5.3 实际问题与一元一次方程 【考点讲解+巩固练习】2024—2025学年人教版数学七年级上册

实际问题与一元一次方程教案 【考点讲解】 1.列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：弄清题意． （2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系． （3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，�然后利用已找出的等量关系列出方程． （4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值． （5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，�是否符合实际，检验后写出答案． 2.应用题类型 【盈亏问题（销售问题）】 ①打折销售问题 （1）销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等 （2）基本关系式： 利润＝售价—进价；售价=标价×折数；利润率＝利润/进价;利润＝标价×折数－进价。 ②市场经济问题 （1） 商品利润＝商品售价－商品成本价 （2）商品利润率＝×100% （3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量 （4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 （5）商品打几折出售，是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，按原标价80%出售． 【例1】 某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种皮鞋进价60元一双，八折出售后商家获利润率为40%，问这种皮鞋标价是多少元？优惠价是多少元？ 【例2】某商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至多打几折 【例3】在一次买卖中同时卖出两件不同的服装，每件以216元售出，按成本计算，其中一件盈利20%，另一件亏本20%，则此买卖中（ ） A.赔18元 B.赚18元 C.不赚不赔 D.赚9元 变形拓展：1.某商品的进价是500元，标价是750元，商店要求以利润率为5%的售价打折出售，售货员可以打几折出售此商品（　　） A． 5 B． 6 C． 7 D． 8 2.一件毛衣先按成本提高50%标价，再以8折出售，获利28元，求这件毛衣的成本是多少元，若设成本是x元，可列方程为（　　） A． 0.8x+28=（1+50%）x B． 0.8x﹣28=（1+50%）x C． x+28=0.8×（1+50%）x D． x﹣28=0.8×（1+50%）x 3.某商场售货员同时卖出两件上衣，每件都以135元售出，若按成本计算，其中一件赢利25%，另一件亏损25%，问这次售货员是赔了还是赚了？ 【工程问题】 工作量＝工作效率×工作时间 完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1 【例1】一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池？ 【例2】在西部大开发中，基础建设优先发展，甲、乙两队共同承包了一段长6500米的高速公路工程，两队分别从两端施工相向前进，甲队平均每天可完成480米，乙队平均每天比甲队多完成220米，乙队比甲队晚一天开工，乙队开工几天后两队完成全部任务？ 变形拓展：1.一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？ 2. 某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个．在这16名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件．�已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元．若此车间一共获利1440元，�求这一天有几个工人加工甲种零件． 3.某地为了打造风光带，将一段长为360m的河道整治任务交给甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24m，乙工程队每天整治16m，求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道. 4.某工人安装一批机器，若每天安装4台，预计若干天完成，安装后，改用新法安装，工作效率提高到原来的倍，因此比预计时间提前一天完工，这批机器有多少台？预计几天完成？ 【和差倍分问题】 增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量 劳力调配问题：这类问题要搞清人数的变化. 【例1】某厂一车间有64人，二车间有56人。现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半。问需从第一车间调多少人到第二车间？ 变形拓展：某粮库装粮食，第一个仓库是第二个仓库存粮的3倍，如果从第一个仓库中取出20吨放入第二个仓库中，第二个仓库中的粮食是第一个中的。问每个仓库各有多少粮食？ 配套问题： 【例1】机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 【例2】某车间有66名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母12个或螺栓5个.若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，可列方程 . 变形拓展：1.某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母） 2.长方形的周长是 80cm，长与宽的比为 5:3，求这个长方形的面积。 