专题11 有理数及其运算（计算题，70题）-【尖子生培优】2024-2025学年七年级数学上学期重难点压轴题突破专练（北师大版2024）

专题11 有理数及其运算（计算题，70题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）计算下列各小题． (1)； (2)； (3)． 2．（23-24七年级上·广西玉林·开学考试）能简算的要简算． (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）计算： (1)； (2) (3)； (4) 4．（23-24七年级上·河南郑州·期中）阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 计算：． 解：原式， ， ， ，以上解题方法叫做拆项法． 拆项法常用在带分数中，将带分数转化为整数与真分数的和，再将所有的真整数和所有的真分数分别相加，从而达到简便运算的目的．仿照上面的方法，计算： (1) ； (2)． 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算下面各题，能简算可以简算． ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 6．（23-24七年级上·山东青岛·开学考试）计算 (1) (2) (3) (4) 7．（23-24七年级上·江苏泰州·开学考试）用递等式计算，能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) (5) (6)已知，，按这样的规律，请计算：． 8．（22-23七年级上·内蒙古·期末）计算： (1)； (2)． 9．（23-24七年级上·西藏林芝·开学考试）脱式计算，能简算的要简算． (1)； (2)； (3)； (4)． 10．（23-24七年级上·浙江·开学考试）速等式计算（能简便的可简便计算） (1)； (2)． 11．（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读下列材料，并解答问题：定义一种新运算：（等号右边是常规的有理数加减法则运算），例如： (1)计算：； (2)计算：． 12．（23-24七年级上·吉林·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)用简便方法计算：； (5)计算：． 13．（24-25七年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2) (3)． 14．（23-24七年级上·河南周口·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 15．（23-24七年级上·吉林长春·期中）计算： (1) (2) 16．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． (3)． (4)． 17．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）计算： (1)； (2)． 18．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）计算： (1)； (2)． 19．（23-24七年级上·海南儋州·阶段练习） 计算： (1) (2) (3) (4) 20．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）计算： (1)； (2)． 21．（22-23七年级上·贵州贵阳·期中）计算题： (1)； (2)； (3)； (4)． 22．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）计算： (1)； (2)． 23．（22-23七年级上·四川达州·期末）计算： (1)； (2)． 24．（22-23七年级上·河南新乡·期中）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 25．（22-23七年级上·湖南邵阳·期中）先化简，再求值 (1)，其中，； (2)，其中． 26．（23-24七年级上·四川达州·期中）观察下列等式：；； ；； ；． 请解答下列问题： (1)求的值． (2)求的值． (3)求的值． 27．（22-23七年级上·福建三明·期中）（1）计算下面两组算式： ①______，______； ②______，______； （2）猜想与验证：当n为正整数时，______；请你利用乘方的意义说明理由． 28．（22-23七年级上·湖南益阳·期末）计算： (1) (2) (3)． (4)． 29．（22-23七年级上·山东济南·期末）记：，，，…，． (1)计算的值； (2)计算的值； (3)猜想与的关系． 30．（22-23七年级上·福建三明·期中）（1）计算下面两组算式： ①与；     ②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 31．（2023七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 32．（23-24七年级上·全国·课堂例题）求出下列各组中两个算式的值，找出两个算式之间的关系． （1）与； （2）与； （3）与； （4）与． 利用所得规律计算：． 33．（21-22七年级上·陕西咸阳·期中）阅读下列例题 为了计算，我们采用如下方法： 设，① 则．② 由②﹣①，得， 即． 利用上述方法，请你计算． 34．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4)． 35．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）​数学老师布置了一道思考题，“计算： ”小明的计算方法如下： ， ， ， ． 请判断小明的做法是否正确，如果不正确，请写出正确的解法．​ 36．（23-24七年级上·福建泉州·期中）计算： (1) (2). 37．（23-24七年级上·浙江金华·期中）计算： (1)； (2)； 38．（23-24七年级上·山东菏泽·期中）（1）说出下列计算中每一步所依据的运算律或法则： 　　　　（第一步） 　　　　（第二步） 　　（第三步） ． （2）用简便方法计算：． 39．（23-24七年级上·河北保定·期中）计算： (1)； (2)． 40．（23-24七年级上·湖南怀化·期中）计算： (1) (2) 41．