第09讲 对数运算（考点精讲）-【中职专用】2025年对口升学数学一轮复习讲练测（四川专用）

第09讲 对数运算 【考纲要求】 1.对数的概念：了解对数的概念及性质； 2.了解常用对数与自然对数的表示方法；了解指数与对数的关系。 1.对数的定义 (1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做 ，叫做 . (2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化：. 2.几个重要的对数恒等式 ，，. 3.常用对数与自然对数 常用对数： ，即；自然对数： ，即(其中…). 4.对数的运算性质 如果，那么 ①加法： ②减法： ③数乘： ④ ⑤ ⑥换底公式： 考点一 对数概念 例1：下列说法中错误的是（ ） A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可化为对数式 C．以10为底的对数叫做常用对数 D．以e为底的对数叫做自然对数 【答案】B 【解析】由对数的概念知，指数式中，只有，且的指数式才可以化为对数式，因此零和负数没有对数，把以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数叫做自然对数． 变式：有以下四个结论：①；②；③ 若，则；④若，则，其中正确的是（    ） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 【答案】A 【解析】由对数定义可知，，①正确；，②正确； 对③，，错误；对④，，错误. 例2：将下列指数式与对数式互化. （1）； （2）； （3）； （4）. 【解析】因为由可得，所以 (1)由可得； (2)由可得； 由可得，所以 (3)由可得； (4)由可得. 变式：将下列指数式与对数式互化. （1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】因为由可得，所以 (1)因为，所以有：. (2)因为，所以有：. (3)因为，所以有：. (4)因为，所以有：. 考点二 对数式求值 例1：求下列各式中x的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）；（2）；（3）2；（4） 【解析】（1）因为所以. （2）因为,所以.又所以 （3）因为所以于是 （4）因为所以于是 变式：求下列各式中的的值 （1） ； （2） （3）； （4） 【答案】（1）；（2） （3）；（4） 【解析】解：（1）由可得； （2）由可得，且，所以. （3）由得，所以； （4）由得，所以，. 考点三 对数运算 例1：（ ） A． B．0 C．1 D．10 【答案】C 【解析】由. 变式：设，则 . 【答案】2 【解析】得即，. 例2：若，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】．A 【解析】∵，∴，又，∴，故选：A 变式：若，则 . 【答案】1 【解析】因为，所以，，同理，所以，故答案为1. 例3：若，，则 ．（用a、b表示） 【答案】 【解析】因为，所以，因此，故答案为． 变式：已知，，试用，表示. 【解析】）∵，∴， 又，∴. 则. 例4：计算下列各式： （1）___________； （2）_________； （3）_________； （4）________； （5）________． 【答案】-2 6 2 【解析】（1）； （2） （3） （4） （5） 例5：(1) ； (2) . （3）． 【答案】(1)18 (2) 【解析】解：（1） （2）＝ ＝ ＝ ＝ （3） = 变式：计算(1) ； （2） ； （3） （4）； 【答案】(1)18 (2) （3）2 （4）4 【解析】（1） （2）＝ ＝ ＝ ＝ （3）原式. （4）原式 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 对数运算 【考纲要求】 1.对数的概念：了解对数的概念及性质； 2.了解常用对数与自然对数的表示方法；了解指数与对数的关系。 1.对数的定义 (1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数. (2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化：. 2.几个重要的对数恒等式 ，，. 3.常用对数与自然对数 常用对数：，即；自然对数：，即(其中…). 4.对数的运算性质 如果，那么 ①加法： ②减法： ③数乘： ④ ⑤ ⑥换底公式： 考点一 对数概念 例1：下列说法中错误的是（ ） A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可化为对数式 C．以10为底的对数叫做常用对数 D．以e为底的对数叫做自然对数 【答案】B 【解析】由对数的概念知，指数式中，只有，且的指数式才可以化为对数式，因此零和负数没有对数，把以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数叫做自然对数． 变式：有以下四个结论：①；②；③ 若，则；④若，则，其中正确的是（    ） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 【答案】A 【解析】由对数定义可知，，①正确；，②正确； 对③，，错误；对④，，错误. 例2：将下列指数式与对数式互化. （1）； （2）； （3）； （4）. 【解析】因为由可得，所以 (1)由可得； (2)由可得； 由可得，所以 (3)由可得； (4)由可得. 变式：将下列指数式与对数式互化. （1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】因为由可得，所以 (1)因为，所以有：. (2)因为，所以有：. (3)因为，所以有：. (4)因为，所以有：. 考点二 对数式求值 例1：求下列各式中x的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）；（2）；（3）2；（4） 【解析】（1）因为所以. （2）因为,所以.又所以 （3）因为所以于是 （4）因为所以于是 变式：求下列各式中的的值 （1） ； （2） （3）； （4） 【答案】（1）；（2） （3）；（4） 【解析】解：（1）由可得； （2）由可得，且，所以. （3）由得，所以； （4）由得，所以，. 考点三 对数运算 例1：（ ） A． B．0 C．1 D．10 【答案】C 【解析】由. 变式：设，则 . 【答案】2 【解析】得即，. 例2：若，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】．A 【解析】∵，∴，又，∴，故选：A 变式：若，则 . 【答案】1 【解析】因为，所以，，同理，所以，故答案为1. 例3：若，，则 ．（用a、b表示） 【答案】 【解析】因为，所以，因此，故答案为． 变式：已知，，试用，表示. 【解析】）∵，∴， 又，∴. 则. 例4：计算下列各式： （1）___________； （2）_________； （3）_________； （4）________； （5）________． 【答案】-2 6 2 【解析】（1）； （2） （3） （4） （5） 例5：(1) ； (2) . （3）． 【答案】(1)18 (2) 【解析】解：（1） （2）＝ ＝ ＝ ＝ （3） = 变式：计算(1) ； （2） ； （3） （4）； 【答案】(1)18 (2) （3）2 （4）4 【解析】（1） （2）＝ ＝ ＝ ＝ （3）原式. （4）原式 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$