分配问题： 【例1】学校分配学生住宿，如果每室住8人，还少12个床位，如果每室住9人，则空出两个房间。求房间的个数和学生的人数。 【例2】三个正整数的比为1：2：4，它们的和是84，那么这三个数中最大的数是几？（比例分配问题常用等量关系：各部分之和＝总量。） 变形拓展：1.41人参加运土劳动，有30根扁担，安排多少人抬，多少人挑，可使扁担和人数相配不多不少？若设有x人挑土，则列方程是(　　) A. 2x－(30－x)＝4 B. ＋(41－x)＝30 C. x＋＝30 D. 30－x＝41－x 2.我国明代珠算家程大位的名著直指算法统宗里有一道著名算题：“有100个和尚分100只馒头正好分完如果大和尚一人分3只小和尚3人分一只，试问大、小和尚各有几人？”请算算大和尚有{ }人 A． 25人 B． 30人 C． 50人 D． 75人 年龄问题：抓住人与人的岁数是同时增长的 【例1】父亲和女儿的年龄之和是91，当父亲的年龄是女儿现在年龄的2倍时，女儿的年龄是现在父亲年龄的，求女儿现在的年龄。 变形拓展：小华的爸爸现在的年龄比小华大25岁，8年后小华爸爸的年龄是小华的3倍多5岁，求小华现在的年龄。 【路程问题】 基本量之间的关系： 路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间 （1） 相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距 （2）追及问题： 快行距－慢行距＝原距 （3）航行问题： 顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系． 【例1】甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。 　　（1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？ 　 　（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？ （3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？ 　　 （4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？ 　　 （5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？ 　　 【例2】某船从A地顺流而下到达B地，然后逆流返回，到达A、B两地之间的C地，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为8千米/时，水流速度为2千米/时。A、C两地之间的路程为10千米，求A、B两地之间的路程。 变形拓展：已知甲、乙两地相距120千米，乙的速度比甲每小时快1千米，甲先从A地出发2小时后，乙从B地出发，与甲相向而行经过10小时后相遇，求甲乙的速度？ 【方案选择问题】 【例1】某地区居民生活用电，规定按以下标准收取电费： 用电量（千瓦时）/月 单价（元/千瓦时） 基本用电量a 0.50 超过a 超过部分基本电价的80%收费 （1）某户七月份用电123千瓦时，共交电费57.2元，求a；[来源 （2）若该用户八月份的平均电费为0.45元，则八月份共用多少千瓦时？应交电费多少元？ 【例2】某班计划买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价100元，乒乓球每盒定价25元．经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠．该班需球拍5副，乒乓球若干盒（不少于5盒）．问： （1）当分别购买20盒、40盒乒乓球时，去哪家商店购买更合算？ （2）当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样？ 变形拓展：1.为增强居民的节约用电意识，某市对居民用电实行“阶梯收费”，具体收费标准如下： 一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元/度） 不超过160度的部分 超过160度的部分 李磊家11月份用电200度，缴纳电费136元，则_____．超出部分电费单价是_____． 2.某市出租车收费标准是：起步价10元，可乘3千米，3千米到5千米，每千米1.3元，超过5千米，每千米2.4元[来源:学科网ZXXK] （1）若小李乘坐了千米的路程，则小李所支付的费用是多少（用代数式表示）？ （2）若小马乘坐的路程为15千米，则小马应付的费用是多少？ （3）若小张租一次车付了24.6元，求小张租车所走的路程． 【球赛积分榜问题】 在比赛积分问题中，基本相等关系有： 某个队的参赛场数=该队的胜场数+该队的负场数+该队的平场数； 某个队的总积分=该队的胜场积分+该队的负场积分+该队的平场积分． 【例1】下表是某次篮球联赛积分榜： 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 A 22 12 10 34 B 22 18 4 40 C 22 7 15 29 D 22 0 22 22 E 22 14 8 36 F 22 10 12 32 (1)由____队可以看出，负一场积1分，由此可以计算，胜一场积____分； (2)如果一个队胜n场，则负__________场，胜场积分为____，负场积分为___________，总积分为_________． (3)某队的胜场总积分能等于负场总积分的3倍吗？ 【例2】一张试卷，只有25道选择题，做对一题得4分，做错一倒扣1分，某学生做了全部试题，共得70分，他做对的题数是(　　) A．17 B．18 C．19 D．20 变形拓展：1.足球比赛的记分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某球队在比赛中赛了15场，负了5场，共得22分，则这个队胜的场数是(　　) A．4　　　　B．5　　　　C．6　　　　D．7 2.