专题03 轴对称图形（压轴题41题）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版）

专题03 轴对称图形（压轴题41题） 一、单选题 1．如图所示，在中，，，为的中点，交于点，若，的大小是（     ） A． B． C． D． 2．如图，C为线段上一动点（不与点A，点E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，．以下六个结论：①；② ；③；④；⑤；⑥平分，其中正确的结论的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．如图，等腰中，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的个数为（　　）个 A．4 B．3 C．2 D．1 4．如图，已知，C是内部的一点，且，点D、E分别是上的动点，若周长的最小值等于3，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，且点，，，，坐标分别是，，，，，依据图形所反映的规律，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．如图，，在的同侧，，，，M 为的中点， 若，则的最大值为（    ） A．12 B．15 C．18 D．20 7．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于下列结论：①点到各边的距离相等；②；③；④设，，则.其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 8．如图，在等边中，分别是边上的点，且，与相交于点，垂直于．则（    ） A． B． C． D． 9．如图所示，已知，，，…，以此规律操作下去，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在等腰中，，，点是线段上一点，，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面的结论：；；；，其中正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 11．如图，，，，下列结论正确的有（    ）    ①平分；                        ②； ③；                        ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 12．如图，等边三角形中，，点D是上一点，且．若点E是y轴正半轴上一动点，F是线段上一动点．当的值最小时，点F的横坐标为 ．（用含a的式子表示） 13．如图，中，，，P为外一点，，，点Q为上一点，连接交于D，若，，则 ． 14．如图，等边中，，于点，点在线段上运动，点在上，且，当取最小值时， °． 15．如图，在中，，分别以、和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连接、和交于点P，则、、、中某三条线段存在等量关系是 ． 16．如图，在中，，的面积是，点为的中点，点为线段上的动点，点为边上的动点，则的最小值为 ． 17．如图，点在直线上，于点，，点在直线上运动，以为边作等边，连接，则的最小值为 ． 18．如图，，点在上，且，按下列要求画图：以为圆心，为半径向右画弧交于点，得第条线段；再以为圆心，为半径向右画弧交于点，得第条线段；再以为圆心，为半径向右画弧交于点，得第条线段；这样画下去，直到得第条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则当时，= ；求出的α取值范围(用含有n的代数式表示) ．    19．如图，中，，点D是边上的动点，连接，以为边在的左下方作等边，连接，则点D在运动过程中，线段长度的最小值是 ．    20．如图，等边三角形的边长为4，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值为 ．    21．如图1纸片（），将按如图2所示沿着折叠至，与线段交于，，点在线段上，若将按如图3所示沿着折叠至，且在线段的延长线上，点在线段上，则 ．（用含的式子表示）    22．如图，已知点O是等边内一点，，点D是外一点，且，当是等腰三角形时，α的度数是 ． 23．如图，过边长为2的等边的边上一点，作于点，为延长线上一点，当时，连接交边于点，则的长为 . 24．已知，M是边OA上的一个定点，且，N、P分别是边、上的动点，则的最小值是 ． 25．如图，图1是长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，若图3中，则图1中的的度数是 ． 三、解答题 26．如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当 时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 27．已知在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图①，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（填“＞”“＜”或“＝”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图②，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论，______（填“＞”“＜”或“＝”）． 理由如下，过点E作，交于点F（请你完成以下解答过程）． (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点E在直线上，点D在的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）． 28．（1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，，，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．试探索的数量关系，并说明理由． （3）拓展与应用：如图3，，是，，三点所在直线上的两动点，，三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试判断的形状．    29．【数学思考】 （1）在数学活动课上．老师让同学们就三角形的中线进行进一步的探究：如图1，是的中线，过点B作的平行线，交的长线于点E，发现DE的长恰好等于中线的长，请验证这一结论； 【深入探究】 （2）如图2，中，点D，E在边上，，过点E作，交的角平分线于点F，试判断EF与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，平分，点E为边的中点，过点E作，交于点F，交BA的延长线于点G，若，，则的长度． 30．【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段，，之间的数量关系为__________，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，．请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 31．