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）定义☆运算：观察下列式： 1☆； 4☆； ☆； ☆ (1)☆ ，☆ ； (2)若，那么☆☆ 0（用“”、“ ”或“连接”）； (3)若☆，请计算☆的值． 42．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 43．（23-24七年级上·河南郑州·期中）计算： (1)； (2)． 44．（23-24七年级上·福建福州·期中）计算： (1)； (2)． 45．（23-24七年级上·吉林长春·期中）计算： (1)． (2)． 46．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）计算：（能简算的要简算） (1) (2) (3) (4) 47．（23-24七年级上·福建泉州·期中）阅读下列材料，探究规律，并解决问题． 已知： (1)若n为正整数－请你猜想________． (2)计算： (3)计算：． 48．（23-24七年级上·吉林长春·期末）现规定一种新运算，规则如下：，例如：． (1)按照这个规则，___________． (2)按照这个规则，先化简，并计算当，时，的值． 49．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1) (2) 50．（23-24七年级上·新疆伊犁·阶段练习）计算: (1)； (2)； (3)； (4)． 51．（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习）计算： (1) (2) 52．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）计算． (1) (2) 53．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）对于有理数、，定义运算：． (1)计算的值； (2)计算． 54．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）计算：． 55．（23-24七年级上·浙江台州·阶段练习）计算： (1)； (2)； 56．（23-24七年级上·重庆·开学考试）列竖式计算． (1)　　　． (2)　　　． (3)　　　． (4)　　　． 57．（23-24七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）阅读下面的方法 解：原式 计算：． 58．（23-24七年级上·湖南邵阳·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 59．（23-24七年级上·辽宁大连·阶段练习）阅读下面材料： 对于，可以如下计算： 原式 ． 仿照上面的方法，计算： (1)； (2)． 60．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5)） 61．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）探究规律，完成相关题目． 定义“（环加）”运算：；；；；；． (1)归纳运算的法则：两数进行运算时，____________，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，____________． (2)计算：______． (3)是否存在有理数a，b，使得，若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由． 62．（23-24七年级上·山东聊城·阶段练习）（1）计算：． （2）计算：． 63．（23-24七年级上·北京丰台·期中）观察下列各式： ，，． (1)猜想________． (2)用你发现的规律计算：． 64．（23-24七年级上·山东潍坊·阶段练习）计算： (1) (2)． (3) (4) 65．（23-24七年级上·福建福州·期中）探索规律，观察下面的算式，解答问题． (1)请猜想： ； (2)请猜想： ；（是正整数且） (3)计算：． 66．（23-24七年级上·北京顺义·期末）计算：． 67．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）若，，，…，照此规律试求： (1)______； (2)计算； (3)计算． 68．（22-23七年级上·河北秦皇岛·期中）阅读下列内容，并完成相关问题． 小明定义了一种新的运算，取名为※（加乘）运算．按这种运算进行运算的算式举例如下： ；； ；； ；． 问题： (1)请归纳※（加乘）运算的运算法则： 两数进行※（加乘）运算时， ． 特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算， ． (2)计算：．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） 69．（22-23七年级上·河南南阳·阶段练习）计算题： (1)． (2)． 70．（22-23七年级上·安徽合肥·期中）仔细观察下列等式： 第一个：第二个：第三个： 第四个：…… (1)请你写出第六个等式：___________； (2)请写出第n个等式：___________；（用含字母n的等式表示）； (3)运用上述规律，计算：． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 有理数及其运算（计算题，70题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）计算下列各小题． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的加减运算． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）利用有理数的加减法则及绝对值计算即可； （3）利用有理数的加减法则计算即可． 【详解】（1） （2） （3） ． 2．（23-24七年级上·广西玉林·开学考试）能简算的要简算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)18； (3)5； (4)14.4． 【分析】本题考查了分数的混合运算，乘法分配律，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用乘法分配律得出，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （2）先把除法转为乘法，再运用乘法分配律进行简便运算，即可作答． （3）先算小括号内，再运算除法和减法，再运算括号外，即可作答． （4）先把百分数化为小数，再运用乘法分配律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 3．