5.1.1 第3课时 分层抽样-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册创新导学案word（人教B版2019）

数学　必修 第二册 RJB 第3课时　分层抽样 (教师独具内容) 课程标准：1.通过实例，了解分层抽样的特点和适用范围，了解分层抽样的必要性，掌握各层样本容量比例分配的方法.2.在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题． 教学重点：1.分层抽样的概念.2.分层抽样的步骤． 教学难点：选择恰当的抽样方法解决现实生活中的抽样问题． 核心素养：1.通过学习分层抽样的概念和分层抽样的步骤培养数学抽象素养.2.通过选择恰当的抽样方法解决现实生活中的抽样问题培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点　　分层抽样的概念 一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有明显差别的、互不重叠的几部分时，每一部分可称为层，在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样的方法称为分层随机抽样(简称为分层抽样)． [说明]　分层抽样的公平性 如果总体中个体的个数是N，样本容量为n，第i层中个体数为Ni(i＝1，2，3，…，k)，第i层中抽取的个体数为ni，那么ni＝Ni·，每一个个体被抽取的可能性为＝·Ni·＝，与层数无关，所以对所有个体来说，被抽取的可能性是一样的，所以分层抽样是公平的． 1．(分层抽样的概念)为调查某班学生的平均身高，从50名学生中抽取5名，因为男生的身高和女生的身高有显著不同，所以获取样本时宜采用________抽样． 答案：分层 2．(分层抽样的应用)某学校有教师132人，职工33人，学生1485人．为了解食堂情况，拟采用分层抽样的方法从以上人员中抽取50人进行抽查，则在学生中应抽取________人． 答案：45 题型一　分层抽样的概念　 　(1)从某地区中小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查．经了解，该地区小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男、女生的肺活量差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是(　　) A．抽签法 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．随机数表法 [解析]　小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男、女生肺活量差异不大，故应按学段进行分层抽样． [答案]　C (2)某校有1700名高一学生，1400名高二学生，1100名高三学生．高一数学兴趣小组欲采用分层抽样的方法在全校抽取42名学生进行某项调查，则下列说法正确的是(　　) A．高一学生被抽到的可能性最大 B．高三学生被抽到的可能性最大 C．高三学生被抽到的可能性最小 D．每名学生被抽到的可能性相等 [解析]　分层抽样中，每个个体被抽到的可能性相等，所以每名学生被抽到的可能性相等．故选D. [答案]　D 【感悟提升】 1．使用分层抽样的前提 分层抽样的适用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小． 2．使用分层抽样应遵循的原则 (1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的每个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则． (2)分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比． 【跟踪训练】 1．(1)下列各项中属于分层抽样的特点的是(　　) A．从总体中逐个抽取 B．将总体分成几层，分层进行抽取 C．将总体分成几部分，在各部分中抽取相同数量的个体 D．将总体随意分成几部分，然后进行随机抽取 答案：B 解析：A属于简单随机抽样的特点；B属于分层抽样的特点；C，D均不属于分层抽样的特点．故选B. (2)分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能抽样，必须(　　) A．每层等可能抽样 B．每层可以不等可能抽样 C．所有层按同一抽样比等可能抽样 D．所有层抽取个体数量相同 答案：C 解析：每个个体等可能地被抽取是简单随机抽样和分层抽样的共同特征，为了保证这一点，分层抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取． 题型二　分层抽样的应用　 　一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人，为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，已知职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？ [解]　用分层抽样来抽取样本，步骤如下： ①分层．按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工． ②确定每层抽取个体的数目．抽样比为＝，则在不到35岁的职工中抽取125×＝25(人)； 在35岁至49岁的职工中抽取280×＝56(人)； 在50岁及50岁以上的职工中抽取95×＝19(人)． ③在各层分别按随机数表法抽取样本． ④汇总每层抽样，组成样本． 【感悟提升】分层抽样的操作步骤 (1)将总体按一定标准进行分层； (2)计算抽样比，即样本容量与总体的个体数的比； (3)按各层的个体数与抽样比的乘积确定各层应抽取的样本容量； (4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样)； (5)最后将每一层抽取的样本汇总合成样本． 【跟踪训练】 2．