4.4.1 对数函数的概念-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修 第一册 RJA 4.4.1　对数函数的概念 (教师独具内容) 课程标准：通过具体实例，了解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型． 教学重点：对数函数的概念． 教学难点：运用对数函数的概念解决问题． 核心素养：1.借助对数函数的概念，培养数学抽象素养.2.通过求对数型函数的定义域及解决与对数函数有关的实际问题，培养数学运算素养和数学建模素养． 知识点　　对数函数 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)． [点拨]　两种特殊的对数函数 (1)常用对数函数：y＝lg x. (2)自然对数函数：y＝ln x. 1．(对数函数的判断)下列函数是对数函数的是(　　) A．y＝log2x2 B．y＝3log3x C．y＝log5x D．y＝log2(x＋1) 答案：C 2．(对数型函数的定义域)函数f(x)＝log2(3x－1)的定义域为________________． 答案： 3．(求对数函数的解析式)若对数函数y＝f(x)的图象过点(8，3)，则对数函数的解析式为________________． 答案：f(x)＝log2x 题型一　对数函数的概念 　(1)给出下列函数：①y＝log5x＋1；②y＝log(－1)x；③y＝log3；④y＝logx(x＞0，且x≠1)；⑤y＝logx.其中是对数函数的是(　　) A．③④⑤ B．②④⑤ C．①③⑤ D．②⑤ [解析]　由对数函数的定义知，②⑤是对数函数．故选D. [答案]　D (2)若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________． [解析]　因为函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，所以解得a＝4. [答案]　4 (3)已知对数函数y＝f(x)的图象过点(16，4)，则f＝________． [解析]　设对数函数为f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，由f(16)＝4可知loga16＝4，∴a＝2，∴f(x)＝log2x.∴f＝log2＝－1. [答案]　－1 【感悟提升】判断一个函数是对数函数的方法 【跟踪训练】 1．(1)已知下列函数： ①y＝lg (－x)(x＜0)；②y＝2log4(x－1)(x＞1)；③y＝ln x(x＞0)；④y＝log(a2＋a)x(x＞0，a为常数)． 其中是对数函数的是________(只填序号)． 答案：③　 解析：对于①，真数是－x，故①不是对数函数；对于②，2log4(x－1)的系数是2，而不是1，且真数是x－1，不是x，故②不是对数函数；对于③，ln x的系数是1，真数是x，故③是对数函数；对于④，底数a2＋a＝－，当a＝－时，底数小于0，故④不是对数函数． (2)若函数f(x)＝(a2＋a－5)logax是对数函数，则a＝________． 答案：2 解析：由题意可得a2＋a－5＝1，解得a＝－3或a＝2.又a＞0，且a≠1，所以a＝2. (3)若对数函数的图象过点(16，2)，则对数函数的解析式为________． 答案：y＝log4x 解析：设对数函数的解析式为y＝logax(a＞0，且a≠1)，由已知可得loga16＝2，即a2＝16.又a>0，所以a＝4.故函数的解析式为y＝log4x. 题型二　对数型函数的定义域 　求下列函数的定义域： (1)y＝；(2)y＝log2(16－4x)； (3)y＝log(3x－1)(2x＋3)． [解]　(1)要使函数有意义， 需解得 即－3<x<－2，或x≥2. 故所求函数的定义域为{x|－3＜x＜－2，或x≥2}． (2)要使函数有意义，需16－4x>0， 得4x<16＝42， 由指数函数的单调性得x<2. 所以所求函数的定义域为{x|x＜2}． (3)要使函数有意义， 需 解得 所以x＞，且x≠. 故所求函数的定义域为. 【感悟提升】求对数型函数定义域的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负． (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. (4)若需对函数进行变形，则需先求出定义域，再对函数进行恒等变形． 【跟踪训练】 2．求下列函数的定义域： (1)y＝；(2)y＝； (3)y＝log(2x－1)(－4x＋8)． 解：(1)由题意，得即 ∴x<4，且x≠3， ∴y＝的定义域为{x|x<4，且x≠3}． (2)由得 解得x>，且x≠1， ∴y＝的定义域为. (3)由题意，得解得 ∴y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为. 题型三　对数型函数在实际问题中的应用 　(2024·四川成都高一上期末)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)． (1)写出奖金y关于销售利润x的关系式； (2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ [解]　(1)由题意知 y＝ (2)由题意知1.5＋2log5(x－9)＝5.5， 所以log5(x－9)＝2，所以x－9＝52， 解得x＝34， 所以老江的销售利润是34万元． 【感悟提升】利用指数、对数函数解决应用问题的步骤 (1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围； (2)利用指对互化转化为对数函数y＝logax； (3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算． 【跟踪训练】 3．