专题01勾股定理（5基础题型+5提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（陕西专用）

专题01 勾股定理 判断三边能否构成直角三角形 1. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（    ） A．5、12、13 B．1、、2 C．9、40、41 D．、、 2. （23-24八年级上·陕西西安·期中）下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（    ） A．1，1， B．3，4，5 C．8，15，16 D．9，40，41 勾股数（树）问题 1. （23-24八年级上·陕西西安·期中）在下列四组数中，是勾股数的是（    ） A．1，， B．8，15，20 C．，，1 D．7，24，25 2. （22-23八年级上·陕西咸阳·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、1、3，则最大的正方形E的面积是（    ）      A．11 B．47 C．26 D．35 3. （23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，分别以，为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则的长为（   ） A．4 B．2 C． D．3 4. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期中）如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、．如果，则阴影部分的面积为 ．           5. （23-24八年级上·陕西西安·期中）综合与实践 【问题背景】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．如图1，在中，，以Rt的三边长向外作正方形的面积分别为． 【解决问题】试猜想之间存在的等量关系，直接写出结论______． 【拓展探究】如图2，如果以的三边长为直径向外作半圆，那么上面的结论是否成立？请说明理由． 【推广应用】如图3，在中，，三边分别为，分别以它的三边为直径向上作半圆，请直接写出图3中阴影部分的面积． 用勾股定理解直角三角形 1. （23-24八年级上·陕西西安·期中）若直角三角形的两条直角边长分别为2，4，则该直角三角形的斜边长是（    ） A．5 B． C． D．或 2. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）若一个直角三角形的两边长分别为和，则第三条边长的平方为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3. （23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，于点D，则 ． 4. （23-24八年级上·陕西西安·期中）在中，，分别为，的对边，若cm，，则的周长为 ． 5. （23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，Q是上一动点，过点作于，于，，则的长是（    ） A． B． C．4 D． 6. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，，求的长． 7. （22-23八年级上·陕西宝鸡·期中）如图，在四边形中，点为的中点，于点，，，，，请计算四边形的面积．    8. （23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在直角中，，点E，F分别在，上，连接，若，，，，求线段的长． 9. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期中）如图，在中，，平分交于点，交于点，已知，． (1)求证：； (2)求的面积． 弦图背景的计算题 1. （23-24八年级上·陕西榆林·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的边长是5，小正方形的边长是2，直角三角形的两直角边长分别是，则的值为（    ）    A．16 B．23 C． D．46 2. （23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理．连结，若，，则正方形的面积为 ． 3. （22-23九年级下·陕西榆林·期中）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图，若，，则小正方形的面积是 ． 4. （23-24八年级上·陕西西安·期中）我国最早对勾股定理进行证明的是数学家赵爽，他用4个全等的直角三角形和中间的一个小正方形组成了一个大正方形，如图所示，人们称这个图为“赵爽弦图”，连接，若，，则 ． 勾股定理的简单应用 1. （23-24八年级上·陕西榆林·期中）赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．    2. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）如图，地面上放着一个小凳子，过点作于点，凳子的高是，一根细长的木杆一端与墙角A重合，木杆靠在凳子的点处，A，两点的距离是，求点离墙的距离．    3. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期中）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大意是：有个水池，水平面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问：这个水池水的深度和这根芦苇的长度各是多少尺？    (1)将生活问题构建为数学模型，请在图中标上必要的字母，并写出已知与求； 解：已知：______；求：______． (2)写出解答过程． 4. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期中）如图，我军巡逻艇正在处巡逻，突然发现在南偏东方向距离海里的处有一艘走私船，以海里小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点处将其追上．求我军巡逻艇的航行速度是多少？ 5. （23-24八年级上·陕西·期中）如图，一辆小汽车在一条限速的街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪的正前方处的点，过了后，测得小汽车所在的点与车速检测仪之间的距离为． (1)求，间的距离． (2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 6. （23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，小明想要测量旗杆的高度（已知旗杆直立于地面，即），他将绳子拉到旗杆底端5m处A点，并在绳子上打了个结，然后向后退11米到达B处，发现此时绳子底端距打结处约7米，设法求出旗杆的高度． 