专题04 有理数的运算（考点清单，知识导图+5个考点清单+8种题型解读）-2024-2025学年六年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版2024）

专题04 有理数的运算（考点清单，知识导图+5个考点清单+8种题型解读） 【清单01】有理数的加法与减法 【清单03】有理数的乘法与除法 【清单04】有理数的乘方 【清单05】有理数的混合运算 【考点题型一】有理数的加法（共4小题） 【例1】（2024春•松江区期中）计算：　 　． 【变式1-1】（2024春•浦东新区期末）计算：　 　． 【变式1-2】（2024春•杨浦区期中）在有理数范围内，关于相反数有以下五种叙述：①正数与负数都有相反数，零没有相反数；②表示相反意义的量的两个数互为相反数；③数的相反数表示负数；④如果，那么与互为相反数；⑤如果，那么与互为相反数．以上叙述正确的是　　 A．①、② B．③、④ C．⑤ D．④、⑤ 【变式1-3】（2024春•松江区期末）　 　． 【考点题型二】有理数的减法（共7小题） 【例2】（2024春•宝山区校级月考）计算：　　． 【变式2-1】（2024春•宝山区期末）如果一个数加上所得的和是6，那么这个数是 　 　． 【变式2-2】（2024春•青浦区期末）计算：　 　． 【变式2-3】（2024春•杨浦区期中）2023年12月26日早上，测得北京气温是，上海是，上海比北京高 　　． 【变式2-4】（2024春•杨浦区期中）计算：　 　． 【变式2-5】（2024春•黄浦区校级期中）已知、是有理数，，且，则的值为 　 　． 【变式2-6】（2023春•宝山区校级期中）． 【考点题型三】有理数的加减混合运算（共6小题） 【例3】（2024春•长宁区期中）计算：． 【变式3-1】（2024春•浦东新区校级期中）计算：． 【变式3-2】（2024春•杨浦区期中）计算：． 【变式3-3】（2024春•普陀区期中）计算：． 【变式3-4】（2024春•崇明区期中）计算：． 【变式3-5】（2024春•黄浦区校级期中）计算：． 【考点题型四】有理数的乘法（共7小题） 【例4】（2024春•松江区期中）下列说法正确的是　　 A．正数和负数互为相反数 B．相反数等于它本身的只有0 C．一定小于0 D．一个数和它的相反数之积一定为负数 【变式4-1】（2023春•宝山区期末）以下叙述中，不正确的是　　 A．减去一个数，等于加上这个数的相反数 B．一对相反数的和为零 C．两个负数的积是正数 D．两个数的和一定大于其中一个加数 【变式4-2】（2023春•长宁区期末）如果两数之和是负数，且它们的积是负数，那么　　 A．这两个数都是负数 B．这两个数都是正数 C．这两个数中，一个是正数，一个是负数，且负数的绝对值较大 D．这两个数中，一个是正数，一个是负数，且正数的绝对值较大 【变式4-3】（2024春•普陀区期中）如果，，，那么　 　． 【变式4-4】（2021春•浦东新区期中）阅读理解题 在求两位数乘两位数时，可以用“列竖式”的方法进行速算，例如： 你能理解上述三题的解题思路吗？理解了，请完成：如图给出了部分速算过程，可得　　，　　，　　，　　，　　，　　． 【考点题型五】有理数的除法（共8小题） 【例5】（2024春•徐汇区校级期末）计算：　 　． 【变式5-1】（2024春•长宁区期中）计算：　 　． 【变式5-2】（2024春•松江区期末）计算：． 【变式5-3】（2024春•黄浦区期中）计算：． 【变式5-4】（2024春•杨浦区期中）计算：． 【变式5-5】（2024春•闵行区期中）计算：． 【变式5-6】（2024春•青浦区期末）如图，机器人淘淘和巧巧分别站在边长为15米的正方形道路的顶点、处，他们开始各以每秒1米和每秒1.5米的速度沿正方形道路按顺时针方向匀速行走．当淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处时，经过了多少秒？　　 A．30秒 B．60秒 C．90秒 D．120秒． 【变式5-7】（2023春•浦东新区校级期中） 【考点题型六】有理数的乘方（共9小题） 【例6】（2024春•嘉定区校级月考）在，，，，，，中，负数共有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式6-1】（2024春•宝山区校级期末）下列各数中，结果相等的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 【变式6-2】（2024春•上海期中）的底数为　　． 【变式6-3】（2023春•宝山区期末）计算：　　． 【变式6-4】（2023春•宝山区校级期中）计算：　 　． 【变式6-5】（2024春•黄浦区期中）某数的2倍减去的差等于的平方，求这个数． 【变式6-6】（2020春•崇明区期末）计算：． 