中国男篮CBA职业联赛的积分办法是：胜一场积2分，负1场积1分．某支球队参加了12场比赛，总积分恰好是所胜场数的4倍，则该球队共胜____场． 3. 某校数学知识竞赛共30道题，评分规则如下：答对一道题得5分，答错一道题扣2分，不答的不得分，小红在这次竞赛中得了90分，她说有5道题没答，你知道小红答对了几道题？ 【数字问题】 （1）一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9），十位数可表示为10b+a， 百位数可表示为100c+10b+a． （2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1； 偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示。 【例1】一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数 【等积变形问题】形状面积变了，周长没变；原料体积＝成品体积。 ①圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S·h＝r2h ②长方体的体积 V＝长×宽×高＝abc 【例1】用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为内高为81mm的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少mm？（结果保留整数） 【例2】如图，宽为50cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，其 中一个小长方形的面积为______． 【储蓄问题】 利息=本金×利率×期数 本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数) 利息税=利息×税率 贷款利息=贷款数额×利率×期数 利润＝×100% 【例1】某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税） 【巩固练习】 1．某书店把一本书按进价提高60%标价，再按七折出售，这样每卖出一本书就可赢利6元.设每本书的进价是x元，根据题意列一元一次方程，正确的是 A． B． C． D． 2．“五一”期间，某电器按成本价提高20%后标价，再打7折（标价的70%）销售，售价为2080元，设该电器的成本价为元，根据题意，下面所列方程正确的是 A． B． C． D． 3．一条山路，某人从山下往山顶走3小时后还有1千米才到山顶，若从山顶走到山下只用150分钟，已知下山速度是上山速度的1.5倍，求山下到山顶的路程.设上山速度为每分钟x千米，则所列方程为 A． B． C． D． 4．轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港逆流返回A港少用3小时，若船在静水中的速度为26千米/时，水速为2千米/时，设A港与B港相距x千米，则根据题意可列出方程 A． B． C． D． 5．甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑7m，乙每秒跑5m，甲让乙先跑8m，设x秒后甲可追上乙，下列四个方程中，不正确的是 A． B． C． D． 6．已知9人用14天完成了一件工作的，且每个人的工作效率相同，而剩下的工作要在4天完成，则需增加的人数是 A．11 B．12 C．13 D．14 7．水池有一注水管，单开5h可以注满水池；另有一出水管，单开18h可以把满池水放完.若两管齐开，则注满水池所用的时间是 A．h B．h C．h D．h 8．某地区动用15台挖土、运土机械，挖沟筑渠，引水灌溉.每台机械每小时能挖土30m3或运土20m3，为了使挖土和运土工作同时结束，安排了x台机械挖土，则可列方程为 A． B． C． D． 9．《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，所列方程正确的是 A． B． C． D． 10．轮船在静水中速度为每小时30km，水流速度为每小时6km，从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用5小时(不计停留时间)，求甲、乙两码头间的距离.设两码头间的距离为xkm，则列出方程正确的是 A．306x306x5 B．30x6x5 C． D． 11．足球比赛的记分办法为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.一个队打了14场比赛，负5场，共得19分，那么这个队胜了 A．3场 B．4场 C．5场 D．6场 12．跃进公司销售一种进价为21元的电子产品，按标价的九折销售，仍可获利20%，则这种电子产品的标价为 A．29元 B．28元 C．27元 D．26元 13．一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是5秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是 A．7.5秒 B．6秒 C．5秒 D．4秒 14．某班把1400元奖学金按照两种奖项奖给22名学生，其中一等奖每人200元，二等奖每人50元，设获得一等奖的学生人数为x，则下列方程不正确的是 A．200x＋50(22－x)=1400 B．1400－50(22－x)=200x C．=22－x D．50＋200(22－x)=1400 15．某品牌不同种类的文具均按相同折数打折销售，如果原价300元的文具，打折后售价为240元，那么原价75元的文具，打折后售价为 A．50元 B．55元 C．60元 D．65元 16．A、B两地相距450千米，甲乙两车分别自A、B两地同时出发，相向而行，已知甲车速度是120千米/时，乙车的速度是80千米/时，经过________小时后两车相距50千米. 17．某书店销售某种中考复习资料，每本的售价是20元．若每本打九折，全部卖完可获利1000元；若每本打八折，全部卖完可获利800元，则这批书共购进了_________本． 