7. （22-23八年级下·陕西咸阳·期中）如图，公路上A、B两站相距25km，在公路附近有C、D两所学校，于点A，于点B．已知，现要在公路上建设一个青少年活动中心E，要使得C、D两所学校到E的距离相等，则E应建在距点A多远处？ 勾股定理与网格问题 1. （23-24八年级下·陕西安康·期中）如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上， 于点D，则线段的长为（    ） A．4 B． C． D．5 2. （23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，试说明是直角三角形．    3. （23-24八年级上·陕西汉中·期中）下面方格图均是由边长为1的正方形组成的，请解答下面问题：    (1)图①中的面积为______； (2)在图②中以格点为顶点，画出三边长分别为，，的三角形． 利用勾股定理解决线段的平方问题 1. （23-24八年级上·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    2. （23-24八年级下·陕西渭南·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点O．若，则的值为 ． 3. （23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长及的长． 勾股定理与折叠问题 1. （24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，长方形纸片，，现将其沿对折，使得点C与点A重合，则的面积为（    ） A． B．18 C． D． 2. （23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，三角形纸片中，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是 ． 3. （23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，，将沿折叠，使点落在上的点处，则的长为 ．    4. （22-23八年级上·陕西西安·期中）如图，将长方形沿着折叠，使得点D恰好落在边上的处，若，，则的面积为 ． 5. （22-23八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，，是上一点，连接，沿将折叠，若点的对应点落在的延长线上，则折痕 ． 6. （21-22八年级上·陕西西安·期中）如图，在△ABC中，点D是BC边的一个三等分点，BD＝2CD，且∠ADC＝45°，将△ABC沿AD折叠，点C落在点C′处，连接BC′，若BC′＝10，则BC的长为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 利用勾股定理求最短路径长 1. （23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，圆柱形玻璃容器高，底面圆的周长为，在外侧底部点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧顶端的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度（    ）    A． B． C． D． 2. （23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（   ）    A． B． C． D． 3. （23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是多少（取3）（    ） A． B．8 C． D．10 4. （23-24八年级上·陕西榆林·期中）如图，在圆柱的截面中，和分别为下底面和上底面的直径，，动点从点出发，沿着圆柱的侧面运动到的中点的最短路程为 ．    5. （22-23八年级上·陕西西安·期中）如图，台阶阶梯每一层高，宽，长，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是 ． 6. （23-24八年级上·陕西汉中·期中）如图，在中，，，，平分，，分别是和上的动点，则的最小值为 ．    7. （23-24八年级上·陕西·期中）在中，，，，点，分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ． 8. （23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，点D为上一点且，点F和点E分别是线段和上一动点，连接，，，则三角形周长的最小值为 ．    9. （23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，，点为内一点，且，若点、分别是边、上的动点，则周长的最小值为 ． 勾股定理综合应用 1. （23-24八年级上·陕西西安·期中）某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一栋楼的外墙面上，这时云梯底端距墙脚的距离，． (1)当消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），即，那么它的底部B在水平方向滑动到的距离是多少？ (2)在演练中，高的楼房窗口处有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的楼房窗口去救援被困人员？ 2. （23-24八年级上·陕西西安·期中）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 3. （22-23八年级下·陕西安康·期中）公元前6世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了直角三角形三边之间的数量关系：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，这个结论称之为“勾股定理”．    (1)如图1，将等腰直角三角板顶点放在直线上，过点作，过点作，垂足分别为，设，请结合此图证明勾股定理． (2)如图2，朵朵同学把四个直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓（实线）的周长为48，，求这个图案的面积． 4. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）已知：如图，在，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)求边的长： (2)当时，求点A、P之间的距离． (3)当为直角三角形时，求t的值． 5. （23-24八年级上·陕西西安·期中）【问题提出】 （1）如图①，在中，，，，则是 三角形；（填“直角”“锐角”或“钝角”） 【问题探究】 （2）如图②，，点C为射线上一点，且，点D为射线上的动点，当为等腰三角形时，求的长；（结果保留根号） 【问题解决】 （3）如图③，为某植物园的一片绿化区域，且米，米，米，已知在的延长线上，距离A点40米的点D处有一口灌溉水井（灌溉水井的大小忽略不计），管理人员计划沿修一条小路，并在上找一点E，在中种植栀子花，请你计算当种植栀子花的区域为等腰三角形时，的长．