1.10 有理数的乘方（教学课件）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（冀教版2024）

冀教版（2024） 七年级数学上册 第一章 有理数 1.10 有理数的乘方 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.经历探索有理数乘方的意义的过程，体会转化的数学思想方法，培养计算能力。 2.理解乘方的意义，了解乘方与幂的关系，能识别指数和底数，掌握幂的符号法则，会进行乘方运算。 3.经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程，培养科学的思考问题的方法。 情景导入 珠穆朗玛峰是世界的最高峰，它的海拔高度是8848.86米．把一张足够大的厚度为0.1毫米的纸，连续对折30次的厚度能超过珠穆朗玛峰，这是真的吗？ 新知探究 我们知道，1 m=10 dm 1 dm=10 cm,1 cm=10 mm.这样就有 1 m=10×1 dm=10×10×1 cm =10×10×10×1 mm =10×10×10 mm. 在一些问题中，我们会遇到几个相同因数相乘的式子，那么，怎样简捷地表达这样的式子呢？ 在这里，10×10，10×10×10都是相同因数相乘. 为方便起见，我们把10×10记作102，读作“10的二次方（或10的平方）”；把10×10×10 记作103，读作“10的三次方（或10的立方）”. 新知探究 (2)（-4）×（-4）×（-4）×（-4） 记作: (4)m×m×m×m×m×m 记作: m6 请仿照上面的记数方法表示下列各式： (1)5×5×5 记作： 53 (3)（-）×（-）×（-）×（-）×（-） 记作： （-4）4 概念归纳 一般地，n 个相同的数a相乘，记作 an，即 像这种求 n 个相同因数的积的运算叫作乘方.乘方的结果 an叫作幂. 在an中，a叫作底数，n叫作指数， an读作“a 的 n 次幂(或 a 的 n 次方)”. a×a×a× … × a = an n个a 概念归纳 底数 指数 因数的个数 幂 乘方的结果 一个数可以看作这个数本身的一次方，例如，5就是51， 指数 1 通常省略不写. 做一做 1.请计算并填表： 2.上表中计算结果的符号有什么规律？ （-2）1 （-2）2 （-2）3 （-2）4 （-2）5 （-2）6 ... ... -2 4 -8 16 -32 64 发现： 正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数. 课本例题 （2） （－ ）4=（－ ）（－ ）（－ ）（－ ）=+ （3）－26= －2×2×2×2×2×2=－64 课堂练习 习题 5.一种放射性物质，每经过一年，它的剩余量变为原来的84%.假设这 种物质现在的总量为1. （1）请填写下表： 经过时间/年 1 2 3 4 5 … N … 剩余量 … … （2）几年后这种物质的剩余量约为现在的一半？ 由（1）知4年后，这种物质的剩余量约为现在的一半. 0.84 0.7056 0.5927 0.4979 0.4182 分层练习-基础 知识点1 乘方的意义 1.32可表示为(　C　) A. 3×2 B. 2×2×2 C. 3×3 D. 3＋3 C 2. [新考法·定义辨析法](－2)5的意义是(　D　) A. －5乘2 B. －2乘5 C. 2个－5相乘 D. 5个－2相乘 D 3. 对于－32与(－3)2，下列说法正确的是(　A　) A. 底数不同，结果不同 B. 底数不同，结果相同 【点拨】 －32表示3的平方的相反数，底数是3，结果是－9； (－3)2表示－3的平方，底数是－3，结果是9. A C. 底数相同，结果不同 D. 底数相同，结果相同 知识点2 乘方运算 4. [2024·枣庄改编]下列数中，平方最大的是(　　) A. 3 B. C. －1 D. －2 A 5. [2024·北京四中期末]下列各组数中，互为相反数的是 (　　) A. －23与(－2)3 B. －(－2)与｜－2｜ C. －52与－25 D. －32与(－3)2 D 6. 已知有理数 a ， b 满足( a ＋2)2＋｜ b －4｜＝0，则 ab ＝ ⁠. 16　 7. (1)填空： ①(－1.2)2＝ ，(－12)2＝ ，(－0.12)2＝ ⁠； ②(－3)3＝ ，(－30)3＝ ，(－0.3)3＝ ⁠. 1.44　 144　 0.014 4　 －27　 －27 000　 －0.027　 (2)观察上述计算结果我们可以得出： ①底数的小数点每向左(右)移动一位，它的平方的小数点向左(右) 移动 位； ②底数的小数点每向左(右)移动一位，它的立方的小数点向左(右) 移动 位. 