18．某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人；则该校运动员人数为__________人． 19．一件不打折的商品，售价为880元，能获利10%，则该商品的进价为__________元． 20．某商场购进一批运动服，每件售价120元，可获利20%，这种运动服每件的进价是__________元． 21．抄写一份材料，每分钟抄写30个字，若干分钟可以抄完，当抄写完时，决定提高50%的效率，结果提前20分钟抄完，这份材料有__________个字. 22.某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元，在元旦期间该店举行文具优惠活动，铅笔按原价打八折出售，圆珠笔按原价打九折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得87元，则在这次优惠活动中卖出铅笔、圆珠笔各多少支？ 23．用一根长120米的绳子围成一个长方形，使它的长是宽的2倍，求这个长方形的长和宽各是多少． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 实际问题与一元一次方程 【考点讲解】 1.列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：弄清题意． （2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系． （3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，�然后利用已找出的等量关系列出方程． （4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值． （5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，�是否符合实际，检验后写出答案． 2.应用题类型 【盈亏问题（销售问题）】 ①打折销售问题 （1）销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等 （2）基本关系式： 利润＝售价—进价；售价=标价×折数；利润率＝利润/进价;利润＝标价×折数－进价。 ②市场经济问题 （1） 商品利润＝商品售价－商品成本价 （2）商品利润率＝×100% （3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量 （4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 （5）商品打几折出售，是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，按原标价80%出售． 【例1】 某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种皮鞋进价60元一双，八折出售后商家获利润率为40%，问这种皮鞋标价是多少元？优惠价是多少元？ 进价 折扣率 标价 优惠价 利润率 60元 8折 X元 80%X 40% 等量关系：商品利润率=商品利润/商品进价 解：设标价是X元， ，x=105 优惠价为 【例2】某商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至多打几折 设至多打x折，根据题意有×100%=5% 解得x=0.7=70% 【例3】在一次买卖中同时卖出两件不同的服装，每件以216元售出，按成本计算，其中一件盈利20%，另一件亏本20%，则此买卖中（ ） A.赔18元 B.赚18元 C.不赚不赔 D.赚9元 变形拓展：1.某商品的进价是500元，标价是750元，商店要求以利润率为5%的售价打折出售，售货员可以打几折出售此商品（　　） A． 5 B． 6 C． 7 D． 8 【解析】设售货员可以打x折出售此商品， 根据题意得：750× -500=500×5% 解得：x=7,即售货员可以打7折出售此商品. 2.一件毛衣先按成本提高50%标价，再以8折出售，获利28元，求这件毛衣的成本是多少元，若设成本是x元，可列方程为（　　） A． 0.8x+28=（1+50%）x B． 0.8x﹣28=（1+50%）x C． x+28=0.8×（1+50%）x D． x﹣28=0.8×（1+50%）x 【解析】设成本是x元，可列方程为：x+28=0.8×（1+50%）x． 3.某商场售货员同时卖出两件上衣，每件都以135元售出，若按成本计算，其中一件赢利25%，另一件亏损25%，问这次售货员是赔了还是赚了？ 【工程问题】 工作量＝工作效率×工作时间 完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1 【例1】一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池？ [分析]等量关系为：甲注水量+乙注水量-丙排水量=1。 　　 解：设打开丙管后x小时可注满水池， 　 　由题意得， 　 　答：打开丙管后小时可注满水池。 【例2】在西部大开发中，基础建设优先发展，甲、乙两队共同承包了一段长6500米的高速公路工程，两队分别从两端施工相向前进，甲队平均每天可完成480米，乙队平均每天比甲队多完成220米，乙队比甲队晚一天开工，乙队开工几天后两队完成全部任务？ 变形拓展：1.一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？ 分析设工程总量为单位1，等量关系为：甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。 　　 解：设乙还需x天完成全部工程，设工作总量为单位1， 2. 某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个．在这16名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件．