专题05 概率初步（5大经典基础题+3大优先提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（福建专用）

专题05 概率初步 随机事件与必然事件 1．（23-24九年级上·福建漳州·期中）在一个不透明的口袋中装有颜色分别为红色、白色、绿色的三个小球，这三个小球除颜色外其他都相同，在口袋中一次性随机摸出两个球，下列事件为必然事件的是（   ） A．一个红球一个白球 B．两个红球 C．两个球颜色不相同 D．两个球颜色相同 2．（23-24九年级上·福建福州·期中）“清明时节雨纷纷”这个事件是（　　） A．必然事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．随机事件 3．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）下列事件中，是随机事件的是（    ） A．在一副扑克牌中抽出一张，抽出的牌是黑桃6 B．在一个只装了红球的袋子里，摸出一个白球 C．投掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数小于7 D．画一个三角形，其内角和是180° 4．（23-24九年级上·福建期中·期中）下列说法中不正确的是（    ） A．想了解某种饮料中含色素的情况，宜抽样调查 B．“煮熟的鸭子飞了”是一个不可能事件 C．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是随机事件 D．一组数据6，7，8，9，10的方差是3 根据概率公式计算概率 1．（23-24九年级上·福建宁德·期中）学校运动会中，运动员小明与小刚，要从铅球、跳高两个项目中任意选择一个项目参加比赛，则两人恰好都选择铅球项目的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期中）一个不透明盒子里装有6个除颜色外无其他任何差别的球，从盒子中随机摸出一个球，若（摸出红球），则盒子里有 个红球． 3．（23-24九年级上·福建莆田·期中）扔一枚质地均匀的骰子，朝上的数字不大于的概率是 ． 4．（23-24九年级上·福建厦门·期中）在单词（数学）中任意选择一个字母恰好是字母“”的概率是 ． 5．（23-24九年级上·福建福州·期中）能够成为直角三角形三条边长的三个正整数称为勾股数．若从2，3，4，5中任取3个数，则这3个数能构成一组勾股数的概率是 ． 列举法求概率 1．（23-24九年级上·福建漳州·期中）某班学习小组做“用频率估计概率”的实验时，在统计“抛两枚硬币，出现两个正面都朝上”的频数时，小组共做了次实验，统计的“两个正面都朝上”频数是一个三位数，小军不小心弄花了百位数，已知十位数、个位数分别为、，你认为百位数应该为 ． 2．（23-24九年级上·福建宁德·期中）2023年9月23日晚，“第19届亚运会”开幕式在我国杭州隆重举行．小明和爸爸此次来杭州除了观看精彩比赛外，还想游览杭州的美景。由于时间关系，原计划去的乌镇和千岛湖只能去一个地方，他们决定不了．最后小刚提出用抽扑克牌的方式来决定．具体方法如下：把四张牌面数字分别是2、3、4、5的扑克牌背面向上放置于桌面上，洗匀后，小刚先从其中任意抽出一张，然后爸爸再从剩下的三张中任意抽出一张，如果两人的牌面数字之和大于7，那么去乌镇；否则，就去千岛湖． (1)如果小刚抽出的牌面数字是4，那么他们去乌镇的概率为 ； (2)请利用画树状图或列表的方法分析他们去乌镇和千岛湖哪个地方的概率大． 3．（23-24九年级上·福建莆田·期中）为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校准备开展“趣味运动会”比赛活动，比赛项目有：“两人三足”“春种秋收”、“穿越火线”“摸石过河”（分别用字母，，，依次表示这四个运动项目），将，，，这四个字母分别写在4张完全相同的不透明卡片的正面上，把这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．小艺和小文参加趣味比赛项目，比赛时小艺先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小文从中随机抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上内容进行趣味运动项目比赛． (1)小文参加“穿越火线”的概率是___________； (2)请用列表法或画树状图法求小艺和小文参加的比赛项目不相同的概率． 树状图求概率 1．（23-24九年级上·福建福州·期中）将数，，分别写在三张相同的不透明卡片上的正面，将卡片洗匀后背面朝上置于桌面，甲乙两个同学从中随机各抽取一张卡片（注：第一个同学抽取到的卡片不放回）． (1)甲同学抽到的卡片上数字是的概率是 ； (2)求甲乙两个同学抽到的卡片数字都是无理数的概率．（用画树状图或列表的方法求解） 2．（23-24九年级上·福建莆田·期中）丽丽与明明相约去天文馆参观，有C、D、E三个出口，他们进入后分散参观，结束后，请用列表法或画树状图法，求她们恰好从同一出口走出的概率． 3．（23-24九年级上·福建漳州·期中）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票背面朝上洗匀放在桌面上（邮票背面完全相同）．      (1)小文从中随机抽取一张邮票是“秋分”的概率是___________； (2)小文从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率（这四张邮票依次用字母，，，表示）． 用频率估计概率 1．（23-24九年级上·福建宁德·期中）为了估计抛掷同一枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率，小明做了大量重复试验．