3.1.3 第2课时 函数奇偶性的应用-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教B版2019）

数学 必修 第一册RJB 第2课时　函数奇偶性的应用 (教师独具内容) 课程标准：会利用函数的奇偶性研究函数的定义域、值域、解析式、单调性等． 教学重点：函数奇偶性的应用． 教学难点：函数的奇偶性和单调性的综合应用． 核心素养：通过应用函数的奇偶性解决问题培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　函数奇偶性的应用 如果知道一个函数是奇函数或是偶函数，那么其定义域能分成关于原点对称的两部分，得出函数在其中一部分上的性质和图象，就可得出这个函数在另一部分上的性质和图象． 知识点二　偶函数的性质 如果y＝f(x)是偶函数，那么其在x>0与x<0时的单调性相反． 知识点三　奇函数的性质 如果y＝f(x)是奇函数，那么其在x>0与x<0时的单调性相同． [想一想]　偶函数的图象一定与y轴相交吗？奇函数的图象一定过原点吗？ 提示：偶函数的图象不一定与y轴相交，奇函数的图象也不一定过原点． 1．(利用函数的奇偶性求参数)函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．无法确定 答案：C 2．(利用函数的奇偶性求值)已知函数f(x)为偶函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝________． 答案：2 3．(利用函数的奇偶性求最值)如果奇函数f(x)在区间[2，5]上是减函数，且最大值为8，最小值为3，那么f(x)在[－5，－2]上是________函数，最大值是________，最小值是________． 答案：减　－3　－8 题型一　利用函数的奇偶性求值或求参数　 　(1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c是定义在[2b－5，2b－3]上的奇函数，则f的值为(　　) A. B. C．1 D．无法确定 [解析]　∵奇函数的定义域关于原点对称，∴2b－5＝－(2b－3)＝－2b＋3，解得b＝2.∴f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，∴f(0)＝c＝0，f(－1)＝－f(1)，即－1＋a－2＝－(1＋a＋2)，∴a＝0.∴f(x)＝x3＋2x.∴f＝＋2×＝＋1＝. [答案]　B (2)已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________． [解析]　令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)为奇函数．∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2.又f(－3)＝－3，∴g(3)＝5.又f(3)＝g(3)＋2，∴f(3)＝5＋2＝7. [答案]　7 (3)(2024·山东潍坊高一期中)若定义在(－1，1)上的奇函数f(x)＝，则m＝________，n＝________． [解析]　由题意，得f(0)＝0，故m＝0.由f(x)是奇函数，知f(－x)＝－f(x)，即＝－，所以x2－nx＋1＝x2＋nx＋1，所以n＝0. [答案]　0　0 (4)已知函数f(x)＝(x＋a)(x＋b)(a，b∈R)为R上的偶函数，求a，b的关系式． [解]　∵f(x)＝(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab是偶函数，∴f(－x)＝f(x)对于x∈R恒成立，∴(－x)2－(a＋b)x＋ab＝x2＋(a＋b)x＋ab，即2(a＋b)x＝0对于x∈R恒成立，∴a＋b＝0，即b＝－a. 【感悟提升】　利用奇偶性求参数的常见类型及策略 (1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数． (2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数即可求解． 【跟踪训练】　 1．(1)设函数f(x)＝若f(x)是奇函数，则g(2)的值是(　　) A．3 B．5 C．－5 D．－3 答案：A 解析：∵函数f(x)＝且f(x)是奇函数，∴g(2)＝f(2)＝－f(－2)＝－(－2×2＋1)＝3.故选A. (2)若f(x)＝ax2＋bx＋b＋1是定义在[a－1，2a]上的偶函数，则a＋b的值为(　　) A．－ B. C．－ D. 答案：B 解析：∵f(x)＝ax2＋bx＋b＋1是定义在[a－1，2a]上的偶函数，∴a－1＝－2a，f(－x)＝ax2－bx＋b＋1＝f(x)＝ax2＋bx＋b＋1.∴a＝，b＝0.∴a＋b＝.故选B. (3)(2024·辽宁辽阳高一期中)已知函数f(x)＝为奇函数，则m＝________，n＝________． 答案：－1　1 解析：由题意，知则所以当m＝－1，n＝1时，经检验知f(x)为奇函数，故m＝－1，n＝1. 题型二　利用函数的奇偶性求解析式　 角度　求对称区间上的解析式 　(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(1－x)，求当x≥0时，f(x)的解析式． [解]　∵当x<0时，f(x)＝x(1－x)， 设x>0，则－x<0. ∴f(－x)＝－x(1＋x)． 又f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)＝x(1＋x)． 