如图，在中，，，D为的中点，P为线段上一动点，E为延长线上一点，且．    (1)连接，求证：； (2)求证：； (3)求证：是正三角形； (4)当时，求四边形的面积． 32．如图，点O是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)当为多少度时，是等腰三角形？ 33．如图，在四边形中，，，平分． (1)如图，若，，则 (2)问题解决：如图，求证：； (3)问题拓展：如图，在等腰中，，平分，求证：． 34．【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线” 等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求  的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”    【初步感知】 （1）如图1，在中 ，，，D是 的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到 点E，使 ，连 接．可以判定， 从而得到．这样就能把线段、、 集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是______ (请直接写出答案) 【实践应用】 （2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，  教学楼高度，求 的长 ． 【拓展探究】 ( 3 ) 如 图 3 ， 和 均为等腰直角三角形，连接，，点 F 是 的中点，连接并延长，与 相交于点G．试探究： 和 的数量关系和位置关系并说明理由． 35．综合与实践： 数学课上，白老师出示了一个问题：已知等腰直角三角形和等腰直角三角形，，，，连接，，如图1． 独立思考： （1）如图1，求证：； 实践探究：在原有条件不变的情况下，白老师把旋转到了特殊位置，增加了新的条件，并提出了新的问题，请你解答： 解决问题： （2）如图2，在绕着点C旋转到某一位置时恰好有，． ①求的度数； ②线段与线段交于点F，求的值． 36．如图，在平面直角坐标系中，点，在轴的负半轴上，，．    (1)如图1，当时，写出点的坐标______； (2)如图2，轴，且，连接交轴于，在点运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，求的长；若变化，请说明理由． (3)如图3，在的延长线上，，过作轴于，证明：． 37．【问题提出】 （1）如图1，在中，，点是上一点，交于点，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，求证：； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，点是的中点，连接，，与的延长线交于点．探究线段与、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，某校有一块四边形空地，现将这块空地规划为实践活动区域，在的中点处修建入口，沿修建一条小路（小路的宽度忽略不计），将这块空地分成两部分，在内种植蔬菜，在四边形内种植果树，已知，恰好平分，，，求的长． 38．综合与探究 【问题情境】在等边中，是边上的一个定点，是上的一个动点，以为边在的右侧作等边，连接． 【特例研究】 如图，当点在边上时，过点作交于点． 此时的形状是 ；与的数量关系是 ． 试猜想之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （）如图，当点在的延长线上时，（）中的猜想是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的猜想并说明理由． 39．如图，在三角形中，，，点，分别在坐标轴上． (1)如图①，若点C的横坐标为，点B的坐标为______； (2)如图②，若x轴恰好平分，交x轴于点M，过点C作垂直x轴于D点，试猜想线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，，，连接交y轴于P点，点B在y轴的正半轴上运动时，与的面积比是否变化？若不变，直接写出其值，若变化，直接写出取值范围． 40．【课本巩固】如图①，在等边中，为边上一点，为上一点，且，连接与相交于点． （1）与的数量关系为______，与构成的锐角夹角的度数是______； 【探究发现】 （2）在（1）的基础上，延长至点，使，连接，，如图②所示，求证：平分． 【拓展延伸】 （3）如图③，在等边中，为边上一点，为上一点，且，，，求． 41．【阅读】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为等角三角形．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是等角三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的等角分割线．    【理解】（1）如图1，在中，，，请写出图中两对等角三角形．______；______． 【尝试】（2）如图2，在中，平分，，．求证：为的等角分割线． 【应用】（3）在中，，是的等角分割线，请直接写出的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 轴对称图形（压轴题41题） 一、单选题 1．如图所示，在中，，，为的中点，交于点，若，的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作交于点，交于点，、相交于点，利用“角角边”证明，再根据全等三角形性质得到后可利用“边角边”证明，根据全等三角形性质、即可得到． 【详解】解：作交于点，交于点，、相交于点， 中，， ， ， ， 是的外角， 是的外角， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 点在上，且， ， 即． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、外角的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 2．如图，C为线段上一动点（不与点A，点E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，．以下六个结论：①；② ；③；④；⑤；⑥平分，其中正确的结论的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，角平分线的判定定理，构造辅助线，利用角平分线判定定理是解题的关键．证明即可判断①正确，证明即可判断②和③正确，证明，即进一步可判断④错误，过点O作于点G，于点H，只要证明，即可根据角平分线的判定定理判断⑤正确． 【详解】和都是等边三角形， ，，， ， ， ， 所以①正确； ， ， ， ， ， 又， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， 所以②③都正确； ， ， ， 都是等边三角形， ， ， 所以④错误； 是等边三角形， ， ， ， ， 所以⑤正确； 过点O作于点G，于点H， ， ， ， ， ， 平分， 所以⑥正确； 所以正确的结论的有5个． 故选C． 3．