经过统计得到凸面向上的次数为450次，凸面向下的次数为550次，由此可估计抛掷这枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率约为（　　） A．0.45 B．0.50 C．0.55 D．0.75 2．（23-24九年级上·福建漳州·期中）在一个不透明的袋子中放有若干个球，其中有个白球，其余是红球，这些球除颜色外完全相同．每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在左右，则红球的个数约是（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 3．（23-24九年级上·福建福州·期中）一个不透明的布袋中装有4个红色球、m个白色球，除颜色外都相同，每次将球充分搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回袋中，通过大量摸球试验发现摸到白色球的频率稳定在0.5，可估计这个布袋中白球的个数为 ． 4．（23-24九年级上·福建福州·期中）某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数n 10 50 100 500 1000 1500 2000 3000 4000 5000 发芽的频数m 9 44 92 461 928 1396 1866 2794 3728 4646 发芽的频率（精确到0.001 0.900 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931 0.932 0.929 则估计这种绿豆发芽的概率为 （精确到0.01） 5．（23-24九年级上·福建厦门·期中）在一个四宫格火锅里有三种锅底，一种是清汤锅底，一种是麻辣锅底．一种是红汤锅底，服务员将100粒丸子随机投入四个宫格中，就餐的小伙伴数了数，结果有49粒是清汤味的，估计倒入红汤锅底的宫格数是 ． 几何概率 1．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图是由16块方砖铺设而成的地面(缝隙忽略不计)，每块方砖大小、质地完全相同．现有一个小球在地面上自由滚动，那么它停留在黑色区域的概率是(　　)    A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，在平行四边形中，E为的中点，交于点O，若随机向平行四边形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为 ． 4．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）如图，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中，，，小明蒙上眼睛用棍子击中了锣面，他击中阴影部分的概率是 ． 5．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图1，第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．现假设可在如图2的弦图区域内随机取点，若正方形中，，则这个点落在阴影部分的概率为 ． 根据概率作出判断 1．（23-24九年级上·福建南平·期中）如图，转盘的红、黄、蓝、紫四个扇形区域的圆心角分别记为，，，．自由转动转盘，则下面说法错误的是（  ）    A．若，则指针落在红色区域的概率大于0.25 B．若，则指针落在红色区域的概率大于0.5 C．若，则指针落在红色或黄色区域的概率和为0.5 D．若，则指针落在红色或黄色区域的概率和为0.5 2．（23-24九年级上·福建福州·期中）随着人们生活水平的提高，对食品的要求越来越高，蛋糕的新鲜度也受到大家的关注．某蛋糕店出售一种保质期较短的蛋糕，每天制作这种蛋糕若干块，且制做的蛋糕当天能全部售完，已知每块蛋糕的成本为元，售价为元，若当天下午点前出售不完剩下的蛋糕则以每块元低价售出，该蛋糕店记录了天这种蛋糕每天下午点前的售出量，整理成如下的统计表： 每天下午点前的售出量/块 天数 （1）估计这天中，这种蛋糕每天下午点前的售出量不少于块的概率； （2）若该蛋糕店一天计划制作这种蛋糕块或块，请你以这种蛋糕一天的平均盈利作为决策依据，该蛋糕店这一天应该制作这种蛋糕块还是块？并说明理由． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期中）小明每天乘坐小区巴士上下学，小区门口的1号和2号巴士都可以到达学校．为了了解从小区巴士到学校所用时间的规律，他记录了20天内1号巴士到达学校所需的时间，并整理如下（单位：分钟）： 14，14，15，17，18，18，19，19，19，19， 20，20，20，20，21，21，21，22，25，27． 1号巴士到校时间频数表 组别（分钟） 划记 频数 2 4 合计 20 (1)请填写频数表，并估计一个学期（以100天计）内1号巴士从小区门口到学校所花的时间不超过22分钟的天数． (2)小明同时绘制了2号巴士到校所花时间的频数分布直方图，小明某日在到达小区门口，且两种巴士均同时出发，学校规定每日不迟于到校，若考虑准时到校的可能性，请结合图表信息给出搭乘建议，并说明理由． 频率估算概率的综合应用 1．（23-24九年级上·福建福州·期中）阅读下列材料，回答问题： 任务1：估计不规则封闭图形的面积 如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为0.5米的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内丢掷绿豆（可把绿豆近似看成点），并记录如下数据（有效丢掷绿豆落在该封闭图形内，含边界）： 有效丢掷绿豆总次数 50 150 300 600 … 绿豆落在正方形内 （含正方形的边）的次数 10 35 78 149 … 0.200 0.233 0.257 0.248 … （1）当有效丢掷绿豆总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数n最可能是________； A．