【变式6-7】（2021春•长宁区校级期中）计算：． 【变式6-8】（2021春•浦东新区月考）请认真阅读下面材料，并解答下列问题 如果的次幂等于，即指数式，那么数叫做以为底的对数，对数式记作：．例如： ①因为指数式，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：； ②因为指数式，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：． （1）填空：指数式对应的对数式是　 　；对数式对应的指数式是　　 ． （2）计算：． 【考点题型七】有理数的混合运算（共14小题） 【例7】（2024春•黄浦区期中）小东的爸爸是出租车司机，为了计算汽车每千米的耗油量，某天上午，他从单位出发，在沿着南北方向行驶时详细记录了行车的路程情况．他规定向南为正，向北为负，下面是他这天上午行驶的路程记录（单位：千米），，，，，，，． （1）已知该出租车这天上午共耗油9.6升，你能计算出小东爸爸的出租车每千米的耗油量是多少吗？ （2）上午运营结束后，小东的爸爸应该向　　　　千米返回单位． 【变式7-1】（2024春•嘉定区校级月考）定义一种新运算“※”，规则为：※例：2※，则※　　． 【变式7-2】（2024春•普陀区校级月考）计算：　　． 【变式7-3】（2024春•杨浦区期末）有一种扑克牌游戏叫做“24点”．要求是可以用加、减、乘、除、乘方五种运算把扑克牌牌面上的数算成24．每张牌必须用且只能用一次．如果有四张牌如图所示，请列出一种“24点”算式 　 　． 【变式7-4】（2024春•松江区期中）若表示的5倍与的一半的差，已知，则　　． 【变式7-5】（2024春•黄浦区校级期中）若规定用表示不超过的最大的整数，如，，计算：　　． 【变式7-6】（2023春•长宁区期末）为有理数，定义运算符号△：当时，△；当时，△；当时，△．根据这种运算，则△△的值为 　 　． 【变式7-7】（2022春•杨浦区校级期中）定义：若，且，则称、为对称数，试写出一组对称数 　 　． 【变式7-8】．（2024春•普陀区校级月考）计算： （1） （2） （3）用简便方法计算； 【变式7-9】（2024春•宝山区校级期末）计算：． 【变式7-10】（2024春•闵行区期末）计算：． 【变式7-11】（2024春•上海期中）材料一：对任意有理数，定义运算“”． ． 如：，． 材料二：规定表示不超过的最大整数，如，，． （1）　 　，　　 ； （2）求的值； （3）若有理数，满足，请直接写出的结果． 【变式7-12】（2023春•长宁区期末）小明表演魔术，从一副除去大小王的扑克中请观众随机选择了4张牌，并让观众每次取其中三张牌，将牌面数字相加，牌面数字之和分别为18，24，25，26．小明立刻说出了观众随机选择的4张扑克牌面的数字．这4张牌牌面的数字都是几呢？你能尝试用数学原理去揭秘这个魔术吗？表示1，表示11，表示12，表示 【变式7-12】（2021春•虹口区校级期中）我们定义一种新运算，，如． （1）计算：　　 ． （2）计算：　　 ． （3）在这11个数中，任取三个数作为、、的值进行运算，求在所有计算结果中的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 有理数的运算（考点清单，知识导图+5个考点清单+8种题型解读） 【清单01】有理数的加法与减法 【清单03】有理数的乘法与除法 【清单04】有理数的乘方 【清单05】有理数的混合运算 【考点题型一】有理数的加法（共4小题） 【例1】（2024春•松江区期中）计算：　 　． 【分析】根据有理数的加法运算法则即可作答． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查有理数的加法，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算法则． 【变式1-1】（2024春•浦东新区期末）计算：　 　． 【分析】绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】考查了有理数的加法，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”． 【变式1-2】（2024春•杨浦区期中）在有理数范围内，关于相反数有以下五种叙述：①正数与负数都有相反数，零没有相反数；②表示相反意义的量的两个数互为相反数；③数的相反数表示负数；④如果，那么与互为相反数；⑤如果，那么与互为相反数．以上叙述正确的是　　 A．①、② B．③、④ C．⑤ D．④、⑤ 【分析】根据有理数的加减法则，正数和负数的定义，相反数和绝对值的定义进行判断． 