�已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元．若此车间一共获利1440元，�求这一天有几个工人加工甲种零件． 解：设这一天有x名工人加工甲种零件，则这天加工甲种零件有5x个，乙种零件有4（16-x）个 根据题意，得16×5x+24×4（16-x）=1440 解得x=6 3.某地为了打造风光带，将一段长为360m的河道整治任务交给甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24m，乙工程队每天整治16m，求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道. 4.某工人安装一批机器，若每天安装4台，预计若干天完成，安装后，改用新法安装，工作效率提高到原来的倍，因此比预计时间提前一天完工，这批机器有多少台？预计几天完成？ 解：设预计x天完成，依题意得4x＝4×x＋4××(x－x－1)，解得x＝9，4×9＝36(台).答：这批机器有36台，预计9天完成. 【和差倍分问题】 增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量 劳力调配问题：这类问题要搞清人数的变化. 【例1】某厂一车间有64人，二车间有56人。现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半。问需从第一车间调多少人到第二车间？ 变形拓展：某粮库装粮食，第一个仓库是第二个仓库存粮的3倍，如果从第一个仓库中取出20吨放入第二个仓库中，第二个仓库中的粮食是第一个中的。问每个仓库各有多少粮食？ 设第二个仓库存粮 配套问题： 【例1】机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 每人每天 人数 数量 大齿轮 16个 x人 16x 小齿轮 10个 人 等量关系：小齿轮数量的2倍＝大齿轮数量的3倍 解：设分别安排x名、名工人加工大、小齿轮 【例2】某车间有66名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母12个或螺栓5个.若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，由题意，可列方程 2×5x＝12(66－x) . 变形拓展：1.某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母） 2.长方形的周长是 80cm，长与宽的比为 5:3，求这个长方形的面积。 分配问题： 【例1】学校分配学生住宿，如果每室住8人，还少12个床位，如果每室住9人，则空出两个房间。求房间的个数和学生的人数。 【例2】三个正整数的比为1：2：4，它们的和是84，那么这三个数中最大的数是几？（比例分配问题常用等量关系：各部分之和＝总量。） 变形拓展：1.41人参加运土劳动，有30根扁担，安排多少人抬，多少人挑，可使扁担和人数相配不多不少？若设有x人挑土，则列方程是(　　) A. 2x－(30－x)＝4 B. ＋(41－x)＝30 C. x＋＝30 D. 30－x＝41－x 2.我国明代珠算家程大位的名著直指算法统宗里有一道著名算题：“有100个和尚分100只馒头正好分完如果大和尚一人分3只小和尚3人分一只，试问大、小和尚各有几人？”请算算大和尚有{ }人 A． 25人 B． 30人 C． 50人 D． 75人 【解析】设大和尚有x人,则小和尚有(100−x)人，根据题意得 解得x=25， 年龄问题：抓住人与人的岁数是同时增长的 【例1】父亲和女儿的年龄之和是91，当父亲的年龄是女儿现在年龄的2倍时，女儿的年龄是现在父亲年龄的，求女儿现在的年龄。 变形拓展：小华的爸爸现在的年龄比小华大25岁，8年后小华爸爸的年龄是小华的3倍多5岁，求小华现在的年龄。 【路程问题】 基本量之间的关系： 路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间 （1） 相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距 （2）追及问题： 快行距－慢行距＝原距 （3）航行问题： 顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系． 【例1】甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。 　　（1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？ 　分析：相遇问题，画图表示为： 等量关系是：慢车走的路程+快车走的路程=480公里。　　 解：设快车开出x小时后两车相遇，由题意得，140x+90(x+1)=480 　　 　（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？ 　分析：相背而行，画图表示为：　　 等量关系是：两车所走的路程和+480公里=600公里。 　　解：设x小时后两车相距600公里， 由题意得，(140+90)x+480=600解这个方程，230x=120 ∴ x= （3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？ 　　分析：等量关系为：快车所走路程－慢车所走路程+480公里=600公里。 　　解：设x小时后两车相距600公里，由题意得，(140－90)x+480=600　　 50x=120　　∴ x=2.4 　　答：2.4小时后两车相距600公里。 （4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？ 　　解：设x小时后快车追上慢车。 由题意得，140x=90x+480 　解这个方程，50x=480 　∴ x=9.6 答：9.6小时后快车追上慢车。 （5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？ 解：设快车开出x小时后追上慢车。由题意得，140x=90(x+1)+480　 50x=570　∴ x=11.4 　　 【例2】某船从A地顺流而下到达B地，然后逆流返回，到达A、B两地之间的C地，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为8千米/时，水流速度为2千米/时。A、C两地之间的路程为10千米，求A、B两地之间的路程。 相等关系为：顺流航行的时间+逆流航行的时间=7小时。 　　解：设A、B两码头之间的航程为x千米，则B、C间的航程为(x-10)千米， 　　由题意得， 变形拓展：已知甲、乙两地相距120千米，乙的速度比甲每小时快1千米，甲先从A地出发2小时后，乙从B地出发，与甲相向而行经过10小时后相遇，求甲乙的速度？ 设甲的速度为x千米/小时。 则 【方案选择问题】 【例1】某地区居民生活用电，规定按以下标准收取电费： 用电量（千瓦时）/月 单价（元/千瓦时） 基本用电量a 0.50 超过a 超过部分基本电价的80%收费 （1）某户七月份用电123千瓦时，共交电费57.2元，求a；[来源:Zxxk.Com] （2）若该用户八月份的平均电费为0.45元，则八月份共用多少千瓦时？应交电费多少元？ （1）∵123×0.5=61.5（元）＞57.2元, ∴该户七月份用电超出基本用电量, 根据题意得:0.5a+0.5×80%×（123﹣a）=57.2, 解得:a=80． （2）设八月份共用电x千瓦时，根据题意得:0.5×80+（x﹣80）×0.5×80%=0.45x,解得:x=160, ∴0.45x=0.45×160=72． 【例2】某班计划买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价100元，乒乓球每盒定价25元．经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠．该班需球拍5副，乒乓球若干盒（不少于5盒）．问： （1）当分别购买20盒、40盒乒乓球时，去哪家商店购买更合算？ （2）当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样？ （1）当购买20盒时：甲商店所需费用5×100+（20﹣5）×25=875（元），乙商店所需费用5×100×0.9+20×25×0.9=900(元). ∴875<900,∴当购买20盒乒乓球时去甲商店购买合算； 当购买40盒时：甲商店所需费用5×100+(40-5)×25=1375(元),乙商店所需费用5×100×0.9+40×25×0.9=13500(元) ∴1375>1350,∴当购买40盒乒乓球时去乙商店购买合算. (2)设当购买乒乓球x盒时，两种优惠办法付款一样。根据题意得：5×100+(x-5)×25=5×100×0.9+x×25×0.9,解得：x=30. 变形拓展：1.为增强居民的节约用电意识，某市对居民用电实行“阶梯收费”，具体收费标准如下： 一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元/度） 不超过160度的部分 超过160度的部分 李磊家11月份用电200度，缴纳电费136元，则_____．超出部分电费单价是_____． 【解析】根据题意，得160x+（200-160）（x+0.4）=136，解得x=0.6； 则超出部分的电费单价是x+0.4=1． 2.某市出租车收费标准是：起步价10元，可乘3千米，3千米到5千米，每千米1.3元，超过5千米，每千米2.4元[来源:学科网ZXXK] （1）若小李乘坐了千米的路程，则小李所支付的费用是多少（用代数式表示）？ （2）若小马乘坐的路程为15千米，则小马应付的费用是多少？ （3）若小张租一次车付了24.6元，求小张租车所走的路程． （1）小李所支付的费用是10+2.6+2.4（x-5）元； （2）10+2.6+2.4×（15-5）=10+2.6+24=36.6（元） （3）依题意有10+2.6+2.4（x-5）=24.6，解得x=10． 【球赛积分榜问题】 在比赛积分问题中，基本相等关系有： 某个队的参赛场数=该队的胜场数+该队的负场数+该队的平场数； 某个队的总积分=该队的胜场积分+该队的负场积分+该队的平场积分． 【例1】下表是某次篮球联赛积分榜： 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 A 22 12 10 34 B 22 18 4 40 C 22 7 15 29 D 22 0 22 22 E 22 14 8 36 F 22 10 12 32 (1)由____队可以看出，负一场积1分，由此可以计算，胜一场积____分； (2)如果一个队胜n场，则负__________场，胜场积分为____，负场积分为___________，总积分为_________． (3)某队的胜场总积分能等于负场总积分的3倍吗？ 【例2】一张试卷，只有25道选择题，做对一题得4分，做错一倒扣1分，某学生做了全部试题，共得70分，他做对的题数是(　　) A．17 B．18 C．19 D．20 变形拓展：1.足球比赛的记分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某球队在比赛中赛了15场，负了5场，共得22分，则这个队胜的场数是(　　) A．4　　　　B．5　　　　C．6　　　　D．7 2.中国男篮CBA职业联赛的积分办法是：胜一场积2分，负1场积1分．某支球队参加了12场比赛，总积分恰好是所胜场数的4倍，则该球队共胜____场． 3. 某校数学知识竞赛共30道题，评分规则如下：答对一道题得5分，答错一道题扣2分，不答的不得分，小红在这次竞赛中得了90分，她说有5道题没答，你知道小红答对了几道题？ 【数字问题】 （1）一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9），十位数可表示为10b+a， 百位数可表示为100c+10b+a． （2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1； 偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示。 