如图，等腰中，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的个数为（　　）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键． ①根据等边对等角，可得、、则，据此即可求解；②因为点是线段上一点，所以不一定是的角平分线，据此即可求解；③证明且，即可证得是等边三角形；④先证明，则． 【详解】解：①如图1，连接， ， ， ， ， ， ， ∴，故①正确； ②由①知：， ∵点是线段上一点， ∴与不一定相等，则与不一定相等，故②不正确； ③∵， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形；故③正确； ④如图2，在上截取，连接， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴；故④正确； ∴正确的结论有：①③④． 故选：B． 4．如图，已知，C是内部的一点，且，点D、E分别是上的动点，若周长的最小值等于3，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查轴对称最短路径问题，涉及垂直平分线的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等，设点C关于的对称点为M，关于的对称点为N，当点D、E在上时，的周长为，此时周长最小，由可得为等边三角形，进而可得． 【详解】解：作点C关于的对称点为M，关于的对称点为N，连接， 由轴对称的性质可得，， ， 当点D、E在上时，等号成立，如图： 由轴对称的性质可得垂直平分线段，垂直平分线段， ，，，， ，， 为等边三角形， ， ． 故选D． 5．如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，且点，，，，坐标分别是，，，，，依据图形所反映的规律，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是一道关于等边三角形性质及探索规律的题目，找出坐标的变化规律是解答的关键．观察图形可以得到，每4个为一组，据此可以得到在x轴负半轴上，纵坐标为0，根据，，……得到横坐标为，据此即可求解． 【详解】解：观察图形可以看出，每4个为一组， ∵， ∴在x轴负半轴上，纵坐标为0， ∵，，…… ∴当时，的横坐标为2， 当时，的横坐标为1， 当时，的横坐标为0， …… 当时，横坐标为， ∵， ∴， 则 ∴的坐标是． 故选：C 6．如图，，在的同侧，，，，M 为的中点， 若，则的最大值为（    ） A．12 B．15 C．18 D．20 【答案】B 【分析】作点关于的对称点，点关于的对称点，连接、、、、，由对称的性质得，，，，再由“有一个角为的等腰三角形是等边三角形．”可判定为等边三角形，由等边三角形的性质得 ，由，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接、、、、， ， ， ， ， M 为的中点， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 的最大值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了对称在几何变换中的应用，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等，根据题意构建等边三角形来转移线段是解题的关键． 7．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于下列结论：①点到各边的距离相等；②；③；④设，，则.其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】本题过点作，，根据角平分线性质，即可判断①，利用平行线性质和角平分线性质证明，，得到，，可判断②，利用角平分线性质和三角形内角和可判断③，连接利用，结合角平分线性质，即可判断④． 【详解】解：过点作，，如图所示：， ① 平分， ， 平分，且， ， ， 点到各边的距离相等， ①正确． ② 平分， ， ， ， ， ， 同理可证，，， ， ②正确． ③在中，和的平分线相交于点， ，， ， ， ， ， ， ③正确． ④连接，如图所示： ， ， ， ， ， ④正确． 综上所述，①②③④都正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和，平行线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质并运用． 8．如图，在等边中，分别是边上的点，且，与相交于点，垂直于．则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的定义及性质、三角形全等的性质、含角的直角三角形的性质，作于，由等边三角形的性质可得，，证明得出，求出，得出，从而得到，再证明，得出，推出，即可得解，熟练掌握等边三角形的性质、三角形外角的定义及性质、三角形全等的性质、含角的直角三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于， ， 是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 垂直于， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 9．如图所示，已知，，，…，以此规律操作下去，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角，图形规律，解题关键是“三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和”据此可求得，，……，将图形规律转化为数字规律即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵，是的外角， ∴， 同理可得，， ， ∴， 故选：B． 10．如图，在等腰中，，，点是线段上一点，，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面的结论：；；；，其中正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差求出，，由三角形的内角和定理，角的和差求出，再由等边三角的判定证明是等边三角形，得出，，由角的和差，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段的和差和等量代换求出，即可得出结果． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵在等腰中， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； 又∵， ∴，故正确； ∵，， ∴， 又∵， ， ， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，，故正确； 在线段上截取，连接，如图所示： ∵，， ∴， 是等边三角形， ， 又∵是等边三角形， ∴， 又∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴，故正确； 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、角的和差、线段的和差、等量代换等相关知识点，辅助线构建等腰三角形、等边三角形、全等三角形是解题的关键． 11．