18.2.1 矩形 教学设计 2023—2024学年人教版数学八年级下册

18.2.1 矩形（第1课时） 教材分析 本节课要研究的是矩形的概念、性质和判定，是在学生已经学过四边形、平行四边形的概念、性质和判定的基础上进行的，是这一章的重点内容之一.因为矩形是特殊的平行四边形，而后继续要学的正方形又是特殊的矩形，所以它既是前面所学知识的应用，又是后面学习正方形的基础，具有承上启下的作用. 另外，本节课的内容还渗透着转化、类比的数学思想，重在训练学生的逻辑思维能力和分析、归纳、总结的能力，因此，这节课无论在知识上，还是在对学生能力培养上都起着非常重要的作用. 学情分析 1．知识方面：学生已经掌握了四边形及平行四边形的概念、性质和判定等知识. 2．方法方面：学生已经积累了学习特殊四边形性质的方法，即按“角、边、对角线”的思路进行学习. 3．思维方面：学生的思维还依赖于具体、形象，因此逻辑思维能力需要加强. 4．对策：（1）注意问题情境的教学．（2）使用启发诱导的方法．（3）贯彻循序渐进的原则． 这就要求教师在课堂上让学生去想、去说、去做，去体会成功的喜悦，从而增强学生学好数学的信心，促进学生形成积极乐观的态度和正确的人生观. 教学设计 教学分析 教学目标 1．数学抽象目标：知道什么是矩形，理解矩形与平行四边形的关系. 2．逻辑推理目标：探索并证明矩形的性质，会用矩形的性质解决相关问题. 3．数学运算目标：会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题. 课前准备 教师：多媒体课件 学生：课前预习 教学过程设计 一、创设情境，导入新课 通过前面的学习我们知道当一个四边形满足两组对边分别平行时，就会成为平行四边形，也就是说平行四边形是特殊的四边形.当把平行四边形的边角特殊化时，就会成为特殊的平行四边形-矩形、菱形、正方形.从本节课开始我们研究这几类图形. 我们先从角入手，当一个平行四边形的一个角成为直角时，这个平行四边形就成为了矩形，本节课我们就来研究矩形. （设计意图：矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，为本节学习矩形的性质奠定基础.） 二、学生探索，得出新知 探索一、矩形的定义 1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门、活动衣架、篱笆等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？ 平行四边形的性质： （1）平行四边形的对边平行且相等． （2）平行四边形的对角相等、邻角互补． （3）平行四边形的对角线互相平分． 2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图） 3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出矩形定义. 矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫长方形）. （设计意图：通过模具演示，初步了解平行四边形向矩形转化的过程，揭示平行四边形与矩形的关系，形成定义.） 矩形是我们最常见的图形之一，例如桌面、教科书的封面等都有矩形形象.在此处让学生说出生活中常见的矩形. （设计意图：邀发学生学习兴趣，以及课堂参与的积极性.） 探索二、矩形的性质 在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状. 1．随着／a的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？ 2．当／a是直角时，平行四边形变成矩形，此时其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？ 先独立思考，再小组讨论、确定结论，组间交流 得到矩形的性质： 矩形性质1 矩形的四个角都是直角． 矩形性质2 矩形的对角线相等． 3．请同学们验证你们猜想得出的矩形的性质． 猜想1：矩形的四个角都是直角． 已知：如图，四边形ABCD是矩形. 求证： 证明：四边形ABCD是矩形， , 又矩形ABCD是平行四边形， :.∠A=∠C,∠B=∠D, : 即矩形的四个角都是直角. 结论：矩形的四个角都是直角. 符号语言表述：四边形ABCD是矩形， : 猜想2：矩形的对角线相等． 已知：如图，四边形ABCD是矩形，求证：:AC=BD. 证明：在矩形ABCD中， :· AB=DC,BC=CB, .ΔABC≅ΔDCB. :AC=BD，即矩形的对角线相等. 结论：矩形的对角线相等. 符号语言表述：四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD. 