4.3 指数函数与对数函数的关系-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册创新导学案word（人教B版2019）

数学　必修 第二册 RJB (教师独具内容) 课程标准：知道对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)互为反函数． 教学重点：1.反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系.2.对比对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象和性质，深刻理解两者的关系． 教学难点：利用对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象的对称关系解决问题． 核心素养：1.通过学习反函数的概念和反函数的性质培养数学抽象素养.2.通过利用反函数的性质解决问题培养逻辑推理素养． 知识点一　指数函数与对数函数的比较 名称 指数函数 对数函数 一般形式 y＝ax(a＞0且a≠1) y＝logax(a＞0且a≠1) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (0，＋∞) 值域 (0，＋∞) (－∞，＋∞) 函数值的变化情况 当a＞1时，ax 当0＜a＜1时，ax 当a＞1时，logax 当0＜a＜1时， logax 单调性 当a＞1时，y＝ax为增函数；当0＜a＜1时，y＝ax为减函数 当a＞1时，y＝logax为增函数；当0＜a＜1时，y＝logax为减函数 知识点二　反函数 (1)一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数，记作y＝f－1(x)． 值得注意的是，y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的值域相同，y＝f(x)的值域与y＝f－1(x)的定义域相同，y＝f(x)与y＝f－1(x)的图象关于直线y＝x对称．如果y＝f(x)是单调函数，那么它的反函数y＝f－1(x)一定存在．此时，如果y＝f(x)是增函数，则f－1(x)也是增函数；如果y＝f(x)是减函数，则f－1(x)也是减函数． [说明]　f－1(x)是函数f(x)的反函数，不是“f(x)的负1次幂：[f(x)]－1”． (2)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)和指数函数y＝ax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 1．(反函数的概念)下列各图象表示的函数中，存在反函数的只能是(　　) 答案：D 2．(指数函数与对数函数的关系)若函数y＝f(x)＝的反函数为y＝g(x)，则g＝(　　) A．－2 B．2 C．3 D．－1 答案：B 3．(反函数的求法)函数y＝log(x－1)的反函数为________． 答案：y＝＋1 4．(反函数的性质)若点(1，2)在函数y＝f(x)的图象上，则点____________必在其反函数y＝f－1(x)的图象上． 答案：(2，1) 题型一　求函数的反函数　 　求下列函数的反函数： (1)y＝2x＋3； (2)y＝logx； (3)y＝－1； (4)y＝0.2x＋1(x≤1)． [解]　(1)由y＝2x＋3，得x＝y－，所以函数y＝2x＋3的反函数是y＝x－. (2)y＝logx的底数是，它的反函数是指数函数y＝. (3)y＝－1的值域是(－1，＋∞)，所以它的反函数为函数y＝log(x＋1)(x>－1)． (4)因为y＝0.2x＋1，所以y－1＝0.2x，x＝log0.2(y－1)，对调其中的x和y，得y＝log0.2(x－1)，因为函数y＝0.2x＋1(x≤1)的值域是{y|y≥1.2}，所以y＝log0.2(x－1)的定义域为{x|x≥1.2}，即函数y＝0.2x＋1(x≤1)的反函数是y＝log0.2(x－1)(x≥1.2)． 【感悟提升】求反函数的一般步骤 (1)求出原函数的值域，这就是反函数的定义域； (2)从y＝f(x)中解出x； (3)x，y互换并注明反函数的定义域． 【跟踪训练】 1．求下列函数的反函数： (1)y＝(2)y＝log(2x＋1)； (3)y＝. 解：(1)当x≥0时，由y＝2x，得x＝，y≥0； 当x<0时，由y＝－x2，得x＝－，y<0. 所以y＝的反函数是 y＝ (2)由y＝log(2x＋1)，得2x＋1＝， 所以x＝×－， 对调x，y得y＝×－， 所以y＝log(2x＋1)的反函数是y＝×－. (3)由y＝，得2x(y－1)＝y＋1. 因为y≠1，所以2x＝.① 因为2x>0，所以>0，解得y>1或y<－1. 故反函数的定义域是{x|x>1或x<－1}． 由①式，得x＝log2. 所以y＝的反函数为y＝log2(x<－1或x>1)． 题型二　反函数性质的应用　 　已知函数y＝ax＋b(a>0且a≠1)的图象过点(1，4)，其反函数的图象过点(2，0)，求a，b的值． [解]　解法一：∵y＝ax＋b的图象过点(1，4)， ∴a＋b＝4，① 由y＝ax＋b，得ax＝y－b， ∴x＝loga(y－b)，对调x，y得y＝loga(x－b)， 将点(2，0)代入y＝loga(x－b)，得loga(2－b)＝0， ∴2－b＝1.② 由①②，解得 解法二：∵y＝ax＋b的图象过点(1，4)， ∴a＋b＝4.① 又y＝ax＋b的反函数的图象过点(2，0)， ∴点(0，2)在函数y＝ax＋b的图象上， ∴a0＋b＝2.② 联立①②，得 【感悟提升】利用反函数的性质解题 (1)反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域． (2)互为反函数的函数图象关于直线y＝x对称． (3)若点(a，b)在函数y＝f(x)的图象上，则点(b，a)必在其反函数y＝f－1(x)的图象上． (4)互为反函数的两函数的单调性相同． 【跟踪训练】 2．已知函数f(x)＝e2(x－1)，y＝f－1(x)为y＝f(x)的反函数．若函数g(x)＝则g(g(－1))＝________． 答案：1 解析：由题意，得g(－1)＝－1＋2＝1，g(g(－1))＝g(1)＝f－1(1)．设f－1(1)＝t，则有f(t)＝1，即e2(t－1)＝1，∴t＝1，∴g(g(－1))＝1. 题型三　指数函数与对数函数图象间的关系　 　已知lg a＋lg b＝0，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是(　　) [解析]　∵lg a＋lg b＝0，∴ab＝1，则b＝，从而g(x)＝－logbx＝logax，故g(x)与f(x)＝ax互为反函数，图象关于直线y＝x对称．结合选项可知选B. [答案]　B 【感悟提升】利用反函数的性质识图 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，二者的图象关于直线y＝x对称．在有关指数函数与对数函数图象识别的问题中利用这一性质，结合平移翻转等可以很方便地解决问题． 【跟踪训练】 3．y＝log2x的反函数是y＝f－1(x)，则函数y＝f－1(1－x)的图象是下图中的(　　) 答案：C 解析：∵y＝log2x的反函数为y＝f－1(x)＝2x，则y＝f－1(1－x)＝21－x＝2·2－x＝2·，故排除A，B.又此函数图象过点(0，2)，故选C. 1．函数f(x)＝log4x与g(x)＝22x的图象(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称 答案：D 解析：∵g(x)＝22x＝4x，∴函数f(x)＝log4x与g(x)＝22x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　) A．log2x B. C．logx D．2x－2 答案：A 解析：y＝ax的反函数f(x)＝logax，则1＝loga2，∴a＝2.故f(x)＝log2x. 3．(多选)已知函数y＝ex的图象与函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，则(　　) A．f(x)＝ln x(x>0) B．f(2x)＝－e2x(x∈R) C．f(x)＝－ex(x∈R) D．f(2x)＝ln x＋ln 2(x>0) 答案：AD 解析：由题意可得，y＝f(x)是y＝ex的反函数，∴f(x)＝ln x(x>0)，∴f(2x)＝ln (2x)＝ln x＋ln 2(x>0)．故选AD. 4．若函数y＝log2x＋2的反函数的定义域为(3，＋∞)，则此函数的定义域为________． 答案：(2，＋∞) 解析：函数y＝log2x＋2的反函数的定义域为(3，＋∞)，即这个函数的值域为(3，＋∞)，∴log2x＋2>3，即log2x>1，∴x>2.则此函数的定义域为(2，＋∞)． 5．若点A(1，2)既在函数f(x)＝ax2＋b(x≥0)的图象上，又在f(x)的反函数f－1(x)的图象上，则a＝________，b＝________． 答案：－　 解析：∵f－1(1)＝2，∴f(2)＝1.又f(1)＝2， ∴解得 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★ 对点 反函数的概念 反函数的图象 指数函数与对数函数图象间的关系 利用反函数的性质求参数 指数函数的反函数及应用 反函数的性质 指数函数与对数函数的关系 分段函数反函数的求解 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 对数函数反函数的求解与求值 利用反函数的性质求值；解不等式 对数型函数反函数的求解及单调性 对数型函数反函数的求解及求参数；对数型复合函数求最值 指数函数反函数的求解及应用 反函数的性质及应用 反函数的性质；指数型函数反函数的求解及应用 反函数的求解；反函数的概念及应用 一、单选题 1．已知函数y＝f(x)有反函数，则方程f(x)＝0的根的情况是(　　) A．有且仅有一个实根 B．至少有一个实根 C．至多有一个实根 D．有0个，1个或1个以上实根 答案：C 解析：若f(x)＝0有根m，则f(m)＝0，又因为f(x)有反函数，所以0在y＝f－1(x)关系下有唯一的值与之对应，故m必唯一，所以y＝f(x)的图象与x轴至多有一个交点，即方程f(x)＝0至多有一个实根． 2．将y＝2x的图象________，再作关于直线y＝x对称的图象，可得函数y＝log2(x＋1)的图象．横线处应填写(　　) A．先向左平移1个单位 B．先向右平移1个单位 C．先向上平移1个单位 D．先向下平移1个单位 答案：D 解析：与函数y＝log2(x＋1)的图象关于直线y＝x对称的曲线是函数y＝2x－1的图象．为了得到它，只需将y＝2x的图象向下平移1个单位．故选D. 3．若指数函数y＝ax，当x<0时，有0<y<1，则在同一坐标系中，函数y＝a－x与函数y＝logax的图象是(　　) 答案：A 解析：∵当x<0时，y＝ax∈(0，1)，∴a>1.∴y＝logax单调递增，y＝a－x＝单调递减．结合选项知，选A. 4．设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝x对称，且f(2)＋f(4)＝1，则a＝(　　) A．－1 B．1 C．2 D．4 答案：B 解析：依题意，函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝x对称，∴f(x)与y＝2x＋a互为反函数，∵y＝2x＋a，∴x＋a＝log2y，∴f(x)＝log2x－a，由于f(2)＋f(4)＝1，∴1－a＋2－a＝1，∴a＝1.故选B. 5．函数f(x)与g(x)＝互为反函数，则函数f(4－x2)的单调递增区间是(　　) A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．(－2，0] D．[0，2) 答案：D 解析：∵函数f(x)与g(x)＝互为反函数，∴f(x)＝logx＝－log2x(x>0)，则函数f(4－x2)＝－log2(4－x2)．由4－x2>0，得－2<x<2，∴函数f(4－x2)的单调递增区间是[0，2)．故选D. 二、多选题 6．已知函数f(x)在其定义域内单调递增，且f(1)＝－1，若f(x)的反函数为f－1(x)，则(　　) A．f－1(－1)＝1 B．f－1(x)在定义域内单调递增 C．f－1(1)＝1 D．f－1(x)在定义域内单调递减 答案：AB 解析：由反函数的性质可知，f－1(－1)＝1，且f－1(x)在定义域内单调递增． 7．(2024·河北承德月考)已知函数y＝－logax(a>0且a≠1)和y＝(a>0且a≠1)，下列结论正确的是(　　) A．它们互为反函数 B．它们的定义域与值域正好互换 C．它们的单调性相反 D．它们的图象关于直线y＝x对称 答案：ABD 解析：对于A，注意到y＝－logax＝logx，则其与函数y＝互为反函数，故A正确；对于B，函数y＝logx的定义域为(0，＋∞)，值域为R，函数y＝的定义域为R，值域为(0，＋∞)，故B正确；对于C，当a>1时，两函数均在定义域内单调递减，当0<a<1时，两函数均在定义域内单调递增，故C错误；对于D，两函数互为反函数，则函数的图象关于直线y＝x对称，故D正确．故选ABD. 三、填空题 8．函数y＝的反函数是________． 答案：y＝ 解析：当x<0时，y＝x＋1的反函数是y＝x－1，x<1；当x≥0时，y＝ex的反函数是y＝ln x，x≥1.故原函数的反函数为y＝ 9．函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)满足f(9)＝2，则f－1(－log92)＝________． 答案： 解析：∵loga9＝2，∴a＝3，而f－1(x)＝ax，∴f－1(x)＝3x，∴f－1(－log92)＝3－log92＝3log3＝. 10．已知函数f(x)是定义在R上的减函数，其图象经过A(－4，1)，B(0，－1)两点，函数f(x)的反函数是f－1(x)，则f－1(1)的值是________；不等式|f(x－2)|<1的解集是________． 答案：－4　(－2，2) 解析：由题意，可知f－1(x)的图象过点(1，－4)和点(－1，0)，∴f－1(1)＝－4.∵|f(x－2)|<1，∴－1<f(x－2)<1，即f(0)<f(x－2)<f(－4)，又函数f(x)为R上的减函数，∴－4<x－2<0，即－2<x<2，∴不等式|f(x－2)|<1的解集为(－2，2)． 四、解答题 11．已知函数f(x)＝loga(2－x)(a>1)． (1)求函数f(x)的定义域、值域； (2)求函数f(x)的反函数f－1(x)； (3)判断函数f－1(x)的单调性． 解：(1)要使函数f(x)有意义，需满足2－x>0，即x<2， 故函数f(x)的定义域为(－∞，2)，值域为R. (2)由y＝loga(2－x)，得2－x＝ay， 即x＝2－ay，∴f－1(x)＝2－ax. (3)函数f－1(x)在R上是减函数． 证明如下：任取x1，x2∈R且x1<x2. f－1(x2)－f－1(x1)＝2－ax2－2＋a x1＝a x1－a x2， ∵a>1，x1<x2， ∴a x1<a x2，即a x1－a x2<0， ∴f－1(x2)<f－1(x1)， ∴函数f－1(x)在R上是减函数． 12．已知函数f(x)＝loga(8－2x)(a>1)． (1)求函数f(x)的定义域； (2)若函数f(x)的反函数是其本身，求a的值； (3)求函数y＝f(x)＋f(－x)的最大值． 解：(1)由8－2x>0，得2x<8，∴x<3， ∴函数f(x)的定义域为(－∞，3)． (2)令y＝loga(8－2x)，则x＝log2(8－ay)， 对调x，y，得y＝log2(8－ax)． 由于函数f(x)的反函数是其本身，∴a＝2. (3)y＝f(x)＋f(－x)＝loga(8－2x)＋loga(8－2－x)＝loga[65－8(2x＋2－x)]． 由得－3<x<3， ∴函数y＝loga[65－8(2x＋2－x)]的定义域为(－3，3)． ∵2x＋2－x＝2x＋≥2，当且仅当x＝0时取等号， ∴65－8(2x＋2－x)≤49， ∴函数y＝f(x)＋f(－x)的最大值为loga49. 13．若f(x)＝2x的反函数为f－1(x)，且f－1(a)＋f－1(b)＝4，则＋的最小值是(　　) A．1 B. C. D. 答案：B 解析：令y＝2x，得x＝log2y，所以f－1(x)＝log2x，又f－1(a)＋f－1(b)＝4，所以log2a＋log2b＝4，即log2(ab)＝4，所以ab＝16，因此＋≥2＝，当且仅当＝，即a＝b＝4时，等号成立．故选B. 14．若函数f(x)＝x－(x>0)的反函数为y＝f－1(x)，则关于x的不等式f－1(x)≤3的解集为________． 答案： 解析：观察可得f(x)＝x－在(0，＋∞)上单调递增，值域为R，则其反函数在R上也单调递增，又f(3)＝3－＝，则3＝f－1，∴f－1(x)≤3，即f－1(x)≤f－1，∴x≤，即关于x的不等式f－1(x)≤3的解集为. 15．已知奇函数f(x)＝的反函数f－1(x)的图象过点A(－3，1)． (1)求实数a，b的值； (2)解关于x的不等式f－1(x)>－1. 解：(1)因为f(x)＝为奇函数， 所以f(－1)＝－f(1)⇒＝－⇒a＝b， 因为f(x)的反函数f－1(x)的图象过点A(－3，1)， 所以f(1)＝－3，即＝－3， 所以2a＋b＝－3， 所以a＝b＝－1. (2)由(1)，知f(x)＝， 则f－1(x)＝log2(x>1或x<－1)， 由f－1(x)＝log2>－1，得>， 解得x>3或x<－1. 所以不等式f－1(x)>－1的解集为{x|x>3或x<－1}． 16．已知函数f(x)＝x2－3tx＋1，其定义域为[0，3]∪[12，15]． (1)当t＝2时，求函数f(x)的反函数f－1(x)； (2)如果函数f(x)在其定义域内有反函数，求实数t的取值范围． 解：(1)当t＝2时，f(x)＝x2－6x＋1，其定义域为[0，3]∪[12，15]，令y＝x2－6x＋1. 当x∈[0，3]时，y＝x2－6x＋1＝(x－3)2－8∈[－8，1]，∴x＝3－； 当x∈[12，15]时，y＝(x－3)2－8∈[73，136]， ∴x＝3＋. ∴f－1(x)＝ (2)若≤0，即t≤0，则函数f(x)在定义域上单调递增，∴具有反函数； 若≥15，即t≥10，则函数f(x)在定义域上单调递减，∴具有反函数； 当3≤≤12，即2≤t≤8时，由于区间[0，3]关于对称轴x＝的对称区间是[3t－3，3t]，于是当3t<12或3t－3>15，即t∈[2，4)或t∈(6，8]时，函数f(x)在其定义域上满足一一对应关系，具有反函数． 综上所述，实数t的取值范围是(－∞，0]∪[2，4)∪(6，8]∪[10，＋∞)． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$