2.1 生活中的变量关系-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（北师大版2019）

第二章　函数 §1　生活中的变量关系 (教师独具内容) 课程标准：1.了解生活中两个变量之间的依赖关系现象.2.了解生活中两个变量之间的函数关系现象.3.能辨析依赖关系与函数关系的区别和联系． 教学重点：了解生活中两个变量之间的函数关系、区分依赖关系与函数关系． 教学难点：依赖关系与函数关系的区别． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　依赖关系 在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系． 知识点二　函数关系 如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有________________的值和它对应，那么_____就是______的函数，其中_____是自变量，______是因变量． 唯一确定 y x x y 核心概念掌握 5 分段 核心概念掌握 6 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果两个变量之间具有依赖关系，那么这两个变量之间一定具有函数关系．(　　) (2)如果两个变量之间具有函数关系，那么这两个变量之间一定具有依赖关系．(　　) (3)任何两个集合之间都可以建立函数关系．(　　) √ × 答案 × 核心概念掌握 7 2．做一做 (1)下列说法正确的是(　　) A．家庭收入与其消费支出之间是函数关系 B．人的身高与年龄之间是函数关系 C．降雪量与交通事故的发生率之间是函数关系 D．坐电梯时，电梯距地面的高度与时间之间存在函数关系 (2)以下各组中的两个变量之间存在依赖关系的是________，存在函数关系的是________． ①商品的销售额与广告费；②玉米的亩产量与对应的施肥量；③正方形的面积与其边长；④学生的学习成绩与其家庭收入． ①②③ ③ 答案 核心概念掌握 8 核心素养形成 下列各组中两个变量之间是否存在依赖关系？若存在依赖关系，则其中哪些是函数关系？ ①圆的面积和它的半径； ②速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间； ③家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势； ④正三角形的面积和它的边长． 题型一　依赖关系与函数关系的辨析 核心素养形成 10 解 核心素养形成 11 【感悟提升】　判断两个变量有无依赖关系，主要看其中一个变量变化时，是否会导致另一个变量也随之变化．而判断两个具有依赖关系的变量是否具有函数关系，关键是看两个变量之间的关系是否具有确定性，即考察对于一个变量的每一个值，另一变量是否都有唯一确定的值与之对应． 核心素养形成 12 【跟踪训练】 1．下列各组中两个变量之间是否存在依赖关系？若存在依赖关系，则其中哪些是函数关系？ ①将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化，冷却时间与温度计示数； ②家庭的食品支出与电视价格； ③在高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间． 核心素养形成 13 解 解：①冷却时间与温度计示数具有依赖关系，根据函数定义知，二者之间是函数关系； ②家庭的食品支出与电视价格之间没有依赖关系； ③在高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间这两个变量存在依赖关系，且具有确定性，是函数关系． 综上可知，①③中的变量间具有依赖关系，且是函数关系；②中两个变量不存在依赖关系． 核心素养形成 14 题型二　变量关系的表示 (1)声音在空气中传播的速度简称音速，实验测得音速与气温的一些数据如下表： ①根据表内数据作图，由图可看出变量________随________的变化． ②用x表示y的关系式为_____________． ③气温为22 ℃时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响，那么此人与燃放的烟花所在地约相距________米． 答案 气温x/℃ 0 5 10 15 20 音速y(米/秒) 331 334 337 340 343 音速 气温 1721 核心素养形成 15 解析 核心素养形成 16 解 (2)已知玉米种子的价值为10元/千克，如果一次购买超过2千克，超过部分的种子打八折，写出付款金额y(元)与购买数量x(x>2)之间的函数关系式并画出函数图象． 核心素养形成 17 【感悟提升】　利用表格分析两个变量之间的关系时，首先要明确表格中的各个项目，确定好给出的变量，其次要弄清表格中给出的两个变量的各组数据间的对应关系，在此基础上判断它们是否具有依赖关系，是否具有函数关系．必要时，可将表格中的各组数据转化为图象，结合图象分析变量的特点及之间的关系． 核心素养形成 18 【跟踪训练】 2．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间有如下关系：(其中0≤x≤20) (1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)当提出概念所用的时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？ (3)根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强？ (4)从表格中可知，当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步降低？ 提出概念所用的时间(x) 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受能力(y) 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55 核心素养形成 19 解：(1)画出图如下： 反映了提出概念所用的时间x和对概念的接受能力y两个变量之间的关系，其中x是自变量，y是因变量． (2)由题中表格可知，当提出概念所用的时间为10分钟时，学生接受能力是59. (3)当提出概念所用的时间为13分钟时，学生的接受能力最强． (4)当x在2分钟至13分钟的范围内时，学生的接受能力逐步增强；当x在13分钟至20分钟的范围内时，学生的接受能力逐步降低． 解 核心素养形成 20 随堂水平达标 1．