3.1.1 函数的概念（八个重难点突破）-2024-2025学年高一数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019必修第一册）

· 3.1.1 函数的概念 一、区间的表示及运算 五、同一个函数的判断 二、函数关系的判断 六、求抽象函数的定义域 三、求函数值或由函数值求参 七、求简单函数的值域 四、求具体函数的定义域 八、由函数的定义域或值域求参数 知识点1区间 1．区间的概念(为实数,且) 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 2．其他区间的表示 定义 符号 重难点一 区间的表示及运算 【例1】用区间或集合表示下列数集： （1） ； （2）＝ ． 【例2】已知区间，则实数a的取值范围为 ．（用区间表示） 【变式1-1】用区间表示下列集合： ① ； ② ； ③ . 【变式1-2】不等式组的解集用区间表示为 ． 【变式1-3】已知全集，集合，，求，，． 知识点2函数的概念 1．函数的定义：设是非空的实数集,如果对于集合中的任意一个数,按照某种确定的对应关系,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作. 2．函数的定义域与值域：函数中,叫做自变量,x的取值范围叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域．显然,值域是集合的子集． 3．对应关系 除解析式、图象表格外,还有其他表示对应关系的方法,引进符号统一表示对应关系． 注意： （1）当为非空数集时,符号“”表示到的一个函数． （2）集合中的数具有任意性,集合中的数具有唯一性． （3）符号“”它表示对应关系,在不同的函数中的具体含义不一样． 重难点二 函数关系的判断 【例3】在下列集合E到集合F的对应中，不能构成E到F的函数的是（     ） A． B． C． D． 【例4】已知集合，，给出下列四个对应关系，其中能构成从M到N的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】下列四种说法中，不正确的是 （填序号）． ①在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应； ②函数的定义域和值域一定是无限集合； ③定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了； ④若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素． 【变式2-2】下列对应关系中是A到B的函数的是（   ） A．，， B．，，对应关系如图：    C．，，f： D．，，f： 【变式2-3】（多选）下列各图象中，是函数图象的是（    ） A． B． C． D． 重难点三 求函数值或由函数值求参 【例5】已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图，则的值为（    ） 1 2 3 2 3 0 A．3 B．0 C．1 D．2 【例6】如图，表示从集合到集合的函数，若，则的值为 ． 【变式3-1】已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【变式3-3】已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 知识点3同一个函数 1．函数三要素：由函数的定义可知,一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域． 2．相同函数：值域是由定义域和对应关系决定的,如果两个函数的定义域和对应关系相同,我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同,但定义域不同,则它们不是相同的函数． 知识点4常见函数的定义域和值域 函数 函数关系式 定义域 值域 正比例函数 反比例函数 一次函数 二次函数 重难点四 求具体函数的定义域 【例7】函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【例8】求下列函数的定义域： (1)； (2). 【变式4-1】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】函数的定义域为 【变式4-3】求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 重难点五 同一个函数的判断 【例9】下列四组函数中，表示相同函数的一组是（    ） A． B． C． D． 【例10】（多选）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式5-1】下列各组中的两个函数是同一函数的是（    ） ①，；②，；③，；④，． A．①② B．②③ C．③ D．③④ 【变式5-2】下列函数中与函数相等的函数是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】与表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 重难点六 求抽象函数的定义域 【例11】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【例12】已知函数的定义域是，则的定义域是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知函数的定义域，则函数的定义域是 . 【变式6-2】已知函数的定义域为，则的定义域为 . 【变式6-3】已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 重难点七 求简单函数的值域 【例13】求下列函数的值域. (1); (2); (3)， (4) 【例14】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】函数，的值域为（    ）． A． B． C． D． 【变式7-2】函数的值域为 . 【变式7-3】求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 重难点八 由函数的定义域或值域求参数 【例15】函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例16】已知一个函数的解析式为，它的值域为，则这样的函数共有 个. 【变式8-1】已知函数的定义域为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【变式8-2】写出使得函数的值域为的一个定义域 ． 【变式8-3】若函数定义域为，则实数 实数b的取值范围 ． 一、单选题 1．