1.4.3 一元二次不等式的应用-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（北师大版2019）

第一章　预备知识 §4　一元二次函数与 一元二次不等式 4.3　一元二次不等式的应用 (教师独具内容) 课程标准：能从实际情境中抽象出一元二次不等式，并通过解一元二次不等式解决实际问题． 教学重点：利用一元二次不等式解决实际问题． 教学难点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点　利用不等式解决实际问题的一般步骤 (1)选取合适的______表示题中的_______； (2)由题中给出的不等关系，列出_______________________； (3)______ 所列出的不等式(组)； (4)结合题目的_________确定答案． 字母 未知数 关于未知数的不等式(组) 求解 实际意义 核心概念掌握 5 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)用不等式解决实际问题的关键是求解列出的不等式．(　　) (2)用不等式解决实际问题最后要结合题目的实际意义确定答案．(　　) 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) 有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的纯农药液不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________． √ × 答案 核心概念掌握 6 核心素养形成 题型一　利用一元二次不等式判断车速 解 核心素养形成 8 【感悟提升】　一元二次不等式应用题常以一元二次函数为模型，解题时要审清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”． 核心素养形成 9 【跟踪训练】 1．汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.问：超速行驶应负主要责任的是谁？ 核心素养形成 10 解 核心素养形成 11 某物流公司购买了一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块，计划把图中矩形ABCD建设为仓库，其余地方为道路和停车场，要求 顶点C在地块对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，假设AB 的长度为x米． (1)求矩形ABCD的面积S关于x的函数关系式； (2)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，则AB的长度应在什么范围内？ 题型二　利用一元二次不等式解决面积问题 核心素养形成 12 解析 核心素养形成 13 核心素养形成 14 【跟踪训练】 2.要在长为800 m、宽为600 m的一块长方形地面上进行绿化，要求四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪如图，即阴影部分种草坪，要求草坪的面积不少于总面积的一半，求花卉带宽度的范围． 解 核心素养形成 15 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.设年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 题型三　利用一元二次不等式解决利润问题 核心素养形成 16 解 核心素养形成 17 【感悟提升】　解不等式应用题，一般可按四步进行：①审题，找出关键量和不等关系；②引进数学符号，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)；③解不等式(或求函数最值)；④回归到实际问题． 核心素养形成 18 解 【跟踪训练】 3．将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，为了使赚得的利润不少于8000元，售价应定在多少范围？这时进货又应在什么范围？ 解：如果按单价50元售出，每个利润是10元，卖出500个，只能赚得5000元， 为了使赚得的利润不少于8000元，只能涨价，但要适度，否则销售量就少得太多， 设该商品涨价x元，则该商品销售时的单价是(50＋x)元，每个商品的利润是[(50＋x)－40]元，销售量是(500－10x)个， 核心素养形成 19 由题意可列不等式为[(50＋x)－40](500－10x)≥8000，整理，得x2－40x＋300≤0， 解得10≤x≤30， 故该商品销售时的单价应定在[60，80]． 因为销售量和该商品涨价x元之间是一次函数关系，且当该商品销售时的单价为60元时，其销售量是500－10×10＝400(个)；当该商品销售时的单价为80元时，其销售量是500－10×30＝200(个)． 故这时进货的范围应在[200，400]． 解 核心素养形成 20 随堂水平达标 1．在一幅长60 cm，宽40 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如下图所示．如果要使整个挂图的面积不大于2816 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的不等式是(　　) A．(60＋2x)(40＋2x)≤2816 B．(60＋x)(40＋x)≥2816 C．(60＋2x)(40＋x)＞2816 D．(60＋x)(40＋2x)＜2816 解析：“不大于”就是“≤”，所以根据题意可列出不等式为(60＋2x)(40＋2x)≤2816. 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 22 2．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是_____台． 解析：由题意可得y－25x＝－0.1x2－5x＋3000≤0，即x2＋50x－30000≥0，解得x≥150. 答案 解析 150 随堂水平达标 1 2 3 4 5 23 3．某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值是________． 解析：由题意，得3860＋500＋[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]×2≥7000，化简，得(x%)2＋3·x%－0.64≥0，解得x%≥0.2或x%≤－3.2(舍去)，所以x≥20，即x的最小值为20. 答案 解析 20 随堂水平达标 1 2 3 4 5 24 4．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x件与单价p元/件之间的关系为p＝160－2x，生产x件这种风衣所需成本为c＝500＋30x元，假设所生产的这种风衣能够全部售出，问：该厂日产量多大时，可使该厂日获利不少于1300元？ 解：设该厂日产量为x件，日获利为y元， 则y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500， ∴－2x2＋130x－500≥1300.解得20≤x≤45. ∴当该厂日产量为[20，45]件时，可使该厂日获利不少于1300元． 解 随堂水平达标 1 2 3 4 5 25 解 随堂水平达标 1 2 3 4 5 26 课后课时精练 一、选择题 1．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，售价所在的范围应是(　　) A．