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）计算： (1)； (2) (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要有理数的加减法： （1）根据有理数的加法法则计算即可； （2）根据有理数的加法法则计算即可； （3）根据加法交换律，结合律计算即可； （4）根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 4．（23-24七年级上·河南郑州·期中）阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 计算：． 解：原式， ， ， ，以上解题方法叫做拆项法． 拆项法常用在带分数中，将带分数转化为整数与真分数的和，再将所有的真整数和所有的真分数分别相加，从而达到简便运算的目的．仿照上面的方法，计算： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算： （1）根据“拆项法”以及加法交换律和结合律计算即可． （2）根据“拆项法”以及加法交换律和结合律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； 故答案为：； （2）解：原式 ． 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算下面各题，能简算可以简算． ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 【答案】①；②；③；④；⑤；⑥ 【分析】本题考查了简便运算，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． ①先把拆成，然后根据乘法分配律逆运算进行简算； ②根据乘法分配律，加法结合律进行简算； ③先算小括号里面的减法，再算中括号里面的除法，最后算中括号外面的除法； ④根据乘法分配律进行简算； ⑤先把除法转化成乘法，再根据乘法分配律逆运算进行简算； ⑥观察发现：，，，，按此规律将每个分数拆成两个分数相减的形式后进行简算． 【详解】① = = = = = ② = = = = = ③ = = = = = = ④ = = = ⑤ = = = = = ⑥ = = = = = 6．（23-24七年级上·山东青岛·开学考试）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数加减法法则进行计算即可； （2）根据有理数乘除法则进行计算即可； （3）根据有理数混合运算法则进行计算； （4）根据绝对值以及乘方的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 7．（23-24七年级上·江苏泰州·开学考试）用递等式计算，能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) (5) (6)已知，，按这样的规律，请计算：． 【答案】(1) (2)100000 (3)8.3 (4) (5)47.8 (6) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算： （1）先计算乘除，再计算减法，即可求解； （2）根据有理数的乘法运算律计算，即可求解； （3）先计算乘除，再计算减法，即可求解； （4）先计算小括号内的，再计算中括号内的，然后计算括号外的，即可求解； （5）利用有理数乘法分配律计算，即可求解； （6）先把原式变形为，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： 8．（22-23七年级上·内蒙古·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则、运算顺序和运算律是解决本题的关键： （1）除法变乘法，再利用乘法的分配律计算即可； （2）先算乘方，再算绝对值和括号里面的，最后算乘法和加减． 【详解】（1） ； （2） ． 9．（23-24七年级上·西藏林芝·开学考试）脱式计算，能简算的要简算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)1 (4) 【分析】题目主要考查分数的混合运算及乘法运算律，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先将除法转为乘法，然后运用乘法运算律计算即可； （2）运用乘法运算律计算即可； （3）先计算乘法，然后计算减法即可； （4）先将除法转换为乘法，然后计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 10．（23-24七年级上·浙江·开学考试）速等式计算（能简便的可简便计算） (1)； (2)． 【答案】(1) (2)91 【分析】本题主要考查了有理数的简便运算，灵活运用有理数的运算律成为解题的关键． （1）先取括号，然后再运用加法交换律即可解答； （2）先把小数化成分数、然后再化除为乘，然后再运用乘法结合律即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 11．（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读下列材料，并解答问题：定义一种新运算：（等号右边是常规的有理数加减法则运算），例如： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1)2.5 (2)4 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确新定义，求出所求式子的值． （1）根据题中给出的新定义，求出式子的值即可； （2）根据题中给出的新定义，求出式子的值即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 12．（23-24七年级上·吉林·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)用简便方法计算：； (5)计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的乘方以及四则运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法交换律和结合律简便运算求解即可； （2）根据有理数的乘除运算求解即可； （3）利用乘法分配律简便计算即可； （4）利用乘法分配律简便计算即可； （5）根据有理数的混合运算，先计算乘法，再计算乘法，最后计算加减求解即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ． 