18.1.1 平行四边形的性质教案2023-2024学年人教版数学八年级下册

18.1.1 平行四边形的性质（第1课时） 教材分析 本节的主要内容是平行四边形的定义和平行四边形对边相等、对角相等的性质.这一节是全章的重点之一，学好本节可为学好全章打下基础.为了有助于学生对平行四边形本质属性的理解，在讲平行四边形定义前，要把平行四边形的对边、对角让学生认清楚. 学情分析 平行四边形的定义在小学里学过，学生是不生疏的，但对于概念的本质属性的理解并不深刻；所以这里井不是复习巩固的问题，而是要加深理解，要防止学生把平行四边形概念当作已知，而不重视对它的本质属性的掌握， 教学设计（一） 教学目标 1．数学抽象目标：经历探索平行四边形的性质的过程，发展学生的抽象思维和形象思维. 2．逻辑推理目标：经历探索平行四边形的性质及运用性质解决简单的实际问题的过程，培养学生的推理和演绎能力. 3．数学运算目标：掌握平行四边形的对角相等，对边相等的性质，能用它们解决简单的实际问题. 4．直观想象目标：掌握两条平行线间的距离的含义． ·课前准备 教师：多媒体课件 学生：课前预习 一、设计问题，创设情境 现实世界中，四边形也在装点着我们的生活，宏伟的建筑物，铺满地面的地板，别具一格的窗棂，天空飞舞的风筝······许多方面都有四边形的身影，其中平行四边形与我们的生活关系更为密切，你能举出一些日常生活中的平行四边形的例子吗？你知道平行四边形具有怎样的性质吗？ 教师利用多媒体展示平行四边形的有关图片，学生欣赏.教师引入课题并板书. （设计意图：通过观看平行四边形的图片，让学生感受平行四边形与生活实际紧密联系；同时，把思维兴奋点集中到要研究的平行四边形上来，为下面学习新知识创造良好开端.） 二、学生探索，尝试解决 【问题组一】 1．观察图形，说出下列图形中边的位置有什么特征？你能给平行四边形一个准确的定义吗？ 得出平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.记作：□ABCD，读作：平行四边形ABCD. 教师点拨： 符号语言表述：（1）＊AB／／CD，AD／／BC， 四边形ABCD是平行四边形. 反之：（2）·四边形ABCD是平行四边形， :AB//CD,AD//BC. 2．你能指出图中的对边、邻边、对角、邻角吗？ 【问题组二】 1．猜一猜，□ABCD中，对边、对角的数量关系． 2．你有几种方法可以验证上述猜想呢（小组讨论，代表展示）？ 学生讨论回答：1．对边：AD与BC，AB与DC； 对角：／A与／C，/B/D. 进一步引导学生总结：四边形中不相邻的边，也就是没有公共顶点的边叫做对边；没有公共边的角，叫做对角. 2．猜想：平行四边形对边相等，对角相等． 上述猜想可以将问题转化为： 已知：□ABCD，求证：AB=CD,BC=DA;∠B=∠D,∠A=∠C. （在学生遇到困难时，教师引导学生构造全等三角形进行证明） 证明：连接BD. 四边形ABCD是平行四边形， ∴AD//BC,AB//CD. ∴∠ADB=∠CBD, ∠ABD=∠CDB. BD=DB- ∴ΔABD≅ΔCDB(ASA). ∴∠A=∠C,AD=CB,AB=CD. :∠ADB=∠CBD,,∠ABD=∠CDB, .∠ADB+∠CDB=∠CBD+∠ABD(等式性质）. 即∠ABC=∠ADC, .AD=CB,AB=CD,· ∠A=∠C,∠ABC=∠ADC. （设计意图：让学生经历平行四边形概念的探究过程，自然而然地形成平行四边形的概念，符合学生的认知规律，避免了以往概念教学的机械记忆，让学生了解到平行四边形的定义不仅是它的性质也是它的判定.） 三、信息交流，得出新知 师生共同总结并板书：平行四边形的性质1,2． 1．平行四边形的对边相等． 2．平行四边形的对角相等． 符号语言表述：四边形ABCD是平行四边形， :AB=CD,AD=BC;1 ∠B=∠D,∠A=∠C. 【例1】如图所示，在□ABCD中，DELAB,BF⊥CD，垂足分别为E，F.求证AE=CF. 引导学生分析：要证明线段AE= CF，它不是平行四边形的对边，无法直接用平行四边形的性质证明，考虑证明ΔADEΔCBF.由题意容易得到∠AED=，再根据平行四边形的性质可以得出∠A=∠C,AD=CB在此基础上，引导学生写出证明过程，并组织学生进行点评. 