当x＝0时，f(0)＝－f(0)，即f(0)＝0. ∴当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)． (2)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＝－x2－x，求当x>0时，f(x)的解析式． [解]　设x>0，则－x<0， ∴f(－x)＝－(－x)2－(－x)＝－x2＋x. 又f(x)是R上的偶函数， ∴f(x)＝f(－x)＝－x2＋x， ∴当x>0时，f(x)＝－x2＋x. 【感悟提升】　利用函数奇偶性求解析式的方法 (1)求哪个区间上的解析式，x就设在哪个区间上． (2)把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中． (3)利用f(x)的奇偶性将f(－x)用－f(x)或f(x)表示，从而求出f(x)． 【跟踪训练】　 2．已知f(x)是定义在R上的奇函数，并且当x>0时f(x)＝x3＋x＋1，求f(x)的解析式． 解：∵当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1， 设x<0，∴－x>0. ∴f(－x)＝(－x)3＋(－x)＋1＝－x3－x＋1. 又f(x)是R上的奇函数， ∴f(0)＝0，f(－x)＝－f(x)． ∴－f(x)＝－x3－x＋1， 即f(x)＝x3＋x－1. 故f(x)＝ 角度　构造方程组求解析式 　设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式． [解]　∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， ∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)， 由f(x)＋g(x)＝2x＋x2，① 用－x代替x，得 f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2， ∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2，② (①＋②)÷2，得f(x)＝x2； (①－②)÷2，得g(x)＝2x. 【感悟提升】　构造方程组求解析式一般是利用奇偶函数的定义构造方程组，然后通过解方程组求得函数的解析式． 【跟踪训练】　 3．设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式． 解：∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， ∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)， 由f(x)＋g(x)＝，① 用－x代替x， 得f(－x)＋g(－x)＝， ∴f(x)－g(x)＝，② (①＋②)÷2，得f(x)＝； (①－②)÷2，得g(x)＝. 题型三　函数的奇偶性与单调性的综合应用　 　(1)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，在[2，6]上是减函数，试比较f(－5)与f(3)的大小． [解]　因为f(x)是偶函数， 所以f(－5)＝f(5)， 因为f(x)在[2，6]上是减函数， 所以f(5)<f(3)， 所以f(－5)<f(3)． (2)设定义在[－2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围． [解]　由f(m)＋f(m－1)>0，得f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)<f(m)． 又f(x)在区间[0，2]上为减函数且f(x)在[－2，2]上为奇函数， 所以f(x)在[－2，2]上为减函数． 所以即 解得－1≤m<. 故实数m的取值范围为. 【感悟提升】　奇偶性与单调性综合问题的两种类型 (1)比较大小：看自变量是否在同一单调区间上． ①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； ②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． (2)解不等式 ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式求解． 【跟踪训练】　 4．(1)已知函数f(x)在[－5，5]上是偶函数，f(x)在[0，5]上是单调函数，且f(－4)<f(－2)，则下列不等式一定成立的是(　　) A．f(－1)<f(3) B．f(2)<f(3) C．f(－3)<f(5) D．f(0)>f(1) 答案：D 解析：因为函数f(x)在[－5，5]上是偶函数，所以f(－4)<f(－2)⇒f(4)<f(2)．又f(x)在[0，5]上是单调函数，所以f(x)在[0，5]上单调递减，从而f(0)>f(1)． (2)设函数f(x)在R上是偶函数，在(－∞，0)上单调递减，若f(a2－2a＋3)>f(a2＋a＋1)，求实数a的取值范围． 解：由题意，知f(x)在(0，＋∞)上是增函数． 又a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0，a2＋a＋1＝＋>0，且f(a2－2a＋3)>f(a2＋a＋1)， 所以a2－2a＋3>a2＋a＋1，即3a<2，a<. 综上，实数a的取值范围是. 题型四　函数的奇偶性与对称性的综合应用　 　(1)(多选)已知定义在R上的函数f(x)，则下列结论正确的是(　　) A．若f(x)是奇函数，则f(x－1)的图象关于点A(1，0)对称 B．若f(x－1)是偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称 C．函数f(1＋x)与函数f(1－x)的图象关于直线x＝1对称 D．