13．（24-25七年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2) (3)． 【答案】(1)5； (2)3； (3) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算： （1）（2）（3）按照先计算乘除法，再计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：原式 ． 14．（23-24七年级上·河南周口·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)18 (2)9 (3) 【分析】本题考查有理数的运算律、有理数的加减混合运算、有理数含乘方的混合运算， （1）根据有理数的加减混合运算法则和交换律进行计算即可； （2）先计算乘方、再计算乘除、最后再计算加减； （3）利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 15．（23-24七年级上·吉林长春·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算等知识． （1）先将减法转化为有理数加法运算，再进行计算即可求解； （2）先根据加法交换律和结合律进行同分母分数加法运算，再进行计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 16．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】 本题主要考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则、运算顺序和运算律是解决本题的关键． （1）先计算乘方以及乘法，再计算加减法即可； （2）先计算绝对值和乘方，再计算乘除法，最后计算加减法即可； （3）先计算乘方、绝对值和括号内，再计算乘除法，最后计算加减法即可； （4）先计算乘方、绝对值和括号内，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： （4）解： 17．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，正确计算是解题的关键； （1）根据有理数混合运算法则计算即可． （2）首先计算乘方，去绝对值，然后按照有理数混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 18．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用乘法分配律、绝对值的性质分别运算，再合并即可； （）按照有理数的混合运算的顺序进行计算即可求解； 本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， ； （2）解：原式 ， ， ． 19．（23-24七年级上·海南儋州·阶段练习） 计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键． （1）先把减法转化为加法，然后根据加法法则计算即可； （2）根据乘法分配律计算即可； （3）先把假分数化为带分数，再算乘除法，最后算加减法即可； （4）先算乘方和括号内的式子，然后计算括号外的乘法，最后算减法即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 20．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用乘法分配律计算即可； （）先算乘方，绝对值，乘法，再算加减即可． 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 21．（22-23七年级上·贵州贵阳·期中）计算题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)6 (2) (3)0 (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算： （1）利用加减法则进行计算即可； （2）利用乘法分配律进行计算即可； （3）利用加减法则，进行计算即可； （4）先乘方，再乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式． 22．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，正确运用整式混合运算法则计算是解题的关键； （1）根据有理数的加法和减法可以解答本题； （2）根据幂的乘方、有理数的乘法和加减法可以解答本题． 【详解】（1） ． （2） ． 23．（22-23七年级上·四川达州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用乘法分配律计算即可得到结果； （2）原式先乘方运算和括号内的减法，再乘法运算，最后加减运算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 24．（22-23七年级上·河南新乡·期中）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算法则，有理数的乘法运算法则，乘法分配律，有理数的混合运算法则，熟练运用相关运算法则是解题的关键． （1）根据有理数减法运算法则将减法化为加法，再利用有理数加法运算法则解答即可； （2）根据乘法分配律将原式转化为，再利用有理数混合运算法则即可解答； （3）根据有理数的乘法运算法则即可解答； （4）根据有理数的混合运算法则即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 25．（22-23七年级上·湖南邵阳·期中）先化简，再求值 (1)，其中，； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)，60 【分析】（1）首先根据整式的加减运算法则化简，然后代入求解即可； （2）首先根据整式的加减运算法则化简，然后根据平方和绝对值的非负性求出m和n的值，然后代入求解即可． 【详解】（1） ∵， ∴原式； （2） ∵ ∴，， ∴，， ∴原式． 