（结果保留根号）    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 勾股定理 判断三边能否构成直角三角形 1. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（    ） A．5、12、13 B．1、、2 C．9、40、41 D．、、 【答案】D 【知识点】二次根式的乘法、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．判断三条线段能不能作为直角三角形的三边，依据勾股定理的逆定理：两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形即可． 【详解】解：A、因为，所以5、12、13能构成直角三角形，不符合题意； B、因为，所以1、、2能构成直角三角形，不符合题意； C、因为，所以 9、40、41能构成直角三角形，不符合题意； D、因为，所以、、不能构成直角三角形，符合题意； 故选：D． 2. （23-24八年级上·陕西西安·期中）下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（    ） A．1，1， B．3，4，5 C．8，15，16 D．9，40，41 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决本题的关键．根据勾股定理的逆定理即可得到答案． 【详解】解∶A．，能构成直角三角形，故不符合题意； B．，能构成直角三角形，故不符合题意； C．，不能构成直角三角形，故符合题意； D．，能构成直角三角形，故不符合题意； 故选∶C． 勾股数（树）问题 1. （23-24八年级上·陕西西安·期中）在下列四组数中，是勾股数的是（    ） A．1，， B．8，15，20 C．，，1 D．7，24，25 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查勾股数．根据勾股数的定义“满足 的三个正整数a、b、c称为勾股数”逐项判断即可． 【详解】解：A、，都不是正整数，因此1，，不是一组勾股数，本选项不符合题意； B、，因此8，15，20不是一组勾股数，本选项不符合题意； C、，都不是正整数，因此，，1不是一组勾股数，本选项不符合题意； D、，因此7，24，25是一组勾股数，本选项符合题意； 故选：D． 2. （22-23八年级上·陕西咸阳·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、1、3，则最大的正方形E的面积是（    ）      A．11 B．47 C．26 D．35 【答案】D 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】如图，根据勾股定理分别求出F、G的面积，再根据勾股定理计算出E的面积即可． 【详解】解：如图，      由勾股定理得，正方形F的面积正方形A的面积正方形B的面积， 同理，正方形G的面积正方形C的面积正方形D的面积 ， ∴正方形E的面积正方形F的面积正方形G的面积 ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 3. （23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，分别以，为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则的长为（   ） A．4 B．2 C． D．3 【答案】B 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．利用正方形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：分别以，为边向外作正方形，面积分别为，， ，． ，， ，． ， ． 故选：B 4. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期中）如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、．如果，则阴影部分的面积为 ．           【答案】5 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据题意得到，再由勾股定理得到，则由已知条件可推出，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 5. （23-24八年级上·陕西西安·期中）综合与实践 【问题背景】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．如图1，在中，，以Rt的三边长向外作正方形的面积分别为． 【解决问题】试猜想之间存在的等量关系，直接写出结论______． 【拓展探究】如图2，如果以的三边长为直径向外作半圆，那么上面的结论是否成立？请说明理由． 【推广应用】如图3，在中，，三边分别为，分别以它的三边为直径向上作半圆，请直接写出图3中阴影部分的面积． 【答案】【解决问题】；【拓展探究】结论仍成立，理由见解析；【推广应用】30 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查勾股定理； （1）先分别列式表示出，，，再运用勾股定理可得； （2）先分别列式表示出，，，再运用勾股定理可得； （3）先分别求得三个半圆和的面积，且由勾股定理可得两个小半圆面积的和等于大半圆的面积，再根据图中阴影部分的面积等于两个小半圆和的面积的和减去大半圆的面积进行计算即可． 【详解】[解决问题]解：在中，，，，，由勾股定理得： ， 由正方形面积公式可得：， ∴； 故答案为； [拓展探究]解：成立，理由如下： 在中，由勾股定理得：， 根据圆的面积公式可得：， ∴； [推广应用]解：如图， 根据（2）的结论，两个以直角边为直径的半圆面积等于斜边为直径的半圆面积． 阴影部分的面积直径为5与直径为12的两个半圆面积之和直角三角形的面积直角为13的半圆 直角三角形的面积， 阴影部分的面积． 用勾股定理解直角三角形 1. （23-24八年级上·陕西西安·期中）若直角三角形的两条直角边长分别为2，4，则该直角三角形的斜边长是（    ） A．5 B． C． D．或 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，利用勾股定理即可求解即可，熟练掌握勾股定理是关键． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边分别为2，4， ∴斜边为． 故选：C． 2. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）若一个直角三角形的两边长分别为和，则第三条边长的平方为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】分长为和的两边都是直角边和长是的边是斜边两种情况进行讨论，根据勾股定理即可求得第三边的平方． 【详解】当长为和的两边都是直角边时，斜边的平方为： 当长是的边是斜边时，第三边的平方为： 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形第三边，本题的关键是要分两种情况讨论． 