(90，100) B．(90，110) C．(100，110) D．(80，100) 解析：设每个涨价x元，则y表示涨价后的利润与原利润之差，则y＝(10＋x)(400－20x)－10×400＝－20x2＋200x.要使商家利润有所增加，则必须使y＞0，即x2－10x＜0，得0＜x＜10.所以售价应在(90，100)范围之内． 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 28 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 29 二、填空题 3.某小学为了美化校园，准备在一块长32米，宽20米的长方形场地上修筑两条宽度相同的道路，余下部分作草坪．现在有一位学生设计了如图所示的方案，则道路的宽最大为_____米时，可使草坪的面积不小于540平方米． 解析：设道路的宽为x米．根据题意可列不等式(32－x)(20－x)≥540.解这个不等式，得x≥50(不符合题意，舍去)或x≤2.故道路的宽最大为2米时，可使草坪的面积不小于540平方米． 答案 解析 2 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 30 答案 解析 {x|60≤x≤100} 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 31 5．一个容积为1000 mL的容器里盛满浓度为80%的酒精．第一次倒出若干毫升后，用水加满；第二次又倒出同样毫升数的溶液，再用水加满．要使这时容器内的酒精的浓度不大于20%.则每次至少倒出________毫升溶液． 答案 解析 500 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 32 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 33 三、解答题 7．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售． (1)若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是________斤(用含x的代数式表示)； (2)销售这种水果要想每天至少盈利300元，张阿姨需将每斤的售价至多降低多少元？ 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 34 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 35 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 36 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 37 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 38 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 39 10．某地区上年度电价为0.8元/kW·h，年用电量为a kW·h.本年度计划将电价降价到0.55元/kW·h至0.75元/kW·h之间，而用户期望电价为0.4元/kW·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/kW·h. (1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式； (2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%? 注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价)． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 40 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 41 11．国家原计划以2400元/t的价格收购某种农产品m t．按规定，农民向国家纳税：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，国家制定积极的收购政策，根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的取值范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%. 解析： “税率降低x个百分点”，即调节后税率为(8－x)%， “收购量能增加2x个百分点”，则总收购量为m(1＋2x%) t， 总收购款为2400m(1＋2x%)元， “总收入不低于原计划的78%”，即税率调低后，税收总收入≥2400m×8%×78%. 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 42 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 43 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 44 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 45 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 46 　　　　　　　　　　　　　 R eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(8，\f(40,3))) (1,20)INCLUDEPICTURE"灰例1.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../杨楠/课件/539数学（必修第一册导学案（北师/灰例1.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../杨楠/课件/539数学（必修第一册导学案（北师/灰例1.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../杨楠/课件/539数学（必修第一册导学案（北师/灰例1.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../杨楠/课件/539数学（必修第一册导学案（北师/灰例1.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "灰例1.TIF" \* MERGEFORMAT 　某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车车速x km/h有如下关系：s＝x＋eq \f(1,180)x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？(精确到0.01 km/h) 解　设这辆汽车刹车前的车速为x km/h， 根据题意，得eq \f(1,20)x＋eq \f(1,180)x2＞39.5. 移项整理，得x2＋9x－7110＞0. 显然Δ＞0，x2＋9x－7110＝0有两个实数根，即x1≈－88.94，x2≈79.94. 然后，根据二次函数y＝x2＋9x－7110的图象，得 不等式的解集为{x|x＜－88.94，或x＞79.94}． 