第12讲 圆锥的侧面积 （2个知识点+4种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第12讲 圆锥的侧面积 （2个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．圆锥的计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积＝×底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 知识点2．圆柱的计算 （1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长． （2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高 （3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积 （4）圆柱的体积＝底面积×高． 题型强化 题型一．圆锥的计算 1．（2023秋•靖江市月考）如图，在矩形中，以点为圆心，以长为半径画弧交于点，将扇形剪下来做成圆锥，若，则该圆锥底面半径为　　 A． B． C．1 D．2 2．（2024•建邺区校级模拟）用一个圆心角为，半径为12的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 　　． 3．（2023秋•苏州期中）如图，的圆心与正三角形的中心重合，已知的半径和扇形的半径都是． （1）若将扇形围成一个圆锥的侧面，设该圆锥的高为． ①求扇形的弧长； ②则的值为 　　； （2）上任意一点到正三角形上任意一点距离的最小值为 　　． 题型二．圆柱的计算 4．（2004•盐城）如图是一个圆柱形木块，四边形是经边它的轴的剖面，设四边形的面积为，圆柱的侧面积为，则与的关系是　　 A． B． C． D．不能确定 5．一个圆柱的侧面积为，高为，则它的底面圆的半径为　　． 6．口渴的乌鸦看到一只装了水的瓶， 瓶的旁边还有 350 粒玉米 （假 设每粒玉米的体积相等） ，乌鸦本想立即吃玉米， 但口渴难忍， 它还得用祖辈传下来的本领投“石”喝水呢！乌鸦先叼了 100 粒玉米投入瓶中， 水面上升到瓶的高度的；再往瓶中投了 150 粒玉米， 水面上升到瓶的高度的（如 图， 瓶是圆柱形） ． 若再向瓶中投入玉米， 乌鸦就能喝到水啦！ （1） 如果瓶的容积是，那么每粒玉米的体积是　　； （2） 最初瓶中水的体积是　 　； （3） 如果乌鸦最终喝了瓶中水的，那么乌鸦还需投入瓶中　 　粒玉米； （4） 这时， 它还可以吃到　 　粒玉米 ． 题型三、求圆锥侧面积 7．（2024·江苏无锡·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）圆锥底面圆半径为，高为，则它侧面展开图的面积是 ． 9．（19-20九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8． (1)以直线BC为轴，把△ABC旋转一周，求所得圆锥的底面圆周长． (2)以直线AC为轴，把△ABC旋转一周，求所得圆锥的侧面积； 题型四、求圆锥的高 10．（19-20九年级下·江苏南京·阶段练习）若圆锥的母线长为4，底面圆的半径为3，那么该圆锥的高是（    ） A．1 B． C．5 D．7 11．（2024·江苏无锡·二模）若将半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的高为 ． 12．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，的圆心O与正三角形的中心重合，已知的半径和扇形的半径都是．    (1)若将扇形围成一个圆锥的侧面，设该圆锥的高为h． ①求扇形的弧长； ②则h的值为___________； (2)上任意一点到正三角形上任意一点距离的最小值为___________． 分层练习 一、单选题 1．已知圆锥的底面半径为2，母线长为6，则它的侧面展开图的面积是（　　） A．12 B．24 C．12π D．24π 2．已知圆锥的母线长为，侧面积为，则圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D． 3．用一个圆心角为120°，半径为2的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 A． B． C． D． 4．用圆心角为，半径为的扇形做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥底面的半径是（    ） A． B． C． D． 5．如图，小正方形的边长均为1，扇形OAB是某圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的底面周长为（    ） A． B． C．2 D．3 6．若圆锥的侧面展开图是半径为a的半圆，则圆锥的高为（　　） A．a B． C． D． 7．用一个圆心角为，半径为12的扇形作为一个圆锥的侧面，则该圆锥底面半径为（    ） A． B．4 C．6 D．8 8．已知底面半径是，母线长为，为母线中点，现在有一只蚂蚁从底边一点出发．在侧面爬行到点，则蚂蚁在圆锥侧面爬行最短距离（    ） A． B． C． D．6 9．小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的半径为5cm，弧长是cm，那么这个的圆锥的高是（ ） A．4cm B．6cm C．8cm D．2cm 10．从一张圆形纸板剪出一个小圆形和一个扇形，分别作为圆锥体的底面和侧面，下列的剪法恰好配成一个圆锥体的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知圆锥的母线长是9cm，它的侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的高为 cm． 12．要制作一个高为8cm，底面圆直径是12cm的圆锥形小漏斗，若不计接缝，不计损耗，则她所需纸板的面积是 cm2． 13．将一个底面半径为的圆锥沿任意一条母线剪开，它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，这个圆锥的母线长是 ． 14．已知圆锥的母线为10，底面圆的直径为12，则此圆锥的侧面积是 ． 15．数学活动课上，小明制作了一顶圆锥形纸帽（如图），其底面直径为24cm，母线长为20cm，将这顶纸帽剪开，展开成扇形时圆心角的度数为 度． 16．若圆锥的底面直径为6cm，侧面展开图的面积为，则圆锥的母线长为 ． 17．小华为参加元旦晚会演出，准备制作一顶圆锥形彩色纸帽，如果纸帽的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则此圆锥底面圆的半径为 ． 18．如图，从一块边长为6的等边三角形卡纸上剪下一个面积最大的扇形，并将其围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 ． 三、解答题 19．把一个底面半径的圆锥木块，从顶点处垂直底面切成两个完全相同的木块，这时表面积增加，这个圆锥的体积是多少立方厘米？（取） 20．一堆圆锥形黄沙，底面周长是，高，将这堆黄沙铺在宽的地面上，铺厚，能铺多少米长？（取3.14） 21．在如图 ①所示的正方形铁皮中剪下一个圆形和一个扇形，使之恰好围成如图 ②所示的底面直径尽可能大的圆锥模型，设圆形的半径为，扇形的半径为，试探索和之间的关系． 22．如图，在的正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，点O，A，B为格点，即是小正方形的顶点，若将扇形围成一个圆锥，求这个圆锥的底面圆的半径的最大长度． 23．如图所示，D是线段BC的中点，分别以点B，C为圆心，BC长为半径画弧，两弧相交于点A，连结AB，AC，AD，E为AD上一点，连结BE，CE． （1）求证：BE = CE． （2）以点E为圆心作与BC相切，分别交BE，CE于点F，G．若BC = 4，∠EBD = 30°，求扇形FEG的面积 （3）若用扇形FEG围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥的底面圆的半径． 24．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．（网格小正方形的边长为1）．    (1)请在图中标出圆心P点位置，点P的坐标为___________；的半径为___________； (2)判断点与的位置关系； (3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径． 25．有一个顶部是圆锥，底部是圆柱的粮囤模型，如图是它的主视图. （1）画出该粮囤模型的俯视图； （2）若每相邻两个格点之间的距离均表示1米，请计算： ①在粮囤顶部铺上油毡，需要多少平方米油毡（油毡接缝重合部分不计）？ ②若粮食最多只能装至与圆柱同样高，则最多可以存放多少立方米粮食？（结果保留和根号） 26．图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，恰好重合．已知这种加工材料的顶角，圆锥底面圆的直径为． (1)求图2中圆锥的母线的长． (2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 圆锥的侧面积 （2个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．圆锥的计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积＝×底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 知识点2．圆柱的计算 （1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长． （2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高 （3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积 （4）圆柱的体积＝底面积×高． 题型强化 题型一．圆锥的计算 1．（2023秋•靖江市月考）如图，在矩形中，以点为圆心，以长为半径画弧交于点，将扇形剪下来做成圆锥，若，则该圆锥底面半径为　　 A． B． C．1 D．2 【分析】首先得到是等腰直角三角形，进而得到，然后由勾股定理求出，然后根据扇形的弧长等于围成的圆锥的底面圆的周长列方程求解即可． 【解答】解：在矩形中， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 扇形的弧长等于围成的圆锥的底面圆的周长， 圆锥的底面圆的半径为， ， 解得． 故选：． 【点评】此题考查圆锥的计算，解题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式． 2．（2024•建邺区校级模拟）用一个圆心角为，半径为12的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 　5　． 【分析】根据弧长公式先计算出扇形的弧长，再利用圆的周长和圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解． 【解答】解：扇形的弧长， 设圆锥的底面半径为，则， 所以． 故答案为：5； 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 3．（2023秋•苏州期中）如图，的圆心与正三角形的中心重合，已知的半径和扇形的半径都是． （1）若将扇形围成一个圆锥的侧面，设该圆锥的高为． ①求扇形的弧长； ②则的值为 　　； （2）上任意一点到正三角形上任意一点距离的最小值为 　　． 【分析】（1）①直接根据弧长公式计算即可； ②求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理即可求出的值； （2）连接交于点，则的长是上任意一点到正三角形上任意一点距离的最小值． 【解答】解：（1）①， 答：扇形的弧长为； ②圆锥的底面半径为， 圆锥的高； 故答案为：； （2）如图，连接交于点，作于点， 则的长是上任意一点到正三角形上任意一点距离的最小值， 是正三角形的中心， ，， ， ， 上任意一点到正三角形上任意一点距离的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查圆锥的计算，弧长的计算，熟练掌握弧长公式和利用三角形三边关系分析得出当、、三点共线时，圆上任意一点到三角形边上任意一点距离有最小值是解题关键． 题型二．圆柱的计算 4．（2004•盐城）如图是一个圆柱形木块，四边形是经边它的轴的剖面，设四边形的面积为，圆柱的侧面积为，则与的关系是　　 A． B． C． D．不能确定 【分析】侧面积底面周长高，四边形的面积底面直径高，算出后比较即可． 【解答】解：设底面直径为，高为，则四边形的面积为．圆柱的侧面积为，所以． 故选：． 【点评】本题的关键是设未知数，但又要把未知数当已知数来求． 5．一个圆柱的侧面积为，高为，则它的底面圆的半径为　　． 【分析】圆柱的侧面展开图是个长方形，对应的面积是底面圆的周长乘以高．用侧面积为作为相等关系即可求得底面圆的半径． 【解答】解：设圆柱底面圆的半径为，那么侧面积为 ． 故圆柱的底面圆的半径为． 【点评】圆柱的计算中要注意侧面积的计算公式为：底面圆的周长圆柱的高圆柱的侧面积． 6．口渴的乌鸦看到一只装了水的瓶， 瓶的旁边还有 350 粒玉米 （假 设每粒玉米的体积相等） ，乌鸦本想立即吃玉米， 但口渴难忍， 它还得用祖辈传下来的本领投“石”喝水呢！乌鸦先叼了 100 粒玉米投入瓶中， 水面上升到瓶的高度的；再往瓶中投了 150 粒玉米， 水面上升到瓶的高度的（如 图， 瓶是圆柱形） ． 若再向瓶中投入玉米， 乌鸦就能喝到水啦！ （1） 如果瓶的容积是，那么每粒玉米的体积是　　； （2） 最初瓶中水的体积是　 　； （3） 如果乌鸦最终喝了瓶中水的，那么乌鸦还需投入瓶中　 　粒玉米； （4） 这时， 它还可以吃到　 　粒玉米 ． 【分析】（1） 先算出 150 粒玉米的体积， 每粒玉米的体积粒玉米的体积； （2） 最初瓶中水的体积粒玉米的体积； （3） 先算出的水有多少， 除以一粒玉米的体积， 即为还需要玉米粒数 ． （4） 吃到的玉米原玉米数用掉的玉米数 ． 【解答】解： （1） 150 粒玉米的体积为，每粒玉米的体积为； （2） 最初瓶中水的体积为； （3）粒； （4） 最后乌鸦还可以吃到的玉米粒数为． 故答案为；； 70 ； 30 ． 【点评】考查有关容积的计算；得到 150 粒玉米的体积是解决本题的突破点；得到 1 粒玉米的体积是解决本题的关键 ． 题型三、求圆锥侧面积 7．（2024·江苏无锡·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题考查了圆锥的侧面积展开图公式，解题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算公式：圆锥的侧面积底面半径母线长． 【详解】解：， 故选：B． 8．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）圆锥底面圆半径为，高为，则它侧面展开图的面积是 ． 【答案】 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 先根据勾股定理计算出母线长，然后利用圆锥的侧面积公式进行计算． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为，高为， ∴圆锥的母线长， ∴圆锥的侧面展开图的面积； 故填：． 9．（19-20九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8． (1)以直线BC为轴，把△ABC旋转一周，求所得圆锥的底面圆周长． (2)以直线AC为轴，把△ABC旋转一周，求所得圆锥的侧面积； 【答案】（1）12π；（2）80π. 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】（1）以直线BC为轴，把△ABC旋转一周，得到的圆锥底面半径为6，即可求出所得圆锥的底面圆周长． （2）由于以直线AC为轴，把△ABC旋转一周，得到的圆锥的展开图为扇形，扇形半径为10，扇形的弧长为2π×CB，然后根据扇形面积公式计算圆锥的侧面积； 【详解】(1) 2π×6=12π. (2)∵∠C=90°,AC=6,BC=8,∴AB==10, 所以以直线AC为轴，把△ABC旋转一周，得到的圆锥的侧面积=×10×2π×8=80π； 【点睛】考查圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是扇形，根据扇形的弧长等于底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，根据扇形的面积公式进行计算即可. 题型四、求圆锥的高 10．（19-20九年级下·江苏南京·阶段练习）若圆锥的母线长为4，底面圆的半径为3，那么该圆锥的高是（    ） A．1 B． C．5 D．7 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、求圆锥的高 【分析】圆锥的母线、底部圆的半径、圆锥的高，这三个线段组成了一个直角三角形，其中圆锥的母线为直角三角形的斜边，其余两个线段为直角三角形的直角边，利用勾股定理便可求出圆锥的高． 【详解】解：∵圆锥的母线、底部圆的半径、圆锥的高，这三个线段组成了一个直角三角形，其中圆锥的母线为直角三角形的斜边，其余两个线段为直角三角形的直角边，且母线长为4，底部圆的半径为3， ∴根据勾股定理，圆锥的高为：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆锥中母线、底部圆半径、圆锥的高之间的数量关系，其中圆锥的母线为直角三角形的斜边，其余两个线段为直角三角形的直角边，这三个线段中任意知道两个线段的长度，即可求得剩余的线段的长度． 11．（2024·江苏无锡·二模）若将半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的高为 ． 【答案】 【知识点】求圆锥的高、求弧长 【分析】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 已知半径为6 的半圆形纸片，就可以求出半圆形的弧长，即圆锥的底面周长，从而可以求出底面半径，因为圆锥的高与底面半径、圆锥母线构成直角三角形的三边，就可以根据勾股定理求出圆锥的高． 【详解】解：半圆形弧长为：， 设圆锥底面半径为r， 则：，所以，， 圆锥的高与底面半径、圆锥母线构成直角三角形的三边， 设圆锥高为h，所以， 解得， 故答案为：． 12．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，的圆心O与正三角形的中心重合，已知的半径和扇形的半径都是．    (1)若将扇形围成一个圆锥的侧面，设该圆锥的高为h． ①求扇形的弧长； ②则h的值为___________； (2)上任意一点到正三角形上任意一点距离的最小值为___________． 【答案】(1)①；② (2) 【知识点】求弧长、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、求圆锥的高 【分析】（1）①本题考查求扇形弧长，根据等边三角形得到，结合即可得到答案；②本题考查圆锥展开图，根据底面圆周长等于扇形弧长求解即可得到答案； （2）本题考查等边三角形的性质及勾股定理，连接并延长交于点D，作即可得到为最小值求解即可得到答案； 【详解】（1）解：①∵三角形是正三角形， ∴， ∴； ②由①得， ， ∴， ∴； （2）解：连接并延长交于点D，作于， ∵O是正三角形的中心，， ∴，，， ∴，是点到三角形边上最长的线段， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：    分层练习 一、单选题 1．已知圆锥的底面半径为2，母线长为6，则它的侧面展开图的面积是（　　） A．12 B．24 C．12π D．24π 【答案】C 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，从而利用扇形的面积公式可计算圆锥的侧面积． 【详解】解：它的侧面展开图的面积 故选：C 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 2．已知圆锥的母线长为，侧面积为，则圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求圆锥底面半径 【分析】先根据圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm2，求出圆锥侧面展开图扇形的弧长，依据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，求解即可． 【详解】解：∵圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm2， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：， ∵圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长， ∴ 故选：C． 【点睛】题目主要考查圆锥的侧面展开图扇形的面积及弧长公式，理解题意，熟练掌握两个公式及变形是解题关键． 3．用一个圆心角为120°，半径为2的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求圆锥底面半径、求弧长 【分析】根据圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，列出方程即可求解． 【详解】解：设圆锥底面的半径为r， ∵圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长， ∴根据题意得，解得：r=． 故选D． 【点睛】本题主要考查圆锥底面半径和弧长公式，掌握圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长是解题的关键． 4．用圆心角为，半径为的扇形做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥底面的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求弧长、求圆锥底面半径 【分析】利用弧长公式计算出的长，设圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得到，计算即可．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【详解】∵圆心角为，半径为，设所对的弧记作， ∴， 设圆锥的底面圆的半径为，则， ∴， 解得， 故选C． 5．如图，小正方形的边长均为1，扇形OAB是某圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的底面周长为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】由图可知，OB=；则弧AB的长为=π，故选B. 6．若圆锥的侧面展开图是半径为a的半圆，则圆锥的高为（　　） A．a B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、求圆锥底面半径、求圆锥的高 【分析】圆锥的母线即半圆的半径是a，圆锥的底面周长即半圆的弧长πa，再根据圆周长公式，得圆锥的底面半径是．最后根据圆锥的高、母线和底面半径组成的直角三角形的勾股定理，即可求圆锥的高． 【详解】解：∵圆锥的母线即半圆的半径是a， ∴圆锥的底面周长即半圆的弧长， ∴，即圆锥的底面半径是． 圆锥的高、母线和底面半径组成直角三角形，由勾股定理，得圆锥的高是 ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 7．用一个圆心角为，半径为12的扇形作为一个圆锥的侧面，则该圆锥底面半径为（    ） A． B．4 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】求圆锥底面半径、求弧长 【分析】根据扇形的弧长公式求出弧长，根据圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长求出半径． 【详解】解：设圆锥底面的半径为， 扇形的弧长为：， 圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长， 根据题意得， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆锥的计算，解题的关键是掌握弧长公式、周长公式和圆锥与扇形的对应关系． 8．已知底面半径是，母线长为，为母线中点，现在有一只蚂蚁从底边一点出发．在侧面爬行到点，则蚂蚁在圆锥侧面爬行最短距离（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查圆锥的扇形弧长等于底面圆周长及两点间线段最短，根据扇形弧长等于底面圆周长求出圆心角，从而得到展开图中的的度数，结合两点间线段距离最短及勾股定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵底面半径是，母线长为， ∴， ∴侧面扇形圆心角为：， ∴， ∵为母线中点， ∴， 由两点间线段距离最短得， ， 故选：B． 9．小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的半径为5cm，弧长是cm，那么这个的圆锥的高是（ ） A．4cm B．6cm C．8cm D．2cm 【答案】A 【知识点】求圆锥的高、求圆锥底面半径 【详解】一只扇形的弧长是6πcm，则底面的半径即可求得，底面的半径，圆锥的高以及母线（扇形的半径）正好构成直角三角的三边，利用勾股定理即可求解： 设圆锥的底面半径是r，则2πr=6π，解得：r=3． 则圆锥的高是： （cm）．故选A． 10．从一张圆形纸板剪出一个小圆形和一个扇形，分别作为圆锥体的底面和侧面，下列的剪法恰好配成一个圆锥体的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆锥的定义及面积 【分析】根据圆锥的底面圆的周长等于扇形弧长，只要图形中两者相等即可配成一个圆锥体即可． 【详解】选项A、C、D中，小圆的周长和扇形的弧长都不相等，故不能配成一个圆锥体，只有B符合条件． 故选B． 【点睛】本题考查了学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现． 二、填空题 11．已知圆锥的母线长是9cm，它的侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的高为 cm． 【答案】6 【知识点】求弧长、求圆锥底面半径、求圆锥的高 【分析】设圆锥底面半径为，那么圆锥底面圆周长为，所以侧面展开图的弧长为，然后利用扇形的面积公式即可得到关于的方程，解方程即可求得圆锥底面圆的半径，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可． 【详解】解：设圆锥底面半径为， 那么圆锥底面圆周长为， 所以侧面展开图的弧长为， ， 解得：， 圆锥的高为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆锥侧面展开图的知识和圆锥侧面面积的计算，解题的关键是正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 12．要制作一个高为8cm，底面圆直径是12cm的圆锥形小漏斗，若不计接缝，不计损耗，则她所需纸板的面积是 cm2． 【答案】60π 【知识点】求圆锥侧面积、用勾股定理解三角形 【分析】易得圆锥的底面半径是6，那么利用勾股定理可得圆锥的母线长为10，那么圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：圆锥的半径为12÷2=6cm，高为8cm， ∴由勾股定理得：圆锥的母线长为10cm． ∴所需纸板的面积为π×6×10=60πcm2． 故答案为： 【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算，勾股定理等知识． 13．将一个底面半径为的圆锥沿任意一条母线剪开，它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，这个圆锥的母线长是 ． 【答案】9 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题考查了扇形的弧长公式，熟记相关结论和公式是解题关键． 【详解】解：设圆锥的母线长为 cm． 题意得：， 解得： 故答案为：9 14．已知圆锥的母线为10，底面圆的直径为12，则此圆锥的侧面积是 ． 【答案】60π． 【知识点】求圆锥侧面积 【详解】试题分析：圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2． 试题解析：底面圆的半径为6，则底面周长=12π，圆锥的侧面积=×12π×10=60π． 考点：圆锥的计算． 15．数学活动课上，小明制作了一顶圆锥形纸帽（如图），其底面直径为24cm，母线长为20cm，将这顶纸帽剪开，展开成扇形时圆心角的度数为 度． 【答案】216 【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角 【分析】利用圆锥的底面周长＝展开扇形的弧长可得到，求得n值即可． 【详解】解：设展开扇形的圆心角的度数为n°， 由图知圆锥的底面直径为24cm，母线长为20cm， ∵圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长， ∴， 解得n＝216． 故答案为：216． 【点睛】本题考查的是圆锥的底面圆的周长，弧长的计算，掌握“圆锥的侧面展开图中的弧长等于圆锥的底面圆的周长”是解题的关键. 16．若圆锥的底面直径为6cm，侧面展开图的面积为，则圆锥的母线长为 ． 【答案】 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】根据圆锥底面圆的直径可得半径，从而可求出侧面展开图的弧长，根据进行计算即可得到答案． 【详解】解：圆锥的底面直径为6cm， 圆锥的底面半径为3cm， 圆锥的底面圆周长为， 侧面展开图的面积为， ， ， 圆锥的母线长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的面积，熟练掌握面积公式是解题的关键． 17．小华为参加元旦晚会演出，准备制作一顶圆锥形彩色纸帽，如果纸帽的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则此圆锥底面圆的半径为 ． 【答案】3 【知识点】求圆锥底面半径、求弧长 【分析】根据圆锥底面圆的周长=扇形的弧长求解即可． 【详解】解：设该圆锥底面圆的半径为， 根据题意得，解得， 即该圆锥底面圆的半径为3． 故答案为：3. 【点睛】本题主要考查了圆锥的底面半径，掌握弧长公式是关键． 18．如图，从一块边长为6的等边三角形卡纸上剪下一个面积最大的扇形，并将其围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 ． 【答案】/ 【知识点】求圆锥底面半径 【分析】本题主要考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键． 如图：连接，根据等边三角形的性质可求，进一步求得弧长，即底面圆的周长，再根据圆的周长公式求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵是边长为6的等边三角形， ∴， ∴扇形的弧长为， ∴圆锥的底面圆的半径是． 故答案为：． 三、解答题 19．把一个底面半径的圆锥木块，从顶点处垂直底面切成两个完全相同的木块，这时表面积增加，这个圆锥的体积是多少立方厘米？（取） 【答案】圆锥的体积是立方厘米 【知识点】 圆柱与圆锥体积的关系 【分析】本题考查圆锥的体积，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题． 设圆锥的高为h cm，构建方程求出h，然后利用圆锥体积求解即可． 【详解】解：设圆锥的高为h cm， 由题意， ， 圆锥的体积为（） 答：圆锥的体积是． 20．一堆圆锥形黄沙，底面周长是，高，将这堆黄沙铺在宽的地面上，铺厚，能铺多少米长？（取3.14） 【答案】能铺长． 【知识点】求圆锥底面半径、 圆锥的认识及特征 【分析】此题主要考查圆锥的体积计算公式以及长方体体积计算公式的运用情况．要求能铺多少米，应先求得沙堆的体积，沙堆的形状是圆锥形的，利用圆锥的体积计算公式求得体积，进一步再求所铺路面的长度． 【详解】解： 黄沙堆的体积： ； 所铺地面的长度： ； 答：能铺长． 21．在如图 ①所示的正方形铁皮中剪下一个圆形和一个扇形，使之恰好围成如图 ②所示的底面直径尽可能大的圆锥模型，设圆形的半径为，扇形的半径为，试探索和之间的关系． 【答案】 【知识点】求弧长、圆锥的实际问题 【分析】 本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是利用题目已知条件得到扇形的弧长和圆的周长之间的关系．根据围成圆锥后圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，列出关系式即可得到两个半径之间的关系． 【详解】 解：∵恰好围成图2所示的一个圆锥模型， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长， ∴， 解得：． 22．如图，在的正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，点O，A，B为格点，即是小正方形的顶点，若将扇形围成一个圆锥，求这个圆锥的底面圆的半径的最大长度． 【答案】 【知识点】求圆锥底面半径 【分析】本题主要考查弧长公式的应用，根据弧长公式求出这个圆锥的底面圆的周长，进而即可求解； 【详解】解：如图，当圆心角为，半径为2时，所围成的圆锥底面圆的半径最大， 这个圆锥锥的底面圆的周长为：； ∴这个锥的底面圆的半径为：． 