3. （23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，于点D，则 ． 【答案】1.4// 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理．设，则，利用两个直角三角形共用直角边，结合勾股定理列方程进行求解即可． 【详解】解：设，则， 在直角中，． 在直角中，． 所以． 解得． 所以． 故答案为：． 4. （23-24八年级上·陕西西安·期中）在中，，分别为，的对边，若cm，，则的周长为 ． 【答案】48cm 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】先设，，根据勾股定理列出方程，再求出解即可得出答案． 【详解】设，，根据题意，得 ， 解得， ∴，， ∴的周长为． 故答案为：48cm． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，求三角形的周长等，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 5. （23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，Q是上一动点，过点作于，于，，则的长是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理及等面积法，连接，设，通过勾股定理得出ｋ的值，再求出，再利用等面积法求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】连接， ∵， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得（负舍）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，，求的长． 【答案】12 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】 本题考查了勾股定理；直接利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 7. （22-23八年级上·陕西宝鸡·期中）如图，在四边形中，点为的中点，于点，，，，，请计算四边形的面积．    【答案】四边形的面积为 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】如图所示，连接，根据勾股定理可求出的长，再根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，由此可计算出的面积，由此即可求解不规则图形的面积． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵，点为的中点， ∴， ∵，即， 在，，， ∴，则 ∵，，则， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴，且， ∵， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，不规则图形面积的计算方法，掌握勾股定理及其逆定理的运算，构成直角三角形计算图形面积是解题的关键． 8. （23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在直角中，，点E，F分别在，上，连接，若，，，，求线段的长． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设，根据勾股定理得出，根据，得出， 求出即可得出答案． 【详解】解：设， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， 解得：， 即线段的长为． 9. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期中）如图，在中，，平分交于点，交于点，已知，． (1)求证：； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】垂线的定义理解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了垂线和角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据垂线和角平分线的定义，证明即可； （2）由全等的性质，得到，再利用勾股定理，得出，即可求出的面积． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， ，， 由勾股定理得：， ． 弦图背景的计算题 1. （23-24八年级上·陕西榆林·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的边长是5，小正方形的边长是2，直角三角形的两直角边长分别是，则的值为（    ）    A．16 B．23 C． D．46 【答案】D 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了以弦图为背景的计算，由题意先得到，，再结合，从而可得答案；熟记完全平方公式的变形是解本题的关键． 【详解】解：由题意可知：大正方形的面积， 小正方形的面积为：， ∴， 故选：D． 2. （23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理．连结，若，，则正方形的面积为 ． 【答案】 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理求出，求出，进而得出，根据勾股定理计算，得到答案．此题考查是勾股定理、全等三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图所示： 由四个全等的直角三角形可得，， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 即正方形的面积为． 故答案为：． 3. （22-23九年级下·陕西榆林·期中）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图，若，，则小正方形的面积是 ． 【答案】1 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】根据勾股定理可得的长度，根据四个直角三角形全等可得，进一步即可求出小正方形的边长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵四个直角三角形全等 ∴ ∴ 故小正方形的面积是： 故答案为： 【点睛】本题考查了以弦图为背景的计算．熟悉勾股定理形式是解题关键． 4. （23-24八年级上·陕西西安·期中）我国最早对勾股定理进行证明的是数学家赵爽，他用4个全等的直角三角形和中间的一个小正方形组成了一个大正方形，如图所示，人们称这个图为“赵爽弦图”，连接，若，，则 ． 【答案】 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据题意得，利用三角形的面积公式求得，由，推出，，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵，即， 解得， ∴． 