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为(　　) A．101 B．808 C．1212 D．2012 答案：B 解析：依题意可知，甲社区驾驶员的人数占总人数的比例为＝，因此有＝，解得N＝808. 题型三　两种抽样方法的综合应用　 　为了考察某校高三年级学生的视力情况，抽查了这个学校高三年级部分学生的视力水平．为了全面地反映实际情况，采取以下两种方式进行(已知该校高三年级共有14个教学班，并且每个班内的学生都已经按随机方式编好了学号，假定该校每班人数都相同)： ①从全年级14个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取14人，考察他们的视力水平； ②把该校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中抽取100名学生进行考察(已知若按成绩分，该校高三学生中优秀学生有105名，良好学生有420名，普通学生有175名)． 根据上面的叙述，试回答下列问题： (1)上面两种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？ (2)上面两种抽取方式各自采用何种抽取样本的方法？ (3)试分别写出上面两种抽取方法各自抽取样本的步骤． [解]　(1)这两种抽取方式中，其总体都是指该校高三年级全体学生的视力水平，个体都是指高三年级每个学生的视力水平．其中第一种抽取方式中样本为所抽取的14名学生的视力水平，样本容量为14；第二种抽取方式中样本为所抽取的100名学生的视力水平，样本容量为100. (2)上面两种抽取方式中，第一种方式采用的方法是简单随机抽样法；第二种方式采用的方法是分层抽样法和简单随机抽样法． (3)第一种方式抽样的步骤如下： 第一步：在这14个班中用抽签法任意抽取一个班； 第二步：从这个班中按学号用随机数表法或抽签法抽取14名学生，考察其视力水平． 第二种方式抽样的步骤如下： 第一步：分层，因为若按成绩分，其中优秀学生共105名，良好学生共420名，普通学生共175名，所以在抽取样本中，应该把全体学生分成三个层次； 第二步：确定各个层次抽取的人数，因为样本容量与总体数的比为100∶700＝1∶7，所以在每层抽取的个体数依次为，，，即15，60，25； 第三步：按层分别抽取，在优秀学生中用简单随机抽样法抽取15人，在良好学生中用简单随机抽样法抽取60人，在普通学生中用简单随机抽样法抽取25人； 第四步：将所抽取的个体组合在一起构成样本． 【感悟提升】两种抽样方法的辨析 类别 共同特征 各自特点 相互联系 适用范围 简单随机抽样 (1)总体个数有限； (2)抽样过程中每个个体被抽取的机会均等 从总体中逐个抽取 简单随机抽样是分层抽样的基础，分层抽样最终要由简单随机抽样来实现 总体中的个体数较少，且无明显差异　 分层 抽样 将总体分成互不交叉的层，按比例分层抽取 总体由差异明显的几部分组成　　　 【跟踪训练】 3．下列问题中，宜采用的抽样方法依次为： (1)________；(2)________；(3)________． (1)从10台电冰箱中抽取3台进行质量检查； (2)某社区有1200户家庭，其中高收入家庭420户，中等收入家庭470户，低收入家庭310户，为了调查该社区购买力的某项指标，要从所有家庭中抽取一个容量为120的样本； (3)某学校有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本． 答案：(1)抽签法　(2)分层抽样　(3)分层抽样 解析：(1)总体容量较小，宜采用抽签法． (2)社区中家庭收入层次明显，宜采用分层抽样． (3)由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异较大，故宜采用分层抽样． 1．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康状况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是(　　) A．简单随机抽样 B．抽签法 C．随机数表法 D．分层抽样 答案：D 解析：从男生500人中抽取25人，从女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此用的是分层抽样． 2．在120个零件中，一级品有24个，二级品有36个，三级品有60个，用分层抽样的方法从中抽取容量为20的样本，则每个个体被抽取的可能性是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：在分层抽样中，每个个体被抽取的可能性都相等，且为，所以每个个体被抽取的可能性是＝. 3．(多选)甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样的方法抽取一个容量为90的样本，则下列说法正确的是(　　) A．甲校抽取30人 B．乙校抽取44人 C．丙校抽取16人 D．乙校和丙校共抽取60人 答案：AD 解析：抽样比为＝，各层按抽样比分别抽取，甲校抽取3600×＝30(人)，乙校抽取5400×＝45(人)，丙校抽取1800×＝15(人)，乙校和丙校共抽取45＋15＝60(人)．故选AD. 4．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生． 答案：60 解析：根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为×300＝60. 5．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件、80件、60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝________． 答案：13 解析：∵＝，∴n＝13. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★ 对点 分层抽样求各层的样本容量 分层抽样求总体的样本容量 分层抽样求某两层的样本容量之和 分层抽样求某层的样本容量 分层抽样求某层的样本容量 分层抽样求某层的总体容量及某两层的总体容量之和 分层抽样的概念及应用 分层抽样求某层的总体容量 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★★ 对点 分层抽样求各层的样本容量 分层抽样求某层的样本容量 分层抽样求各层的样本容量 分层抽样、简单随机抽样的综合应用 抽样方法的选取 分层抽样求某层的样本容量 分层抽样求某两层的样本容量及总体容量 设计抽样方案 一、单选题 1．将A，B，C三种性质的个体按1∶2∶4的比例进行分层抽样调查，若抽取的样本容量为21，则A，B，C三种性质的个体分别抽取(　　) A．3，6，12 B．3，12，6 C．12，6，3 D．12，3，6 答案：A 解析：由分层抽样的概念，知A，B，C三种性质的个体应分别抽取21×＝3，21×＝6，21×＝12. 2．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5，现用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件，那么此样本的容量n等于(　　) A．60 B．70 C．80 D．90 答案：C 解析：由题意知，总体中A种型号产品所占的比例是＝，因为样本中A种型号产品有16件，所以n＝16，解得n＝80.故选C. 3．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是(　　) A．7 B．6 C．5 D．4 答案：B 解析：分层抽样中，分层抽取时都按相同的抽样比来抽取，本题中抽样比为＝，因此植物油类食品应抽取10×＝2(种)，果蔬类食品应抽取20×＝4(种)，因此从植物油类和果蔬类食品中抽取的种数之和为2＋4＝6. 4．某校老年、中年和青年教师的人数分别为900，1800和1600，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为(　　) A．90 B．100 C．180 D．300 答案：C 解析：设样本中的老年教师人数为x，则＝，解得x＝180. 5．某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从8～10岁、11～12岁、13～14岁、15～16岁四个年龄段回收的问卷依次为120份、180份、240份、x份．因调查需要，从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，则在15～16岁学生问卷中抽取的份数为(　　) A．60 B．80 C．120 D．180 答案：C 解析：由题意可得＝，解得x＝360，故在15～16岁学生问卷中抽取的份数为360×＝120.故选C. 二、多选题 6．某工厂的一、二、三车间在12月份共生产了3600件产品，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且满足a＋c＝2b，则下列说法正确的是(　　) A．一车间在12月份生产的产品数为800 B．二车间在12月份生产的产品数为1200 C．三车间在12月份生产的产品数为1600 D．一、三车间在12月份共生产的产品数为2400 答案：BD 解析：因为2b＝a＋c，所以二车间抽取的产品数占抽取产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，二车间在12月份生产的产品数占总数的三分之一，即为3600×＝1200，一、三车间在12月份共生产的产品数为3600×＝2400.故选BD. 7．某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人．甲就读于高一，乙就读于高二，学校计划从这两个年级中抽取235人进行视力调查，下列说法中正确的是(　　) A．应该采用分层抽样法抽取 B．高一、高二年级应分别抽取100人和135人 C．乙被抽到的可能性比甲大 D．该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力 答案：ABD 解析：易知应采用分层抽样法抽取，故A正确；由题意可得，高一年级的人数为20×50＝1000，高二年级的人数为30×45＝1350，则高一年级应抽取的人数为235×＝100，高二年级应抽取的人数为235－100＝135，所以高一、高二年级应分别抽取100人和135人，故B正确；乙被抽取的可能性与甲一样大，故C错误；该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力，故D正确．故选ABD. 三、填空题 8．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________． 答案：1800 解析：设乙设备生产的产品总数为x，则甲设备生产的产品总数为4800－x.由题意，得＝，解得x＝1800. 9．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆．为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，则这三种型号的轿车依次应抽取的辆数为________． 答案：6，30，10 解析：设三种型号的轿车依次抽取x辆、y辆、z辆，则有解得 10．(2024·湖南郴州第一中学高一5月联考)某连锁超市在A，B，C三地的数量之比为2∶m∶4，现采用分层抽样的方法抽取18家该连锁超市进行调研，已知A地被抽取了4家，则B地被抽取了________家． 答案：6 解析：由题意，得＝，解得m＝3，则B地被抽取了18×＝6家． 四、解答题 11．某网站欲调查网民对当前网页的满意程度，在登录的所有网民中，收回有效帖子共50000份，其中持各种态度的份数如下表所示： 很满意 满意 一般 不满意 10800 12400 15600 11200 为了了解网民的具体想法和意见，以便决定如何更改才能使网页更完美，打算从中抽选500份，为使样本更具有代表性，每类中各应抽选出多少份？ 解：因为＝，所以＝108，＝124，＝156，＝112. 故应从持四种态度的帖子中分别抽取108份、124份、156份、112份进行调查． 12．某中学举行了为期3天的新世纪体育运动会，同时进行全校精神文明擂台赛．