【点睛】此题考查了整式的加减运算以及化简求值，绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握整式的加减运算法则． 26．（23-24七年级上·四川达州·期中）观察下列等式：；； ；； ；． 请解答下列问题： (1)求的值． (2)求的值． (3)求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）利用规律把（）中的分数拆成两个分数的差，把互为相反数的互相抵消，得出答案即可； （）运用变化规律裂项计算即可得； （）根据数字规律，将分数拆成两个分数的和，然后根据加减法进行计算即可求解； 本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据所给的等式总结出存在的规律并灵活运用． 【详解】（1）由， ， ， ， ∴， ， ； （2）由， ， ， ， ∴， ， ， ， ； （3）， ， ， ， ． 27．（22-23七年级上·福建三明·期中）（1）计算下面两组算式： ①______，______； ②______，______； （2）猜想与验证：当n为正整数时，______；请你利用乘方的意义说明理由． 【答案】（1）①；②；（2）；理由见解析． 【分析】（1）根据题意计算出结果即可． （2）写出猜想的结果，然后利用乘方的意义说明理由即可． 【详解】解：（1）①， ； ②， ； 故答案为：①；；②；． （2）由（1）解猜想，当n为正整数时，．理由如下： 故答案为：． 【点睛】本题重点考查了乘方的意义，以及对式子普遍规律的猜想、验证的过程． 28．（22-23七年级上·湖南益阳·期末）计算： (1) (2) (3)． (4)． 【答案】(1)1 (2) (3) (4)0 【分析】（1）运用加法结合律与交换律计算； （2）先计算乘方，再计算加法即可； （3）先计算乘除，再计算加法即可； （4）运用乘法分配律计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数运算法则和利用运算律进行简便计算是解题的关键． 29．（22-23七年级上·山东济南·期末）记：，，，…，． (1)计算的值； (2)计算的值； (3)猜想与的关系． 【答案】(1) (2)0 (3)互为相反数 【分析】（1）根据已知算式即可求解； （2）观察已知算式发现规律即可求值； （3）分两种情况讨论，当为奇数和偶数时，为偶数和奇数，进而可以说明． 【详解】（1）解：（1）， ， ， ， 的值为：； （2）的值为： ； （3）与的关系：互为相反数的关系．理由如下： ， ， 当为奇数时，为偶数， 与互为相反数； 当为偶数时，为奇数， 与互为相反数； 所以与的关系：互为相反数的关系． 【点睛】本题考查了规律型数字的变化类，解决本题的关键是观察已知条件寻找规律并运用规律． 30．（22-23七年级上·福建三明·期中）（1）计算下面两组算式： ①与；     ②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）；（3）；理由见解析；（4） 【分析】（1）前式先乘法再平方，后式先平方再乘法，据此即可计算求值； （2）根据（1）的结果即可得到答案； （3）根据乘方的意义写成n个数相乘，利用交换律转化为和的乘积即可证明猜想； （4）利用乘方的逆运算进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）①， ； ②， ； （2）； （3），理由如下： ； （4） ． 【点睛】本题考查了有理数乘法法则，乘方的意义，以及对师资普遍规律的猜想和验证，熟练运用乘方运算以及逆运算来简便运算是解题关键． 31．（2023七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】根据有理数乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练运用运算法则是解本题的关键． 32．（23-24七年级上·全国·课堂例题）求出下列各组中两个算式的值，找出两个算式之间的关系． （1）与； （2）与； （3）与； （4）与． 利用所得规律计算：． 【答案】见解析 【分析】先分别求出各个式子，再根据结果即可总结出规律，然后根据规律即可得出答案． 【详解】解：（1）． （2），，． （3），． （4），． 由上述可得，两个数的相同次幂的积等于这两个数乘积的相同次幂，即 (m为正整数)． ∴． 【点睛】本题考查了有理数幂的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 33．（21-22七年级上·陕西咸阳·期中）阅读下列例题 为了计算，我们采用如下方法： 设，① 则．② 由②﹣①，得， 即． 利用上述方法，请你计算． 【答案】 【分析】①，②，由②﹣①，得，即可得到答案． 【详解】解：设①， 则②， 由②﹣①，得， 则， 即． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是理解清楚所给的解答的方式． 34．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4)． 【答案】(1) (2) (3)81 (4) 【分析】（1）利用有理数乘方法则计算即可； （2）利用有理数乘方法则计算即可； （3）利用有理数乘方法则计算即可； （4）先利用减法法则变形，再根据有理数加法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 【点睛】此题考查了有理数乘方和有理数加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 35．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）​数学老师布置了一道思考题，“计算： ”小明的计算方法如下： ， ， ， ． 请判断小明的做法是否正确，如果不正确，请写出正确的解法．​ 【答案】小明的做法不正确，正确解法见解析． 【分析】此题考查了有理数的加减法和除法运算，先通分括号内的式子，再计算括号外的除法即可，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：小明的做法不正确，正确解法如下： ， ， ， ． 36．（23-24七年级上·福建泉州·期中）计算： (1) (2). 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算是解题的关键． （1）去括号进行计算即可； （2）去括号再将同分母的分数结合进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 37．