4.4 幂函数-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册创新导学案word（人教B版2019）

数学　必修 第二册 RJB (教师独具内容) 课程标准：通过具体实例，结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数． 教学重点：1.幂函数的概念.2.幂函数的图象与性质． 教学难点：应用幂函数的性质解决问题． 核心素养：1.通过学习幂函数的概念、幂函数的图象和性质培养数学抽象素养.2.通过应用幂函数的性质解决问题培养逻辑推理素养． 知识点一　幂函数的概念 一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数． [提醒]　幂函数与指数函数的区别 (1)指数函数：y＝ax自变量(全体实数) (2)幂函数 y＝xα自变量(与α的取值有关) 知识点二　一些常用幂函数的图象 同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象如图所示． 知识点三　幂函数的共同特征 (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点(1，1)． (2)如果α>0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． (3)如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方且无限地逼近y轴；当x无限增大时，图象在x轴上方且无限地逼近x轴． 1．(幂函数图象的公共点)幂函数y＝xα(α是常数)的图象一定经过点(　　) A．(0，0) B．(1，1) C．(－1，1) D．(1，－1) 答案：B 2．(幂函数的图象)已知幂函数的图象经过点P(16，4)，则该幂函数的大致图象是(　　) 答案：C 3．(幂函数的概念)若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n＝________． 答案：3 4．(幂函数的性质)若y＝axa2－是幂函数，则该函数的定义域是________，值域是________，是________(填“奇”或“偶”)函数，单调递减区间是______________，单调递增区间是______________． 答案：R　[0，＋∞)　偶　(－∞，0]　[0，＋∞) 题型一　幂函数的概念　 　已知幂函数y＝(m2－m－1)·xm2－2m－3，求此幂函数的解析式，并指出其定义域． [解]　∵y＝(m2－m－1)x m2－2m－3为幂函数， ∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. 当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则y＝x－3，且有x≠0； 当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0，且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y＝x－3或y＝x0，它们的定义域都是{x|x≠0}． 【感悟提升】判断一个函数是否为幂函数的方法 (1)看形式：看该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式． (2)明特征：幂函数需满足以下三个特征：①指数为常数；②底数为自变量；③系数为1. 【跟踪训练】 1．(1)在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 解析：因为y＝＝x－2，所以是幂函数；y＝2x2由于系数为2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0，1)，所以常函数y＝1不是幂函数．故选B. (2)已知y＝(m2＋2m－2)x＋2n－3是幂函数，求m，n的值． 解：由题意得解得 题型二　幂函数的图象及应用　 　　幂函数y＝x2，y＝x－1，y＝x，y＝x－在第一象限内的图象依次是图中的曲线(　　) A．C2，C1，C3，C4 B．C4，C1，C3，C2 C．C3，C2，C1，C4 D．C1，C4，C2，C3 [解析]　由于在第一象限内直线x＝1的右侧，幂函数y＝xα的图象从上到下相应的指数α由大变小，故幂函数y＝x2在第一象限内的图象为C1，y＝x－1在第一象限内的图象为C4，y＝x在第一象限内的图象为C2，y＝x－在第一象限内的图象为C3. [答案]　D 【感悟提升】解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断． 【跟踪训练】 2.(1)如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　) A．－1<n<0<m<1 B．n<－1，0<m<1 C．－1<n<0，m>1 D．n<－1，m>1 答案：B 解析：在(0，1)内取x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0<m<1，n<－1. (2)已知函数y＝x. ①求函数的定义域； ②判断函数的奇偶性； ③已知该函数在第一象限的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定函数的单调区间． 