，可观测宇宙中普通物质的原子总数．则下列各数中与最接近的是（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 5．牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：（k为常数）.若，空气温度为，某物体的温度从下降到以下，至少大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．25分钟 B．32分钟 C．35分钟 D．42分钟 6．天文学中天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足．其中星等为的星的亮度为．已知“河鼓二”的星等约为0.75，“天津四”的星等约为1.25，“河鼓二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是（    ） （注：结果精确到0.01，当较小时，） A．1.56 B．1.57 C．1.58 D．1.59 7．已知，，则用，表示 8．已知，则 . 9．已知函数则 ． 10．通过科学研究发现：地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为，，则 11．计算： (1) (2)． 题型二 对数的运算性质的应用 1．若，则（ ） A．3 B．4 C．9 D．16 2．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．1707年数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系：当，时，等价于.若（e是自然对数的底数），，，则x的值约为（    ） A． B． C． D． 4（多选题）．已知，，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 5．的值为 . 6．设正实数满足，则 ． 7． . 8．已知函数，若，则实数的值为 . 9．已知函数，且. (1)求的值；(2)求不等式的解集. 10．计算 (1)；(2) 题型三 利用换底公式进行化简计算 1．已知，则（   ） A． B．6 C．8 D．9 2．化简的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 3．若，，则的值是（    ） A．3 B． C．8 D． 4．的值为（    ） A． B． C．1 D． 5．下列各式正确的是（   ） A．设，则 B．已知，则 C．若 D．，则 6．下列运算结果为1的有（    ） A． B． C． D． 7．已知，且，则的值为 ． 8． . 9．求值： (1)；(2)． 10．（1）求值：； （2）设，，用m，n来表示． 1．已知，且，则的最小值为 ． 2．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：） A．72 B．73 C．74 D．75 3．“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率"都是，那么一年后是．一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（    ）天“进步者”是“退步者"的2倍（参考数据：，） A．33 B．35 C．37 D．39 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$