105        B．249        C．518        D．815 （2）请根据表格中的数据估计，如果你随机丢掷一颗绿豆（落在该封闭图形内，含边界），那么该绿豆恰好落在正方形内（含正方形的边）的概率约为___________（精确到0.01）； （3）请你利用（2）中所得概率，估计该不规则封闭图形的面积； 任务2：估计圆周率的大小 关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，请借鉴任务1的探究思路，设计一个估算圆周率的实验，写出相应的步骤，以及需要记录的数量（具体数值）或数据（用字母，…，表示），画出示意图，并写出的计算公式． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期中）某果园为了实现自动化管理，计划安装不少于2台大型自动喷水机，当降雨量少时喷水机可以对果树自动灌溉．统计了过去50年的年均降雨量资料，得到如下的频数分布直方图，假设各年的年均降雨量互不影响，以过去50年的年均降雨量为样本． (1)估计未来1年中，年均降雨量低于1700的概率． (2)每年自动喷水机需要运行台数受年均降雨量X限制．并有如下关系： 年均降雨量X 喷水机需要运行台数 3 2 1 若一台喷水机运行，一年为果园带来80万元的利润；著某台喷水机未运行，一年也得要投入40万元的费用；如果由于缺水，少开一台喷水机将使果园损失50万元．欲使果园在喷水机项目上实现年利润的平均值达到最大，需安装几台喷水机？ 3．（23-24九年级上·福建漳州·期中）新冠疫情期间，某校有“录播”和“直播”两种教学方式供学生自主选择其中一种进行居家线上学习．为了了解该校学生线上学习参与度情况，从选择这两种教学方式的学生中，分别随机抽取50名进行调查，调查结果如表（数据分组包含左端值不包含右端值）． 录播 5 18 14 13 直播 2 15 21 12 （1）从选择教学方式为“录播”的学生中任意抽取1名学生，试估计该生的参与度不低于的概率； （2）若该校共有1200名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为，试估计选择“录播”或“直播”参与度均在以下的共有多少人？ ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 概率初步 随机事件与必然事件 1．（23-24九年级上·福建漳州·期中）在一个不透明的口袋中装有颜色分别为红色、白色、绿色的三个小球，这三个小球除颜色外其他都相同，在口袋中一次性随机摸出两个球，下列事件为必然事件的是（   ） A．一个红球一个白球 B．两个红球 C．两个球颜色不相同 D．两个球颜色相同 【答案】C 【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【详解】A. 一个红球一个白球，是随机事件，故该选项不正确，不符合题意； B. 两个红球，是不可能事件，故该选项不正确，不符合题意； C. 两个球颜色不相同，是必然事件，故该选项正确，符合题意；     D. 两个球颜色相同，是不可能事件，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键． 2．（23-24九年级上·福建福州·期中）“清明时节雨纷纷”这个事件是（　　） A．必然事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．随机事件 【答案】D 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：“清明时节雨纷纷”这个事件是随机事件， 故选：D． 3．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）下列事件中，是随机事件的是（    ） A．在一副扑克牌中抽出一张，抽出的牌是黑桃6 B．在一个只装了红球的袋子里，摸出一个白球 C．投掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数小于7 D．画一个三角形，其内角和是180° 【答案】A 【分析】根据事件分类：必然事件、不可能事件及其定义，逐项分析即可得到答案． 【详解】解：A、在一副扑克牌中抽出一张，抽出的牌是黑桃6，是随机事件，符合题意； B、在一个只装了红球的袋子里，摸出一个白球，是不可能事件，不符合题意； C、投掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数小于7，是必然事件，不符合题意； D、画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查事件分类及相关定义，熟记事件类别及定义逐项验证是解决问题的关键． 4．（23-24九年级上·福建期中·期中）下列说法中不正确的是（    ） A．想了解某种饮料中含色素的情况，宜抽样调查 B．“煮熟的鸭子飞了”是一个不可能事件 C．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是随机事件 D．