证明：四边形ABCD是平行四边形， - ∠A=∠C,AD=CB. 又 ·.ΔADE≅ΔCBF ∴AE=CF. 追问1：DE=BF吗？你有什么想法吗？ 学生思考，由ΔADE≅ΔCBF，容易得到DE=BF. 追问2：如图所示，直线a∥b,，A，D为直线a上任意两点，点A到直线b的距离AB的长度和点D到直线b的距离DC的长度相等吗？为什么？ 学生讨论，发现易证AB／／CD，由已知得AD∥BC,，所以四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD. 教师引导归纳：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.此时教师适时介绍两条平行线间的距离的概念及性质. 在上例中，我们将两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离（如AB和CD），叫做这两条平行线之间的距离.从证明的结论中我们还发现了AB=CD，也就是说：平行线间的距离处处相等. 【例2】如图，已知，点E，F在上，点G，H在l 上，试说明ΔEGO与ΔFHO面积相等. 分析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明. 证明：点E.F到<之间的距离都相等，设为h. : （设计意图：在证明中引入平行线间距离的概念，有利于学生对距离的理解和记忆，让学生了解到“平行线间的距离处处相等”是经过证明的，让学生经历命题通过证明形成定理的过程.） 四、跟踪练习，巩固新知 1．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D,∠1=∠2.求。证：四边形ABCD是平行四边形. 2．如图，在平行四边形ABCD中，，求其他各个内角的度数. 3．如图，小明用一根长36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边AB长为8m，其他三条边各长多少？ （设计意图：通过练习有利于锻炼学生的推理论证能力.） 【参考答案】 1.证明：:-∠2+∠D+ ·· ∠DAC=∠ACB, -⋅AD∥BC. ∠1=∠2, .⋅AB//CD, 四边形ABCD是平行四边形. 2．解：平行四边形ABCD， :..∠D 平行四边形的对角相等）. ·.AD∥BC : : 3．解：四边形ABCD是平行四边形， ABCD.AD-BC. ..AB-8m ∴CD-8m. ∵AB+BC+CD+AD-36m, ∴AD-BC-10n. 五、变式演练，深化提高 【例1】如图，在ΔABC中，AB=AC=5，点D，E，F分别在AC，BC，BA的延长线上，四边形ADEF为平行四边形，DE=2，则AD . 解析：四边形ADEF为平行四边形，DE=AF=2AD=EF,AD∥EF,∴∠ACB=∠FEB.∵AB=AC,:∠ACB=∠B,∴∠FEB=∠B,,∴EF=BF.∴AD=BF-.AB=5,∴BF=5+2=7,∴AD=7. 答案：7 【例2】如图，点G，E，F分别在平行四边形ABCD的边AD，DC和BC上，DG=DC,CE=CF,P是射线GC上一点，连接FP，EP.求证：:FP=EP 分析：根据平行四边形的性质推出∠DGC=∠GCB，根据等腰三角形性质求出∠DGC=∠DCG,推出∠DCG=＜GCB，根据“等角的补角相等”求出∠DCP=∠FCP，根据“SAS”证出ΔPCF≅ΔPCE即可得出结论. 证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴AD//BC,∴∠DGC=∠GCB. :DG=DC,∴∠DGC=∠DCG, ∴∠DCG=∠CCB. -∠ECP=∠FCP. 在ΔPCF应ΔPCE中， : · ΔPCF≅ΔPCE(SAS). ∴FP=EP. （设计意图：让学生领悟证明线段相等或角相等通常采用证明三角形全等的方法，将四边形问题转化为三角形问题来解决，突破难点.进而总结、提炼出将四边形问题转化为三角形问题的基本思路.） 六、交流分享，共同成长 1．平行四边形的定义既是平行四边形的性质，也是判断一个四边形是平行四边形的重要方法. 2．平行四边形对角相等，邻角互补，并且已知一个角或已知两个邻角的关系，可求出其他角，所以利用该性质可以解决和角度有关的问题. 