【解答】解：①中正数与负数都有相反数，零的相反数是零，题干错误，不符合题意； ②中表示相反意义的量的两个数互为相反数，例如：上升5米和下降3米，题干错误，不符合题意； ③中数的相反数表示负数，例如：的相反数为是正数，题干错误，不符合题意； ④中如果，那么与互为相反数或相等，题干错误，不符合题意； ⑤如果，那么与互为相反数，正确，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了有理数的加减法则，正数和负数的定义，相反数和绝对值的定义，掌握有理数的加减法则，正数和负数的定义，相反数和绝对值得定义是关键． 【变式1-3】（2024春•松江区期末）　 　． 【分析】依据有理数的加法法则计算即可． 【解答】解；原式． 故答案为：． 【点评】本题主要考查的是有理数的加法，掌握加法法则是解题的关键． 【考点题型二】有理数的减法（共7小题） 【例2】（2024春•宝山区校级月考）计算：　　． 【分析】根据有理数的减法法则进行解题即可． 【解答】解：由题可知， 原式． 故答案为：1.5． 【点评】本题考查有理数的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式2-1】（2024春•宝山区期末）如果一个数加上所得的和是6，那么这个数是 　 　． 【分析】根据题意列式计算即可． 【解答】解：由题意得， 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的减法，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 【变式2-2】（2024春•青浦区期末）计算：　 　． 【分析】根据有理数的减法法则进行解题即可． 【解答】解：原式． 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式2-3】（2024春•杨浦区期中）2023年12月26日早上，测得北京气温是，上海是，上海比北京高 　　． 【分析】减去一个数，等于加上这个数的相反数，由此计算即可． 【解答】解：， 故答案为：19． 【点评】本题考查了有理数的减法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【变式2-4】（2024春•杨浦区期中）计算：　 　． 【分析】减去一个数，等于加上这个数的相反数，由此计算即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的减法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【变式2-5】（2024春•黄浦区校级期中）已知、是有理数，，且，则的值为 　 　． 【分析】根据绝对值的性质求出，，再计算即可． 【解答】解：， ， 或， ， ， ， 时，，时，， 或9， 故答案为：7或9． 【点评】本题考查了绝对值的性质的应用，有理数的运算法则是本题的解题关键． 【变式2-6】（2023春•宝山区校级期中）． 【分析】先将减法转化为加法，然后再进行通分，最后依据同分母分数的加法法则计算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题主要考查的是有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【考点题型三】有理数的加减混合运算（共6小题） 【例3】（2024春•长宁区期中）计算：． 【分析】根据有理数的减法法则，把减法化成加法，再写成省略加号和的形式，最后进行有理数的简便计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题主要考查了有理数的加减运算，解题关键是熟练掌握有理数的加减法则． 【变式3-1】（2024春•浦东新区校级期中）计算：． 【分析】根据加法交换律、加法结合律，求出算式的值即可． 【解答】解： ． 【点评】此题主要考查了有理数的加减混合运算，解答此题的关键是要明确：（1）在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．（2）转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 【变式3-2】（2024春•杨浦区期中）计算：． 【分析】根据有理数的额加减混合运算法则进行计算． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了 有理数的额加减混合运算，掌握有理数的额加减混合运算法则是关键． 【变式3-3】（2024春•普陀区期中）计算：． 【分析】将小数与小数结合，分数与分数结合后再运算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了有理数加减混合运算，分组计算是关键． 【变式3-4】（2024春•崇明区期中）计算：． 