故答案为：． 勾股定理的简单应用 1. （23-24八年级上·陕西榆林·期中）赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．    【答案】绳索的长度是 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．设秋千的绳索长为，，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可作答． 【详解】解：由题意得：， 在中，由勾股定理得：， 设绳索的长度为，则， ∴， 解得：， 答：绳索的长度是． 2. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）如图，地面上放着一个小凳子，过点作于点，凳子的高是，一根细长的木杆一端与墙角A重合，木杆靠在凳子的点处，A，两点的距离是，求点离墙的距离．    【答案】点离墙的距离 【知识点】用勾股定理解三角形、求一个数的算术平方根 【分析】在中，由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， 由题意得：， 在中，由勾股定理得：， 答：点离墙的距离为． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 3. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期中）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大意是：有个水池，水平面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问：这个水池水的深度和这根芦苇的长度各是多少尺？    (1)将生活问题构建为数学模型，请在图中标上必要的字母，并写出已知与求； 解：已知：______；求：______． (2)写出解答过程． 【答案】(1)图见解析；尺，尺，；与的长度 (2)水深尺，芦苇长尺 【知识点】用勾股定理解三角形、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 根据题意画出图形，解答即可； 先设水池的深度为尺，则这根芦苇的长度为尺，根据勾股定理可得方程，再解即可． 【详解】（1）解：如图，已知：尺，尺，，    求：与的长度； 故答案为：尺，尺，，与的长度； （2）设水池的深度为尺，则尺， 由题意得：， 即：， 解得：， ， 答：水深尺，这根芦苇的长度各是尺． 4. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期中）如图，我军巡逻艇正在处巡逻，突然发现在南偏东方向距离海里的处有一艘走私船，以海里小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点处将其追上．求我军巡逻艇的航行速度是多少？ 【答案】我军巡逻艇的航行速度是海里小时 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用；根据方向角的定义得到，得出，在中，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图所示，由题意得， ， ， ， ， 巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点处追上走私船， 海里， 在中，，海里，海里， 海里， 我军巡逻艇的航行速度是海里小时． 答：我军巡逻艇的航行速度是海里小时． 5. （23-24八年级上·陕西·期中）如图，一辆小汽车在一条限速的街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪的正前方处的点，过了后，测得小汽车所在的点与车速检测仪之间的距离为． (1)求，间的距离． (2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)没有超速，见解析 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理代入数据即可求得答案． （2）先根据B，C间的距离求得小汽车在内行驶的速度，再和限速40比较大小即可． 【详解】（1）在中， ，，且为斜边， ， 答：，间的距离为； （2）这辆小汽车没有超速． 理由：，平均速度为：，， ， 这辆小汽车没有超速． 6. （23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，小明想要测量旗杆的高度（已知旗杆直立于地面，即），他将绳子拉到旗杆底端5m处A点，并在绳子上打了个结，然后向后退11米到达B处，发现此时绳子底端距打结处约7米，设法求出旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为12米． 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用．设，则，，由勾股定理得，求得，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：设，则，， 由勾股定理得，即， 解得，即， 由勾股定理得（米）， 答：旗杆的高度为12米． 7. （22-23八年级下·陕西咸阳·期中）如图，公路上A、B两站相距25km，在公路附近有C、D两所学校，于点A，于点B．已知，现要在公路上建设一个青少年活动中心E，要使得C、D两所学校到E的距离相等，则E应建在距点A多远处？ 【答案】 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理正确建立方程是解题关键． 先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可得． 【详解】解：∵使得两村到站的距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 答：站应建在离站处． 勾股定理与网格问题 1. （23-24八年级下·陕西安康·期中）如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上， 于点D，则线段的长为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了网格与勾股定理以及三角形面积，由勾股定理求出，再由三角形面积求出即可． 【详解】解：由勾股定理可得， ， ，即， ， 故选：C． 2. （23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，试说明是直角三角形．    【答案】见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、判断三边能否构成直角三角形 【分析】先利用勾股定理求出，，，然后利用勾股定理的逆定理证明即可． 【详解】证明：      如答图，在中，由勾股定理，得 ， 同理，得， ∴， ∴是直角三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理， 熟练掌握定理是解本题的关键． 