一组数据6，7，8，9，10的方差是3 【答案】D 【分析】根据抽样调查，随机事件，不可能事件，方差，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、想了解某种饮料中含色素的情况，宜抽样调查，故本选项不符合题意； B、“煮熟的鸭子飞了”是一个不可能事件，故本选项不符合题意； C、“打开电视，正在播放《新闻联播》”是随机事件，故本选项不符合题意； D、这组数据的平均数为， ∴这组数据的方差是，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了抽样调查，随机事件，不可能事件，求方差，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据概率公式计算概率 1．（23-24九年级上·福建宁德·期中）学校运动会中，运动员小明与小刚，要从铅球、跳高两个项目中任意选择一个项目参加比赛，则两人恰好都选择铅球项目的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查简单随机事件发生的概率，先列出所有的可能性，在找出满足题意的可能性，根据概率公式计算即可． 【详解】运动员小明与小刚，要从铅球、跳高两个项目中任意选择一个项目参加比赛，共有种等可能情况， 其中两人恰好都选择铅球项目是其中一种情况， 则两人恰好都选择铅球项目的概率是． 故选：C 2．（23-24九年级上·福建厦门·期中）一个不透明盒子里装有6个除颜色外无其他任何差别的球，从盒子中随机摸出一个球，若（摸出红球），则盒子里有 个红球． 【答案】2 【分析】设红球有x个，利用红球的概率为，再根据概率公式列方程计算即可得解． 【详解】解：设红球有x个， ∵从盒子中随机摸出一个球，P（摸出红球）， ∴， 解得：， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 3．（23-24九年级上·福建莆田·期中）扔一枚质地均匀的骰子，朝上的数字不大于的概率是 ． 【答案】 【分析】一枚质地均匀的骰子有六个面，分别标有 其中点数不大于的面有个，结合概率公式可得答案． 【详解】解：掷一枚质地均匀的骰子，朝上的数字不大于的概率是： 故答案为：． 【点睛】本题考查的是简单随机事件的概率，掌握简单随机事件的概率的计算公式：“随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．”是解题的关键． 4．（23-24九年级上·福建厦门·期中）在单词（数学）中任意选择一个字母恰好是字母“”的概率是 ． 【答案】 【分析】直接由概率公式求解即可． 【详解】解：单词中共有11个字母， 其中t出现 了2次， 故任意选择一个字母恰好是字母“”的概率为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查运用概率公式求概率，根据已知条件找出总的情况数和符合条件的情况数是解题关键． 5．（23-24九年级上·福建福州·期中）能够成为直角三角形三条边长的三个正整数称为勾股数．若从2，3，4，5中任取3个数，则这3个数能构成一组勾股数的概率是 ． 【答案】 【分析】根据勾股数的概念和概率的计算公式，即可求解． 【详解】∵从2，3，4，5中任取3个数，一共有4种等可能的情况，只有3，4，5一种情况是勾股数， ∴这3个数能构成一组勾股数的概率是：． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查勾股数和概率公式，熟练掌握上述知识，是解题的关键． 列举法求概率 1．（23-24九年级上·福建漳州·期中）某班学习小组做“用频率估计概率”的实验时，在统计“抛两枚硬币，出现两个正面都朝上”的频数时，小组共做了次实验，统计的“两个正面都朝上”频数是一个三位数，小军不小心弄花了百位数，已知十位数、个位数分别为、，你认为百位数应该为 ． 【答案】2 【分析】本题考查用频率估计概率的题目，根据抛两枚硬币，出现两个正面都朝上是概率为，可以估计小组共做了次实验，统计的“两个正面都朝上”频数，即可得出答案．正确理解频率与概率的关系是解决本题的关键． 【详解】解∶抛两枚硬币所出现的等可能结果有∶正正、正反、反正、反反， ∴两个正面都朝上 ∴小组共做了次实验，统计的“两个正面都朝．上”频数可能为次， ∴百位数应该为． 故答案为∶． 2．（23-24九年级上·福建宁德·期中）2023年9月23日晚，“第19届亚运会”开幕式在我国杭州隆重举行．小明和爸爸此次来杭州除了观看精彩比赛外，还想游览杭州的美景。由于时间关系，原计划去的乌镇和千岛湖只能去一个地方，他们决定不了．最后小刚提出用抽扑克牌的方式来决定．具体方法如下：把四张牌面数字分别是2、3、4、5的扑克牌背面向上放置于桌面上，洗匀后，小刚先从其中任意抽出一张，然后爸爸再从剩下的三张中任意抽出一张，如果两人的牌面数字之和大于7，那么去乌镇；否则，就去千岛湖． (1)如果小刚抽出的牌面数字是4，那么他们去乌镇的概率为 ； (2)请利用画树状图或列表的方法分析他们去乌镇和千岛湖哪个地方的概率大． 【答案】(1) (2)小刚和爸爸去千岛湖的概率大 【分析】（1）对结果进行列举，根据题意进行计算即可； （2）列出表格，根据题意利用概率计算公式，进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意得 爸爸可选的扑克为2、3、5的三种结果，其中数字之和大于的为， ； 故答案：； （2）解：列表如下： 2 3 4 5 2      　　 3 4 5 共有12种等可能结果，其中两人的牌面数字之和大于7的结果有4种，小于或等于7的结果有8种， 两人的牌面数字之和大于的概率：， 两人的牌面数字之和小于或等于的概率：， ， 小刚和爸爸去千岛湖的概率大． 【点睛】本题考查了等可能情形下的概率计算，对于结果数较少的采用列举法，而对于两次抽取问题采用列表或树状图，理解放回和不放回的区别是解题的关键． 3．