【分析】根据有理数加减混合运算法则运算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了有理数加减混合运算，分数转化为小数后分组运算是关键． 【变式3-5】（2024春•黄浦区校级期中）计算：． 【分析】根据有理数的运算法则计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了有理数的加减运算，准确的计算是本题的解题关键． 【考点题型四】有理数的乘法（共7小题） 【例4】（2024春•松江区期中）下列说法正确的是　　 A．正数和负数互为相反数 B．相反数等于它本身的只有0 C．一定小于0 D．一个数和它的相反数之积一定为负数 【分析】根据相反数的定义以及有理数的乘法法则进行解题即可． 【解答】解：、正数和负数互为相反数说法错误，不符合题意； 、相反数等于它本身的只有0，故该项正确，符合题意； 、不一定小于0，也有可能等于0，故该项不正确，不符合题意； 、一个数和它的相反数之积不一定为负数，也可能是0，故该项不正确，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查有理数的乘法，相反数，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【变式4-1】（2023春•宝山区期末）以下叙述中，不正确的是　　 A．减去一个数，等于加上这个数的相反数 B．一对相反数的和为零 C．两个负数的积是正数 D．两个数的和一定大于其中一个加数 【分析】利用有理数的加法，减法法则，乘法法则，相反数的定义进行分析判断即可． 【解答】解：：有理数的减法法则为：减去一个数，等于加上这个数的相反数，选项正确，不符合题意； ：指绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数．即一对相反数的和为零，选项正确，不符合题意； ：两个负数的积是正数，即负负为正，选项正确，不符合题意； ：若其中一个数为0，则两个数的和等于其中一个加数，选项不正确，符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了有理数的减法，正数和负数，相反数，有理数的加法对于错误的命题只要举出反例使它不成立即可，这是解题的关键． 【变式4-2】（2023春•长宁区期末）如果两数之和是负数，且它们的积是负数，那么　　 A．这两个数都是负数 B．这两个数都是正数 C．这两个数中，一个是正数，一个是负数，且负数的绝对值较大 D．这两个数中，一个是正数，一个是负数，且正数的绝对值较大 【分析】根据有理数的加法判断出这两个数的正负情况，然后根据有理数的乘法运算法则解答． 【解答】解：两数之和为负数， 这两个数可能是两个负数，一正一负，零和负数， 它们的积是负数， 这两个数中，一个是正数，一个是负数，且负数的绝对值较大． 故选：． 【点评】本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，熟记运算法则并判断出两个数的情况是解题的关键． 【变式4-3】（2024春•普陀区期中）如果，，，那么　 　． 【分析】根据，确定，代入计算即可． 【解答】解：，，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的乘法，推导出是关键． 【变式4-4】（2021春•浦东新区期中）阅读理解题 在求两位数乘两位数时，可以用“列竖式”的方法进行速算，例如： 你能理解上述三题的解题思路吗？理解了，请完成：如图给出了部分速算过程，可得　　，　　，　　，　　，　　，　　． 【分析】根据表格发现规律：“第二行的前两格是两个两位数的十位数字相乘得到的结果，积如果是一位数前面补0，第二行的后两格是两个两位数的个位数字相乘得到的结果，积如果是一位数前面补0，第三行的前三格是第一个两位数字的个位数字乘以第二个两位数的十位数字再加上第二个两位数的十位数字乘以第二个两位数的个位数字，第四行，同列的两个数相加，如果大于9，进一位．“即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意得， 第二行的前两格是两个两位数的十位数字相乘得到的结果， 积如果是一位数前面补0， 第二行的后两格是两个两位数的个位数字相乘得到的结果， 积如果是一位数前面补0， 第三行的前三格是第一个两位数字的个位数字乘以第二个两位数的十位数字再加上第二个两位数的十位数字乘以第二个两位数的个位数字， 如第二个表格：， 第四行，同列的两个数相加，如果大于9，进一位， ， ， ， ， ，，，，，， 故答案为4，8，2，8，7，4． 【点评】本题属于与有理数乘法有关的规律探索题，根据表格发现规律是解决问题的关键． 【考点题型五】有理数的除法（共8小题） 【例5】（2024春•徐汇区校级期末）计算：　 　． 【分析】先化成分数再进行计算即可． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查有理数的除法，熟练掌握有理数的除法的运算法则是解题的关键． 【变式5-1】（2024春•长宁区期中）计算：　 　． 【分析】根据有理数的除法法则进行解题即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式5-2】（2024春•松江区期末）计算：． 【分析】根据有理数的乘除法法则进行解题即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式5-3】（2024春•黄浦区期中）计算：． 【分析】先把除法运算化为乘法运算，再根据有理数的乘法运算法则计算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了有理数的乘除，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【变式5-4】（2024春•杨浦区期中）计算：． 【分析】根据有理数的乘除法法则进行计算． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了有理数的乘除法，掌握有理数的乘除法法则是关键． 【变式5-5】（2024春•闵行区期中）计算：． 【分析】把带分数化成假分数，把除法转化为乘法，约分即可得出答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了有理数的乘除法，掌握除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数是解题的关键． 【变式5-6】（2024春•青浦区期末）如图，机器人淘淘和巧巧分别站在边长为15米的正方形道路的顶点、处，他们开始各以每秒1米和每秒1.5米的速度沿正方形道路按顺时针方向匀速行走．当淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处时，经过了多少秒？　　 A．30秒 B．60秒 C．90秒 D．120秒． 【分析】先求出淘淘和巧巧的速度差，再求出淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处的路程差，然后根据时间路程差速度差，列出算式，求出答案即可． 【解答】解：（米秒），（米， （秒 经过60秒，淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了有理数的除法运算，解题关键是理解时间路程差速度差． 【变式5-7】（2023春•浦东新区校级期中） 【分析】首先计算括号内的式子，按首先正负数分别计算，然后把结果相加即可计算括号内的式子，最后进行除法计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，正确确定运算的顺序是关键． 【考点题型六】有理数的乘方（共9小题） 【例6】（2024春•嘉定区校级月考）在，，，，，，中，负数共有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数． 【解答】解：，是正数； ，是负数； ，是负数； ，是负数； ，0既不是正数，也不是负数； ，是负数； ，是负数； 负数有，，，，，共5个． 故选：． 【点评】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数． 【变式6-1】（2024春•宝山区校级期末）下列各数中，结果相等的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 【分析】根据乘方的意义对各个选项的式子进行计算，然后根据计算结果进行判断即可． 【解答】解：．，，，故此选项不符合题意； ．，，，故此选项符合题意； ．，，，故此选项不符合题意； ．，，，故此选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了有理数的乘方，解题关键是熟练掌握乘方的意义． 【变式6-2】（2024春•上海期中）的底数为　　． 【分析】根据有理数的乘方的定义解答即可． 【解答】解：的底数为5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了有理数的乘方，是基础题，熟记概念是解题的关键． 【变式6-3】（2023春•宝山区期末）计算：　　． 【分析】理解乘方的意义，然后再计算． 【解答】解：原式的意义是2023个相乘，进而得， 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数乘方，掌握有理数的乘方运算，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值是解题的关键． 