解：①y＝x＝，定义域为R. ②设y＝f(x)，因为定义域关于坐标原点对称，且f(－x)＝＝＝f(x)，所以函数y＝x是偶函数． ③因为函数为偶函数，则作出它在第一象限的图象关于y轴的对称图象，即得函数y＝x的图象，如图所示． 根据图象易知，函数y＝x的单调递增区间为[0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)． 题型三　比较幂值的大小　 　比较下列各组数的大小： (1)1.5，1.7； (2)(－1.2)3，(－1.25)3； (3)5.25－1，5.26－1，5.26－2； (4)0.53，30.5，log30.5； (5)4，2，. [解]　(1)∵y＝x在[0，＋∞)上是增函数，1.5<1.7，∴1.5<1.7. (2)∵y＝x3在R上是增函数，－1.2>－1.25， ∴(－1.2)3>(－1.25)3. (3)∵y＝x－1在(0，＋∞)上是减函数，5.25<5.26， ∴5.25－1>5.26－1. ∵y＝5.26x在R上是增函数，－1>－2， ∴5.26－1>5.26－2. 综上，5.25－1>5.26－1>5.26－2. (4)∵0<0.53<1，30.5>1，log30.5<0， ∴log30.5<0.53<30.5. (5)∵4＝2，又y＝2x在R上是增函数，>， ∴2>2. ∵＝3， 又y＝x在[0，＋∞)上是增函数，3>2， ∴3>2. ∴>4>2. 【感悟提升】比较幂值大小的三种基本方法 【跟踪训练】 3．比较下列各组数的大小： (1)，； (2)，； (3)(－0.23)，0.32； (4)3－0.5，log0.6，. 解：(1)∵幂函数y＝x0.5在[0，＋∞)上是增函数，且>，∴>. (2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数， 且－<－，∴>. (3)∵y＝x为R上的偶函数， ∴(－0.23)＝0.23. 又y＝x为[0，＋∞)上的增函数，0.23<0.32， ∴0.23<0.32，∴(－0.23)<0.32. (4)∵3－0.5＝3－＝，log0.6＝log，＝，又幂函数y＝x在[0，＋∞)上是增函数， ∴＝<<. ∵函数y＝logx在(0，＋∞)上是减函数， ∴＝log>log. ∴>3－0.5>log0.6. 题型四　利用幂函数解不等式　 　已知(a＋1)－<(3－2a)－，求实数a的取值范围． [解]　∵y＝x－在(－∞，0)及(0，＋∞)上单调递减，又(a＋1)－<(3－2a)－， ∴3－2a<a＋1<0或a＋1>3－2a>0或 解得<a<或a<－1. 【感悟提升】利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下： (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用． 【跟踪训练】 4．已知(a＋1)－2>(3－2a)－2，求a的取值范围． 解：由幂函数y＝x－2的图象(如图)可知，|x|越小，y值越大． ∵(a＋1)－2>(3－2a)－2， ∴|a＋1|<|3－2a|且a＋1≠0， 解得a<或a>4且a≠－1. 1．下列函数：①y＝x2＋1；②y＝x－；③y＝x2；④y＝x－；⑤y＝x－＋1；⑥y＝5x；⑦y＝(x＋1)3.其中是幂函数的是(　　) A．①⑤⑥ B．①②③⑦ C．②④ D．②③⑤⑦ 答案：C 解析：符合幂函数y＝xα形式的只有②④.故选C. 2．函数y＝x的图象大致是(　　) 答案：B 解析：∵函数y＝x是奇函数，且>1，∴函数y＝x的图象大致为B. 3．(多选)设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R，且为奇函数的α的值可以是(　　) A．－1 B. C．1 D．3 答案：CD 解析：对于A，当α＝－1时，y＝x－1，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于B，当α＝时，y＝x，定义域为[0，＋∞)，不满足题意；对于C，当α＝1时，y＝x，定义域为R，且为奇函数，满足题意；对于D，当α＝3时，y＝x3，定义域为R，且为奇函数，满足题意．故选CD. 4．已知幂函数f(x)＝(m2＋m－1)xm的图象与坐标轴没有公共点，则f()＝________． 答案： 解析：因为f(x)为幂函数，所以m2＋m－1＝1，解得m＝－2或m＝1，又f(x)的图象与坐标轴无公共点，故m<0，所以m＝－2，故f(x)＝x－2，所以f()＝()－2＝. 5．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________(用“<”连接)． 答案：b<a<c 解析：∵函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，∴>.又y＝在R上是减函数，∴<，∴b<a<c. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ ★ 对点 幂函数的图象与性质 由幂函数的图象判断幂指数的大小 幂函数的定义域、值域 利用函数的单调性比较大小 幂函数的求解及利用单调性比较大小 幂函数的图象与性质 幂函数的概念及单调性的应用 利用幂函数的概念与单调性求参数 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 指数函数与幂函数结合；利用幂函数的概念求参数 幂函数的值域；利用幂函数的单调性解不等式 利用幂函数的单调性比较大小 幂函数的概念与奇偶性的应用；利用函数的单调性求参数范围 幂函数的概念与值域 构造幂函数并利用幂函数的性质求参数 幂函数的图象与性质的综合应用 指数函数与幂函数的图象与性质的综合应用 一、单选题 1．下列命题中正确的是(　　) A．当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线 B．幂函数的图象都经过(0，0)，(1，1)两点 C．若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域上是增函数 D．幂函数的图象不可能在第四象限 答案：D 解析：当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，其图象为直线y＝1去掉点(0，1)，故A不正确；当α<0时，幂函数y＝xα的图象不过点(0，0)，故B不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故C不正确；当x>0，α∈R时，y＝xα>0，所以幂函数的图象都不过第四象限，故D正确． 2.已知幂函数y＝xn在第一象限内的图象如图所示，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n的值依次为(　　) A．－2，－，，2 B．2，，－，－2 C．－，－2，2， D．2，，－2，－ 答案：B 解析：图中曲线C1的指数n>1，曲线C2的指数0<n<1，因而排除A，C；取x＝2，由2－>2－2知B正确． 3．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是(　　) A．y＝x B．y＝x－ C．y＝x D．y＝x 答案：D 解析：对于A，y＝x＝，定义域、值域都为R；对于B，y＝x－＝的定义域、值域都为(0，＋∞)；对于C，y＝x的定义域、值域都为R；对于D，y＝x＝的定义域为R，而值域为[0，＋∞)．故选D. 4．已知a＝log50.3，b＝log32，c＝30.3，d＝3.40.3，则a，b，c，d的大小关系为(　　) A．d>c>b>a B．d>a>c>b C．b>d>c>a D．b>c>d>a 答案：A 解析：∵y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，0<0.3<1，∴log50.3<0，即a<0；∵y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，1<2<3，∴0<log32<1，即0<b<1；∵y＝x0.3在(0，＋∞)上是增函数，1<3<3.4，∴3.40.3>30.3>1，即d>c>1.∴d>c>b>a. 5．(2024·江苏无锡期末)已知点在幂函数f(x)＝xα的图象上，设a＝f(log25)，b＝f(ln 2)，c＝f(tan60°)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．b>c>a 答案：D 解析：∵点在幂函数f(x)＝xα的图象上，∴3α＝，∴α＝－2，∴f(x)＝x－2，该函数在(0，＋∞)上单调递减，∵log25>log24＝2，0＝ln 1<ln 2<ln e＝1，tan60°＝，∴0<ln 2<tan60°<log25，∴f(ln 2)>f(tan60°)>f(log25)，即b>c>a.故选D. 二、多选题 6．对幂函数f(x)＝x－有以下结论，其中正确的是(　　) A．f(x)的定义域是{x|x≠0，x∈R} B．f(x)的值域是(0，＋∞) C．f(x)的图象只在第一象限 D．f(x)是奇函数 答案：BC 解析：幂函数f(x)＝x－＝，对于A，f(x)的定义域是{x|x>0，x∈R}，故A不正确；对于B，f(x)的值域是(0，＋∞)，故B正确；对于C，f(x)的图象只在第一象限，故C正确；对于D，f(x)是非奇非偶函数，故D不正确．故选BC. 7．已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0.若a，b∈R，且f(a)＋f(b)的值为负值，则下列结论可能成立的是(　　) A．a＋b>0，ab<0 B．a＋b<0，ab>0 C．a＋b<0，ab<0 D．以上都可能 答案：BC 解析：由函数f(x)为幂函数可知m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.当m＝－1时，f(x)＝；当m＝2时，f(x)＝x3.由题意得函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，因此f(x)＝x3，在R上单调递增，且为奇函数．结合f(－x)＝－f(x)以及f(a)＋f(b)<0可知f(a)<－f(b)＝f(－b)，所以a<－b，即b<－a，所以a＋b<0.当a＝0时，b<0，ab＝0；当a>0时，b<0，ab<0；当a<0时，ab<0(0<b<－a)，ab＝0(b＝0)，ab>0(b<0)均有可能成立．故选BC. 三、填空题 8．若幂函数y＝(m2－2m－2)xm2-2m-1在(0，＋∞)上是增函数，则m＝________． 答案：－1或3 解析：由幂函数的定义可知，m2－2m－2＝1，解得m＝－1或m＝3.当m＝－1时，y＝x2，在(0，＋∞)上是增函数，符合题意；当m＝3时，y＝x2，在(0，＋∞)上是增函数，符合题意．综上，m＝－1或3. 9．(2024·河南郑州期末)若函数f(x)＝ax－－(a>0且a≠1，b>0)的图象过定点A，且点A在幂函数h(x)＝(3m－2)xm＋1上，则b＝________． 答案：1 解析：由x－＝0可得，x＝，f＝1－＝，所以函数f(x)的图象过定点A.因为函数h(x)＝(3m－2)xm＋1为幂函数，所以3m－2＝1，解得m＝1，h(x)＝x2.又点A在函数h(x)的图象上，所以h＝＝，b2＝1.因为b>0，所以b＝1. 10．已知幂函数f(x)＝x－，则f(x)在[4，9]上的值域为________；若f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围是________． 答案：　(3，5) 解析：∵f(x)＝x－＝(x>0)，∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(4)＝，f(9)＝，∴f(x)在[4，9]上的值域为.若f(a＋1)<f(10－2a)，则解得3<a<5，所以a的取值范围是(3，5)． 四、解答题 11．比较下列各组数的大小： (1)3－和3.1－； (2)－8－和－； (3)和. 解：(1)函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数， 因为3<3.1，所以3－>3.1－. (2)－8－＝－，函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，因为>，所以>. 从而－8－<－. (3)＝，＝， 函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数， 因为>，所以<， 即<. 12．已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1为偶函数． (1)求f(x)的解析式； (2)若g(x)＝f(x)－ax－3在[1，3]上不是单调函数，求实数a的取值范围． 解：(1)由题意，得m2－5m＋7＝1， 解得m＝2或3. 因为函数f(x)是偶函数，故f(x)＝x2. (2)g(x)＝f(x)－ax－3＝x2－ax－3， g(x)图象的对称轴是直线x＝， 若g(x)在[1，3]上不是单调函数， 则1<<3，解得2<a<6. 所以实数a的取值范围是(2，6)． 13．已知点(n，8)在幂函数f(x)＝(m－2)xm的图象上，则函数f(x)在区间[n，n＋1]上的值域为(　　) A．[－8，27] B．[2，3] C．[4，9] D．[8，27] 答案：D 解析：因为函数f(x)＝(m－2)xm是幂函数，所以m－2＝1，解得m＝3，所以f(x)＝x3，因为点(n，8)在幂函数f(x)＝x3的图象上，所以f(n)＝n3＝8，解得n＝2.因为f(x)＝x3在R上单调递增，所以函数f(x)＝x3在[2，3]上的值域为[8，27]．故选D. 14．(2024·广东梅州中学高一月考)已知实数m，n满足(m＋1)3＋m＝(n－1)3＋n＝0，则＝________． 答案：－1 解析： ∵(m＋1)3＋m＝(n－1)3＋n＝0，∴(m＋1)3＋m＋1＝1，且(n－1)3＋n－1＝－1，令函数f(x)＝x3＋x，∵其定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，y＝x3，y＝x在R上均单调递增，则f(x)为单调递增的奇函数，且f(m＋1)＝1，f(n－1)＝－1，∴m＋1＝－(n－1)，即m＝－n，显然m≠0，∴＝－1. 15．若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上． (1)求f(x)和g(x)的解析式； (2)定义h(x)＝求函数h(x)的最大值及单调区间． 解：(1)设f(x)＝xα，因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，所以()α＝2，解得α＝2，即f(x)＝x2. 设g(x)＝xβ，因为点在幂函数g(x)的图象上， 所以2β＝，解得β＝－1，即g(x)＝x－1. (2)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－1的图象，可得函数h(x)的图象如图所示．由题意及图象可知 h(x)＝ 根据函数h(x)的解析式及图象可知，函数h(x)的最大值为1，单调递增区间为(0，1]，单调递减区间为(－∞，0)和(1，＋∞)． 16.如图所示，函数F(x)的图象是由指数函数f(x)＝ax与幂函数g(x)＝xb的图象“拼接”而成的． (1)求F(x)的解析式； (2)比较ab与ba的大小； (3)已知(m＋4)－b<(3－2m)－b，求实数m的取值范围． 解：(1)将点分别代入f(x)＝ax与g(x)＝xb，得解得 ∴F(x)＝ (2)ab＝＝，ba＝， 又函数y＝在R上是减函数，2>， ∴<，即ab<ba. (3)由(1)可得(m＋4)－<(3－2m)－， 又幂函数y＝x－在其定义域(0，＋∞)上是减函数， ∴解得－<m<， ∴实数m的取值范围是. 13 学科网（北京）股份有限公司 $$