3．根据两平行线间的距离可知，夹在两条平行线间的任何平行线段都相等，而后可推出两三角形同底等高，面积相等. （设计意图：浓缩知识要点，突出内容本质，渗透思想、方法，培养学生自我反馈、自主发展的意识.对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识构建，实现良性循环.） 七、反思小结，达标检测 本节课我们主要学习了平行四边形的定义，探索了平行四边形的两个特征，同时还学习了平行线间的距离，平行线的一些特征. 1．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等. 3．平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离. 4．平行线间的距离相等，两条平行线之间的任何两条平行线段都相等. 18.1.1 平行四边形的性质（第2课时） 教学设计 教学目标 1．数学抽象目标：通过小组交流合作探究学习，促进同学间的情感交流，体会学习的乐趣，在自我评价中学会自我肯定，增强学习的自信心. 2．逻辑推理目标：在观察、测量、猜测、推理、归纳的探索中，进一步培养学生的数学说理能力与习惯.（难点） 3．数学建模目标：掌握平行四边形对角线互相平分的性质.（重点） 4．数学运算目标：能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题.（难点） ·课前准备 教师：多媒体课件 学生：课前预习 一、设计问题，创设情境 一个饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形状的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是按下图所示这样分的. 当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己分到的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？ （设计意图：让学生思考，激发学生的学习兴趣，为今天研究对角线的性质作铺垫.） 二、学生探索，尝试解决 1．探究平行四边形对角线的性质． 问题1 平行四边形有几条对角线，试画一画，并找一找，图中有几个三角形，它们有怎样的关系？为什么？ 教师：引导学生连接重要辅助线：平行四边形的对角线，这也是解决四边形问题的重要思路和方法. （设计意图：开门见山，直接通过连接对角线，发现三角形全等，为接下来发现对角线互相平分作铺垫.） 问题2 与你的同伴合作完成操作： （1）在纸上画出一个平行四边形，并将它剪下． （2）再在一张纸上沿□ABCD的边缘画出一个与□ABCD 相同的□EFGH.找到它们的中心（两条对角线交点）固定. （3）将口ABCD绕点O旋转180度，它还和□EFGH重合吗？ （4）从中你能看出前面得到的□ABCD的边、角关系吗？ （5）你能发现OA与OC，OB与OD有怎样的数量关系？ （设计意图：通过问题2的实验操作，让学生经历实验一猜想一描述的过程，为接下来性质的推导作准备.） 问题3 连接平行四边形的两条对角线后，猜想你发现的结论，用文字语言描述. 猜想：平行四边形的对角线互相平分. 如图，在□ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O.OA与OC，OB与OD有什么关系？ 猜想：平行四边形的对角线互相平分. 问题4 你能证明这一猜想吗？试一试． 如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O. 求证：OA=OC,OB=OD. 证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD,AB//CD. :∠1=∠2,∠3=∠4. ΔCOD≅ΔAOB. :OA=OC,OB=OD. （设计意图：通过四个问题牵引，让学生再次了解解决几何问题，猜想验证的学习过程，感受几何知识的发生发展的过程.） 由此得到定理：平行四边形的对角线互相平分. 