【变式6-4】（2023春•宝山区校级期中）计算：　 　． 【分析】根据有理数的乘方法则计算即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的乘方运算，解题的关键是掌握乘方运算法则． 【变式6-5】（2024春•黄浦区期中）某数的2倍减去的差等于的平方，求这个数． 【分析】设这个数是，一个数的2倍是，减去的差等于的平方，列出方程进行解答即可． 【解答】解：设这个数是，根据题意，得 ， ， ， ． 答：这个数是16． 【点评】本题考查了有理数的运算．解题的关键是能够根据题意，先弄清运算顺序，然后再列式计算． 【变式6-6】（2020春•崇明区期末）计算：． 【分析】根据有理数的乘方，乘法分配律计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了有理数的乘方，掌握与的区别是解题的关键． 【变式6-7】（2021春•长宁区校级期中）计算：． 【分析】原式先算乘方运算，再算乘除运算即可求出值． 【解答】解：原式 ． 【点评】此题考查了有理数的乘方，有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式6-8】（2021春•浦东新区月考）请认真阅读下面材料，并解答下列问题 如果的次幂等于，即指数式，那么数叫做以为底的对数，对数式记作：．例如： ①因为指数式，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：； ②因为指数式，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：． （1）填空：指数式对应的对数式是　 　；对数式对应的指数式是　　 ． （2）计算：． 【分析】（1）直接利用对数式的定义分析得出答案； （2）直接利用对数式的定义得出各数求出答案． 【解答】解：（1）指数式对应的对数式是：， 对数式对应的指数式是：； 故答案为：，； （2） ． 【点评】此题主要考查了有理数的乘方，正确理解对数式定义是解题关键． 【考点题型七】有理数的混合运算（共14小题） 【例7】（2024春•黄浦区期中）小东的爸爸是出租车司机，为了计算汽车每千米的耗油量，某天上午，他从单位出发，在沿着南北方向行驶时详细记录了行车的路程情况．他规定向南为正，向北为负，下面是他这天上午行驶的路程记录（单位：千米），，，，，，，． （1）已知该出租车这天上午共耗油9.6升，你能计算出小东爸爸的出租车每千米的耗油量是多少吗？ （2）上午运营结束后，小东的爸爸应该向　　行驶　　千米返回单位． 【分析】（1）根据题意求出这天上午行驶的路程，再用耗油量9.6升除以行驶的路程即可； （2）把他这天上午行驶的路程记录的数相加即可解答． 【解答】解：（1）（千米）， （升千米）， 答：小东爸爸的出租车每千米的耗油量是0.12升千米； （2）（千米）， 故上午运营结束后，小东的爸爸应该向南行驶2千米返回单位． 故答案为：南；2． 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是注意理解相反意义的量的含义，耗油量行使的路程单位耗油量． 【变式7-1】（2024春•嘉定区校级月考）定义一种新运算“※”，规则为：※例：2※，则※　　． 【分析】根据题中的新定义将所求式子化为有理数混合运算，计算即可． 【解答】解：※， ※4 ． 故答案为：4． 【点评】此题主要考查了新定义以及有理数的混合运算，正确利用新定义转化为有理数混合运算是解题关键． 【变式7-2】（2024春•普陀区校级月考）计算：　　． 【分析】先计算乘方，再计算加减法即可得到答案． 【解答】解： ， 故答案为：0． 【点评】本题主要考查了有理数混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 【变式7-3】（2024春•杨浦区期末）有一种扑克牌游戏叫做“24点”．要求是可以用加、减、乘、除、乘方五种运算把扑克牌牌面上的数算成24．每张牌必须用且只能用一次．如果有四张牌如图所示，请列出一种“24点”算式 　 　． 【分析】根据题意和图形，可以写出一个结果为24的算式． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，写出相应的算式． 【变式7-4】（2024春•松江区期中）若表示的5倍与的一半的差，已知，则　　． 【分析】首先根据表示的5倍与的一半的差，可得，求出的值，然后根据，列出一元一次方程，求出的值即可． 【解答】解：表示的5倍与的一半的差， ， ， ， ， 解得． 故答案为：1.1． 【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，以及定义新运算，解答此题的关键是要明确“”的运算方法． 