（23-24九年级上·福建莆田·期中）为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校准备开展“趣味运动会”比赛活动，比赛项目有：“两人三足”“春种秋收”、“穿越火线”“摸石过河”（分别用字母，，，依次表示这四个运动项目），将，，，这四个字母分别写在4张完全相同的不透明卡片的正面上，把这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．小艺和小文参加趣味比赛项目，比赛时小艺先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小文从中随机抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上内容进行趣味运动项目比赛． (1)小文参加“穿越火线”的概率是___________； (2)请用列表法或画树状图法求小艺和小文参加的比赛项目不相同的概率． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）直接根据概率公式求解； （2）利用列表法展示所有16种等可能性结果，再找出两人参加的比赛项目不相同的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）小文参加“穿越火线”的概率是， 故答案为： （2）用列表法表示所有可能出现的结果如下： 小艺 小文 共有16种等可能出现的结果，其中两人参加的比赛项目不相同的有12种， 两人参加的比赛项目不相同的概率为． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件的结果数目，然后根据概率公式求出事件的概率． 树状图求概率 1．（23-24九年级上·福建福州·期中）将数，，分别写在三张相同的不透明卡片上的正面，将卡片洗匀后背面朝上置于桌面，甲乙两个同学从中随机各抽取一张卡片（注：第一个同学抽取到的卡片不放回）． (1)甲同学抽到的卡片上数字是的概率是 ； (2)求甲乙两个同学抽到的卡片数字都是无理数的概率．（用画树状图或列表的方法求解） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法和树状图法求等可能事件概率，掌握列表法和树状图法求等可能事件概率的方法是解题的关键． （1）根据概率的意义求出即可； （2）用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果数，从中找出甲乙两个同学抽到的卡片数字都是无理数的结果数，再用等可能事件概率公式求出即可． 【详解】（1）解：有3张卡片，其中只有一张卡片上的数字是， （甲同学抽到的卡片上数字是）， 故答案为：； （2）解：， 画树状图如下： 一共有6种等可能的结果，其中甲乙两个同学抽到的卡片数字都是无理数有2种可能， （甲乙两个同学抽到的卡片数字都是无理数）． 2．（23-24九年级上·福建莆田·期中）丽丽与明明相约去天文馆参观，有C、D、E三个出口，他们进入后分散参观，结束后，请用列表法或画树状图法，求她们恰好从同一出口走出的概率． 【答案】 【分析】本题考查了用树状图求概率，解本题的关键在根据树状图找出所有等可能的情况数概率等于所求情况数与总情况数之比； 先画出树状图，共有9种等可能的情况其中恰好从同一出口走出的情况有3种，再根据概率公式，计算即可得出结果． 【详解】解：画树状图如下： ∵共有9种等可能的情况，其中恰好从同一出口走出的情况有3种， ∴她们恰好从同一出口走出的概率为． 3．（23-24九年级上·福建漳州·期中）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票背面朝上洗匀放在桌面上（邮票背面完全相同）．      (1)小文从中随机抽取一张邮票是“秋分”的概率是___________； (2)小文从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率（这四张邮票依次用字母，，，表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】（1）解：小文从4张邮票中随机抽取一张邮票是“秋分”的概率是：， 故答案为：； （2）解：由题意画树状图如下：    由图可知，共有12种等可能的情况，其中抽到A和B（“立春”和“立夏”）的情况有2种， ， 故小文抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率为． 用频率估计概率 1．（23-24九年级上·福建宁德·期中）为了估计抛掷同一枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率，小明做了大量重复试验．经过统计得到凸面向上的次数为450次，凸面向下的次数为550次，由此可估计抛掷这枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率约为（　　） A．0.45 B．0.50 C．0.55 D．0.75 【答案】A 【分析】本题主要考查概率的意义、等可能事件的概率，根据多次重复试验中事件发生的频率估计事件发生的概率即可． 【详解】解：∵抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次．经过统计得“凸面向上”的次数约为4520次， ∴抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为， 故选：A． 2．（23-24九年级上·福建漳州·期中）在一个不透明的袋子中放有若干个球，其中有个白球，其余是红球，这些球除颜色外完全相同．每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在左右，则红球的个数约是（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】C 【分析】此题考查的是用频率估计概率；根据用频率估计概率可知: 摸到白球的概率为，根据概率公式即可求出小球的总数,从而求出红球的个数． 