下列说法不正确的是(　　) A．圆的周长与其直径的比值是常量 B．任意四边形的内角和的度数是常量 C．发射升空的火箭高度与发射的时间之间是函数关系 D．光照时间与果树产量之间是函数关系 解析：圆的周长与其直径的比值是π，是常量，故A正确；任意四边形的内角和是360°，是常量，故B正确；发射升空的火箭高度与发射的时间之间是依赖关系，也是函数关系，因为对于任一给定的发射时间值，都有唯一确定的火箭高度与之对应，故C正确；光照时间与果树产量之间是依赖关系，但不是函数关系，所以D错误．故选D. 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 22 2．下列各量间不存在依赖关系的是(　　) A．扇形的圆心角与它的面积 B．某人的体重与其饮食情况 C．蔬菜的价格与供应量 D．某人的衣着价格与视力 解析：A，B，C项中的两个变量之间存在依赖关系，而D项中，人的衣着价格与视力不存在依赖关系． 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 23 3．一人骑着自行车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；图中与这件事正好吻合的图象是(其中x轴表示时间，y轴表示行驶的路程)(　　) 解析：此人骑着自行车匀速行驶时，图象为递增的直线，途中遇到交通堵塞时，这段时间行驶的路程无变化．故选A. 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 24 4．给出下列关系： ①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系； ②对称轴为y轴的某条抛物线上的点与该点坐标之间的关系； ③橘子的产量与气候之间的关系； ④某同学在6次考试中的数学成绩与他的考试号之间的关系． 其中不是函数关系的有________． 解析：①人的年龄与他(她)拥有的财富之间不是依赖关系，更不是函数关系；②是函数关系；③橘子的产量与气候之间是依赖关系，但不是函数关系；④某同学在6次考试中的数学成绩与他的考试号之间不是依赖关系，更不是函数关系． 答案 解析 ①③④ 随堂水平达标 1 2 3 4 5 25 5．口香糖的生产已有很长的历史，咀嚼口香糖有很多益处，但其残留物也会带来污染，为了研究口香糖的黏附力F与温度t的关系，一位同学通过实验，测定了不同温度t下除去糖分的口香糖与瓷砖地面的黏附力F，得到了如下表所示的一组数据： (1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)当温度是37 ℃时，口香糖的黏附力是多少？ (3)从表中的数据可以看出，随着温度的升高，口香糖的黏附力怎样变化？ 次序 项目　　 1 2 3 4 5 6 7 8 温度t(℃) 15 25 30 35 37 40 45 50 黏附力F(N) 2.0 3.1 3.3 3.6 4.6 4.0 2.5 1.4 随堂水平达标 1 2 3 4 5 26 解：(1)表中的数据反映了口香糖的黏附力F和温度t这两个变量之间的关系，温度t是自变量，口香糖的黏附力F是因变量． (2)当温度是37 ℃时，口香糖的黏附力是4.6 N. (3)从表中的数据可以看出，随着温度的升高，口香糖的黏附力先增大后减小． 解 随堂水平达标 1 2 3 4 5 27 课后课时精练 一、选择题 1．谚语“瑞雪兆丰年”说明(　　) A．下雪与来年的丰收具有依赖关系 B．下雪与来年的丰收具有函数关系 C．下雪是丰收的函数 D．丰收是下雪的函数 解析：下雪与来年的丰收具有依赖关系，但它们之间不是函数关系．故选A. 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 29 2．已知变量x，y满足y＝|x|，则下列说法错误的是(　　) A．x，y之间有依赖关系 B．x，y之间有函数关系 C．y是x的函数 D．x是y的函数 解析：由于在y＝|x|中，任意一个x值都有唯一确定的y值与其对应，所以y是x的函数，故A，B，C正确；因为当y取一个正值时，有两个x值与它对应，所以x不是y的函数，D错误．故选D. 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 30 运送距离x(km) 0<x≤500 500<x≤1000 1000<x≤1500 … 邮资y(元) 5.00 6.00 7.00 … 3．国内快递1000 g以内的包裹的邮资标准如表： 如果某人在北京要邮寄800 g的包裹到距北京1200 km的某地，那么他应付的邮资是(　　) A．5.00元 B．6.00元 C．7.00元 D．无法确定 解析：因为1000<1200<1500，所以他应付的邮资是7.00元．故选C. 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 31 4．星期天，小明从家出发，出去散步，图中描述了他 散步过程中离家的距离s(m)与散步所用的时间t(min)之间的函 数关系，根据图象，下面的描述符合小明散步情况的是(　　) A．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报，就 回家了 B．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了 C．从家出发，散了一会儿步(没有停留)，然后回家了 D．从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18 min后才回家 解析：水平线段表明小明离家的距离始终是300 m，然后小明离家距离达到500 m．结合各选项可知，只有B项的描述符合小明的散步情况． 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 32 5．(多选)如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象，由图象可知，下列说法中正确的是(　　) A．这天15时的温度最高 B．这天3时的温度最低 C．这天的最高温度与最低温度相差13 ℃ D．这天21时的温度是30 ℃ 解析：由图象可知，这天15时的温度最高，是36 ℃，这天3时的温度最低，是22 ℃，这天的最高温度与最低温度相差36 ℃－22 ℃＝14 ℃，这天21时的温度是30 ℃.故选ABD. 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 33 二、填空题 6．从市场中了解到，饰用K金的含金量如下表： 饰用K金的K数与含金量之间是________关系，K数越大，含金量________． 