某化工厂生产一种溶液，若初始时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，设过滤y次后杂质含量为x. (1)求y关于x的函数解析式； (2)要使产品达到市场要求，杂质含量不超过0.1%，则至少应过滤多少次？(参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771)? 解：(1)由题意得， x＝0.02，即50x＝. 则y＝log(50x)． (2)令x＝0.001， 则y＝log0.05＝log＝－＝≈≈10.42. 所以要使产品达到市场要求，至少应过滤11次． 1．下列关于自变量x的函数中，是对数函数的是(　　) A．y＝logxa(x＞0，且x≠1) B．y＝log2x C．y＝2log3x2 D．y＝log5(x＋1) 答案：B 解析：根据对数函数的定义知B为对数函数． 2．函数y＝ln ()的定义域是(　　) A．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C．(2，＋∞) D．R 答案：B 解析：要使函数有意义，只需真数大于0，所以x－1＞0，即x＞1.故选B. 3．已知对数函数y＝f(x)的图象过点M(9，2)，则此对数函数的解析式为________． 答案：f(x)＝log3x 解析：设此对数函数的解析式为f(x)＝logax，则2＝loga9，所以a2＝9.又a＞0，所以a＝3.所以f(x)＝log3x. 4．设集合A＝{x|2x≤4}，B＝{x|y＝lg (x＋1)}，则A∩B＝________． 答案：{x|－1<x≤2} 解析：由题意知B＝{x|x＞－1}，A＝{x|x≤2}，所以A∩B＝{x|－1＜x≤2}． 5．科学研究表明：人类对声音有不同的感觉，这与声音的强度I(单位：瓦/平方米)有关，在实际测量时，常用L(单位：分贝)来表示声音强弱的等级，它与声音的强度I满足关系式：L＝alg (a是常数)，其中I0＝1×10－12瓦/平方米． 已知生活中几种声音的强度和强弱等级如表： 声音大小 声音来源 风吹落叶沙沙声 轻声耳语 强度I(瓦/平方米) 1×10－11 1×10－10 强弱等级L(分贝) 10 m 则a＝________，m＝________． 答案：10　20 解析：将I0＝1×10－12瓦/平方米，I＝1×10－11瓦/平方米，L＝10分贝代入L＝alg ， 得10＝alg ＝alg 10＝a，即a＝10， 所以m＝10lg ＝10lg 100＝20. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 对点 求对数型函数的定义域 求对数型函数的底数 由对数函数的概念求参数值 求对数型函数的解析式 由对数型函数的函数值求参数值 对数函数的判断 求对数型函数的定义域 待定系数法求对数函数的解析式及函数值 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 对数型函数的实际应用——生活中的应用 利用对数函数的概念求参数范围 已知对数型函数的定义域求参数范围 对数函数的解析式及应用 对数型函数的实际应用——生物学中的应用 指数函数与对数函数解析式的综合 对数型函数的实际应用——医学中的应用 1．函数y＝的定义域为(　　) A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(2，3)∪(3，＋∞) D．(2，4)∪(4，＋∞) 答案：C 解析：要使原函数有意义，则解得2<x<3或x>3，所以原函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞)．故选C. 2．已知函数f(x)＝loga(x＋8)，若f(1)＝2，则a＝(　　) A．3 B．－3 C．2 D．－2 答案：A 解析：∵f(1)＝loga(1＋8)＝2，∴a2＝9.又a＞0，∴a＝3. 3．若函数f(x)＝log(a＋1)x＋a2－2a－8是对数函数，则a＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：C 解析：由对数函数的定义可知解得a＝4. 4．(2024·山东聊城一中高一上月考)已知f＝lg x，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝lg B．f(x)＝lg C．f(x)＝lg D．f(x)＝lg 答案：B 解析：令＋1＝t(t>1)，则x＝，所以f(t)＝lg (t>1)，所以f(x)＝lg (x>1)．故选B. 5．(2024·山西大学附属中学高一上期末)设函数f(x)＝若f(3)＝2，f(－2)＝0，则b＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：A 解析：f(3)＝loga4＝2，则a＝2，f(－2)＝4－2a＋b＝0，解得b＝0. 6．(多选)下列函数中为对数函数的是(　　) A．y＝log(－x) B．y＝5log4(x＋3) C．y＝ D．y＝(a是常数) 答案：CD 解析：对于A，真数为－x，故A不是对数函数；对于B，真数为x＋3，且系数为5，不满足对数函数的特点，故B不是对数函数；对于C，满足真数为x，系数为1，底数大于0且不为1，故C是对数函数；对于D，真数为x，系数为1，底数a2＋a＋2＝＋>0且不为1，故D是对数函数．故选CD. 7．函数f(x)＝ln ＋的定义域为________． 答案：∪ 解析：对于函数f(x)＝ln ＋，有解得x>－2且x≠.故函数f(x)的定义域为∪. 8．已知对数函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则f＝________，f(2lg 2)＝________． 答案：－2　lg 2 解析：设f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)．将点(4，2)代入得2＝loga4，解得a＝2，所以f(x)＝log2x，因此f＝log2＝－2，f(2lg 2)＝log22lg 2＝lg 2. 