24.4 解直角三角形 第1课时 解直角三角形及其简单应用（作业课件）-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年九年级数学上册(华东师大版)

数学 九年级上册 华师版 练闯考 24．4　解直角三角形 第24章　解直角三角形 第1课时　解直角三角形及其简单应用 B C 45° 20 45° C D 9．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM＝( ) A．3 B．4 C．5 D．6 C C 2 3 知识点1：解直角三角形 1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是( ) A．sin A＝ eq \f(\r(3),2) B．cos A＝ eq \f(\r(3),2) C．tan A＝ eq \f(1,2) D．tan B＝ eq \f(\r(3),3) 2．(陕西中考)如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tan C＝2，则边AB的长为( ) A．3 eq \r(2) B．3 eq \r(5) C．6 eq \r(2) D．3 eq \r(7) 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝20，c＝20 eq \r(2) ，则∠A＝_______，∠B＝______，b＝______． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，AC＝10，cos C＝ eq \f(3,5) ，那么CD＝____． eq \f(18,5) 5．如图，AD是△ABC的高，cos B＝ eq \f(1,2) ，sin C＝ eq \f(3,5) ，AC＝10，求AD及AB的长． 解：在Rt△ACD中，sin C＝ eq \f(AD,AC) ，∵sin C＝ eq \f(3,5) ，AC＝10，∴ eq \f(3,5) ＝ eq \f(AD,10) ，∴AD＝6.在Rt△ABD中，cos B＝ eq \f(1,2) ，∴∠B＝60°，∴∠BAD＝90°－∠B＝30°.∴cos ∠BAD＝cos 30°＝ eq \f(AD,AB) ＝ eq \f(\r(3),2) ，∴ eq \f(6,AB) ＝ eq \f(\r(3),2) ，∴AB＝4 eq \r(3) 6．(沈阳中考)如图，一条河的两岸互相平行，为了测量河的宽度PT(PT与河岸PQ垂直)，测量得P，Q两点间距离为m米，∠PQT＝α，则河宽PT的长为( ) A．m sin α B．m cos α C．m tan α D． eq \f(m,tan α) 7．(河南月考)如图①所示的是带支架功能的某品牌手机壳，将其侧面抽象为如图②所示的几何图形，已知AB＝5 cm，∠BAC＝60°，∠C＝45°，则AC的长( eq \r(3) ≈1.732，结果精确到0.1 cm)为( ) A．3.4 cm B．4.6 cm C．5.8 cm D．6.8 cm 8．(通辽中考)某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长度(结果保留小数点后一位， eq \r(3) ≈1.7). 解：如图，过点C，D分别作BE的平行线交BA的延长线于点M，N，在Rt△BDE中，∠BDE＝90°－45°＝45°，∴DE＝BE＝14 m，在Rt△ACM中，∠ACM＝60°，CM＝BE＝14 m，∴AM＝ eq \r(3) CM＝14 eq \r(3) (m)，∴AB＝BM－AM＝CE－AM＝20＋14－14 eq \r(3) ≈10.2(m)，答：AB的长度约为10.2 m 10．(随州中考)如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知sin α＝cos β＝ eq \f(3,5) ，则梯子顶端上升了( ) A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米 11．(盐城中考)如图，在△ABC中，BC＝ eq \r(6) ＋ eq \r(2) ，∠C＝45°，AB＝ eq \r(2) AC，则AC的长为______． 12．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝6，BC＝3，tan A＝ eq \f(4,3) ，则CD＝______． 13．如图，在△ABC中，BC＝12，tan A＝ eq \f(3,4) ，∠B＝30°，求AC和AB的长． 解：如图作CH⊥AB于H.在Rt△BCH中，∵BC＝12，∠B＝30°，∴CH＝ eq \f(1,2) BC＝6，BH＝ eq \r(BC2－CH2) ＝6 eq \r(3) ，在Rt△ACH中，tan A＝ eq \f(3,4) ＝ eq \f(CH,AH) ，∴AH＝8，∴AC＝ eq \r(AH2＋CH2) ＝10，∴AB＝AH＋BH＝8＋6 eq \r(3) 14．如图①，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c. (1)试证明： eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ＝ eq \f(c,sin C) ； (2)运用(1)中的结论解决问题： 如图②，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝60°，AB＝20 eq \r(3) ，求AC的长度； (3)如图③，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A，B，C三个测量点，在B点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18 km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A，B，C三点围成的三角形的面积． (本题参考数值：sin 15°≈0.3，sin 120°≈0.9， eq \r(2) ≈1.4，结果取整数) 解：(1)利用面积相等可知 eq \f(1,2) ab sin C＝ eq \f(1,2) ac sin B，∴b sin C＝c sin B，∴ eq \f(b,sin B) ＝ eq \f(c,sin C) ，同理得 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(c,sin C) ，∴ eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ＝ eq \f(c,sin C) (2)由题意得∠B＝15°，∠C＝60°，AB＝20 eq \r(3) ，∴ eq \f(AB,sin C) ＝ eq \f(AC,sin B) ，即 eq \f(20\r(3),sin 60°) ＝ eq \f(AC,sin 15°) ，∴ eq \f(20\r(3),\f(\r(3),2)) ＝ eq \f(AC,0.3) ，∴AC＝40×0.3＝12 (3)由题意得∠ABC＝90°－75°＝15°，∠ACB＝90°－45°＝45°，∠A＝180°－15°－45°＝120°.由 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ＝ eq \f(c,sin C) 得 eq \f(18,sin 120°) ＝ eq \f(AC,sin 15°) ，∴AC＝6，∴S△ABC＝ eq \f(1,2) AC·BC·sin ∠ACB＝ eq \f(1,2) ×6×18×0.7≈38 $$