如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，由性质2得因此可以得到直角三角 形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. （设计意图：启发学生从边、角、对角线三个方面去探究矩形的性质，使学生掌握研究特殊四边形性质的思路，让学生经历知识的形成过程，感受知识间的联系，从而积累数学学习的经验.） 三、精讲例题，巩固新知 【例1】已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O,，求矩形对角线的长. 分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得ΔOAB是等边三角形，因此对角线的长度可求. 解：四边形ABCD是矩形， AC与BD相等且互相平分. :OA=OB., ..ΔOAB是等边三角形. OA=AB=4. 矩形的对角线长AC=BD=2OA=8. 【例2】已知：如图，在矩形ABCD中，AB长8cm，对角线比AD边长4cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长. 解：设AD=xcm，则对角线长(x+4)cm,，在RtΔABD 中，由勾股定理得，解得x=6.则AD=6cm,AB=10cm. ，解得AE=4.8cm. （设计意图：训练学生能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据.） 四、布置作业，分层提高 1．必做：教材第53页练习第1,2题． 2．选做：教材第61页习题18.2第9题． 板书设计 一、矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫长方形） 二、矩形的性质 1．矩形的四个角都相等 2．矩形的对角线相等 教学反思 通过多媒体演示知识的探究过程，让学生在体验、实践的过程中有更直观地认识，扩大认知结构，发展能力，更好地理解平行四边形与矩形之间的从属关系和内在联系，使课堂教学真正落实到学生的发展上. 18.2.1 矩形（第2课时） 教学设计 教学目标 1．数学抽象目标：在操作活动和观察、分析过程中发展学生的主动探究的意识和习惯以及初步具有把感性认识上升到理性认识的辩证唯物主义观点. 2．逻辑推理目标：使学生经历探究矩形判定的过程，体会探索研究问题的方法，使学生在数学活动中获取成功的体验，增强自信心.（难点） 3．数学运算目标：使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力.（重点） 课前准备 教师：多媒体课件 学生：课前预习 教学过程设计 一、设计问题，创设情境 复习平行四边形的性质、判定，矩形的性质 问题1 想一想：矩形有哪些性质？在这些性质中哪些是平行四边形所没有的？列表进行比较. 图形 平行四边形 矩形 边 角 对角线 对称性 问题2 由矩形的定义可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形，除此之外，你还有其他的判定方法吗？ （设计意图：按边、角、对角线的顺序说明，配合演示，使学生对矩形的性质观察得更直观、生动.从复习矩形的概念和性质入手，为进一步探究矩形的判定方法作铺垫.） 二、学生探索，尝试解决 【讨论探究一】定义判定法 问题一：如何判定一个四边形是矩形？依据定义能否判定？（定义是判定的基本方法） ［总结］方法一： 文字语言表述：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 符号语言表述：在口ABCD中， ：□ABCD是矩形. 教师特别强调指出：按这种方法判定需证明两点：（1）平行四边形；（2）有一个角是直角． 除了定义外还有其他的判定方法吗？ （下面逆向探索矩形的判定方法.） 【讨论探究二】三个角是直角的四边形是矩形 问题二：我们知道矩形的四个角都是直角，将“矩形的四个角都是直角”反过来，得到它的逆命题“四个角都是直角的四边形是矩形”成立吗？ （大家讨论：由一个学生说明其中道理.利用定义进行判定，看能否有条理地进行说理.） 有人说：“有三个角是直角的四边形就是矩形.”你认为这种说法对不对？为什么？ 让大家各抒己见，教师再归纳. 已知：在四边形ABCD中，∠A= A D 求证：四边形ABCD是矩形. 证明：. : ∴AD//BC. 同理，,AB//CD. 四边形ABCD是平行四边形. 四边形ABCD是矩形. ［结论］方法二： 文字语言表述：有三个角是直角的四边形是矩形. 符号语言表述： 四边形ABCD是矩形. 指出：按这种判定方法证明时，只要证明这个四边形有三个角是直角就可以了. 记得我们在小学画长方形（矩形）时，老师要求我们画三个角是直角的四边形就是这个道理吧！ 【讨论保究三】 问题三，从上节课的学习我们知道：矩形的两条对角线相等面且互相平分. 