若f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)，则f(x)的图象关于坐标原点对称 [解析]　对于A，因为f(x)为奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称，而f(x－1)的图象是将f(x)的图象向右平移1个单位得到的，所以f(x－1)的图象关于点A(1，0)对称，故A正确；对于B，由f(x－1)是偶函数，得f(－x－1)＝f(x－1)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，故B正确；对于C，由图象的对称性知函数y＝f(x＋1)的图象与函数y＝f(1－x)的图象关于y轴对称，所以C不正确；对于D，因为f(x)＝－f(x＋2)，所以f(x＋2)＝－f(x＋4)，所以f(x)＝f(x＋4)．又f(4－x)＝f(x)，所以f(4＋x)＝f(－x)，所以f(x)＝f(4＋x)＝f(－x)，从而f(x)为偶函数，可知f(x)的图象关于y轴对称，故D不正确．故选AB. [答案]　AB (2)(2024·贵州贵阳高一期中)已知f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x＋2)为偶函数，f(2)＝3，则f(4)＋f(6)＋f(8)＝________． [解析]　因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0.因为f(x＋2)为偶函数，所以f(－x＋2)＝f(x＋2)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(4)＝f(0)＝0，f(6)＝f(－2)＝－f(2)＝－3，f(8)＝f(－4)＝－f(4)＝0，故f(4)＋f(6)＋f(8)＝－3. [答案]　－3 (3)求证：二次函数f(x)＝－x2－2x＋1的图象关于直线x＝－1对称． [证明]　任取h∈R， ∵f(－1＋h)＝－(－1＋h)2－2(－1＋h)＋1＝－h2＋2， f(－1－h)＝－(－1－h)2－2(－1－h)＋1＝－h2＋2， ∴f(－1＋h)＝f(－1－h)， ∴二次函数f(x)＝－x2－2x＋1的图象关于直线x＝－1对称． 【感悟提升】　 1．函数f(x)的图象关于直线对称 若函数f(x)对定义域内任意x，都有 (1)f(a－x)＝f(a＋x)⇔y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (2)f(x)＝f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于直线x＝对称； (3)f(a＋x)＝f(b－x)⇔y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． 2．函数f(x)的图象关于点对称 若函数f(x)对定义域内任意x，都有 (1)f(a－x)＝－f(a＋x)⇔y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称； (2)f(x)＝－f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于点对称； (3)f(a＋x)＝－f(b－x)⇔y＝f(x)的图象关于点对称． 3．要证明函数f(x)的图象关于x＝h对称，只需证明对定义域内的任意x，满足f(h－x)＝f(h＋x)． 4．要证明函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，只需证明对定义域内的任意x，满足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b. 【跟踪训练】　 5．(1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2－x)为奇函数，函数f(x＋3)的图象关于直线x＝1对称，则下列式子一定成立的是(　　) A．f(x－2)＝f(x) B．f(2＋x)＋f(x＋6)＝0 C．f(x－2)f(x＋2)＝1 D．f(－x)＋f(x＋1)＝0 答案：B 解析：令F(x)＝f(2－x)，∵f(2－x)为奇函数，∴F(－x)＝－F(x)，即f(2＋x)＝－f(2－x)，即f(x)的图象关于点(2，0)对称，令G(x)＝f(x＋3)，G(x)的图象关于直线x＝1对称，即G(1＋x)＝G(1－x)，f((1＋x)＋3)＝f((1－x)＋3)，f(4＋x)＝f(4－x)，即f(x)的图象关于直线x＝4对称，f(x)＝f(4＋(x－4))＝f(4－(x－4))＝f(8－x)，用x＋6代替表达式中的x，可得f(2－x)＝f(x＋6)，又－f(2＋x)＝f(2－x)，即－f(2＋x)＝f(x＋6)，∴f(2＋x)＋f(x＋6)＝0.故选B. (2)(2024·湖南岳阳高一期中)若函数f(x＋3)是偶函数，函数y＝f(x)在[3，＋∞)上单调递减，则(　　) A．f(－1)>f(8) B．f(－2)>f(1) C．f(5)>f(2) D．f(－1)>f(7) 答案：A 解析：由题意知函数f(x＋3)是偶函数，所以f(x＋3)＝f(－x＋3)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝3对称，因为函数y＝f(x)在[3，＋∞)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，3)上单调递增，所以f(－1)＝f(7)>f(8)，故A正确，D错误；f(－2)<f(1)，故B错误；f(5)＝f(1)<f(2)，故C错误．故选A. (3)证明：函数f(x)＝的图象关于点(－1，1)对称． 