【详解】解:小球的总数约为：(个) 则红球的个数为：(个) 故选：C． 3．（23-24九年级上·福建福州·期中）一个不透明的布袋中装有4个红色球、m个白色球，除颜色外都相同，每次将球充分搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回袋中，通过大量摸球试验发现摸到白色球的频率稳定在0.5，可估计这个布袋中白球的个数为 ． 【答案】4 【分析】此题考查利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，根据白球的频率，列出方程，然后求解即可得出答案． 解答此题的关键是根据口袋中白色球所占的比例，计算其个数． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 经检验是方程的解， 答：估计这个布袋中白球的个数为4个， 故答案为：4． 4．（23-24九年级上·福建福州·期中）某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数n 10 50 100 500 1000 1500 2000 3000 4000 5000 发芽的频数m 9 44 92 461 928 1396 1866 2794 3728 4646 发芽的频率（精确到0.001 0.900 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931 0.932 0.929 则估计这种绿豆发芽的概率为 （精确到0.01） 【答案】0.93 【分析】当试验次数足够大时，发芽的频率逐渐稳定并趋于某一个值，这个值作为概率的估计值． 【详解】解：根据表中的发芽的频率，当实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在0.93左右，所以可估计这种绿豆发芽的机会大约是0.93． 故答案为：0.93． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确． 5．（23-24九年级上·福建厦门·期中）在一个四宫格火锅里有三种锅底，一种是清汤锅底，一种是麻辣锅底．一种是红汤锅底，服务员将100粒丸子随机投入四个宫格中，就餐的小伙伴数了数，结果有49粒是清汤味的，估计倒入红汤锅底的宫格数是 ． 【答案】 【分析】根据概率的意义估算，即可求解． 【详解】解：∵一个四宫格火锅里有三种锅底，清汤占2格，红汤锅底占1格， 服务员将100粒丸子随机投入四个宫格中，就餐的小伙伴数了数，结果有49粒是清汤味的，即清汤锅底约占， ∴红汤锅底占，则估计倒入红汤锅底的宫格数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率的意义，频率估计概率，熟练掌握概率的意义是解题的关键． 几何概率 1．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：由图可知，总面积为：5×6=30，， ∴阴影部分面积为：， ∴飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是， 故选：A． 【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图是由16块方砖铺设而成的地面(缝隙忽略不计)，每块方砖大小、质地完全相同．现有一个小球在地面上自由滚动，那么它停留在黑色区域的概率是(　　)    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接求出总面积和黑色区域的面积，再利用几何概率公式求出答案．几何概率用部分线段的长度(部分区域的面积)和整条线段的长度(整个区域的面积)的比来表示． 【详解】解：设每块地板的面积为1， 则总面积为16，黑色区域的面积为， 所以该小球停留在黑色区域的概率是． 故选：C． 【点睛】本题考查了概率的求法，掌握几何概率的计算公式是解题的关键． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，在平行四边形中，E为的中点，交于点O，若随机向平行四边形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率．求出阴影部分的面积占平行四边形的份数即可判断． 【详解】解：∵E为的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴米粒落在图中阴影部分的概率为， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）如图，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中，，，小明蒙上眼睛用棍子击中了锣面，他击中阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，几何概率．正确求解阴影部分的面积是解题的关键． 由勾股定理得，，根据，计算求解，根据概率为，计算求解即可． 【详解】解：由勾股定理得，， ∴， ∴他击中阴影部分的概率是， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图1，第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．