7.2.2 第2课时 互斥事件的概率加法公式-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（北师大版2019）

第七章　概率 §２　古典概型 2.2　古典概型的应用 第2课时　互斥事件的概率加法公式 (教师独具内容) 课程标准：1.进一步理解互斥事件、对立事件.2.掌握互斥事件的概率加法公式． 教学重点：1.通过实例，利用古典概型求互斥事件的概率，分析概率之间的关系.2.掌握互斥事件的概率加法公式． 教学难点：灵活运用公式解决概率问题． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 P(A∪B)＝P(A)＋P(B) 1－P(A) P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An) 核心概念掌握 5 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在一试验中，若P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，则事件A与事件B互斥．(　　) (2)在一试验中，若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与事件B一定对立．(　　) (3)在一试验中，事件A，B，C两两互斥，则P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)．(　　) 2．做一做 (1)若A，B为互斥事件，则(　　) A．P(A)＋P(B)<1 B．P(A)＋P(B)>1 C．P(A)＋P(B)＝1 D．P(A)＋P(B)≤1 √ × 答案 × 核心概念掌握 6 答案 核心概念掌握 7 核心素养形成 题型一　互斥事件概率的计算 　某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1张奖券的中奖概率． 核心素养形成 9 解 核心素养形成 10 【感悟提升】　 (1)运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，需做到不重不漏． (2)解题步骤：①确定题中各事件彼此互斥；②将待求事件分解为几个互斥事件之和；③先求各互斥事件分别发生的概率，再求和． 在应用概率加法公式时，一定要注意其应用的前提是涉及的事件是互斥事件．实际上，对于事件A，B，有P(A∪B)≤P(A)＋P(B)，只有当事件A，B互斥时，等号才成立． 核心素养形成 11 解 【跟踪训练】 1．向三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，炸中其余两个的概率均为0.1，只要炸中一个，另两个也要发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率． 解：设以A，B，C分别表示炸中第一、第二、第三个军火库这三个事件， 则P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1. 又设D表示军火库爆炸这个事件，则有D＝A∪B∪C，其中A，B，C是互斥事件．因为只投掷了一个炸弹，不会同时炸中两个以上军火库， 所以P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225. 核心素养形成 12 核心素养形成 13 解 核心素养形成 14 【感悟提升】　 求复杂的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥事件的并；二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率． 核心素养形成 15 【跟踪训练】 2．某医院要派医生下乡义诊，派出的医生人数及其概率如下表所示： (1)求派出医生至多2人的概率； (2)求派出医生至少2人的概率． 人数 0 1 2 3 4 大于等于5 概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04 核心素养形成 16 解 解：设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名及5名以上医生”为事件F，事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04. (1)“派出医生至多2人”的概率为 P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)解法一：“派出医生至少2人”的概率为 P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74. 解法二：“派出医生至少2人”的概率为 1－P(A∪B)＝1－0.1－0.16＝0.74. 核心素养形成 17 随堂水平达标 1．从一篮鸡蛋中任取1个，如果其质量小于30 g的概率是0.30，质量在[30，40] g的概率是0.50，则质量不大于40 g的概率是(　　) A．0.30 B．0.50 C．0.80 D．0.70 解析：事件“质量小于30 g”与事件“质量在[30，40] g”互斥，故事件“质量不大于40 g”的概率为0.30＋0.50＝0.80. 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 19 2．从一箱分为四个等级的产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到次品(一等品、二等品、三等品都属于合格品)”的概率为(　　) A．0.7 B．0.65 C．0.3 D．0.05 解析：设“抽到次品”为事件D，由题意知事件A，B，C，D互为互斥事件，且每次试验必有A，B，C，D中的一个事件发生，则P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝1，所以P(D)＝1－(0.65＋0.2＋0.1)＝0.05. 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 20 3．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一件，抽得正品的概率为________． 解析：“抽到乙级产品”与“抽到丙级产品”两事件互斥，故“抽到次品”的概率为0.03＋0.01＝0.04，“抽到正品”与“抽到次品”互为对立事件，故所求概率为1－0.04＝0.96. 答案 解析 0.96 随堂水平达标 1 2 3 4 5 21 4．设事件A的对立事件为事件B，已知事件B的概率是事件A的概率的2倍，则事件A的概率是_____． 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 22 5．用三种不同的颜色给如图所示的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色. 求：(1)3个矩形颜色都相同的概率； (2)3个矩形颜色都不相同的概率； (3)3个矩形颜色不都相同的概率. 随堂水平达标 1 2 3 4 5 23 解：设3个矩形从左到右依次为矩形1、矩形2、矩形3.用三种不同的颜色给题目中所示的3个矩形随机涂色，可能的结果如图所示. 由图知样本空间的样本点共有27个. 解 随堂水平达标 1 2 3 4 5 24 解 随堂水平达标 1 2 3 4 5 25 课后课时精练 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 27 2.从某班学生中任取一人，如果该同学身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160，175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为(　　) A.0.2 B．