证明：函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)． 由f(x)＝，得f(－2－x)＝＝， 则f(x)＋f(－2－x)＝＝2， 即f(x)＋f(－2－x)＝2×1， 由函数对称的性质知f(x)的图象关于点(－1，1)对称． 1．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝(　　) A. B. C. D．1 答案：A 解析：函数f(x)的定义域为.又f(x)为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a＝.经检验，符合题意． 2．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小关系是(　　) A．f(－π)>f(3)>f(－2) B．f(－π)>f(－2)>f(3) C．f(3)>f(－2)>f(－π) D．f(3)>f(－π)>f(－2) 答案：A 解析：∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且2<3<π，∴f(π)>f(3)>f(2)，即f(－π)>f(3)>f(－2)． 3．(多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x－x2，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最大值为 B．f(x)在(－1，0)上是增函数 C．f(x)>0的解集为(－1，1) D．f(x)＋2x≥0的解集为[0，3] 答案：AD 解析：当x≥0时，f(x)＝x－x2＝－＋，又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(x)的最大值为，A正确；f(x)在上是减函数，B错误；f(x)>0的解集为(－1，0)∪(0，1)，C错误；当x≥0时，f(x)＋2x＝3x－x2≥0的解集为[0，3]，当x<0时，可得f(x)＝f(－x)＝－x－x2，f(x)＋2x＝x－x2≥0无解，D正确．故选AD. 4．奇函数f(x)在区间[3，6]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值是4，最小值是－1，则2f(－6)＋f(－3)＝________． 答案：－7 解析：∵f(x)在[3，6]上是增函数，∴f(3)＝－1，f(6)＝4.∵f(x)是奇函数，∴2f(－6)＋f(－3)＝－2f(6)－f(3)＝－2×4＋1＝－7. 5．已知函数f(x)＝x2＋4x＋3，则函数f(x)在[－3，3]上的最大值为________；若g(x)＝f(x)＋bx为偶函数，则b＝________． 答案：24　－4 解析：∵f(x)＝x2＋4x＋3的图象关于直线x＝－2对称，∴f(x)在x＝－2时取得最小值－1，在x＝3时取得最大值24.∵g(x)＝f(x)＋bx＝x2＋(b＋4)x＋3，g(－x)＝x2－(b＋4)x＋3，g(x)为偶函数，∴g(x)＝g(－x)，∴b＋4＝0，∴b＝－4. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ ★ 对点 判断函数的奇偶性与单调性 利用函数的奇偶性与单调性求参数值 求奇函数对称区间上的单调性与最值 利用函数的奇偶性求解析式——定义法 利用函数的奇偶性、单调性及图象比较大小 奇偶函数图象的对称性 函数的奇偶性与单调性的综合应用 利用函数的奇偶性求参数值 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 利用函数的奇偶性与单调性比较大小 利用函数的奇偶性与单调性解不等式 利用函数的奇偶性求值、求解析式 利用函数的奇偶性与单调性求参数值、解不等式 判断函数的奇偶性与单调性、解不等式 利用函数的奇偶性、单调性与对称性比较大小 利用函数的奇偶性求解析式及函数值 抽象函数奇偶性与单调性的证明及应用 一、单选题 1．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是(　　) A．y＝x＋1 B．y＝－x2 C．y＝－ D．y＝3x 答案：D 解析：对于A，由函数y＝x＋1的图象知该函数不是奇函数；对于B，函数y＝－x2是偶函数；对于C，函数y＝－在其定义域内没有单调性；对于D，函数y＝3x是奇函数，且在其定义域内是增函数，符合题意．故选D. 2．已知函数f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，g(x)＝－x2－mx在(－∞，0)上单调递增，则实数m＝(　　) A．－2 B．±2 C．0 D．2 答案：A 解析：由函数f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，得m2－4＝0，解得m＝±2.又当m＝2时，g(x)＝－x2－2x，该函数在(－∞，0)上不单调递增，故m≠2.当m＝－2时，g(x)＝－x2＋2x，该函数在(－∞，0)上单调递增．故选A. 3．如果奇函数f(x)在区间[－7，－3]上是减函数且最大值为5，那么函数f(x)在区间[3，7]上是(　　) A．增函数且最小值为－5 B．增函数且最大值为－5 C．减函数且最小值为－5 D．减函数且最大值为－5 答案：C 解析：∵f(x)为奇函数，∴f(x)在[3，7]上的单调性与在[－7，－3]上一致，且f(7)为最小值．又已知f(－7)＝5，∴f(7)＝－f(－7)＝－5.故选C. 4．设函数f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋)，那么当x∈(－∞，0]时，f(x)＝(　　) A．－x(1＋) B．