如图，，，，下列结论正确的有（    ）    ①平分；                        ②； ③；                        ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据已知，，想到构造一个等腰三角形，所以延长，在的延长线于取点，使得，就得到，然后再证明，就可以判断出平分，再由角平分线的性质想到过点作，交的延长线于点，从而证明，即可判断． 【详解】解：延长，在的延长线于取点，使得，过点作，交的延长线于点，    ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴，故④正确； 故正确的由①②④，共3个． 故选：C． 【点睛】本题主要是考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，综合运用全等三角形的判定和性质以及角平分线的性质，是求解该类问题的关键． 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 12．如图，等边三角形中，，点D是上一点，且．若点E是y轴正半轴上一动点，F是线段上一动点．当的值最小时，点F的横坐标为 ．（用含a的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短路径以及含的直角三角形的性质，根据题意得出的值最小时的情况是解本题的关键．作点D关于轴的对称点M，过点作，过点作，如图，此时的值最小，然后根据所对的直角边等于斜边的一半进而得出答案． 【详解】解：作点D关于轴的对称点M，过点作，过点作，如图，此时的值最小， 等边三角形中，，点D是上一点，且． ，， 点D关于轴的对称点是M， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点F的横坐标为， 故答案为： 13．如图，中，，，P为外一点，，，点Q为上一点，连接交于D，若，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查全等三角形的应用，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质等知识．延长到，使得，连接交于．设，则．先证明，得到，，，得到，，进而证明，根据证明，即可求出． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接交于．设，则． ∵，， ∴， ∵，，， ， ，，， ∴， ， ， ∵， ， ∵， ， ， ， ． 故答案为：4． 14．如图，等边中，，于点，点在线段上运动，点在上，且，当取最小值时， °． 【答案】30 【分析】根据等边三角形的对称性，等边三角形的性质，线段和最小原理计算即可． 本题考查了等边三角形的性质和对称轴，线段和最小，熟练掌握等边三角形的对称性是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形，，， ∴直线为的一条对称轴，，， 平分， ∴点B，点C关于直线对称， 连接，交于点，则点为取最小值时的位置点， ∵， ∴， ∴平分， ∵平分， ∴点是等边三角形角平分线的交点， 连接 ∴平分， ∴， 故答案为：30． 15．如图，在中，，分别以、和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连接、和交于点P，则、、、中某三条线段存在等量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质； 证明，，可得，，求出，在上截取，连接，证明，再证，可得，进而可得． 【详解】解：∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 如图，在上截取，连接， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，在中，，的面积是，点为的中点，点为线段上的动点，点为边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短，过点作于，由等腰三角形三线合一可得为的垂直平分线，即得，进而得，即可得的最小值即为垂线段的长，利用三角形面积求出即可求解，得出的最小值为垂线段的长是解题的关键． 【详解】解：过点作于， ∵， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的最小值即为垂线段的长， ∵的面积是， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 17．如图，点在直线上，于点，，点在直线上运动，以为边作等边，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短，以为边作等边，连接，证明，由全等三角形的性质得出，过点作于点，则的最小值为，再直角三角形的性质求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，以为边作等边，连接， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴最小时，有最小值， ∵为直线上的动点，过点作于点， ∴的最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 的最小值为， 故答案为：． 18．如图，，点在上，且，按下列要求画图：以为圆心，为半径向右画弧交于点，得第条线段；再以为圆心，为半径向右画弧交于点，得第条线段；再以为圆心，为半径向右画弧交于点，得第条线段；这样画下去，直到得第条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则当时，= ；求出的α取值范围(用含有n的代数式表示) ．    【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，求不等式的整数解；根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得的度数，的度数，的度数，的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解． 【详解】解：由题意可知：，，…， 则，，…， ∵， ∴°，，的度数，，…， ∴， 解得． 当时，n<． 由于为整数，故． ∵n<． ∴ 故答案为：；． 19．如图，中，，点D是边上的动点，连接，以为边在的左下方作等边，连接，则点D在运动过程中，线段长度的最小值是 ．    【答案】3 【分析】如图，取的中点Q，连接，由，推出，推出当时，最小，此时的值最小． 【详解】解：如图， 取的中点Q，连接，    ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，最小，此时的值最小， 在中，∵， ∴， ∴的最小值为3． 故答案为：3 【点睛】本题旋转的性质，考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 20．如图，等边三角形的边长为4，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值为 ．    