下列各组函数是同一组函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域是，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为R，，，均满足．若，则（    ） A．0 B． C． D． 5．已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．给出函数，如下表，则函数的值域为（    ） 1 2 3 4 5 6 4 3 2 1 6 5 1 1 3 3 5 5 A． B． C． D． 二、多选题 7．如果某函数的定义域与其值域的交集是，则称该函数为“交汇函数”．下列函数是“交汇函数”的是（    ） A． B． C． D． 8．若函数的定义域为，则下列选项是函数 的定义域的真子集的有（    ） A． B． C． D． 9．已知函数的值域是，则它的定义域可能是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．函数的定义域为 11．已知函数满足，，则 . 12．已知函数，当时，的值域是 ；若的值域是，则的定义域为 ．（写出满足条件的一个结论） 四、解答题 13．已知，． (1)求的定义域； (2)求，的值，的值域 14．函数． (1)若的定义域为，求实数的值； (2)若的定义域为，求实数的取值范围． 15．设函数的定义域为集合，函数的值域为集合. (1)求，； (2)已知集合，若，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.1 函数的概念 一、区间的表示及运算 五、同一个函数的判断 二、函数关系的判断 六、求抽象函数的定义域 三、求函数值或由函数值求参 七、求简单函数的值域 四、求具体函数的定义域 八、由函数的定义域或值域求参数 知识点1区间 1．区间的概念(为实数,且) 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 2．其他区间的表示 定义 符号 重难点一 区间的表示及运算 【例1】用区间或集合表示下列数集： （1） ； （2）＝ ． 【答案】 【详解】（1）；（2）。 故答案为：； 【例2】已知区间，则实数a的取值范围为 ．（用区间表示） 【答案】 【详解】由，得．即. 故答案为：． 【变式1-1】用区间表示下列集合： ① ； ② ； ③ . 【答案】 【详解】， ， . 【变式1-2】不等式组的解集用区间表示为 ． 【答案】 【详解】由可得，所以. 所以，不等式组的解集为. 故答案为：. 【变式1-3】已知全集，集合，，求，，． 【答案】；； 【详解】因为全集，集合，， 则，， 所以；；． 知识点2函数的概念 1．函数的定义：设是非空的实数集,如果对于集合中的任意一个数,按照某种确定的对应关系,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作. 2．函数的定义域与值域：函数中,叫做自变量,x的取值范围叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域．显然,值域是集合的子集． 3．对应关系 除解析式、图象表格外,还有其他表示对应关系的方法,引进符号统一表示对应关系． 注意： （1）当为非空数集时,符号“”表示到的一个函数． （2）集合中的数具有任意性,集合中的数具有唯一性． （3）符号“”它表示对应关系,在不同的函数中的具体含义不一样． 重难点二 函数关系的判断 【例3】在下列集合E到集合F的对应中，不能构成E到F的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据函数的定义可知，中的每一个元素在中都有唯一的元素与之对应， 显然A、B、C符合题意， 而D选项中，E中的元素在中有两个元素对应，不符合函数的定义. 故选：D 【例4】已知集合，，给出下列四个对应关系，其中能构成从M到N的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对应关系若能构成从M到N的函数，则应满足：对M中的任意一个数，通过对应关系在N中都有唯一的数与之对应. A选项中，当时，，故A不能构成函数； B选项中，当时，，故B不能构成函数； C选项中，当时，，故C不能构成函数； D选项中，当时，，当时，，当时， ，故D能构成函数. 故选：D. 【变式2-1】下列四种说法中，不正确的是 （填序号）． ①在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应； ②函数的定义域和值域一定是无限集合； ③定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了； ④若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素． 【答案】② 【详解】在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应，①正确； 若函数,定义域为，但值域为，故②错误， 定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了，故③正确， 由于对任意的，有唯一的与之对应，故函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素，④正确， 故答案为：② 【变式2-2】下列对应关系中是A到B的函数的是（   ） A．，， B．，，对应关系如图：    C．，，f： D．，，f： 【答案】B 【详解】对于A，，一个可以对应两个，不满足函数定义，故A错误； 对于B，集合中每一个在集合中都有唯一对应的，符合函数的定义，故B正确； 对于C，中，，而 ，故集合中的元素2在集合中没有对应的值，故C错误； 对于D，，所以，集合，故集合中有的元素（比如0）在集合中没有对应的值，故D错误. 故选：B 【变式2-3】（多选）下列各图象中，是函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，由图可知，有一部分的有两个的值与其对应，所以不是函数图象，所以A错误， 对于B，由图可知，定义域内的每一个都只有一个和它对应，所以是函数图象，所以B正确， 对于C，由图可知，有一部分的有两个的值与其对应，所以不是函数图象，所以C错误， 对于D，由图可知，定义域内的每一个都只有一个和它对应，所以是函数图象，所以D正确. 故选：BD 重难点三 求函数值或由函数值求参 【例5】已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图，则的值为（    ） 1 2 3 2 3 0 A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】根据的图像可知，，根据表格可知，. 故选：B 【例6】如图，表示从集合到集合的函数，若，则的值为 ． 