x(1＋) C．－x(1－) D．x(1－) 答案：D 解析：当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，∴f(－x)＝－x·(1＋)＝－x(1－)．∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝x(1－)，又f(0)＝0，∴当x∈(－∞，0]时，f(x)＝x(1－)．故选D. 5．定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，给出下列不等式，其中成立的是(　　) A．f(b)－f(－a)>g(－b)＋g(a) B．f(b)－f(－a)<g(a)－g(－b) C．f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a) D．f(a)－f(－b)<g(－a)＋g(b) 答案：C 解析：由已知得g(x)在区间[0，＋∞)上为增函数，根据偶函数的定义知g(x)在区间(－∞，0]上为减函数．因为a>b>0，所以f(b)>f(－a)，g(a)>g(b)＝g(－b)，所以f(b)＋g(a)>f(－a)＋g(－b)，即f(b)－f(－a)>g(－b)－g(a)．因为a>0>－b，所以f(a)>f(－b)，又g(b)＝g(－b)<g(－a)，所以f(a)＋g(－a)>f(－b)＋g(b)，即f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a)．故选C. 二、多选题 6．已知函数f(x)的定义域为R，则下列命题中是真命题的是(　　) A．若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f(x)为偶函数 B．若f(x＋2)＝－f(x－2)，则函数f(x)的图象关于点(2，0)对称 C．函数y＝f(2＋x)与函数y＝f(2－x)的图象关于直线x＝2对称 D．函数y＝f(x－2)与函数y＝f(2－x)的图象关于直线x＝2对称 答案：AD 解析：对于A，设g(x)＝f(x－1)，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，则有g(x＋1)＝g(－x＋1)，即f(x)＝f(－x)，故A是真命题；对于B，若函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，应有f(x＋2)＝－f(2－x)，故B是假命题；对于C，在第一个函数中，用－x代替x，y不变，即可得第二个函数，所以这两个函数的图象关于y轴对称，故C是假命题；对于D，函数y＝f(x－2)与函数y＝f(2－x)的图象关于直线x＝2对称，故D是真命题．故选AD. 7．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：①∀x∈R，f(－x)＝f(x)；②∀x1，x2∈[0，＋∞)，当x1≠x2时，>0；③f(－1)＝0.则下列结论成立的是(　　) A．f(3)>f(4) B．若f(m－1)<f(2)，则m∈(－∞，3) C．若>0，则x∈(－1，0)∪(1，＋∞) D．∀x∈R，∃m∈R，使得f(x)≥m 答案：CD 解析：根据题中条件①知，函数f(x)为R上的偶函数．根据题中条件②知，函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增．对于A，根据函数的单调性，得f(3)<f(4)，故A错误；对于B，∵f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，∴若f(m－1)<f(2)，则|m－1|<2，解得－1<m<3，故B错误；对于C，若>0，∵f(－1)＝f(1)＝0，∴或解得x>1或－1<x<0，即当>0时，x∈(－1，0)∪(1，＋∞)，故C正确；对于D，根据偶函数的单调性可得，函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，∴f(x)在R上有最小值，故D正确．故选CD. 三、填空题 8．(2024·吉林长春高一期中)已知函数f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)＝2x2＋，且f(－1)＝4，则m＝________． 答案：2 解析：因为函数f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)＝2＋m＝4，所以m＝2. 9．函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它是减函数，若实数a，b满足f(a)＋f(b)>0，则a＋b________0.(填“>”“<”或“＝”) 答案：< 解析：∵f(a)＋f(b)>0，∴f(a)>－f(b)，∴f(a)>f(－b)，又f(x)为减函数，∴a<－b，∴a＋b<0. 10．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是________． 答案： 解析：∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)，∴不等式f(2x－1)<f等价于f(|2x－1|)<f，又f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，∴|2x－1|<，解得<x<.故满足f(2x－1)<f的x的取值范围是. 四、解答题 11．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x. (1)求f(－1)的值； (2)当x<0时，求f(x)的解析式． 