0.3 C.0.7 D．0.8 解析： “身高小于160 cm”与“身高在[160，175]”两事件互斥，故事件“身高不超过175 cm”的概率为0.2＋0.5＝0.7，故所求概率为1－0.7＝0.3. 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 28 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 29 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 30 5.(多选)在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是(　　) A.A∪B与C是互斥事件，也是对立事件 B.B∪C与D是互斥事件，也是对立事件 C.A∪C与B∪D是互斥事件，也是对立事件 D.A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件 解析：由于A，B，C，D彼此互斥，且A∪B∪C∪D是一个必然事件，故任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．故选CD. 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 31 二、填空题 6.在数学考试中，小强的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.1，在80～89分的概率是0.5，在70～79分的概率是0.2，则小强在数学考试中取得80分以上(含80分)成绩的概率为______. 解析：根据互斥事件的概率加法公式得P＝0.1＋0.5＝0.6. 答案 解析 0.6 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 32 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 33 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 34 三、解答题 9.一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n<m＋2的概率. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 35 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 36 10.经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下： (1)至多2人排队等候的概率是多少？ (2)至少3人排队等候的概率是多少？ 排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 37 解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F互斥. (1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)解法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44. 解法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44. 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 38 11.一个箱子内有9张票，其号码分别为1，2，…，8，9.从中任取2张，其号码至少有一个为奇数的概率是多少？ 解：解法一：9张票中有5张票号码是奇数，4张票号码是偶数．从9张票中任取2张，包含的样本点为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(1，8)，(1，9)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(2，9)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(3，7)，(3，8)，(3，9)，(4，5)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(7，8)，(7，9)，(8，9)，共36个. 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 39 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 40 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 41 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 42 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点　互斥事件的概率加法公式 1．在一个试验中，如果事件A和事件B是互斥事件，那么有 ___________________． 2．P(A∪eq \o(A,\s\up12(－)))＝P(A)＋P(eq \o(A,\s\up12(－)))，即P(eq \o(A,\s\up12(－)))＝_________． 3．一般地，如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那么有 ______________________________________________． (2)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是eq \f(1,2)，甲获胜的概率是eq \f(1,3)，则甲不输的概率为(　　) A.eq \f(5,6) B.eq \f(2,5) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,3) (3)一种计算机芯片可以正常使用的概率为0.994，则它不能正常使用的概率是(　　) A．0.994 B．0.006 C．0 D．1 解　(1)P(A)＝eq \f(1,1000)，P(B)＝eq \f(10,1000)＝eq \f(1,100)，P(C)＝eq \f(50,1000)＝eq \f(1,20).故事件A，B，C的概率分别为eq \f(1,1000)，eq \f(1,100)，eq \f(1,20). (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖． 设“1张奖券中奖”这个事件为M， 则M＝A∪B∪C. ∵A，B，C两两互斥， ∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq \f(1＋10＋50,1000)＝eq \f(61,1000). 故1张奖券的中奖概率为eq \f(61,1000). 题型二　互斥事件与对立事件的概率计算 (5,12)INCLUDEPICTURE"灰例2.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../杨楠/课件/539数学（必修第一册导学案（北师/灰例2.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "灰例2.TIF" \* MERGEFORMAT 　玻璃盒中装有红、黑、白、绿四种颜色的球12只，从中任取一球，其中“取得红球”“取得黑球”“取得白球”“取得绿球”的概率分别为，eq \f(1,3)，eq \f(1,6)，eq \f(1,12)，试问：从中任取一球，或红或黑或白的概率是多少？ 