【答案】8 【分析】连接，由轴对称的性质可得也是边长为4的等边三角形，从而得到，，从而得到，证明得到，从而得到，由“两点之间，线段最短”可知，当与点重合，即点，共线时，取得最小值，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，   ， 等边三角形的边长为4， ，， 与关于直线对称， 也是边长为4的等边三角形， ，， ， 在和中， ，，， ， ， ， 由“两点之间，线段最短”可知，当与点重合，即点，共线时，取得最小值， ， 的最小值为8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、两点之间，线段最短等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解题的关键． 21．如图1纸片（），将按如图2所示沿着折叠至，与线段交于，，点在线段上，若将按如图3所示沿着折叠至，且在线段的延长线上，点在线段上，则 ．（用含的式子表示）    【答案】 【分析】先根据邻补角性质求得，再由平行线性质与折叠性质求得，再根据折叠性质求得，最后用角的和差求得结果便可． 【详解】解：， ， ， ， ， 由折叠性质得， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠性质，角的和差，关键是根据平行线的性质解题． 22．如图，已知点O是等边内一点，，点D是外一点，且，当是等腰三角形时，α的度数是 ． 【答案】110°或125°或140° 【分析】利用全等三角形的性质、等边三角形的性质分别得到，，，再分类讨论中的底和腰，利用等边对等角得到α的度数． 【详解】解：， ， 是等边三角形， ，即， ，又， 是等边三角形， ； ， ， ， 若，则， 解得：； 若，则， 解得：； 若，则， 解得：； 综上所述，当α为125或110或140时， 故答案为：110°或125°或140°． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 23．如图，过边长为2的等边的边上一点，作于点，为延长线上一点，当时，连接交边于点，则的长为 . 【答案】1 【分析】过点P作交于点F，根据题意可证是等边三角形，根据等腰三角形三线合一证明，根据全等三角形判定定理可证，，进而证明，计算求值即可． 【详解】过点P作交于点F，如图， ∴，，是等边三角形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； ∴，， ∵，， ∴， ∵， 故答案为： 【点睛】本题考查了平行线性质、等边三角形性质、全等三角形判定与性质，掌握全等三角形判定定理是解题关键． 24．已知，M是边OA上的一个定点，且，N、P分别是边、上的动点，则的最小值是 ． 【答案】4 【分析】作M关于的对称点Q，过Q作于N，交于P，则此时的值最小，连接，得出，，，根据含30度角的直角三角形性质求出即可． 【详解】解：作M关于的对称点Q，过Q作于N，交于P，连接，如图， ∵作点M、点Q关于的对称， ∴， ∴， 根据垂线段最短可知：当时，最小， ∴根据作图可知此时：最小，且最小为， ∵，作点M、点Q关于的对称，， ∴，， ∴， ∵， ∴在中有：， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形性质，轴对称−最短路线问题，垂线段最短的应用，关键是确定P、N的位置． 25．如图，图1是长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，若图3中，则图1中的的度数是 ． 【答案】24°/24度 【分析】先根据平行线的性质，设∠DEF＝∠EFB＝a，图2中根据图形折叠的性质得出∠AEF的度数，再由平行线的性质得出∠GFC，图3中根据∠CFE＝∠GFC﹣∠EFG即可列方程求得a的值． 【详解】∵， ∴设∠DEF＝∠EFB＝a， 图2中，∠GFC＝∠BGD＝∠AEG＝180°﹣2∠DEF＝180°﹣2a， 图3中，∠CFE＝∠GFC﹣∠EFG＝180°﹣2a﹣a＝108°． 解得a＝24°． 即∠DEF＝24°， 故答案为：24°． 【点睛】本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变． 三、解答题 26．如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当 时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 【答案】(1)秒或秒 (2)cm/s或cm/s 【分析】本题主要考查了直角三角形综合，画出相应图形，熟练掌握直角三角形性质，三角形中位线性质，全等三角形的的性质，分类讨论，是正确解答的关键． （1）分两种情况，当点P在上时，， 得到点P移动路程为，移动时间为秒；当点P在上时，， 得到得到点P移动路程为，移动时间为秒； （2）分两种情况，当点P在上， ，Q的移动速度；②当点P在上， ，，点P移动的距离为32cm，点Q移动的距离为31cm，∴点Q移动的速度为 ． 【详解】（1）当点P在上时，如图①﹣1， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴点P移动的距离为， ∴移动的时间为：秒； 当点P在上时，如图①﹣2 ∵的面积等于面积的一半； ∴， ∴点P移动的距离为， ∴移动的时间为：秒； 故答案为：秒或秒； （2）∵， ∴对应顶点为A与D，P与E，Q与F； 当点P在上，如图②﹣1所示， ∵， ∴点Q移动的速度为； 当点P在上，如图②﹣2所示： ∵，， ∴点P移动的距离为，点Q移动的距离为， ∴点Q移动的速度为； 故P、Q两点运动过程中的某一时刻，恰好时，点Q的运动速度为或． 27．已知在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图①，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（填“＞”“＜”或“＝”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图②，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论，______（填“＞”“＜”或“＝”）． 理由如下，过点E作，交于点F（请你完成以下解答过程）． (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点E在直线上，点D在的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）． 【答案】(1)＝ (2)＝，见解析 (3)，画图见解析． 【分析】（1）根据等边三角形性质得到，，结合E是中点，得到，根据等腰三角形性质得到，由三角形外角性质得到，得到 ，即得； （2）以下解答为：，根据等边三角形性质得到．得到，得到 为等边三角形，推出．根据等腰三角形性质得到．结合三角形外角性质得到 ．得到．得到．即得； （3）证明，根据，得到，根据，得到，结合，得到，得到，即得． 【详解】（1）∵在等边三角形中，，且E是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：＝； （2）以下解答过程为： ∴， ∵为等边三角形， ∴． ∴， ∴ 为等边三角形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴． 故答案为：＝； （3）如图． ∵等边的边长为1，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形．熟练掌握等边三角形的判定和性质 ，等腰三角形的判定和性质，含的直角三角形性质，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 28．