在这个实际问题中，x＞0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94 km/h. 解：由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2>12，即x2＋10x－1200>0，解得x>30或x<－40(不符合实际意义，舍去)，这表明甲车的车速超过30 km/h. 但根据题意刹车距离略超过12 m，由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h. 对于乙车，有0.05x＋0.005x2>10，即x2＋10x－2000>0，解得x>40或x<－50(不符合实际意义，舍去)， 这表明乙车的车速超过40 km/h，即超过规定限速，所以乙应负主要责任． 解　(1)根据题意，得△NDC与△NAM相似， 所以eq \f(DC,AM)＝eq \f(ND,NA)，即eq \f(x,30)＝eq \f(20－AD,20)， 解得AD＝20－eq \f(2,3)x. 所以矩形ABCD的面积S关于x的函数关系式为S＝20x－eq \f(2,3)x2(0<x<30)． (2)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米， 即20x－eq \f(2,3)x2≥144，化简得x2－30x＋216≤0， 解得12≤x≤18，所以AB长度的范围为[12，18]． 【感悟提升】　解答不等式应用题，首先要认真审题，弄清题意，建立合理的不等式模型，防止在解答本题时，建立不正确的不等式20x－eq \f(2,3)x2≤144，错误的原因是对“不少于”含义的错误理解． 解：设花卉带的宽度为x m， 则由题意，得(800－2x)(600－2x)≥eq \f(1,2)×800×600， 即4x2－1400×2x＋eq \f(1,2)×800×600≥0， x2－700x＋600×100≥0， ∴(x－600)(x－100)≥0. 解得0＜x≤100或x≥600.而x≥600不符合题意，舍去． 故所求花卉带宽度的范围为0＜x≤100. 解　(1)依题意，得y＝[1.2(1＋0.75x)－(1＋x)]×1000×(1＋0.6x)＝1000(－0.06x2＋0.02x＋0.2)． ∴所求关系式为y＝1000(－0.06x2＋0.02x＋0.2)＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1)． (2)依题意，得1000(－0.06x2＋0.02x＋0.2)＞(1.2－1)×1000， 化简，得3x2－x＜0，解得0＜x＜eq \f(1,3). ∴投入成本增加的比例x的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))). 5．某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车车速x km/h有如下关系：s＝－2x＋eq \f(1,18)x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于22.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？ 解：由题设条件应列式为－2x＋eq \f(1,18)x2≥22.5， 移项、整理、化简得不等式x2－36x－405≥0. 解得x≤－9或x≥45. 在这个实际问题中x>0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为45 km/h. 2．某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少eq \f(5,2)t万立方米．为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是(　　) A．[1，3] B．[3，5] C．[2，4] D．[4，6] 解析：设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2400eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－\f(5,2)t))×t%＝60(8t－t2)．令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5. 4．某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为eq \f(1,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－k＋\f(4500,x))) L，其中k为常数．若汽车以120 km/h的速度行驶，每小时的油耗为11.5 L，欲使每小时的油耗不超过9 L，则x的取值范围为_______________． 解析：因为汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L，所以eq \f(1,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(120－k＋\f(4500,120)))＝11.5，解得k＝100，故每小时的油耗为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4500,x)))－20)) L．依题意得eq \f(1,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4500,x)))－20≤9，解得45≤x≤100，因为60≤x≤120，所以60≤x≤100. 解析：设每次倒出溶液x毫升．根据题意，得1000×80%－1000×20%≤80%x＋eq \f(1000×80%－80%x,1000)x.整理，得x2－2000x＋750000≤0，解得500≤x≤1500.又因为x≤1000，所以500≤x≤1000.故每次至少倒出500毫升溶液． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，1)) 6．某商品定价上涨x成eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(一成为\f(1,10)))销量减少eq \f(x,2)成．若对这种商品根据营业额按比例纳税，且无论怎么涨价，从营业额里扣除税金后得到的金额总比涨价前的营业额要少，则税率的范围为________． 解析：设定价为a，税率为p，则对任意x， 都有aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(x,10))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,20)))(1－p)＜a. 由题意，a＞0，0＜p＜1， 所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(x,10))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,20)))(1－p)＜1. 整理，得(p－1)x2－10(p－1)x－200p＜0， 由Δ＝100(p－1)2＋800p(p－1)＝100(p－1)·(9p－1)＜0，得eq \f(1,9)＜p＜1.故税率p∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，1)). 