解　解法一：设从中任取一球，“取得红球”“取得黑球”“取得白球”分别记为事件A，B，C，则它们是两两互斥的，于是P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq \f(5,12)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,6)＝eq \f(11,12). 所以任取一球，或红或黑或白的概率是eq \f(11,12). 解法二：设从中任取一球，“取得红球”“取得黑球”“取得白球”“取得绿球”分别记为事件A，B，C，D，则它们彼此互斥，且事件A∪B∪C与事件D对立， 所以P(A∪B∪C)＝1－P(D)＝eq \f(11,12). 所以任取一球，或红或黑或白的概率是eq \f(11,12). eq \f(1,3) 解析：由题意知P(A)＋P(B)＝1且P(B)＝2P(A)，故P(A)＝eq \f(1,3). (1)记“3个矩形颜色都相同”为事件A，由图知，事件A包含的样本点有3个，故P(A)＝eq \f(3,27)＝eq \f(1,9). (2)记“3个矩形颜色都不相同”为事件B，由图知，事件B包含的样本点有6个， 故P(B)＝eq \f(6,27)＝eq \f(2,9). (3)记“3个矩形颜色不都相同”为事件C. 解法一：由图知，事件C包含的样本点有24个， 故P(C)＝eq \f(24,27)＝eq \f(8,9). 解法二：事件C与事件A互为对立事件， 故P(C)＝1－P(A)＝1－eq \f(1,9)＝eq \f(8,9). 一、选择题 1.某学校高一年级派甲、乙两个班参加学校组织的拔河比赛，甲、乙两个班取得冠军的概率分别为eq \f(1,3)和eq \f(1,4)，则该年级在拔河比赛中取得冠军的概率为(　　) A.eq \f(7,12) B.eq \f(1,12) C.eq \f(5,12) D.eq \f(1,3) 解析：甲班取得冠军和乙班取得冠军是两个互斥事件，该校高一年级取得冠军是这两个互斥事件的和事件，其概率为两个互斥事件的概率之和，即为eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)＝eq \f(7,12). 3.从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取1张，抽到红心的概率为eq \f(1,4)，则没有抽到红心的概率为(　　) A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C.eq \f(3,4) D．1 解析：抽到红心与没有抽到红心是对立事件，则没有抽到红心的概率为P＝1－eq \f(1,4)＝eq \f(3,4). 4.在掷一枚均匀骰子的试验中，各点出现的概率均为eq \f(1,6)，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，则在一次试验中，事件A＋eq \o(B,\s\up12(－))(eq \o(B,\s\up12(－))表示事件B的对立事件)发生的概率为(　　) A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D.eq \f(5,6) 解析：由题意可知eq \o(B,\s\up12(－))表示“出现大于等于5的点数”，事件A与事件eq \o(B,\s\up12(－))互斥，则P(A＋eq \o(B,\s\up12(－)))＝P(A)＋P(eq \o(B,\s\up12(－)))＝eq \f(2,6)＋eq \f(2,6)＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3). eq \f(28,145) 7.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，已知所取的2瓶全在保质期内的概率为eq \f(117,145)，则至少取到1瓶已过保质期的概率为_____. 解析：由对立事件的概率公式可得，所求概率为1－eq \f(117,145)＝eq \f(28,145). eq \f(1,2) eq \f(2,3) 8.甲射击一次，中靶的概率是P1，乙射击一次，中靶的概率是P2，已知eq \f(1,P1)，eq \f(1,P2)是方程x2－5x＋6＝0的根，且P1满足方程x2－x＋eq \f(1,4)＝0.则甲射击一次，不中靶的概率为____；乙射击一次，不中靶的概率为____. 解析：由P1满足方程x2－x＋eq \f(1,4)＝0知，Peq \o\al(2,1)－P1＋eq \f(1,4)＝0，解得P1＝eq \f(1,2)；因为eq \f(1,P1)，eq \f(1,P2)是方程x2－5x＋6＝0的根，所以eq \f(1,P1)·eq \f(1,P2)＝6，解得P2＝eq \f(1,3).因此甲射击一次，不中靶的概率为1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，乙射击一次，不中靶的概率为1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3). 解：先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个. 满足条件n≥m＋2的有(1，3)，(1，4)，(2，4)，共3个. 所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝eq \f(3,16)，故满足条件n<m＋2的事件的概率为1－P1＝1－eq \f(3,16)＝eq \f(13,16). “至少有一个为奇数”包含“一奇一偶”和“两张全为奇张”，“一奇一偶”共有20个样本点，“两张全为奇数”共有10个样本点，且这两个事件互斥．根据互斥事件的概率加法公式，得所求概率P＝eq \f(20,36)＋eq \f(10,36)＝eq \f(30,36)＝eq \f(5,6). 解法二：事件“号码至少有一个为奇数”的对立事件是“号码全部是偶数”，“号码全部是偶数”包含的样本点数为6，则“号码全部是偶数”的概率P1＝eq \f(6,36)＝eq \f(1,6)，故事件“号码至少有一个为奇数”的概率P＝1－P1＝1－eq \f(1,6)＝eq \f(5,6). 12.袋中有红球、黑球、黄球、绿球若干，从中任取一球，得到红球的概率为eq \f(1,3)，得到黑球或黄球的概率为eq \f(5,12)，得到黄球或绿球的概率为eq \f(5,12)，求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是多少. 解：记“得到红球”为事件A，“得到黑球”为事件B，“得到黄球”为事件C，“得到绿球”为事件D，事件A，B，C，D显然彼此互斥，则由题意可知，P(A)＝eq \f(1,3)，① P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝eq \f(5,12)，② P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝eq \f(5,12).③ 由事件A和事件B∪C∪D是对立事件可得 P(A)＝1－P(B∪C∪D)＝1－[P(B)＋P(C)＋P(D)]， 即P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).④ 联立②③④可得P(B)＝eq \f(1,4)，P(C)＝eq \f(1,6)，P(D)＝eq \f(1,4). 即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是eq \f(1,4)，eq \f(1,6)，eq \f(1,4). $$