（1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，，，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．试探索的数量关系，并说明理由． （3）拓展与应用：如图3，，是，，三点所在直线上的两动点，，三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试判断的形状．    【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）等边三角形 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质； （1）根据垂直的定义得到，根据等角的余角相等得到，根据“”证明，根据全等三角形的性质即可得到； （2）根据，得到，由定理证明，根据全等三角形的性质得到，，得出结论； （3）根据等边三角形的性质得到，证明，得到，证明，得到，，求出，根据等边三角形的判定定理得到答案． 【详解】（1）证明：直线，直线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2），理由如下： 如图2，， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）由（2）可知，， ，， 和均为等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形． 29．【数学思考】 （1）在数学活动课上．老师让同学们就三角形的中线进行进一步的探究：如图1，是的中线，过点B作的平行线，交的长线于点E，发现DE的长恰好等于中线的长，请验证这一结论； 【深入探究】 （2）如图2，中，点D，E在边上，，过点E作，交的角平分线于点F，试判断EF与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，平分，点E为边的中点，过点E作，交于点F，交BA的延长线于点G，若，，则的长度． 【答案】（1）见解析   （2）；理由见解析   （3）2 【分析】本题考查的是三角形综合题，全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质定理解答； （2）延长到，使，连接，根据全等三角形的性质得到，，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，求得，于是得到结论； （3）延长至点，使，连接，证明，得到，，推出， 均为等腰三角形，得到，，根据，根据面积求出的长即可． 【详解】解：（1）， ， 是的中线， ， 在和中， ， ， ； （2）， 理由：延长到，使，连接， 在与中， ， ， ，， 平分， ， ∵， ， ， ， ； （3）延长至点，使，连接， 同法可得：， ，， ，平分， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 故的长度为2． 30．【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段，，之间的数量关系为__________，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，．请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；证明见解析；（3）有；8 【分析】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，利用证明即可； （2）证明，得出，结合，则； （3）在射线上截取，连接，易证，则，，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，连接，证明，得出，推出，由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值． 【详解】（1）证明： 和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． （2）解：， 和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． ， ， ． （3）解：有最小值，在射线上截取，连接， ， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴， 是等边三角形， ， ∴，， 即点E在角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值， ∵，， ∴， ∴ 的最小值为8． 31．如图，在中，，，D为的中点，P为线段上一动点，E为延长线上一点，且．    (1)连接，求证：； (2)求证：； (3)求证：是正三角形； (4)当时，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 (4) 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一性质可得是的垂直平分线，从而可得，然后根据等量代换可得，即可解答； （2）利用等腰三角形的性质可得，，，从而可得，然后利用等量代换可得，即可解答； （3）根据垂直定义可得，从而可得，，然后根据三角形的外角性质可得，从而利用平角定义可得，最后根据等边三角形的判定即可解答； （4）过点作，交的延长线于点，根据垂直定义可得，从而可得，再利用三角形的外角性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，进而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，从而利用证明，进而可得四边形的面积的面积，再根据已知可得，从而可得的面积的面积四边形的面积，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，从而利用三角形的面积公式求出的面积，即可解答． 【详解】（1）证明：如图：   ，为的中点， 是的垂直平分线， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ； （3）证明：， ， ， ， ， 是的一个外角， ， ， ， 是正三角形； （4）解：过点作，交的延长线于点，   ， ， 是的一个外角， ， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 四边形的面积的面积， ， ， 的面积的面积， 四边形的面积的面积， 在中，，， ， 的面积， 四边形的面积为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 32．如图，点O是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)当为多少度时，是等腰三角形？ 【答案】(1)证明见解析过程 (2) (3)当为、、时，是等腰三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）由全等三角形的性质可求，由周角的性质可求的度数，由三角形内角和定理可求解； （3）分三种情况讨论，利用已知条件及等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：和是等边三角形， ，，，， ， ， 在和中 ， ， ； （2）解：，，， ， ， ， ， ； （3）解：①要使，需， ， ； ②要使，需， ， ； ③要使，需， ， ． 