【变式7-5】（2024春•黄浦区校级期中）若规定用表示不超过的最大的整数，如，，计算：　　． 【分析】根据题目中的规定进行求解即可． 【解答】解：规定用表示不超过的最大的整数， 原式 ， 故答案为：6． 【点评】本题考查的是有理数的混合运算和比较大小，根据题目中的规定进行计算是解题的关键． 【变式7-6】（2023春•长宁区期末）为有理数，定义运算符号△：当时，△；当时，△；当时，△．根据这种运算，则△△的值为 　 　． 【分析】原式利用已知的新定义计算即可得到结果． 【解答】解：根据题中的新定义得：△△， 则原式△△， 故答案为： 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式7-7】（2022春•杨浦区校级期中）定义：若，且，则称、为对称数，试写出一组对称数 　 　． 【分析】利用对称数的意义解答即可． 【解答】解：，， ． 与是一组对称数． 故答案为：与． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，本题是新定义型题目，正确理解新定义并熟练运用新定义是解题的关键． 【变式7-8】．（2024春•普陀区校级月考）计算： （1） （2） （3）用简便方法计算； 【分析】（1）根据有理数的乘除混合计算法则求解即可； （2）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法即可得到答案； （3）根据乘法分配律的逆运算法则求解即可． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3） ． 【点评】本题主要考查了有理数混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 【变式7-9】（2024春•宝山区校级期末）计算：． 【分析】先计算乘方，绝对值，再利用乘法运算律计算，最后计算加减即可 【解答】解： ． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握乘方，乘法运算律是关键． 【变式7-10】（2024春•闵行区期末）计算：． 【分析】先用乘法运算律计算乘法，再算括号里面的，再把除法转化成乘法计算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算法则． 【变式7-11】（2024春•上海期中）材料一：对任意有理数，定义运算“”． ． 如：，． 材料二：规定表示不超过的最大整数，如，，． （1）　 　，　　 ； （2）求的值； （3）若有理数，满足，请直接写出的结果． 【分析】（1）根据新定义把新运算的代数式转化为常规代数式进行解答便可； （2）根据新定义把原式转化为进行计算便可； （3）设，为整数，由已知条件，列出的方程求得与的值，进而求得的值，再代入代数式，根据新定义进行计算便可． 【解答】解：（1）， ， 故答案为：；； （2） ； （3）设，为整数，则，， ， ， 解得，， ， ． 【点评】本题考查了新定义，列代数式，有理数的混合运算，解一元一次方程，关键是理解和应用新定义解题． 【变式7-12】（2023春•长宁区期末）小明表演魔术，从一副除去大小王的扑克中请观众随机选择了4张牌，并让观众每次取其中三张牌，将牌面数字相加，牌面数字之和分别为18，24，25，26．小明立刻说出了观众随机选择的4张扑克牌面的数字．这4张牌牌面的数字都是几呢？你能尝试用数学原理去揭秘这个魔术吗？表示1，表示11，表示12，表示 【分析】设这4张牌牌面的数字分别为，，，，根据题意可得：，，，，从而可得，进而可得，然后分别进行计算，即可解答． 【解答】解：设这4张牌牌面的数字分别为，，，， 由题意得：，，，， ， ， ， ， ， ， 这4张牌牌面的数字分别为5，6，7，13． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式7-12】（2021春•虹口区校级期中）我们定义一种新运算，，如． （1）计算：　　 ． （2）计算：　　 ． （3）在这11个数中，任取三个数作为、、的值进行运算，求在所有计算结果中的最大值． 【分析】（1）根据新定义运算的含义列式计算即可； （2）根据新定义运算的含义列式计算即可； （3）分两种情况讨论：当时，，当时，，从而可得答案． 【解答】解：（1）， ； （2）， ； （3）当时， ， 当时，有最大值，最大值为：； 当时， ， 当，或，时，有最大值， 最大值为：； 综上：所有计算结果中的最大值为． 【点评】本题考查的是绝对值的含义，有理数的加减混合运算，乘法运算，合并同类项，求解代数式的值，新定义运算的含义，理解题意，选择合适的方法解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$