现假设可在如图2的弦图区域内随机取点，若正方形中，，则这个点落在阴影部分的概率为 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理求得，即可得出大正方形的面积为，再求得阴影部分面积，根据概率公式，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴大正方形的面积为， 阴影部分的面积为 ∴这个点落在阴影部分的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，几何概率，熟练掌握勾股定理与概率公式求概率是解题的关键． 根据概率作出判断 1．（23-24九年级上·福建南平·期中）如图，转盘的红、黄、蓝、紫四个扇形区域的圆心角分别记为，，，．自由转动转盘，则下面说法错误的是（  ）    A．若，则指针落在红色区域的概率大于0.25 B．若，则指针落在红色区域的概率大于0.5 C．若，则指针落在红色或黄色区域的概率和为0.5 D．若，则指针落在红色或黄色区域的概率和为0.5 【答案】C 【分析】根据概率公式计算即可得到结论． 【详解】解：A、∵α＞90°， ，故A正确； B、∵α+β+γ+θ=360°，α＞β+γ+θ， ，故B正确； C、∵α-β=γ-θ， ∴α+θ=β+γ，∵α+β+γ+θ=360°， ∴α+θ=β+γ=180°， ∴指针落在红色或紫色区域的概率和为0.5，故C错误； D、∵γ+θ=180°， ∴α+β=180°， ∴指针落在红色或黄色区域的概率和为0.5，故D正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． 2．（23-24九年级上·福建福州·期中）随着人们生活水平的提高，对食品的要求越来越高，蛋糕的新鲜度也受到大家的关注．某蛋糕店出售一种保质期较短的蛋糕，每天制作这种蛋糕若干块，且制做的蛋糕当天能全部售完，已知每块蛋糕的成本为元，售价为元，若当天下午点前出售不完剩下的蛋糕则以每块元低价售出，该蛋糕店记录了天这种蛋糕每天下午点前的售出量，整理成如下的统计表： 每天下午点前的售出量/块 天数 （1）估计这天中，这种蛋糕每天下午点前的售出量不少于块的概率； （2）若该蛋糕店一天计划制作这种蛋糕块或块，请你以这种蛋糕一天的平均盈利作为决策依据，该蛋糕店这一天应该制作这种蛋糕块还是块？并说明理由． 【答案】（1）；（2）19块，理由见解析． 【分析】（1）根据表格信息解得每天下午点前的售出量不少于块的天数为78天，再根据概率公式解题； （2）分两种情况讨论，若该蛋糕店这一天制作这种蛋糕块，或若该蛋糕店这一天制作这种蛋糕块，分别计算获得的利润、低价售出的损失，继而解得净利润，再比较解题． 【详解】解：（1）由统计表可得，这天中，蛋糕每天下午点前的售出量不少于块的天数为（天）， （蛋糕每天下午点前的售出量不少于块）； （2）该蛋糕店这一天应该制作这种蛋糕块，理由如下： 若该蛋糕店这一天制作这种蛋糕块，则可得： 每天下午点前的售出量/块 频率 利润 获得的利润为（元）， 低价售出的损失为（元） 则净利润为（元）； 若该蛋糕店这一天制作这种蛋糕块，则可得： 每天下午点前的售出量/块 频率 利润 获得的利润为（元）， 低价售出的损失为（元）， 则净利润为（元）， ， 该蛋糕店这一天应该制作这种蛋糕块． 【点睛】本题概率以及销售利润等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期中）小明每天乘坐小区巴士上下学，小区门口的1号和2号巴士都可以到达学校．为了了解从小区巴士到学校所用时间的规律，他记录了20天内1号巴士到达学校所需的时间，并整理如下（单位：分钟）： 14，14，15，17，18，18，19，19，19，19， 20，20，20，20，21，21，21，22，25，27． 1号巴士到校时间频数表 组别（分钟） 划记 频数 2 4 合计 20 (1)请填写频数表，并估计一个学期（以100天计）内1号巴士从小区门口到学校所花的时间不超过22分钟的天数． (2)小明同时绘制了2号巴士到校所花时间的频数分布直方图，小明某日在到达小区门口，且两种巴士均同时出发，学校规定每日不迟于到校，若考虑准时到校的可能性，请结合图表信息给出搭乘建议，并说明理由． 【答案】(1)补全频数表见解析，90天 (2)选择乘坐1号巴士，理由见解析 【分析】本题考查频数分布表、频数直方图、用样本估计总体、简单的概率计算，看懂图表，获取有用信息是解答的关键． （1）根据所给数据即可补全频数分布表；先求得20天中不超过22分钟的天数的概率，进而可求得一学期不超过22分钟的天数； （2）分别求得两种巴士不超过26分钟的概率，进行比较即可得出乘坐方案． 【详解】（1）1号巴士到校时间频数表 组别（分钟） 划记 频数 2 4 正正 12 一 1 一 1 合计 20 由表可知，在20天中不超过22分钟的天数有（天）， ∴在20天中不超过22分钟的天数的概率为， ∴一个学期不超过22分钟的天数为（天）； （2）解：巴士出发，需在之前到达学校，则巴士用时不能超过26分钟， 根据1号巴士的频数表知，1号巴士不超过26分钟的概率为， 根据2号巴士的频数分布直方图知，2号巴士不超过26分钟的概率为， ∵， ∴1号巴士不超过26分钟的概率更大， 故应选择乘坐1号巴士． 频率估算概率的综合应用 1．（23-24九年级上·福建福州·期中）阅读下列材料，回答问题： 任务1：估计不规则封闭图形的面积 如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为0.5米的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内丢掷绿豆（可把绿豆近似看成点），并记录如下数据（有效丢掷绿豆落在该封闭图形内，含边界）： 有效丢掷绿豆总次数 50 150 300 600 … 绿豆落在正方形内 （含正方形的边）的次数 10 35 78 149 … 0.200 0.233 0.257 0.248 … （1）当有效丢掷绿豆总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数n最可能是________； A．