所以，当为、、时，是等腰三角形． 33．如图，在四边形中，，，平分． (1)如图，若，，则 (2)问题解决：如图，求证：； (3)问题拓展：如图，在等腰中，，平分，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（）若，可得，，再根据角平分线的性质即可求解； （）如图，过点分别作于，的延长线于点，由角平分线的性质可得，再由，可得，即可证明，得到； （）如图，在上取，由等腰三角形的性质可得，进而得到，再得到，即得，再由（）可得，，然后利用三角形外角性质可得，可得到，进而得到，即得，据此即可求证； 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定义及外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：若，则，， ∴，， ∵平分， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，过点分别作于，的延长线于点，则， ∵平分， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，在上取， ∵是等腰三角形，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（）可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 34．【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线” 等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求  的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”    【初步感知】 （1）如图1，在中 ，，，D是 的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到 点E，使 ，连 接．可以判定， 从而得到．这样就能把线段、、 集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是______ (请直接写出答案) 【实践应用】 （2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，  教学楼高度，求 的长 ． 【拓展探究】 ( 3 ) 如 图 3 ， 和 均为等腰直角三角形，连接，，点 F 是 的中点，连接并延长，与 相交于点G．试探究： 和 的数量关系和位置关系并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），，证明见解析 【分析】（1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）如图，延长交于点．证明，得出，，再进一步结合线段的垂直平分线的性质，即可证明结论． （3）如图，延长，使，连接，证明，可得，，，再证明，可得，，在进一步可得结论． 【详解】解：（1）如图，延长到点，使，    ∵是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ； （2）如图，延长交于点，    ∵的中点为D， ∴， ∵由题意可得：， 而， ∴， ∴，， ∵，， ∴，是的垂直平分线， ∴； （3），，理由如下： 如图，延长，使，连接，      ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系的应用，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的定义与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 35．综合与实践： 数学课上，白老师出示了一个问题：已知等腰直角三角形和等腰直角三角形，，，，连接，，如图1． 独立思考： （1）如图1，求证：； 实践探究：在原有条件不变的情况下，白老师把旋转到了特殊位置，增加了新的条件，并提出了新的问题，请你解答： 解决问题： （2）如图2，在绕着点C旋转到某一位置时恰好有，． ①求的度数； ②线段与线段交于点F，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）①；②． 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法和性质，平行线的性质定理．解题关键是找到全等的三角形，得出相等的线段，构造直角三角形解决问题． （1）本题利用证明，再利用三角形全等的性质既可以得到； （2）①由，得出内错角相等，再加上有两个直角和，最后由周角减出即可； ②连接，首先由（1）的全等得出，再证明，从而得出是等边三角形，确定 为30度的直角三角形，利用所对的直角边等于斜边的一半得出即可； 【详解】（1）证明：在等腰直角三角形和等腰直角三角形中， ，，， ， ． 在和中，， ， ； （2）解：①， ． ， ． ， ； ②如图，连接， 由（1）知， ，． ， ． 由①知， 在和中，， ， ． ， ， 是等边三角形， ． ， ， 在中，， ． 36．如图，在平面直角坐标系中，点，在轴的负半轴上，，．    (1)如图1，当时，写出点的坐标______； (2)如图2，轴，且，连接交轴于，在点运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，求的长；若变化，请说明理由． (3)如图3，在的延长线上，，过作轴于，证明：． 【答案】(1) (2)不变； (3)见解析 【分析】 （1）过点C作轴交y轴于H，证明得到，，，从而得到C点的坐标； （2）过点C作轴交y轴于M，证明，得到，则； （3）延长交的延长线于M，过点N作于H，交于K．先证明 ，得到，，然后证明，得到，即可推出． 【详解】（1）解：过点C作轴交y轴于H，    ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． （2） 解：在B点运动过程中，长保持不变，的长为3， 理由：过C作轴于M．    由（1）可知：， ∴，， ∵， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． （3） 解：延长交的延长线于M，过点N作于H，交于K．    ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，余角的性质，解题的关键在于能够添加辅助线构造全等三角形． 37．【问题提出】 （1）如图1，在中，，点是上一点，交于点，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，求证：； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，点是的中点，连接，，与的延长线交于点．