解：(1)200x＋100 将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100＋eq \f(x,0.1)×20＝(100＋200x)斤． (2)根据题意可列不等式为(4－x－2)(200x＋100)≥300. 整理，得2x2－3x＋1≤0. 解不等式，得0.5≤x≤1. 又因为200x＋100≥260，解得x≥0.8. 所以0.8≤x≤1. 故为保证每天至少售出这种水果260斤，且每天至少盈利300元，张阿姨需将每斤的售价至多降低1元． 8．某县地处水乡，县政府原计划从今年起填湖围造一部分生产和生活用地，但根据前几年抗洪救灾得到的经验教训和环境保护、生态平衡的要求，准备重新研究修改计划，为了寻求合理的计划，需要研究以下问题： (1)若按原计划填湖造地，水面的减少必然导致蓄水能力的下降，为了保证防洪能力不会下降，除了填湖每平方千米b元费用外，还需要增加排水设备费用，且排水设备所需经费与当年所填湖造地面积x(单位：平方千米)的平方成正比例关系，其比例系数为a.又知每平方千米地面的年平均收益为c元(其中a，b，c均为常数)，若按原计划填湖造地，且使得今年的收益不小于支出，试求所填面积x的最大值； (2)如果以每年1%的速度减少填湖造地的新增面积，并为了保证湖的蓄洪能力和环保要求，填湖造地的总面积三年内不能超过现有水面面积的eq \f(1,4)，求今年填湖造地的面积最多只能占现有水面的百分之几？(精确到0.1%) 解：(1)要使收益不小于支出， 则cx－(ax2＋bx)≥0. 所以ax2＋(b－c)x≤0，x[ax－(c－b)]≤0. 当c－b≤0时，eq \f(c－b,a)≤x≤0，此时不符合实际情况； 当c－b>0时，0≤x≤eq \f(c－b,a)，此时所填面积的最大值为eq \f(c－b,a)平方千米． (2)设该县的现有水面面积为m平方千米，今年填湖造地的面积为n平方千米，则n＋(1－1%)n＋(1－1%)2n≤eq \f(m,4)，即n≤8.4%m，所以今年填湖造地的面积最多只能占现有水面的8.4%. 9．甲厂以x千克/小时的速度生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润100eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋1－\f(3,x)))元． (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围； (2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问甲厂应该选取何种生产效率？并求此最大利润． 解：(1)根据题意，得200eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋1－\f(3,x)))≥3000， 则5x－14－eq \f(3,x)≥0，eq \f(5x2－14x－3,x)≥0. 又1≤x≤10，∴5x2－14x－3≥0. 解得x≤－eq \f(1,5)(舍去)或x≥3. 又1≤x≤10，∴3≤x≤10. ∴x的取值范围是[3，10]． (2)设利润为y元，则y＝eq \f(900,x)·100eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋1－\f(3,x)))＝9×104×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,6)))\s\up12(2)＋\f(61,12))). 故x＝6时，ymax＝457500， 即甲厂应该以6千克/小时的生产速度生产，最大利润为457500元． 解：(1)设下调后的电价为x元/kW·h， 依题意知，用电量增至eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,x－0.4)＋a)) kW·h， 电力部门的收益为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,x－0.4)＋a))(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)． (2)依题意，有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0.2a,x－0.4)＋a))(x－0.3)≥[a×(0.8－0.3)](1＋20%)(0.55≤x≤0.75)． 整理，得x2－1.1x＋0.3≥0(0.55≤x≤0.75)． 解此不等式，得0.60≤x≤0.75. ∴当电价最低定为0.60元/kW·h时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%. 设税率调低后的“税收总收入”为y元， y＝2400m(1＋2x%)(8－x)%＝－eq \f(12,25)m(x2＋42x－400)(0＜x≤8)， 所以－eq \f(12,25)m(x2＋42x－400)≥2400m×8%×78%，即x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2. 又0＜x≤8，所以0＜x≤2.所以x的取值范围是(0，2]． 12．为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名(x∈N且45≤x≤75)，调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入调整为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(2x,25)))a万元． (1)要使这100－x名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数； (2)是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入． 解：(1)依题意可得调整后研发人员的年人均投入为(1＋4x%)a万元， 则(100－x)(1＋4x%)a≥100a(a>0)， 即3x－eq \f(x2,25)≥0，解得0≤x≤75， 又x∈N且45≤x≤75， 所以调整后的技术人员的人数为75. (2)由①技术人员的年人均投入始终不减少， 则有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(2x,25)))a≥a，解得m≥eq \f(2x,25)＋1， 由②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入， 则有(100－x)(1＋4x%)a≥xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(2x,25)))a，两边同除以ax，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(100,x)－1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(x,25)))≥m－eq \f(2x,25)，整理得m≤eq \f(100,x)＋eq \f(x,25)＋3， 故有eq \f(2x,25)＋1≤m≤eq \f(100,x)＋eq \f(x,25)＋3， 又eq \f(100,x)＋eq \f(x,25)＋3≥2eq \r(\f(100,x)·\f(x,25))＋3＝7，当且仅当eq \f(100,x)＝eq \f(x,25)，即x＝50∈[45，75]时取等号，所以m≤7， 又因为45≤x≤75，当x＝75时，eq \f(2x,25)＋1取得最大值7， 所以7≤m≤7，所以m＝7. 即存在这样的实数m满足条件． $$