【例1】一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数 等量关系：原两位数+36=对调后新两位数 解：设十位上的数字X，则个位上的数是2X， 10×2X+X=（10X+2X）+36解得X=4，2X=8，答：原来的两位数是48。 【等积变形问题】形状面积变了，周长没变；原料体积＝成品体积。 ①圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S·h＝r2h ②长方体的体积 V＝长×宽×高＝abc 【例1】用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为内高为81mm的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少mm？（结果保留整数） 【例2】如图，宽为50cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，其 中一个小长方形的面积为______． 【解析】设一个小长方形的长为xcm，宽为ycm， 由图形可知， ，解得：.所以一个小长方形的面积为400cm2． 故答案为：400cm2． 【储蓄问题】 利息=本金×利率×期数 本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数) 利息税=利息×税率 贷款利息=贷款数额×利率×期数 利润＝×100% 【例1】某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税） [分析]等量关系：本息和=本金×（1+利率） 解：设半年期的实际利率为X，依题意得方程250（1+X）=252.7， 解得X=0.0108 所以年利率为0.0108×2=0.0216 答：银行的年利率是2.16% 【巩固练习】 1．某书店把一本书按进价提高60%标价，再按七折出售，这样每卖出一本书就可赢利6元.设每本书的进价是x元，根据题意列一元一次方程，正确的是 A． B． C． D． 2．“五一”期间，某电器按成本价提高20%后标价，再打7折（标价的70%）销售，售价为2080元，设该电器的成本价为元，根据题意，下面所列方程正确的是 A． B． C． D． 3．一条山路，某人从山下往山顶走3小时后还有1千米才到山顶，若从山顶走到山下只用150分钟，已知下山速度是上山速度的1.5倍，求山下到山顶的路程.设上山速度为每分钟x千米，则所列方程为 A． B． C． D． 4．轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港逆流返回A港少用3小时，若船在静水中的速度为26千米/时，水速为2千米/时，设A港与B港相距x千米，则根据题意可列出方程 A． B． C． D． 5．甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑7m，乙每秒跑5m，甲让乙先跑8m，设x秒后甲可追上乙，下列四个方程中，不正确的是 A． B． C． D． 6．已知9人用14天完成了一件工作的，且每个人的工作效率相同，而剩下的工作要在4天完成，则需增加的人数是 A．11 B．12 C．13 D．14 7．水池有一注水管，单开5h可以注满水池；另有一出水管，单开18h可以把满池水放完.若两管齐开，则注满水池所用的时间是 A．h B．h C．h D．h 8．某地区动用15台挖土、运土机械，挖沟筑渠，引水灌溉.每台机械每小时能挖土30m3或运土20m3，为了使挖土和运土工作同时结束，安排了x台机械挖土，则可列方程为 A． B． C． D． 9．《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，所列方程正确的是 A． B． C． D． 10．轮船在静水中速度为每小时30km，水流速度为每小时6km，从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用5小时(不计停留时间)，求甲、乙两码头间的距离.设两码头间的距离为xkm，则列出方程正确的是 A．306x306x5 B．30x6x5 C． D． 11．足球比赛的记分办法为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.一个队打了14场比赛，负5场，共得19分，那么这个队胜了 A．3场 B．4场 C．5场 D．6场 12．跃进公司销售一种进价为21元的电子产品，按标价的九折销售，仍可获利20%，则这种电子产品的标价为 A．29元 B．28元 C．27元 D．26元 13．一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是5秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是 A．7.5秒 B．6秒 C．5秒 D．4秒 14．某班把1400元奖学金按照两种奖项奖给22名学生，其中一等奖每人200元，二等奖每人50元，设获得一等奖的学生人数为x，则下列方程不正确的是 A．200x＋50(22－x)=1400 B．1400－50(22－x)=200x C．=22－x D．50＋200(22－x)=1400 15．某品牌不同种类的文具均按相同折数打折销售，如果原价300元的文具，打折后售价为240元，那么原价75元的文具，打折后售价为 A．50元 B．55元 C．60元 D．65元 16．A、B两地相距450千米，甲乙两车分别自A、B两地同时出发，相向而行，已知甲车速度是120千米/时，乙车的速度是80千米/时，经过________小时后两车相距50千米. 17．某书店销售某种中考复习资料，每本的售价是20元．若每本打九折，全部卖完可获利1000元；若每本打八折，全部卖完可获利800元，则这批书共购进了_________本． 18．某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人；则该校运动员人数为__________人． 