（23-24七年级上·浙江金华·期中）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算顺序是解题关键． （1）运用有理数的加减混合运算的法则进行求解即可； （2）利用乘法分配律进行求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 38．（23-24七年级上·山东菏泽·期中）（1）说出下列计算中每一步所依据的运算律或法则： 　　　　（第一步） 　　　　（第二步） 　　（第三步） ． （2）用简便方法计算：． 【答案】（1）多个有理数的乘法法则，乘法交换律，乘法结合律；（2） 【分析】本题考查了有理数乘法计算，根据乘法交换律和结合律计算即可． （1）利用乘法交换律和结合律计算即可； （2）利用乘法交换律和结合律计算即可． 【详解】解：（1） 　　　　（多个有理数的乘法法则） 　　　　（乘法交换律） 　　（乘法结合律） ． （2） ． 39．（23-24七年级上·河北保定·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，有理数的乘法运算律．熟练掌握整式的加减运算，有理数的乘法运算律是解题的关键． （1）先去括号，然后合并同类项即可； （2）利用乘法分配律，然后进行加减运算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 40．（23-24七年级上·湖南怀化·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数加减混合运算法则计算即可． （2）利用分配律计算即可． 【详解】（1） ． （2） ． 41．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）定义☆运算：观察下列式： 1☆； 4☆； ☆； ☆ (1)☆ ，☆ ； (2)若，那么☆☆ 0（用“”、“ ”或“连接”）； (3)若☆，请计算☆的值． 【答案】(1)； (2) (3)16 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的加减运算，大小比较，解题的关键是： （1）按照定义的新运算进行计算，即可解答； （2）按照定义的新运算可得☆☆，然后利用大小关系进行计算，即可解答； （3）按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：☆； ☆； 故答案为：；； （2）☆☆ ， ， ， ， ☆☆， 故答案为：； （3）☆， ， ☆ ． 42．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的运算． （1）根据有理数的加减混合运算进行计算即可得解； （2）根据除以一个数等于乘以这数的倒数，按照从左到右的顺序都转化为乘法运算，再进行计算即可得解； 解题的关键是掌握有理数的运算法则，属于中考常考题型． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 43．（23-24七年级上·河南郑州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2023 【分析】本题考查有理数的运算： （1）利用绝对值的性质及有理数的加减法则计算即可； （2）将原式变形后利用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 44．（23-24七年级上·福建福州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数混合运算，涉及有理数加法、减法、乘法、除法运算、绝对值运算等知识，掌握相关运算法则是解决问题的关键． （1）根据相反数定义、绝对值运算先计算，再由有理数加减运算法则求解即可得到答案； （2）根据有理数的乘除运算法则、乘法分配律的逆运算化简求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 45．（23-24七年级上·吉林长春·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算： （1）先将带分数化成假分数，然后约去分母即可； （2）除以一个数等于乘以这个数的倒数，运用乘法分配律计算即可得到结果； 正确计算是解答本题的关键． 【详解】（1）解： = = = =； （2）解： = = = =． 46．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）计算：（能简算的要简算） (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键． （1）根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解； （2）根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解； （3）根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解； （4）根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 47．（23-24七年级上·福建泉州·期中）阅读下列材料，探究规律，并解决问题． 已知： (1)若n为正整数－请你猜想________． (2)计算： (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，利用规律解决问题． （1）分子是1，分母是连续两个自然数的乘积可以拆成两个分子是1，分母是这两个自然数的分数的差，由此规律得出答案即可； （2）利用发现的规律拆分抵消计算即可； （3）利用发现的规律拆分抵消计算即可． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 48．（23-24七年级上·吉林长春·期末）现规定一种新运算，规则如下：，例如：． (1)按照这个规则，___________． (2)按照这个规则，先化简，并计算当，时，的值． 【答案】(1) (2)，17 【分析】本题考查的是有理数的四则混合运算，整式的加减运算的化简求值，掌握运算法则与运算顺序是解本题的关键； （1）根据新定义运算先列式，再计算乘法，最后计算加减运算即可； （2）根据新定义运算先列式，再去括号，合并同类项，再把，代入计算即可. 【详解】（1）解：； （2） ； 当，时， 原式. 49．