9．我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬．研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2(单位：m/s)，其中O表示燕子的耗氧量． (1)计算一只两岁燕子静止时的耗氧量是多少个单位； (2)当一只两岁燕子的耗氧量为80个单位时，它的飞行速度是多少？ 解：(1)当燕子静止时，v＝0， 故有0＝5log2， 所以log2＝0，O＝10， 即一只两岁燕子静止时的耗氧量是10个单位． (2)当一只两岁燕子的耗氧量为80个单位时，它的飞行速度v＝5log2＝5×3＝15(m/s)． 10．已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a＞0，且a≠1)．当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围． 解：∵a＞0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减函数，当x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a. ∵当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，即当x∈[0，2]时，3－ax＞0恒成立． ∴3－2a＞0， ∴a＜. 又a＞0且a≠1， ∴0＜a＜1或1＜a＜， ∴实数a的取值范围为(0，1)∪. 11．若函数y＝log2(kx2＋4kx＋5)的定义域为R，则k的取值范围是(　　) A. B. C. D．(－∞，0)∪ 答案：B 解析：由题意得，kx2＋4kx＋5＞0在R上恒成立．当k＝0时，成立；当k≠0时，解得0＜k＜.综上，k的取值范围是.故选B. 12．(多选)(2024·江苏南京一中高一上月考)若点(a，b)满足对数函数f(x)＝ln x的解析式，则下列各点中满足函数f(x)的解析式的是(　　) A. B．(a＋e，1＋b) C. D．(a2，2b) 答案：ACD 解析：∵点(a，b)满足对数函数f(x)＝ln x的解析式，∴ln a＝b，其中a>0.对于A，ln ＝－ln a＝－b，∴满足函数f(x)的解析式；对于B，ln (a＋e)＝1＋b不一定成立，∴(a＋e，1＋b)不一定满足函数f(x)的解析式；对于C，ln ＝ln e－ln a＝1－b，∴满足函数f(x)的解析式；对于D，ln a2＝2ln a＝2b，∴(a2，2b)满足函数f(x)的解析式．故选ACD. 13．(2024·江苏高一上期末)生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象，若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T为相邻两代间繁殖所需的平均时间．在物种入侵初期，可用对数模型K(n)＝λlog3n(λ为常数)来描述该物种累计繁殖数量n与入侵时间K(单位：天)之间的对应关系，且Q＝＋1，在物种入侵初期，基于现有数据得出Q＝6，T＝60.据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的6倍所需要的时间为(结果保留一位小数．参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　) A．19.5天 B．20.5天 C．18.5天 D．19天 答案：A 解析：因为Q＝＋1，Q＝6，T＝60，所以6＝＋1，解得λ＝12，设初始时间为K1，初始累计繁殖数量为n，累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的6倍的时间为K2，则K2－K1＝12log3(6n)－12log3n＝12log36＝12×≈12×＝19.5(天)．故选A. 14．(2024·陕西宝鸡中学高一上月考)函数f(x)满足f(u＋v)＝f(u)f(v)，f＝3，函数g(x)满足g(uv)＝g(u)＋g(v)，且g(3)＝，F(x)＝f(x)＋g(x)，则函数F(x)的表达式可以是________． 答案：F(x)＝9x＋log9x(x>0) 解析：因为f(u＋v)＝f(u)f(v)，不妨取f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，又f＝3，所以a＝3，所以a＝9，所以f(x)＝9x.又g(uv)＝g(u)＋g(v)，不妨取g(x)＝logbx(b>0，且b≠1)，又g(3)＝，所以g(3)＝logb3＝，所以b＝9，所以g(x)＝log9x.又因为F(x)＝f(x)＋g(x)，所以F(x)＝9x＋log9x(x>0)． 15．已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了1个单位的该药物，设经过y个小时后，药物在病人血液中的量为x个单位． (1)求y与x的关系式； (2)当该药物在病人血液中的量保持在个单位以上，才有疗效；而低于个单位，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过多少个小时？(精确到0.1，参考数据：lg 5≈0.699，lg 4≈0.602) 解：(1)由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，给某病人注射了1个单位的该药物，经过y个小时后，药物在病人血液中的量为x＝(1－20%)y×1＝0.8y，即y与x的关系式为y＝log0.8x，0<x≤1. (2)当该药物在病人血液中的量保持在个单位以上，才有疗效；而低于个单位，病人就有危险，令x＝， 则y＝log0.8＝≈≈7.2， 所以y≤7.2. 所以要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过7.2个小时． 11 学科网（北京）股份有限公司 $$