两　 三　 知识点3 乘方的应用 8. [新视角·新定义题]规定一种新运算：a*b＝ a － ab ，如4*2＝4－42＝－12，则(－2)*3的值为(　C　) A. －10 B. －6 C. 6 D. 8 C 9. 当 n 是正整数时，(－1)2 n＋1－(－1)2 n 的值是(　B　) A. 2 B. －2 C. 0 D. 2或－2 B 分层练习-巩固 利用乘方的意义进行新定义计算 12. [2024·郑州惠济区期中]在学习了“有理数的乘方”运算后，知道乘方的结果叫作“幂”，下面介绍了一种有关“幂”的新运算. 定义： am 与 an ( a ≠0， m ， n 都是正整数)叫作同底数幂，同底数幂的除法记作 am ÷ an . 运算法则如下： am ÷ an ＝ 根据“同底数幂的除法”的运算法则，则 ÷ ＝ 　 　， 52÷54＝ 　 　. 　 　 利用乘方运算在计算中找规律 13. [新视角·规律探索题]求出下列各组两个算式的值，你能发现什么规律？ (1) ×23与 ； 【解】 ×23＝ ×8＝1， ＝13＝1. (2) ×43与 ； 【解】 ×43＝－ ×64＝－ ， ＝ ＝－ . (3)(－1)4×24与(－1×2)4； 【解】(3)(－1)4×24＝1×16＝16， (－1×2)4＝(－2)4＝16. 【解】(4)(－5)2×42＝25×16＝400， [(－5)×4]2＝(－20)2＝400. 规律：两个数的相同次幂的积等于这两个数乘积的相 同次幂，即 am · bm ＝( ab ) m ( m 为正整数). (－0.25)2 025×42 026＝(－0.25)2 025×42 025×4 ＝[(－0.25)×4]2 025×4＝(－1)2 025×4 ＝－1×4＝－4. (4)(－5)2×42与[(－5)×4]2. 试用你发现的规律计算(－0.25)2 025×42 026. 利用乘方运算解实际应用 14. [新考向·知识情境化]当你把纸对折1次时，就得到2层；对折2次时，就得到4层……照这样对折下去(最多对折7次). (1)你能发现层数和对折的次数有什么关系吗？ 【解】设对折的次数是 n ，则折得的层数是2 n (1≤ n ≤7且 n 为正整数). (2)对折6次时，层数是多少？ 【解】对折6次，即 n ＝6时，层数为26＝64(层). (3)如果纸的厚度是0.1 mm，求对折7次时，总厚度是多少. 【解】对折7次时，总厚度为0.1×27＝0.1×128＝12.8(mm). 分层练习-拓展 利用错位相加减法进行乘方计算 15. [新考法·阅读类比法]阅读材料： 求1＋2＋22＋23＋24＋…＋299＋2100的值. 解：令 S ＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋299＋2100.① 将等式①两边同时乘2，得： 2 S ＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋2100＋2101.② ②－①，得2 S － S ＝2101－1，即 S ＝2101－1. 所以1＋2＋22＋23＋24＋…＋299＋2100＝2101－1. 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)计算：1＋3＋32＋33＋34＋…＋32 024＋32 025. 【解】令 S ＝1＋3＋32＋33＋34＋…＋32 024＋32 025.① 将等式①两边同时乘3，得 3 S ＝3＋32＋33＋34＋35＋…＋32 025＋32 026.② ②－①，得3 S － S ＝32 026－1，即 S ＝ . 所以1＋3＋32＋33＋34＋…＋32 024＋32 025＝ . ①它的第100个数是多少？ ②求这个数列中前100个数的和. (2)已知数列：－1，9，－92，93，－94，…. 【解】①第100个数是999. ② 令 S ＝－1＋9－92＋93－94＋…－998＋999.③ 将等式③两边同时乘9，得9 S ＝－9＋92－93＋94－95 ＋…－999＋9100.④ ③＋④，得10 S ＝9100－1，即 S ＝ . 所以这个数列中前100个数的和是 . 课堂小结 1.求n个相同因数的积的运算叫作乘方. 2.乘方运算的符号法则： (1) 正数的任何次幂都是正数； (2) 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； (3) 0的任何正整数次幂都是0. 幂 指数 底数 $$