19．一件不打折的商品，售价为880元，能获利10%，则该商品的进价为__________元． 20．某商场购进一批运动服，每件售价120元，可获利20%，这种运动服每件的进价是__________元． 21．抄写一份材料，每分钟抄写30个字，若干分钟可以抄完，当抄写完时，决定提高50%的效率，结果提前20分钟抄完，这份材料有__________个字. 22.某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元，在元旦期间该店举行文具优惠活动，铅笔按原价打八折出售，圆珠笔按原价打九折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得87元，则在这次优惠活动中卖出铅笔、圆珠笔各多少支？ 23．用一根长120米的绳子围成一个长方形，使它的长是宽的2倍，求这个长方形的长和宽各是多少． 【巩固练习答案】 1．【答案】C 【解析】设每本书的进价是x元，根据题意得：.故选C. 2．【答案】A 【解析】设该电器的成本价为x元，x(1+20%)×70%=2080.故选A. 3．【答案】D 【解析】3小时=180分钟， 设上山速度为x千米/分钟，则下山速度为1.5x千米/分钟， 由题意得：180x+1=150×（1.5x）． 故选D． 4．【答案】A 【解析】设A港和B港相距x千米，， 变形为：，∴方程为：，故选A． 【名师点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，抓住关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．顺水速度=水流速度+静水速度，逆水速度=静水速度–水流速度． 5．【答案】B 【解析】由题意得：7x=5x+8，即（7–5）x=8，则5x=7x–8， 故选项A，C，D都正确，只有选项B错误，符合题意．故选B． 6．【答案】B 【解析】设剩下的工作要在4天内完成，需要增加的人数是x人， 由题意，得(÷9÷14)×4×(9+x)=1−，解得：x=12.故选B. 7．【答案】A 【解析】设两管齐开，注满水池所用时间是xh， 由题意得x−x=1， 合并同类项，得x=1， 解得x=. 故选A. 【名师点睛】此题考查一元一次方程的应用，解题关键在于列出方程. 8．【答案】B 【解析】设安排x台机械挖土，则安排(15−x)台运土，由题意得：，故选B. 【名师点睛】此题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键在于列出方程. 9．【答案】B 【解析】设合伙人数为人，依题意，得：．故选B． 10．【答案】D 【解析】设两码头间的距离为xkm，根据等量关系列方程得：．故选D． 【名师点睛】本题考查了一元一次方程的应用．列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系，注对于此类题目要意审题． 11．【答案】C 【解析】设共胜了x场，则平了（14–5–x）场， 由题意得：3x+（14–5–x）=19， 解得：x=5，即这个队胜了5场． 故选C． 【名师点睛】此题考查了一元一次方程的应用，属于基础题，解答本题的关键是要掌握胜的场数×3+平的场数×1+负的场数×0=总得分，难度一般． 12．【答案】B 【解析】设电子产品的标价为x元， 由题意得：0.9x–21=21×20%， 解得：x=28， 所以这种电子产品的标价为28元． 故选B． 13．【答案】D 【解析】设坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是x秒，则 100÷5×x=80， 解得x=4， 故选D． 14．【答案】D 【解析】A、符合200×一等奖人数+50×二等奖人数=1400，正确； B、符合1400–50×二等奖人数=200×一等奖人数，正确； C、符合（1400–200×一等奖人数）÷50=二等奖人数，正确； D错误． 故选D． 15．【答案】C 【解析】设该品牌不同种类的文具均按x折销售． 依题意得300×0.1x=240， 解得x=8， 即打8折销售， 所以75×0.8=60（元）． 故选C． 16．【答案】2或2.5 【解析】设经过t小时后两车相距50千米， 当甲、乙两车未相遇时，根据题意，得120t+80t=450–50， 解得：t=2； 当两车相遇后，两车又相距50千米时， 根据题意，得120t+80t=450+50， 解得t=2.5， 故答案为：2或2.5. 17．【答案】100 【解析】因为每本的售价是元，若每本打九折，全部卖完可获利元，若每本打八折，全部卖完可获利元， 所以九折时售价为：元，八折时售价为：元，则从九折到八折每本少赚元， 因为总利润减少：（元）， 所以设这批书共购进了本，根据题意可得： ， 解得：. 故答案为：. 18．【答案】59 【解析】设该校运动员分组， 根据题意得：， 解得：， . 故答案为：. 19．【答案】800 【解析】设商品进价为x元，由题意列方程得: x(1+10%)=880， 解得:x==800. 该商品的进价是800元. 故答案为：800元. 20．【答案】100 【解析】设运动服每件的进价是x元，利润可表示为(120–x)元， 则120–x=20%x， 解得x=100． 故答案为：100． 21.【答案】3000 【解析】设这份材料有x字， 由题意得， 解得x=3000． 22.【答案】卖出铅笔25支，卖出圆珠笔35支 【解析】设卖出铅笔x支，则卖出圆珠笔（60–x）支， 根据题意得：1.2×0.8x+2×0.9（60–x）=87， 解得x=25， 所以60–x=60–25=35． 答：卖出铅笔25支，卖出圆珠笔35支． 23．【答案】这个长方形的长和宽分别为40米和20米. 【解析】设长方形的宽为x，则长为2x， 根据题意可得:(x+2x)×2=120， 解得:x=20，2x=40， 所以这个长方形的长和宽分别为40米和20米. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$