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)8 【分析】此题考查了有理数的运算，正确掌握有理数加减混合运算和乘除混合运算法则是解题的关键： （1）分别计算正数和负数，再计算加减法； （2）将除法化为乘法，再计算乘法即可． 【详解】（1） ． （2） ． 50．（23-24七年级上·新疆伊犁·阶段练习）计算: (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，加法运算律，乘法运算律．熟练掌握有理数的混合运算，乘法运算律是解题的关键． （1）先去括号，然后进行加减运算即可； （2）先去括号，利用加法运算律计算求解即可； （3）利用乘法运算律计算求解即可； （4）先将带分数化成整数与分式的和，然后利用乘法运算律计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 51．（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)20 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练相关运算法则和运算律是解题关键． （1）根据有理数加减运算法则和加法运算律求解即可； （2）根据有理数乘除运算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 52．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用乘法分配律进行有理数的运算． （1）直接利用乘法分配律进行计算即可求解； （2）先将化为，再利用分配率进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 53．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）对于有理数、，定义运算：． (1)计算的值； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，绝对值的求解，注意明确有理数混合运算顺序是解题关键． （1）根据新定义运算法则列式计算； （2）根据新定义运算法则先求得，然后再算括号外面的即可． 【详解】（1）解：； （2）， ． 54．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）计算：． 【答案】9 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的乘除运算法则是解本题的关键． 先将带分数化成假分数，再把除法化为乘法，利用乘法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 55．（23-24七年级上·浙江台州·阶段练习）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则及运算律是解题关键． （1）根据有理数的加法交换律和结合律计算即可； （2）根据乘法的分配律计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解： ． 56．（23-24七年级上·重庆·开学考试）列竖式计算． (1)　　　． (2)　　　． (3)　　　． (4)　　　． 【答案】(1)12 (2)7072 (3)8 (4)27300 【分析】本题主要考查了整数的乘法和除法，掌握整数除法、乘法的竖式计算方法成为解题的关键． （1）直接列除法竖式计算即可； （2）直接列乘法竖式计算即可； （3）直接列除法竖式计算即可； （4）直接列乘法竖式计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 【点睛】 57．（23-24七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）阅读下面的方法 解：原式 计算：． 【答案】 【分析】根据题目中材料，将原式整理为，然后求解即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了有理数加减混合运算，理解材料中简便运算方法是解题关键． 58．（23-24七年级上·湖南邵阳·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)5 (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算； （1）先去绝对值，再进行计算即得结果； （2）先去括号，然后进行有理数的加减运算即得结果； （3）先去括号，然后进行有理数的加减运算即得结果； （4）先去括号，然后根据加法的结合律进行有理数的加减运算即得结果； 熟练掌握运算法则和运算律，是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式 ． 59．（23-24七年级上·辽宁大连·阶段练习）阅读下面材料： 对于，可以如下计算： 原式 ． 仿照上面的方法，计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照例题方法，根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）仿照例题方法，根据有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的加减运算，理解题中运算方法，利用类比思想并灵活运用有理数的加减运算法则是解答的关键． 60．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5)） 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）直接运用有理数减法运算法则即可解答； （2）运用有理数加减混合运算解答即可； （3）运用有理数加法运算律简便运算即可； （4）运用有理数加减混合运算解答即可； （5）运用有理数加减混合运算解答即可. 【详解】（1）解： . （2）解： ， . （3）解： . （4）解： . （5）解： . 【点睛】本题主要考查了有理数加法、有理数减法、有理数的加减混合运算、有理数加法运算律等知识点，掌握运算法则及运算律是解答此题的关键. 61．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）探究规律，完成相关题目． 定义“（环加）”运算：；；；；；． (1)归纳运算的法则：两数进行运算时，____________，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，____________． (2)计算：______． (3)是否存在有理数a，b，使得，若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加；都得这个数的绝对值； (2) (3)存在，． 