小结：我们证明了平行四边形具有以下性质： （1）平行四边形的对边相等； （2）平行四边形的对角相等； （3）平行四边形的对角线互相平分． （设计意图：通过小结，引导学生及时反思总结自己的学习过程，为接下来的学习打好知识储备.） 2．探究平行四边形的有关周长与面积． （1）如图，平行四边形的周长为C=2(AB+BC). （2）如图，平行四边形的面积为S=BC⋅AE=CD⋅AF. （3）如图，图中有几对全等的三角形？面积相等的三角形有哪些？试找一找. （设计意图：平行四边形的周长与面积是生活中常用的 两个量，示握这一知识为解决生活中的实际服务.） 三、典例分析，重难突破 （例题与变式，让学生独立完成，教师再根据学生答题情况适当点评.） 【例题】如图，在□ABCD中，AB-10，AD-8，ACL BC、求BC，CD，AC，OA的长，以及ABCD的面积. 解：ACLBC， : 四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC=8, ∵AB=10.BC=8，由勾股定理得： ∴OA=3. SABC=BC⋅AC=8×6=48. 变式：在上题中，直线EF过点O，且与AD，BC分别相交于点E，F. 求证：:OE=OF. 证明：O为平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点， ·.OA=OC,AD∥BC. ∴∠CAD=∠ACB,∠AEF=∠EFC. 在OEA和ΔOFC中， ∠CAD=∠ACB,∠AEF=∠EFC,OA=OC, :⋅ΔOEA≅ΔOFC(AAS). ∴OE=OF. 追问：图中还有哪些量相等？ （设计意图：例题与变式是基础训练题，通过练习巩固今天所学的基础知识.） 四、跟踪练习，巩固新知 1．若□ABCD一内角的平分线与边相交并把这条边分成5cm，7cm的两条线段，则口ABCD的周长是 14 cm. 2．如图，□ABCD中，AE⊥BD,2cm,AC+BD=14cm,，则ΔOBC的周长是7cm. 3．在平行四边形ABCD中，周长等于48， （1）已知一边长12，求各边的长； （2）已知AB=2BC,求各边的长； （3）已知对角线AC，BD交于点O，ΔAOD与ΔAOB的 周长的差是10，求各边的长． 【参考答案】 1.34或38 2.11 3.(1)AB-12,BC=12,CD=12,AD=12 (2)AB=16,BC=8,CD=16,AD=8 (3)AB=17,,BC=7,DC=17.AD=7 五、变式演练，深化提高 1．如图，平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，E，F 分别是AO，CO的中点，试判断线段BE，DF的关系并证明你的结论. 分析：根据平行四边形的性质“对角线互相平分”得出OA=OC,OB=OD.利用中点的意义得出OE=OF，从而利用ΔFOD≅ΔEOB可得出BE=DF,BE∥DF. 解：BE=DF,，BE／／DF.理由如下：“四边形ABCD是平行四边形，OA=OC,OB=OD.∵E,F分别是OA,OC的中点，：OE=OF,又∵∠FOD=∠EOB,∴ΔFOD≅ΔEOB (SAS),∴BE=DF,∠ODF=∠OBE,∴BE//DF. 2．在□ABCD中， （1）如图①，O为对角线BD，AC的交点求证： （2）如图②，设P为对角线BD上任一点（点P与点B，D 不重合），与相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由. 图① 图② 分析：（1）根据“平行四边形的对角线互相平分”可得AO=CO,再根据等底等高的三角形的面积相等解答；（2）根据平行四边形的性质可得点A，C到BD的距离相等，再根据等底等高的三角形的面积相等解答. （1）证明：在□ABCD中，AO=CO.设点B到AC的距离为h，则个，故 （2）解：.理由如下：在□ABCD中，点A，C 到BD的距离相等，设为h，则 .，故 六、反思小结，达标检测 1．本节学习了平行四边形的哪些性质？ 2．结合本节的学习，谈谈研究平行四边形性质的思想方法． 平行四边形的对边相等； 平行四边形的对角相等； 平行四边形的对角线互相平分. 研究平行四边形，常常把它转化为三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $$