1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（人教B版2019）

第一章　集合与常用逻辑用语 1.2　常用逻辑用语 1.2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 (教师独具内容) 课程标准：1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定． 教学重点：写出含有量词的命题的否定，并判断其真假． 教学难点：全称量词命题的否定与存在量词命题的否定及它们真假的判断． 核心素养：通过学习全称量词命题的否定和存在量词命题的否定培养数学抽象素养和逻辑推理素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　命题的否定 一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“_____”，读作“____”或“________”． 如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个____命题；反之亦然． 知识点二　存在量词命题的否定 一般地，存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的否定是_________________命题“_______________”． 綈p 非p p的否定 假 全称量词 ∀x∈M，綈p(x) 核心概念掌握 5 知识点三　全称量词命题的否定 一般地，全称量词命题“∀x∈M，q(x)”的否定是___________命题“_______________”． [说明]　(1)全称量词命题的否定是一个存在量词命题，给出全称量词命题的否定时既要改变全称量词，又要否定结论，所以找出全称量词，明确命题所提供的结论是对全称量词命题否定的关键． (2)对于省去了全称量词的全称量词命题的否定，一般先改写为含有全称量词的命题，再写出命题的否定． 存在量词 ∃x∈M，綈q(x) 核心概念掌握 6 1．(存在量词命题的否定)“至多有一个”的否定为____________． 2．(全称量词命题的否定)已知命题p：∀x∈[2，＋∞)，x2≥4，则它的否定是__________________． 3．(命题否定后的真假判断)命题“∃x∈Q，x2＝5”的否定是_____命题．(填“真”或“假”) 至少有两个 答案 ∃x∈[2，＋∞)，x2<4 真 核心概念掌握 7 核心素养形成 　(1)若命题p：函数y＝1－x2的图象过点(－3，2)，则p与綈p的真假情况是（　　) A．都是真命题 B．都是假命题 C．p真，綈p假 D．p假，綈p真 题型一　命题的否定 解析　 ∵p与綈p必一真一假，而本题中p显然是假命题，∴綈p必为真命题． 答案 解析 核心素养形成 9 解 (2)写出下列命题的否定： ①8的立方根是2； ②若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零； ③若xy＝0，则x与y中至少有一个为0. 解　①8的立方根不是2. ②若m2＋n2＝0，则实数m，n不全为零． ③若xy＝0，则x与y均不为0. 核心素养形成 10 【感悟提升】　綈p是对命题p的全盘否定，对一些词语的正确否定是写綈p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的否定是“至少三个”等． 核心素养形成 11 【跟踪训练】　 1．写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假． (1)p：3<2； (2)q：空集是集合A的子集； (3)s：5不是75的约数． 解 解：(1)綈p：3≥2.因为命题p是假命题，所以綈p是真命题． (2)綈q：空集不是集合A的子集．因为命题q是真命题，所以綈q是假命题． (3)綈s：5是75的约数．因为命题s是假命题，所以綈s是真命题． 核心素养形成 12 题型二　存在量词命题的否定 解　(1)命题的否定为“任意一个奇数都能被3整除”．这个命题是假命题，如5是奇数，但5不能被3整除． (2)命题的否定为“任意一个三角形的三个内角不都是60°”．这个命题是假命题，如等边三角形的三个内角都是60°. (3)命题的否定为“∀x∈R，|x＋1|>1”．这个命题为假命题，如x＝0时，不满足|x＋1|>1. 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假． (1)有一个奇数不能被3整除； (2)有些三角形的三个内角都是60°； (3)∃x∈R，|x＋1|≤1. 解 核心素养形成 13 【感悟提升】　 1．对存在量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词； (2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 2．存在量词命题否定后的真假判断方法 存在量词命题的否定是全称量词命题，所得全称量词命题的真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可． 核心素养形成 14 解 核心素养形成 15 题型三　全称量词命题的否定 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假． (1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根； (2)等圆的面积相等； (3)每个三角形至少有两个锐角． 解 核心素养形成 16 (2)这一命题可以表述为“所有等圆的面积相等”，其否定是“存在一对等圆，其面积不相等”．由等圆的概念知所得命题是假命题． (3)这一命题的否定是“有的三角形至多有一个锐角”，由三角形的内角和为180°知所得命题为假命题． 解 核心素养形成 17 【感悟提升】　 1．对全称量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词； (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 2．全称量词命题否定后的真假判断方法 全称量词命题的否定是存在量词命题，所得存在量词命题的真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可． 核心素养形成 18 解 核心素养形成 19 题型四　根据全称量词命题、存在量词命题否定的真假求参数的取值范围 解　因为命题p为假命题，所以綈p为真命题，即命题：∀x∈[3，4]，2x－1－m≥0为真命题． 所以m≤2x－1在x∈[3，4]上恒成立．而y＝2x－1在x∈[3，4]上的最小值是5，所以实数m的取值范围是(－∞，5]． 已知命题p：∃x∈[3，4]，2x－1－m<0，若p为假命题，求实数m的取值范围． 解 核心素养形成 20 【感悟提升】　 (1)注意p与綈p的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化． (2)对求参数范围问题，往往分离参数，转化成求函数的最值问题． 核心素养形成 21 解 【跟踪训练】　 4．已知命题p：∀x∈(－∞，a]，x2≠4，若綈p为假命题，求实数a的取值范围． 解：因为綈p为假命题， 所以命题p：∀x∈(－∞，a]，x2≠4为真命题． 由x2≠4，得x≠－2且x≠2. 所以－2∉(－∞，a]且2∉(－∞，a]． 所以实数a的取值范围是(－∞，－2)． 核心素养形成 22 随堂水平达标 1．命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是(　　) A．所有能被5整除的整数都不是奇数 B．所有奇数都不能被5整除 C．存在一个能被5整除的整数不是奇数 D．存在一个奇数，不能被5整除 解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，而A，B是全称量词命题，所以A，B错误；因为“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被5整除的整数不是奇数”，所以D错误，C正确．故选C. 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 24 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 25 3．(多选)对下列命题的否定，其中说法正确的是(　　) A．p：∀x≥3，x2－2x－3≥0；綈p：∃x≥3，x2－2x－3<0 B．q：存在一个四边形的四个顶点不共圆；綈q：每一个四边形的四个顶点都共圆 C．r：有的三角形为正三角形；綈r：所有的三角形不都是正三角形 D．s：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；綈s：∀x∈R，x2＋2x＋2≤0 解析：对于A，若p：∀x≥3，x2－2x－3≥0，则綈p：∃x≥3，x2－2x－3<0，故A正确；对于B，若q：存在一个四边形的四个顶点不共圆，则綈q：每一个四边形的四个顶点都共圆，故B正确；对于C，若r：有的三角形为正三角形，则綈r：所有的三角形都不是正三角形，故C错误；对于D，若s：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0，则綈s：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，故D错误．故选AB. 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 26 4．(多选)下列命题的否定为真命题的是(　　) A．菱形是平行四边形 B．∀x≥0，x2>0 C．存在一个三角形，它的内角和大于180° D．∃x∈R，x2＋x＋1≤0 解析：对于A，命题的否定为“存在一个菱形不是平行四边形”，这个命题为假命题；对于B，命题的否定为“∃x≥0，x2≤0”，这个命题为真命题；对于C，命题的否定为“所有三角形的内角和都小于或等于180°”，这个命题为真命题；对于D，命题的否定为“∀x∈R，x2＋x＋1>0”，这个命题为真命题．故选BCD. 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 27 5．若命题“∃x∈R，x2＋x＋a－1<0”是假命题，则实数a的取值范围为__________． 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 28 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★ ★ 对点 全称量词命题的否定 存在量词命题的否定 存在量词命题的否定 全称量词命题的否定 利用存在量词命题的否定及其真假求参数范围 命题的否定及其真假判断 命题的否定及其真假判断 存在量词命题的否定 存在量词命题的否定及其真假判断 题号 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 利用存在量词命题的否定及其真假求参数范围 命题的否定及其真假判断 利用全称量词命题的否定及其真假求参数范围 存在量词命题的否定 全称量词命题的否定及其真假判断 命题的否定的应用 利用存在量词命题的否定及其真假求参数范围 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 一、单选题 1．(2024·广东潮州高一期末)命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是(　　) A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0 B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0 C．∃x∈[0，＋∞)，x3＋x<0 D．∃x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0 解析：由全称量词命题的否定是存在量词命题可知A，B错误；因为x3＋x≥0的否定为x3＋x<0，所以D错误，C正确． 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 2．命题“有些三角形是等腰三角形”的否定是(　　) A．有些三角形不是等腰三角形 B．所有三角形是等边三角形 C．所有三角形都不是等腰三角形 D．所有三角形都是等腰三角形 解析：存在量词命题的否定为全称量词命题，注意否定结论．故选C. 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 3．(2024·山东潍坊高一期末)命题“∃m∈R，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”的否定是(　　) A．∃m∈R，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根 B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根 C．∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实数根 D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根 解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，一方面要改量词，即“∃”改为“∀”；另一方面要否定结论，即“有实数根”改为“无实数根”．故选C. 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 4．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是1742年哥德巴赫给数学家欧拉的信中提出的猜想：“任意大于2的偶数都可以表示成两个质数之和”，则哥德巴赫猜想的否定为(　　) A．任意小于2的偶数都不可以表示成两个质数之和 B．任意大于2的偶数都不可以表示成两个质数之和 C．至少存在一个小于2的偶数不可以表示成两个质数之和 D．至少存在一个大于2的偶数不可以表示成两个质数之和 解析：哥德巴赫猜想的否定为“至少存在一个大于2的偶数不可以表示成两个质数之和”． 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 5．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是(　　) A．{a|a<－1} B．{a|a≥1} C．{a|a>1} D．{a|a≤－1} 解析：因为p为假命题，所以綈p为真命题，即∀x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，则a≥1.故选B. 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 二、多选题 6．下列命题的否定是假命题的是(　　) A．三角形角平分线上的点到角两边的距离相等 B．所有平行四边形都不是菱形 C．任意两个等边三角形都是相似的 D．3是方程x2－9＝0的一个根 解析： A的否定为存在一个三角形，它的角平分线上的点到角两边的距离不相等，是假命题；B的否定为有些平行四边形是菱形，是真命题；C的否定为有些等边三角形不相似，是假命题；D的否定为3不是方程x2－9＝0的一个根，是假命题．故选ACD. 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 7．下列四个命题的否定为真命题的是(　　) A．p：所有四边形的内角和都是360° B．q：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0 C．r：∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数 D．s：对所有实数a，都有|a|>0 解析：对于A，綈p：有的四边形的内角和不是360°，是假命题；对于B，綈q：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，是真命题，这是由于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0恒成立；对于C，綈r：∀x∈{x|x是无理数}，x2不是无理数，是假命题；对于D，綈s：存在实数a，使|a|≤0，是真命题． 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 三、填空题 8．命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是________________________． 解析：该命题是存在量词命题，根据存在量词命题的否定是改量词，否结论，则否定是“任意一个三角形都有外接圆”． 答案 解析 任意一个三角形都有外接圆 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 9．命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”，用符号表示为__________________；此命题的否定是__________________，是________(填“真”或“假”)命题． 解析：此命题用符号表示为∃x，y∈R，x＋y>1，此命题的否定是∀x，y∈R，x＋y≤1，原命题为真命题，所以它的否定为假命题． 解析 答案 ∃x，y∈R，x＋y>1 ∀x，y∈R，x＋y≤1 假 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 10．若命题“∃x∈R，2x2＋3x＋a＝0”是假命题，则实数a的取值范围是________． 解析 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 12．已知命题“∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围． 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 14．已知命题p：∀x∈R，|x＋3|>0，则綈p是________命题．(填“真”或“假”) 解：命题p：∀x∈R，|x＋3|>0，则綈p：∃x∈R，|x＋3|≤0，当x＝－3时，|－3＋3|＝0≤0成立，所以綈p是真命题． 解析 真 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 15．已知a，b，c为实数，且a＝b＋c＋1，证明：两个一元二次方程x2＋x＋b＝0，x2＋ax＋c＝0中至少有一个方程有两个不相等的实数根． 证明：要证明结论的否定为两个方程都没有两个不相等的实数根，若其为真命题， 则有Δ1＝1－4b≤0，Δ2＝a2－4c≤0. 所以Δ1＋Δ2＝1－4b＋a2－4c≤0. 因为a＝b＋c＋1，所以b＋c＝a－1. 所以1－4(a－1)＋a2≤0，即a2－4a＋5≤0. 但是a2－4a＋5＝(a－2)2＋1>0，故矛盾． 所以要证明结论的否定是假命题，则要证明的结论为真命题，即两个一元二次方程x2＋x＋b＝0，x2＋ax＋c＝0中至少有一个方程有两个不相等的实数根． 证明 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 16．已知命题p：∃x∈R，－x2－2x＋m≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2x－m－1＝0，若命题p为假命题，命题q为真命题，求实数m的取值范围． 解：因为命题p为假命题，所以命题p的否定为真命题，即命题“∀x∈R，－x2－2x＋m<0”为真命题， 即－x2－2x＋m＝－(x2＋2x＋1)＋1＋m＝－(x＋1)2＋1＋m<0对任意x∈R恒成立， 故m<(x＋1)2－1对任意x∈R恒成立， 所以m<－1； 若命题q：∃x∈R，x2＋2x－m－1＝0为真命题， 则方程x2＋2x－m－1＝0有实根， 所以Δ＝4＋4(m＋1)≥0，所以m≥－2. 综上，实数m的取值范围为[－2，－1)． 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 　　　　　　　　　　　　　 R 【跟踪训练】　 2．写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假． (1)有些实数的绝对值是正数； (2)∃x∈R，x2＋x＋eq \f(1,4)<0； (3)至少有一个实数x，使x3＋1＝0. 解：(1)命题的否定为“所有实数的绝对值都不是正数”．这个命题是假命题，如2的绝对值是正数． (2)命题的否定为“∀x∈R，x2＋x＋eq \f(1,4)≥0”． 这个命题是真命题，因为当x∈R时，x2＋x＋eq \f(1,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2))) eq \s\up12(2)≥0. (3)命题的否定为“∀x∈R，x3＋1≠0”．这个命题是假命题，因为当x＝－1时，x3＋1＝0. 解　(1)这一命题可以表述为“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定是“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”．因为当Δ＝12－4×1×(－m)＝1＋4m<0，即m<－eq \f(1,4)时，一元二次方程x2＋x－m＝0没有实数根，所以所得命题是真命题． 【跟踪训练】　 3．写出下列全称量词命题的否定，并判断所得命题的真假． (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)∀x∈R，|x|≥x； (3)∀x>0，eq \r(x)为正数． 解：(1)原命题的否定为“存在一个矩形不是平行四边形”，这个命题是假命题． (2)原命题的否定为“∃x∈R，|x|<x”，这个命题是假命题． (3)原命题的否定为“∃x>0，eq \r(x)≤0”，这个命题是假命题． 2．(2024·山东威海高一期末)命题“∃x∈Q，x＋eq \r(2)是无理数”的否定是(　　) A．∀x∈Q，x＋eq \r(2)不是无理数 B．∀x∈Q，x＋eq \r(2)是无理数 C．∀x∉Q，x＋eq \r(2)不是无理数 D．∀x∉Q，x＋eq \r(2)是无理数 解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，一方面要改量词，即“∃”改为“∀”；另一方面要否定结论，即“是”改为“不是”，所以该命题的否定为“∀x∈Q，x＋eq \r(2)不是无理数”．故选A. eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，＋∞)) 解析：依题意，得“∀x∈R，x2＋x＋a－1≥0”为真命题，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋a－eq \f(5,4)≥0恒成立，所以a≥eq \f(5,4). eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,8)，＋∞)) 解析：因为命题“∃x∈R，2x2＋3x＋a＝0”是假命题，所以其否定“∀x∈R，2x2＋3x＋a≠0”是真命题，即方程2x2＋3x＋a＝0无实根，所以Δ＝32－4×2×a<0，解得a>eq \f(9,8).故实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,8)，＋∞)). 四、解答题 11．写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假． (1)关于x的方程ax＝b总有实数根； (2)有些正整数没有1和它本身以外的约数； (3)对任意实数x1，x2，若x1<x2，则xeq \o\al(2,1)＋1<xeq \o\al(2,2)＋1； (4)∃x>1，x2－2x－3＝0. 解：(1)这个命题的否定为“有些关于x的方程ax＝b无实数根”，如0x＝1，所以所得命题为真命题． (2)这个命题的否定为“任意正整数都有1和它本身以外的约数”，如2只有1和它本身这两个约数，所以所得命题为假命题． (3)这个命题的否定为“存在实数x1，x2，满足x1<x2，但xeq \o\al(2,1)＋1≥xeq \o\al(2,2)＋1”．这个命题中若x1＝－1，x2＝1，有xeq \o\al(2,1)＋1＝xeq \o\al(2,2)＋1，所以所得命题为真命题． (4)这个命题的否定为“∀x>1，x2－2x－3≠0”，因为当x＝3时，x2－2x－3＝0，所以所得命题为假命题． 解：题中的命题为全称量词命题，因为其为假命题，所以其否定“∃x∈R，ax2＋2x＋1＝0”为真命题，即关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有实数根．所以a＝0或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≠0，,4－4a≥0，))即a＝0或a≤1且a≠0，所以a≤1. 所以实数a的取值范围是(－∞，1]． 13．命题“∃a，b>0，a＋eq \f(1,b)≥2和b＋eq \f(1,a)≥2都不成立”的否定为(　　) A．∀a，b>0，a＋eq \f(1,b)<2和b＋eq \f(1,a)<2至少有一个成立 B．∀a，b>0，a＋eq \f(1,b)≥2和b＋eq \f(1,a)≥2都不成立 C．∃a，b>0，a＋eq \f(1,b)>2和b＋eq \f(1,a)>2都不成立 D．∀a，b>0，a＋eq \f(1,b)≥2和b＋eq \f(1,a)≥2至少有一个成立 解析：由存在量词命题的否定为全称量词命题可得，“∃a，b>0，a＋eq \f(1,b)≥2和b＋eq \f(1,a)≥2都不成立”的否定为“∀a，b>0，a＋eq \f(1,b)≥2和b＋eq \f(1,a)≥2至少有一个成立”．故选D. $$