【分析】（1）根据定义得出法则即可； （2）根据法则计算即可； （3）根据法则和非负数的性质，即可证得． 【详解】（1）解：归纳⊕运算的法则：两数进行运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加．特别地，0和任何数进行运算，或任何数和进行运算，都得这个数的绝对值． 故答案为：同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加；都得这个数的绝对值； （2） （3）当时，， 根据法则：，根据非负数的性质，只有时，． 【点睛】本题考查了新定义运算，理解题意是解题的关键． 62．（23-24七年级上·山东聊城·阶段练习）（1）计算：． （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键． 63．（23-24七年级上·北京丰台·期中）观察下列各式： ，，． (1)猜想________． (2)用你发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知等式找出等式规律即可； （2）根据找出的规律，依据规律进行裂项，再根据有理数的加减乘除依次进行计算． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解： ． 【点睛】本题考查数字的变化规律、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中式子的变化特点，求出所求式子的值． 64．（23-24七年级上·山东潍坊·阶段练习）计算： (1) (2)． (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，注意运算顺序和符号；在计算中巧妙运用加法运算律往往使计算更简便． 65．（23-24七年级上·福建福州·期中）探索规律，观察下面的算式，解答问题． (1)请猜想： ； (2)请猜想： ；（是正整数且） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3)30000 【分析】（1）根据题目所给等式总结出一般规律，求出当时，，即可解答； （2）根据（1）中总结的一半规律，即可解答； （3）将每一项都拆解出一个200，即可求解． 【详解】（1）解：第一个：， 第二个：， 第三个：， 第四个：， …… 第n个：， 当时，， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， 故答案为：． （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了式子的变化规律，有理数的混合运算，解题的关键是仔细观察题目所给等式，总结出一般规律． 66．（23-24七年级上·北京顺义·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据有理数加法和减法运算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 67．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）若，，，…，照此规律试求： (1)______； (2)计算； (3)计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的加减法运算及绝对值的意义．有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． （1）（2）（3）根据有理数的减法法则以及绝对值的意义计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 68．（22-23七年级上·河北秦皇岛·期中）阅读下列内容，并完成相关问题． 小明定义了一种新的运算，取名为※（加乘）运算．按这种运算进行运算的算式举例如下： ；； ；； ；． 问题： (1)请归纳※（加乘）运算的运算法则： 两数进行※（加乘）运算时， ． 特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算， ． (2)计算：．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把绝对值相加；都得此数的绝对值 (2) 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，正确理解新定义的运算法则是解题的关键． （1）根据所给示例，进行总结即可； （2）根据总结的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知：两数进行※（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，都得此数的绝对值； 故答案为：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；都得此数的绝对值； （2）解： ． 69．（22-23七年级上·河南南阳·阶段练习）计算题： (1)． (2)． 【答案】(1)29 (2) 【分析】（1）根据有理数加法法则计算即可． （2）根据有理数加减混合运算法则计算即可． 本题考查了有理数的加法，加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 70．（22-23七年级上·安徽合肥·期中）仔细观察下列等式： 第一个：第二个：第三个： 第四个：…… (1)请你写出第六个等式：___________； (2)请写出第n个等式：___________；（用含字母n的等式表示）； (3)运用上述规律，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题目中的式子，可以发现数字的变化特点，从而写出第6个等式 （2）根据题目中等式的变化规律，可以写出第n个等式 （3）根据所求式子的特点和（2）中的结果，可以求得所求式子的值 【详解】（1）第一个： 第二个： 第三个： 第四个： 第五个： ∴第六个： （2）第一个：，即 第二个：，即 第三个：，即 第四个：，即 ∴第个等式应该是 （3） 【点睛】本题考查的是数字的变化类题型，根据题中所给出的式子找出规律是解答此题的关键 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$