23．如图所示，D是线段BC的中点，分别以点B，C为圆心，BC长为半径画弧，两弧相交于点A，连结AB，AC，AD，E为AD上一点，连结BE，CE． （1）求证：BE = CE． （2）以点E为圆心作与BC相切，分别交BE，CE于点F，G．若BC = 4，∠EBD = 30°，求扇形FEG的面积 （3）若用扇形FEG围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥的底面圆的半径． 【答案】（1）见解析（2）扇形FEG的面积为．（3）圆锥的底面圆的半径为． 【知识点】求圆锥底面半径、求扇形面积 【分析】（1）根据条件证明，即可得到结论． （2）根据（1）的结论以及直角三角形的勾股定理，求出扇形FEG的圆心角以及半径，最后利用公式即可求出面积． （3）求出扇形FEG的弧长，利用扇形弧长等于其围成的圆锥底面圆的周长，即可求出圆锥的底面圆的半径． 【详解】（1）证明：由题意可知：，为等边三角形， 点是BC的中点， 是等边的中线，且， ， ， ． （2）解：如图所示： 与BC相切，且， 点是切点，并且是该扇形的半径， ，且， ， ， 在中，， ， 是BC的中点， 在中，由勾股定理可知：，解得， 扇形FEG的面积为． （3）解：设圆锥底面圆半径为， 扇形FEG的弧长为： ， 扇形FEG的弧长等于其围成的圆锥的底面圆的周长， ，解得 ， 故圆锥的底面圆的半径为． 【点睛】本题主要是考查了三角形全等，扇形的面积、弧长公式以及扇形与其所围成的圆锥的关系，通过题目所给条件，求解扇形面积公式所需的角度和半径，以及圆锥底面圆所需要的扇形弧长，是求解本题的关键，另外，扇形的面积和弧长公式一定要记牢． 24．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．（网格小正方形的边长为1）．    (1)请在图中标出圆心P点位置，点P的坐标为___________；的半径为___________； (2)判断点与的位置关系； (3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径． 【答案】(1)，； (2)圆内； (3)． 【知识点】判断点与圆的位置关系、判断三角形外接圆的圆心位置、求圆锥底面半径 【分析】本题考查了圆锥的计算，坐标与图形性质和垂径定理． （1）利用网格特点画出和的垂直平分线，它们的交点为P点，再写出P点坐标，然后计算长得到的半径； （2）利用两点间的距离公式计算出，然后根据点与圆的位置关系的判断方法求解； （3）先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，设该圆锥的底面圆的半径为r，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则利用弧长公式得到，求出r即可． 【详解】（1）解：如图，点P为所作，P点坐标为， ， 即的半径为； 故答案为：，； （2）解：∵P，， ∴， ∵， ∴的长小于圆的半径， ∴点在内； （3）解：∵，， ∴， ∴为直角三角形，， 设该圆锥的底面圆的半径为r， 根据题意得， 解得． 25．有一个顶部是圆锥，底部是圆柱的粮囤模型，如图是它的主视图. （1）画出该粮囤模型的俯视图； （2）若每相邻两个格点之间的距离均表示1米，请计算： ①在粮囤顶部铺上油毡，需要多少平方米油毡（油毡接缝重合部分不计）？ ②若粮食最多只能装至与圆柱同样高，则最多可以存放多少立方米粮食？（结果保留和根号） 【答案】（1）见解析；（2）①需要平方米油毡；②最多可以存放立方米粮食. 【知识点】求圆锥侧面积、由展开图计算几何体的表面积 【分析】（1）根据三视图的画法画图即可. (2)根据圆锥侧面积计算公式即可解答. (3)根据圆柱体积计算公式即可解答. 【详解】解：（1） （2） 答：需要平方米油毡. （3）解： 答：最多可以存放立方米粮食. 【点睛】本题考查图形的三视图画法和圆锥侧面积计算公式、圆柱体积计算公式，掌握相关公式是解题关键. 26．图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，恰好重合．已知这种加工材料的顶角，圆锥底面圆的直径为． (1)求图2中圆锥的母线的长． (2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【知识点】三线合一、求弧长、求扇形面积、圆锥的实际问题 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形的性质． （1）由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到，从而求出，再由即可求解； （2）先根据等腰直角三角形的性质得到，再利用扇形的面积公式，利用进行计算． 【详解】（1）解：根据题意得， ， ∴； （2）解：，，， 而， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$