解：(1)因为f(x)是定义在R上的偶函数， 所以f(－1)＝f(1)＝1－4×1＝－3. (2)若x<0，则－x>0， 因为f(－x)＝f(x)， 所以f(x)＝f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋4x. 12．设定义在[－2，2]上的奇函数f(x)＝x5＋x3＋b. (1)求b的值； (2)若函数f(x)在[0，2]上单调递增，且f(m)＋f(2m－1)>0，求实数m的取值范围． 解：(1)因为函数f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数， 所以f(0)＝0，解得b＝0. (2)因为函数f(x)在[0，2]上单调递增， 又因为f(x)是奇函数，所以f(x)在[－2，2]上单调递增， 因为f(m)＋f(2m－1)>0， 所以f(2m－1)>－f(m)＝f(－m)． 所以 解得<m≤. 故实数m的取值范围为. 13．(2024·辽宁鞍山高一期中)已知函数f(x)＝x(|x|＋1)，则不等式f(x2)＋f(x－2)>0的解集为(　　) A．(－2，1) B．(－1，2) C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 答案：D 解析：∵f(x)＝x(|x|＋1)，∴f(－x)＝－x(|－x|＋1)＝－x(|x|＋1)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．由当x≥0时，f(x)＝x2＋x，可知f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(x)在(－∞，0]上也单调递增，即f(x)为R上的增函数．由f(x2)＋f(x－2)>0，得f(x2)>－f(x－2)，∴f(x2)>f(2－x)，∴x2>2－x，解得x<－2或x>1.故选D. 14．(2024·山东青岛高一期中)已知函数f(x－2)是偶函数，当x1<x2<－2时，>0恒成立，设a＝f，b＝f(－1)，c＝f(2)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b<a<c B．c<b<a C．b<c<a D．a<b<c 答案：B 解析：因为当x1<x2<－2时，>0恒成立，所以函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增，由于函数f(x－2)是偶函数，所以f(x－2)＝f(－x－2)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝－2对称，所以b＝f(－1)＝f(－3)，c＝f(2)＝f(－6)，因为－6<－3<－<－2，函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增，所以c＝f(－6)<b＝f(－3)<a＝f.故选B. 15．(2024·安徽名校联盟高一期末)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)是奇函数，f(x＋2)是偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝2x2＋bx＋c.若f(3)－f(2)＝6. (1)求当x∈[0，1]时，f(x)的解析式； (2)求f的值． 解：(1)因为f(x＋1)是奇函数， 所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)．① 因为f(x＋2)是偶函数， 所以f(x＋2)＝f(－x＋2)．② 令x＝1，由①，得f(0)＝－f(2)＝c， 由②，得f(3)＝f(1)＝2＋b＋c， 因为f(3)－f(2)＝6，所以2＋b＋c＋c＝6，即b＋2c＝4， 令x＝0，由①，得f(1)＝－f(1)， 所以f(1)＝0，即2＋b＋c＝0，所以b＋c＝－2. 联立解得 所以当x∈[0，1]时，f(x)＝2x2－8x＋6. (2)因为f(x＋1)是奇函数， 所以f(x＋1)＝－f(－x＋1)， 所以f＝f＝－f＝－f. 又f＝2×－4＋6＝， 所以f＝－. 16．已知f(x)是定义在R上的函数，对x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(－1)＝2. (1)求证：f(x)为奇函数； (2)求证：f(x)是R上的减函数； (3)求f(x)在[－2，4]上的最值． 解：(1)证明：由f(x)的定义域为R， 令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)， 所以f(0)＝0. 令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)， 即0＝f(x)＋f(－x)， 所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数． (2)证明：任取x1，x2∈R，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－[f(x2)－f(x1)]＝－[f(x2)＋f(－x1)]＝－f(x2－x1)． 因为x2－x1>0，所以f(x2－x1)<0. 所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)． 所以f(x)是R上的减函数． (3)因为f(－1)＝2，所以f(－2)＝f(－1)＋f(－1)＝4.因为f(x)为奇函数， 所以f(2)＝－f(－2)＝－4， 所以f(4)＝f(2)＋f(2)＝－8. 因为f(x)在[－2，4]上为减函数， 所以f(x)max＝f(－2)＝4，f(x)min＝f(4)＝－8. 16 学科网（北京）股份有限公司 $$