【答案】1或2 【详解】由图可知，，，，， 若，则或. 故答案为：或. 【变式3-1】已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 令，可得； 令，可得； 两式相加可得， 令，可得； 则，即. 故选：D. 【变式3-2】已知，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】． 故选：D. 【变式3-3】已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】函数，由，得，则，解得， 所以的值等于. 故选：C 知识点3同一个函数 1．函数三要素：由函数的定义可知,一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域． 2．相同函数：值域是由定义域和对应关系决定的,如果两个函数的定义域和对应关系相同,我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同,但定义域不同,则它们不是相同的函数． 知识点4常见函数的定义域和值域 函数 函数关系式 定义域 值域 正比例函数 反比例函数 一次函数 二次函数 重难点四 求具体函数的定义域 【例7】函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，即， 其中的两根为， 故的解集为. 故选：A 【例8】求下列函数的定义域： (1)； (2). 【答案】(1)或 (2)且 【详解】（1）对于， 有，解得或. 的定义域为或； （2）对于， 有，解得且. 的定义域为且. 【变式4-1】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于函数，则，解得， 所以函数的定义域是. 故选：A 【变式4-2】函数的定义域为 【答案】 【详解】由，解得且， 所以函数的定义域为， 故答案为： 【变式4-3】求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）要使函数有意义，需满足， 解得，所以的定义域为． （2）要使函数有意义，需满足解得． 所以函数的定义域为． （3）要使函数有意义，需满足，解得． 所以函数的定义域为． 重难点五 同一个函数的判断 【例9】下列四组函数中，表示相同函数的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，定义域不同，所以不是相同的函数； 对于B，的定义域为，的定义域为，定义域不同，所以不是相同的函数； 对于C，的定义域为，的定义域为，定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数； 对于D，的定义域为，的定义域为，定义域相同，，对应关系不同，所以不是相同的函数； 故选：C 【例10】（多选）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【详解】对A：只是用不同的字母表示变量，所以是同一个函数，故A正确； 对B：因为函数的定义域为，函数的定义域为，所以与不是同一个函数，故B错误； 对C：函数与的定义域都是，对应关系一样，故它们是同一个函数，故C正确； 对D：函数的定义域是：，函数的定义域是：，定义域不一致，所以它们不是同一个函数，故D错误. 故选：AC 【变式5-1】下列各组中的两个函数是同一函数的是（    ） ①，；②，；③，；④，． A．①② B．②③ C．③ D．③④ 【答案】C 【详解】对于①中，函数与， 则两个函数的定义域不同，所以不是同一函数； 对于②中，函数，与的对应关系不同，所以不是同一函数； 对于③中，函数，与， 可得两函数的的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数； 对于④中，函数，与， 可得两函数的的定义域不同，所以不是同一函数． 综上，是同一函数的只有③． 故选：C． 【变式5-2】下列函数中与函数相等的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对A，的定义域为，而的定义域，故两者不是相等函数，故A错误； 对B，，其定义域为，则其与为相等函数，故B正确； 对C，的定义域为，而的定义域为，故两者不是相等函数，故C错误； 对D，，与的对应法则不同，故两者不是相等函数，故D错误. 故选：B. 【变式5-3】与表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， A选项，，不符合题意. B选项，，不符合题意. C选项，，符合题意. D选项，，不符合题意. 故选：C 重难点六 求抽象函数的定义域 【例11】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数的定义域为， 所以，， 所以函数的定义域为. 故选：A. 【例12】已知函数的定义域是，则的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数的定义域是，得， 因此在函数中，，解得， 所以所示函数的定义域为. 故选：A 【变式6-1】已知函数的定义域，则函数的定义域是 . 【答案】 【详解】由题意，，解得，即定义域为. 故答案为： 【变式6-2】已知函数的定义域为，则的定义域为 . 【答案】 【详解】因为函数的定义域为，即， 所以，即的定义域为， 所以，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【变式6-3】已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】由，得，所以函数的定义域为． 故答案为： 重难点七 求简单函数的值域 【例13】求下列函数的值域. (1); (2); (3)， (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）设，则，所以， 根据二次函数的图象和性质，函数的值域为. （2）函数的定义域为，， 所以函数的值域为. （3）因为函数图象的对称轴为，所以函数在单调递减，单调递增， 所以函数的值域为. （4），， 当时，，当且仅当时等号成立； 当时，，当且仅当时等号成立. 故函数值域为. 【例14】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， ， 所以，所以， 故选:C． 【变式7-1】函数，的值域为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 所以． 故选：C. 【变式7-2】函数的值域为 . 【答案】 【详解】依题意，函数的定义域为，而，则， 所以函数的值域为. 故答案为： 【变式7-3】求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1），且，则． 