那么，矩形是对角线相等的平行四边形”.这个命题的逆命题是什么？它的逆命题是真命题吗？ 由同学们独立思考，得出逆命题：“对角线相等的平行四边形是矩形” 教师引导：同学们是否可以采用方法一或方法二来加以证明呢？ 师生共同探索证明的途径，抓住证明的要点，然后由一位同学演示、師逾视、帮助困难学生、指出证明方法的多样性. 已知：如图，在二ABCD中，AC BD. 求证：□ABCD是矩形. 证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD. 又∵AC=BD.BC=CB, :ΔABC≅ΔDCB. .∠ABC=∠DCB ∵AB//CD. : ：.二ABCD是矩形. ［结论］方法三： 文字语言表述：对角线相等的平行四边形是矩形. 符号语言表述：在□ABCD中，AC=BD。 .四边形ABCD是矩形. （设计意图：教师将课堂和时间最大限度地还给了学生，给学生创造出一个自由发展的舞台，在这个过程中，学生感受到的不仅是知识的结论，更多是在探索、展示过程中的经历和经历中所直含的思想方法.） 三、信息交流，得出新知 同学们交流，教师及时总结： 你能归纳矩形的几种判定方法吗？ 方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形、 方法2：对角线相等的平行四边形是矩形． （对角线相等且互相平分的四边形是矩形.） 方法3：有三个角是直角的四边形是矩形． 【例题】如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OB,，求／OBC的度数. 解：四边形ABCD是平行四边形， BD 又：'OA=OB, :AC=BD. ：.四边形ABCD是矩形. : : （设计意图：加深学生对矩形判定定理的理解及应用.） 四、跟踪练习，巩固新知 1．下列关于矩形的说法中正确的是（ ） A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相平分的四边形是矩形 C.矩形的对角线互相垂直且平分 D.矩形的对角线相等且互相平分 2．在四边形ABCD中，AB=DC,AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是 .（写出一种即可） 3．已知：如图，在ΔABC中，为中线，延长CD到点E，使得DE=CD.连接AE，BE，求证：四边形ACBE为矩形. 【参考答案】 1.D2.AC=BD或 3．证明：CD为AB中线， ∵⋅AD=DB. ∵DE=CD, 四边形ACBE为平行四边形. . 四边形ACBE为矩形. 五、变式演练，深化提高 【例题】如图，在ΔABC中，O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN／／BC.设MN交／BCA的平分线于点E，交／BCA的外角平分线于点F，连接AE，AF.那么当点O运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论. 分析：根据矩形的判定定理选择合适的判定方法，巧妙运用平行线和角平分线即可解答. 解：当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形. 证明：点O运动到AC中点，： ·MN//BC,∴∠OFC=∠FCD(两直线平行，内错角相等）.CF为LBCA的外角平分线，:-∠OCF=∠FCD,:∠OCF=∠OFC.∴OF=OC(ΔCOF为等腰三角形），同理可得OE=OC. ·OA=OC,OF=OC,OE=OC,∴OA=OC=OE-OF.即EF，AC相互平分，且AC＝EF...四边形AECF是矩形.（两对角线相互平分且相等的四边形是矩形.） （设计意图：拓宽学生思维，从而培养他们的综合解题能力.） 六、反思小结，达标检测 你能归纳出矩形的几种判定方法吗？ 方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 方法2：对角线相等的平行四边形是矩形． （对角线相等且互相平分的四边形是矩形.） 方法3：有三个角是直角的四边形是矩形． （设计意图：通过小结，梳理本节课所学内容，总结方法，体会思想，运用判定，解决问题.） 板书设计 18.2、1 矩形（第2课时） 判定方法： 方法1）有一个角是直角的平行四边形是矩形. 方法2：对角线相等的平行四边形是矩形. （对角线相等且互相平分的四边形是矩形）. 方法3：有三个角是直角的四边形是矩形、方法推导 1 2 3 例題 教学反思 在本节课的教学中，不仅要让学生掌握矩形判定的几种方法，更要注重学生在学习的过程中是否真正掌握了探究问题的基本思路和方法.教师在例题练习的教学中，若能适当地引导学生多做一些变式练习，类比、迁移地思考、做题，就能进一步拓展学生的思维，提高课堂教学的效率. 学科网（北京）股份有限公司 $$