探究线段与、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，某校有一块四边形空地，现将这块空地规划为实践活动区域，在的中点处修建入口，沿修建一条小路（小路的宽度忽略不计），将这块空地分成两部分，在内种植蔬菜，在四边形内种植果树，已知，恰好平分，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）的长为 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定，理清角度关系和线段的关系，作出正确的辅助线是解题的关键； （1）由，可得，，由F是的中点，可得，进而可证，由全等的性质即可得证； （2）由和E为边的中点，可证，再由等腰三角形性质和判定，即可得证； （3）由，，得，再由点E是的中点，可证，由全等三角形的性质可得，由平分，结合等腰三角形的判定，可证，由等腰三角形三线合一可得，由，，可得，进而可证，最后可得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ， ∵点F是的中点， ∴， ，，， ∴， ∴， ∴． （2）解：． 理由：分别延长与的延长线交于点G． ∵， ∴，， ∵E为边的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：过C作交的延长线于点M，延长交于点N，连接， ∵点E是的中点，， ∴， ∵，， ∴，，， ，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ，，， ∴， ∴． 38．综合与探究 【问题情境】在等边中，是边上的一个定点，是上的一个动点，以为边在的右侧作等边，连接． 【特例研究】 如图，当点在边上时，过点作交于点． 此时的形状是 ；与的数量关系是 ． 试猜想之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （）如图，当点在的延长线上时，（）中的猜想是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的猜想并说明理由． 【答案】（）等边三角形，； ，理由见解析；（）（）中的猜想不成立，正确的猜想是 ，理由见解析． 【分析】（）由和是等边三角形可得，由可得，即可得到是等边三角形，进而可得； ．由可证，可得CN = MH，利用等量代换即可求证； （）过点作，交于，先证是等边三角形，可得 ，由可证，可得，利用等量代换即可求解； 本题考查了全等三角形判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴， ，， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：等边三角形，； ，理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ 即； （）（）中的猜想不成立，正确的猜想是 ，理由如下： 如图，过点作，交于， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵ ， ∴, 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． 39．如图，在三角形中，，，点，分别在坐标轴上． (1)如图①，若点C的横坐标为，点B的坐标为______； (2)如图②，若x轴恰好平分，交x轴于点M，过点C作垂直x轴于D点，试猜想线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，，，连接交y轴于P点，点B在y轴的正半轴上运动时，与的面积比是否变化？若不变，直接写出其值，若变化，直接写出取值范围． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)不会变化，． 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）过点作轴于，由可证，可得，可求解； （2）延长，交于点，由可证，可得，由可证，可得，可得结论； （3）作轴于，由可证，可得，，由可证，可得，可得，由三角形面积公式可求解． 【详解】（1）解：如图①，过点作轴于， 点的横坐标为， 在和中， ， 故答案为：； （2）， 如图②，延长，交于点， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （3）与的面积比不会变化， 理由∶如图③，作轴于， ， 在和中， ， 在和中， ， ． 40．【课本巩固】如图①，在等边中，为边上一点，为上一点，且，连接与相交于点． （1）与的数量关系为______，与构成的锐角夹角的度数是______； 【探究发现】 （2）在（1）的基础上，延长至点，使，连接，，如图②所示，求证：平分． 【拓展延伸】 （3）如图③，在等边中，为边上一点，为上一点，且，，，求． 【答案】（1），；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形的面积公式； （1）根据等边三角形的性质和全等三角形的性质即可得到结论； （2）由（1）可知，，求得，推出是等边三角形，根据等边三角形的性质得到， ，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的定义即可得到结论； （3）连接，设，得出，，进而得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图①，是等边三角形， ，， 在和中 ， ，， ， 故答案为：，； （2）证明：由（1）可知，， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， 平分； （3）如图所示，连接， 设， 在等边中，， 又 ， ， ， ， 又 ，则， 同理可得，，又， ， ， ， ， ． 41．【阅读】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为等角三角形．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是等角三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的等角分割线．    【理解】（1）如图1，在中，，，请写出图中两对等角三角形．______；______． 【尝试】（2）如图2，在中，平分，，．求证：为的等角分割线． 【应用】（3）在中，，是的等角分割线，请直接写出的度数． 【答案】（1）与，与，与；（2）见解析；（3）或或或 【分析】本题是三角形综合题，考查了等角三角形的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据等角三角形的定义解答； （2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据等角三角形的定义证明即可； （3）分是等腰三角形，、和是等腰三角形，、四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴ ∴，同理，， ∵， ∴与，与，与是等角三角形； （2）∵在中，，， ∴ ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴为的等角分割线； （3）当是等腰三角形， 如图，时，， ∴， ∴    当是等腰三角形， 如图，时，，    ， ∴， ∴ 当是等腰三角形，的情况不存在， 当是等腰三角形， 如图，时，    ， 当是等腰三角形， 如图，时， ，    设， 则， 则， 由题意得，， 解得，， ∴， 当是等腰三角形，的情况不存在， ∴∠ABC的度数为或或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$