105        B．249        C．518        D．815 （2）请根据表格中的数据估计，如果你随机丢掷一颗绿豆（落在该封闭图形内，含边界），那么该绿豆恰好落在正方形内（含正方形的边）的概率约为___________（精确到0.01）； （3）请你利用（2）中所得概率，估计该不规则封闭图形的面积； 任务2：估计圆周率的大小 关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，请借鉴任务1的探究思路，设计一个估算圆周率的实验，写出相应的步骤，以及需要记录的数量（具体数值）或数据（用字母，…，表示），画出示意图，并写出的计算公式． 【答案】任务1：（1）B；（2）0.25；（3）1平方米 任务2：设计实验见解析， 【分析】任务1：（1）观察数据，根据大量试验时，频率可估计概率找到稳定值进行估计即可； （2）大量试验时，频率可估计概率； （3）利用概率，用正方形面积封闭图形的面积概率建立方程求解； 任务2：仿造任务1，如图，地面上有一个边长为2米的正方形，在此正方形内画出一个半径为1米的圆．在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录数据，根据频率可估计概率即可求解． 【详解】解：任务1：（1）观察表格得：随着投掷次数的增大，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的频率值稳定在0.25， ∴如果你掷一次绿豆，那么绿豆落在正方形内（含正方形边上）的概率约为0.25； 当掷绿豆所落的总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数最可能为，只有249比较接近， 故答案为：B； （2）由（1）可知如果你掷一次绿豆，那么绿豆落在正方形内（含正方形边上）的概率约为0.25， 故答案为：0.25； （3）设封闭图形的面积为， 根据题意得：， 解得：， 即：估计整个不规则封闭图形的面积约是1平方米． 任务2：如图，地面上有一个边长为2米的正方形，在此正方形内画出一个半径为1米的圆． 在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录如下： 有效丢掷绿豆总次数 … 绿豆落在圆内 （含圆的边）的次数 … … 当很大时，绿豆落在圆内（含圆的边上）的频率值稳定在， 所以如果掷一次绿豆，那么绿豆落在圆内（含圆的边上）的概率约为； 则， ∴． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期中）某果园为了实现自动化管理，计划安装不少于2台大型自动喷水机，当降雨量少时喷水机可以对果树自动灌溉．统计了过去50年的年均降雨量资料，得到如下的频数分布直方图，假设各年的年均降雨量互不影响，以过去50年的年均降雨量为样本． (1)估计未来1年中，年均降雨量低于1700的概率． (2)每年自动喷水机需要运行台数受年均降雨量X限制．并有如下关系： 年均降雨量X 喷水机需要运行台数 3 2 1 若一台喷水机运行，一年为果园带来80万元的利润；著某台喷水机未运行，一年也得要投入40万元的费用；如果由于缺水，少开一台喷水机将使果园损失50万元．欲使果园在喷水机项目上实现年利润的平均值达到最大，需安装几台喷水机？ 【答案】(1) (2)2台 【分析】（1）根据过去50年的年均降雨量的统计情况，利用概率公式即可求解； （2）由题意可知只能安装2台或者3台喷水机，计算出不同年均降雨量的概率，再分别计算两种方案下各年均降雨量概率下的平均获利，比较即可． 【详解】（1）解：由题意可得，年均降雨量低于1700的概率为：； （2）由题意可知： 年均降雨量的概率为：， 年均降雨量的概率为：， 年均降雨量的概率为：， 又∵计划安装不少于2台大型自动喷水机，并且最缺水时也只用3台喷水机， ∴只能安装2台或者3台喷水机， 设年利润为， 当安装2台喷水机时： 时，， 时，， 时，， 则平均年利润为：万元； 当安装3台喷水机时： 时，， 时，， 时，， 则平均年利润为：万元； ∵， ∴安装2台喷水机年利润的平均值达到最大． 【点睛】本题主要考查概率的应用，要能从统计表中找到我们需要的数据，并用统计数据处理，熟练掌握概率相关知识灵活运用是解题关键． 3．（23-24九年级上·福建漳州·期中）新冠疫情期间，某校有“录播”和“直播”两种教学方式供学生自主选择其中一种进行居家线上学习．为了了解该校学生线上学习参与度情况，从选择这两种教学方式的学生中，分别随机抽取50名进行调查，调查结果如表（数据分组包含左端值不包含右端值）． 录播 5 18 14 13 直播 2 15 21 12 （1）从选择教学方式为“录播”的学生中任意抽取1名学生，试估计该生的参与度不低于的概率； （2）若该校共有1200名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为，试估计选择“录播”或“直播”参与度均在以下的共有多少人？ 【答案】（1）；（2）75人 【分析】（1）用表格中“录播”教学方式学生参与度在50%以上的人数除以被调查的总人数即可估计对应概率； （2）先根据“录播”和“直播”的人数之比为3：5及该校学生总人数求出“直播”、“录播”人数，再分别乘以两种教学方式中参与度在20%以下人数所占比例求出对应人数，再相加即可得出答案． 【详解】解：（1）估计该生的参与度不低于的概率为； 故答案为： （2）∵选择“录播”的学生数为， 选择“直播”的学生数为． 选择“录播”参与度在以下的学生数为， 选择“直播”参与度在以下的学生数为． ， 估计参与度均在以下的学生共有75人． 故答案为75人 【点睛】本题考查统计与概率相关知识，熟练掌握相关计算公式是解决此题的关键 ( 1 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