为了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校500名教职员工、3000名初中生、4000名高中生中作问卷调查，如果要在所有答卷中抽出120份用于评估． (1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论？ (2)要从3000份初中生的答卷中抽取一个容量为48的样本，如果采用简单随机抽样，应如何操作？ 解：(1)由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不会相同，所以应当采取分层抽样的方法进行抽样． 因为样本容量为120，总体容量为500＋3000＋4000＝7500，所以抽样比为＝， 所以有500×＝8，3000×＝48，4000×＝64，所以在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8，48，64. 分层抽样的步骤： ①分层：分为教职员工、初中生、高中生，共三层； ②确定每层抽取个体的个数：在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8，48，64； ③各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本； ④综合每层抽样，组成样本． 这样便完成了整个抽样过程，就能得到比较客观的评价结论． (2)简单随机抽样常用的有两种方法：抽签法和随机数表法．如果用抽签法，要作3000个号签，费时费力，因此采用随机数表法抽取样本，步骤是 ①编号：将3000份答卷都编上号码：0001，0002，0003，…，3000； ②在随机数表上随机选取一个起始位置； ③规定读数方向：向右连续取数字，以4个数字为一组，如果读取的4位数字不在0001～3000范围内，则去掉，如果遇到相同号码则只取一个，这样一直到取满48个号码为止． 13．甲、乙、丙、丁四所学校分别有150，120，180，150名高二学生参加某次数学调研测试．为了了解学生的能力水平，需从这600名学生中抽取一个容量为100的样本作卷面分析，记这项调查为①；在丙校有30名数学培优生，需要从中抽取5名学生进行失分分析，记这项调查为②.完成这两项调查宜采用的抽样方法依次是(　　) A．分层抽样法、分层抽样法 B．分层抽样法、抽签法 C．抽签法、分层抽样法 D．随机数表法、分层抽样法 答案：B 解析：对于①，四所学校，学生有差异，故使用分层抽样法；对于②，在同一所学校，且人数较少，故使用抽签法．故选B. 14．某学校在校学生有2000人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比赛，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a，b，c，且a∶b∶c＝2∶5∶3，全校参加登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为200的样本进行调查，则应从高三年级参加跑步的学生中抽取的人数为________． 答案：45 解析：由题意，参加跑步的总人数为2000×＝1500，样本中抽取的跑步的人数为×1500＝150，又高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a，b，c，且a∶b∶c＝2∶5∶3，所以样本中抽取的高三年级参加跑步的人数为150×＝45. 15．某企业五月中旬生产A，B，C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格： 由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，请你根据以上信息补全表格中的数据． 解：根据题意，可设A产品的数量为m，样本容量为n，则C产品的数量为1700－m，样本容量为n－10. 根据分层抽样的特征可得 ＝＝， 解得m＝900，n＝90， 所以1700－900＝800，90－10＝80. 补全表格如下： 产品类型 A B C 产品数量/件 900 1300 800 样本容量 90 130 80 16.某地区中小学生人数的分布情况如下表所示(单位：人)． 学段 城市 县镇 农村 小学 357000 221600 258100 初中 226200 134200 11290 高中 112000 43300 6300 请根据上述数据，设计一个样本容量为总体容量千分之一的抽样方案． 解：第一步：确定城市、县镇、农村应抽取的个体数． 城市、县镇、农村的学生数分别为 357000＋226200＋112000＝695200， 221600＋134200＋43300＝399100， 258100＋11290＋6300＝275690. 因为样本容量与总体容量的比为1∶1000，所以样本中包含的各部分个体数分别为695200×≈695，399100×≈399，275690×≈276. 第二步：将城市应抽取的个体数按比例分配到小学、初中、高中． 因为城市小学、初中、高中的人数比为357000∶226200∶112000＝1785∶1131∶560，1785＋1131＋560＝3476，所以城市小学、初中、高中被抽取的人数分别为695×≈357，695×≈226，695×≈112. 第三步：将县镇应抽取的个体数按比例分配到小学、初中、高中． 因为县镇小学、初中、高中的人数比为221600∶134200∶43300＝2216∶1342∶433，2216＋1342＋433＝3991，所以县镇小学、初中、高中被抽取的人数分别为399×≈222，399×≈134，399×≈43. 第四步：使用同样的方法将农村应抽取的个体数按比例分配到小学、初中、高中．经计算，农村小学、初中、高中被抽取的人数分别为259，11，6. 第五步：在各层中应抽取的个体数如下表所示： 学段 城市 县镇 农村 小学 357 222 259 初中 226 134 11 高中 112 43 6 按照上表中数目在各层中用合适的方法抽取个体，将抽取的个体合在一起形成所需的一个样本． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$