所以函数的值域为. （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为. （3）函数图象的对称轴为，而， 当时，，当时，， 所以函数的值域为． （4）函数的定义域为， ， 所以函数的值域为． 重难点八 由函数的定义域或值域求参数 【例15】函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的定义域为， 所以关于的方程无实数解， 当时，显然无解，符合题意； 当时，则，解得． 综上可得． 故选：D． 【例16】已知一个函数的解析式为，它的值域为，则这样的函数共有 个. 【答案】9 【详解】一个函数的解析式为，它的值域为， 则必取，至少取一个，至少取一个， 这样函数的定义域可为共9 个， 则这样的函数共有个. 故答案为：. 【变式8-1】已知函数的定义域为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由题可知，且，即，所以， 当且仅当，时，等号成立，所以的最小值为4. 故选：C. 【变式8-2】写出使得函数的值域为的一个定义域 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】由得， 即，得， 由得，即或， 则根据二次函数的性质可举例定义域为. 故答案为：. 【变式8-3】若函数定义域为，则实数 实数b的取值范围 ． 【答案】 2 【详解】函数，故，即 函数的定义域为，故. 故答案为：2； 一、单选题 1．下列各组函数是同一组函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】对于A中，由函数的定义为， 函数的定义域为    ， 两个函数的定义域不同，所以不是同一组函数，所以A不符合题意； 对于B中，由函数与函数， 其中两个函数的定义域不同，所以不是同一组函数，所以B不符合题意； 对于C中，函数与，两个函数的定义域与对应关系都相同， 所以两个函数是同一组函数，所以C符合题意； 对于D中，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以不是同一组函数，所以D不符合题意. 故选：C. 2．若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对A，该函数的定义域为，故A错误； 对B，该函数的定义域为，值域为，故B正确； 对C，该图像不为函数图像，故C错误； 对D，该函数的值域不为，故D错误. 故选：B 3．已知函数的定义域是，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数的定义域是，即，则； 对于函数，可知，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C. 4．已知函数的定义域为R，，，均满足．若，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】令，得，所以； 令，，得， 又，所以；令，得； 令，，得. 故选：D. 5．已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的定义域是， 所以不等式对任意恒成立， 当时，，对任意恒成立，符合题意； 当时，，即，解得：， 综上，实数的取值范围是; 故选：D 6．给出函数，如下表，则函数的值域为（    ） 1 2 3 4 5 6 4 3 2 1 6 5 1 1 3 3 5 5 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时， ，， 当时， ，， 当时， ，， 当时， ，， 当时， ，， 当时， ，， 的值域为， 故选：D. 二、多选题 7．如果某函数的定义域与其值域的交集是，则称该函数为“交汇函数”．下列函数是“交汇函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由“交汇函数”定义可知，“交汇函数”表示函数的定义域与值域的交集为， A选项：的定义域，值域， 则，A选项错误； B选项：的定义域，值域， 则，B选项正确； C选项：的定义域，值域， 则，C选项错误； D选项：的定义域，值域， 则，D选项正确； 故选：BD. 8．若函数的定义域为，则下列选项是函数 的定义域的真子集的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】因为函数的定义域为， 对于函数，则，解得且， 所以 的定义域为， 则函数 的定义域的真子集有，. 故选：CD 9．已知函数的值域是，则它的定义域可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】A选项，当时，，故，A错误； B选项，当时，，故，B正确； C选项，当时，，故，C正确； D选项，当时，，故，D正确. 故选：BCD 三、填空题 10．函数的定义域为 【答案】 【详解】根据具体函数有意义的条件得， . 故答案为：． 11．已知函数满足，，则 . 【答案】-2 【详解】由题意可得，， 所以，则是周期函数，且一个周期是8.        所以.     故答案为：－2. 12．已知函数，当时，的值域是 ；若的值域是，则的定义域为 ．（写出满足条件的一个结论） 【答案】 (答案不唯一) 【详解】由， 可知，函数单调递减，当时，函数单调递增， 故时，，时，，即.的值域是. 令，解得； 令，解得或； 由二次函数的图象与性质可得，若要使函数的值域是， 则它的定义域是可能是，，． 故答案为：;(答案不唯一) 四、解答题 13．已知，． (1)求的定义域； (2)求，的值，的值域 【答案】(1)且 (2)，，值域为 【详解】（1）因为， 所以，解得，且， 所以该函数的定义域为：且. （2）由知，， ， ， ，即的值域为. 14．函数． (1)若的定义域为，求实数的值； (2)若的定义域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）由题意得：不等式的解集为， 所以，化简，解之得． 故实数的值为. （2）由题意得：不等式在R上恒成立， ①当，即或时， 若，则，符合题意； 若，则，定义域不是，不满足条件． ②当，即，或时， ，解得，或. 综上所述，m的取值范围是． 15．设函数的定义域为集合，函数的值域为集合. (1)求，； (2)已知集合，若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【详解】（1）由函数得，解得或， 所以或，由，所以， 所以集合，所以或， 又，所以. （2）由（1）得，.因为，所以. 若，即，即，符合题意； 若，即，因为，所以，所以. 综上所述，实数的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$