解析：通过表格可知，饰用K金的含金量随着K数的增大而增大，对于K数的每一个取值，都有唯一的含金量与之对应，所以含金量是K数的函数． 答案 解析 K数 24 K 22 K 21 K 18 K 14 K 含金量% 99以上 91.7 87.5 75 58.5 K数 12 K 10 K 9 K 8 K 6 K 含金量% 50 41.66 37.5 33.34 25 函数 越高 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 34 7．假定甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程 与时间的关系如图所示，那么可以知道： (1)甲、乙两人中先到达终点的是________； (2)乙在这次赛跑中的速度为________ m/s. 答案 解析 甲 8 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 35 8．圆柱的高为10 cm，当圆柱底面半径变化时，圆柱的体积也随之发生变化，在这个变化过程中，_________________是自变量，_____________是因变量．设圆柱底面半径为r(cm)，圆柱的体积V(cm3)与r(cm)的关系式为________，当底面半径从2 cm变化到5 cm时，圆柱的体积由________ cm3变化到________ cm3. 解析：因为圆柱底面半径变化时，圆柱的体积也随之发生变化，所以圆柱底面半径是自变量，圆柱的体积是因变量．由圆柱的高为10 cm，所以圆柱的体积V与r的关系式为V＝10πr2.当底面半径为2 cm时，V＝40π (cm3)；当底面半径为5 cm时，V＝250π(cm3)． 答案 解析 圆柱底面半径 圆柱的体积 V＝10πr2 40π 250π 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 36 三、解答题 9．近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题，下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1996～2018年的变化情况，试分析臭氧层空洞面积S和时间t的关系． 解：根据图中的曲线可知，时间t的变化范围是数集A＝{t|1996≤t≤2018}，臭氧层空洞面积S的变化范围是数集B＝{S|0≤S≤26}．并且，对于数集A中的每一个时刻t，按照图中曲线，在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应． 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 37 10．在矩形中，若矩形的面积作为自变量，其中一边的长为因变量，能形成函数吗？ 解：不能．因为面积一定时，其中一边的长不确定．比如矩形的面积为8，则其中一边长可能为2，也可能为4，也可能是其他值，即一个自变量的值对应的因变量的值不唯一，因此不是函数关系． 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 38 11．如图的曲线表示一人骑自行车离家的距离s(千米)与时间t(时)的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题： (1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ (2)何时开始第一次休息？休息多长时间？ (3)第一次休息时，离家多远？ (4)11：00至12：00他骑了多少千米？ (5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度 分别是多少？ (6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？ 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 39 解：(1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米． (2)10：30开始第一次休息，休息了半小时． (3)第一次休息时，离家17千米． (4)11：00至12：00他骑了13千米． (5)9：00～10：00的平均速度是10千米/时； 10：00～10：30的平均速度是14千米/时． (6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐． 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 40 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点三　分段函数 形如y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.4883x，0≤x≤240，,0.5383x－12，240<x≤400，,0.7883x－112，x>400，))这样的函数叫作______函数． 解　①中，圆的面积S与半径r之间存在S＝πr2的关系； ②中，在速度不变的情况下，行驶路程s与行驶时间t之间存在正比例关系； ③中，家庭收入与其消费支出之间存在依赖关系，但具有不确定性； ④中，正三角形的面积S与其边长a之间存在S＝eq \f(\r(3),4)a2的关系． 综上，①②③④中两个变量之间都存在依赖关系，其中①②④是函数关系． y＝x＋331 解析　①此图反映的是变量音速随气温的变化． ②由表中数据可知，气温每升高5 ℃，音速加快3米/秒，又过点(0，331)， 故所求函数关系式为y＝eq \f(3,5)x＋331. ③由②可知，气温为22 ℃时，音速y＝eq \f(3,5)×22＋331，故此人与燃放的烟花所在地约相距5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)×22＋331))＝66＋1655＝1721(米)． 解　由题意，得y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10x（0≤x≤2），,8x＋4（x>2），)) 如图： 解析：设甲、乙的速度分别为v1，v2，则由题意可得v1＝eq \f(100,12)＝eq \f(25,3)(m/s)，v2＝eq \f(100,12.5)＝8(m/s)，v1>v2.所以甲先到达终点，乙的速度为8 m/s.　 $$