3. （23-24八年级上·陕西汉中·期中）下面方格图均是由边长为1的正方形组成的，请解答下面问题：    (1)图①中的面积为______； (2)在图②中以格点为顶点，画出三边长分别为，，的三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、利用网格求三角形面积 【分析】（1）根据割补法求三角形的面积即可； （2）根据勾股定理先求出长为，，的直线，再利用数形结合的思想解决问题即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：∵，即长为的直线，是两直角边长为，的直角三角形的斜边； ，即长为的直线，是两直角边长为，的直角三角形的斜边； 如图：长为，和的长为．    【点睛】本题考查网格中三角形的面积，勾股定理，根据勾股定理判断三边所在的位置是解题的关键． 利用勾股定理解决线段的平方问题 1. （23-24八年级上·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    【答案】17 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可； 【详解】解：∵， 由勾股定理得， 故答案为：17． 【点睛】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 2. （23-24八年级下·陕西渭南·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点O．若，则的值为 ． 【答案】90 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．在和中，根据勾股定理得，，进一步得，再根据，，最后求得． 【详解】解：， ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， ，， ； 故答案为：90 3. （23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长及的长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为， 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差）、用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了勾股定理的应用、线段垂直平分线的性质等知识点． （1）由线段垂直平分线的性质可得，在利用勾股定理建立线段的平方关系，再等量代换即可求证； （2）在中，由勾股定理得的长度，结合线段垂直平分线的性质、勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵是斜边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴， 即. （2）解：∵是斜边的中点，， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴. 又∵， ∴， ∴的周长为. ∵ ∴， 即， 解得：． 勾股定理与折叠问题 1. （24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，长方形纸片，，现将其沿对折，使得点C与点A重合，则的面积为（    ） A． B．18 C． D． 【答案】A 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了矩形的翻折．熟练掌握矩形性质，折叠性质，勾股定理解直角三角形，三角形面积公式求三角形面积，是解题关键． 由矩形性质和对折性质得到 ，设，则，在中，由勾股定理求得，结合运用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵矩形纸片中，， ∴， 由对折知， ， 设，则， 在中， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故选：A． 2. （23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，三角形纸片中，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，根据折叠的性质证明，进而证明，然后利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 3. （23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，，将沿折叠，使点落在上的点处，则的长为 ．    【答案】/ 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】根据折叠的性质可得，，设，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意可得，， 设，则，， 在中，， 即， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 4. （22-23八年级上·陕西西安·期中）如图，将长方形沿着折叠，使得点D恰好落在边上的处，若，，则的面积为 ． 【答案】45 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】过点E作，根据勾股定理求出，，设，则，根据勾股定理求出，再求出和，即可解得． 【详解】解：过点E作， 设，则， ， 根据勾股定理可得，， 解得：， ∴， 设，则 ， 根据勾股定理可得： 解得， ， ∴ -故答案为：45． 【点睛】此题考查折叠问题和勾股定理，解题的关键是利用勾股定理，列方程，求出直角三角形的边长． 5. （22-23八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，，是上一点，连接，沿将折叠，若点的对应点落在的延长线上，则折痕 ． 【答案】/ 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】先利用勾股定理求出，由折叠的性质可得，则，设，则，利用勾股定理得到，解得，进而在中，由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和折叠的性质，正确求出的长是解题的关键． 6. （21-22八年级上·陕西西安·期中）如图，在△ABC中，点D是BC边的一个三等分点，BD＝2CD，且∠ADC＝45°，将△ABC沿AD折叠，点C落在点C′处，连接BC′，若BC′＝10，则BC的长为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】根据折叠的性质得到DC′=DC，∠ADC=∠ADC′=45°，推出∠BDC′=90°，在Rt△BDC′中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：根据折叠的性质得到DC′=DC，∠ADC=∠ADC′=45°， ∴∠BDC′=180°-45°-45°=90°， 在Rt△BDC′中，BD=2CD，BC′=10， ∴,即， 解得：CD=2，BD=4， ∴BC=6， 故选：C． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识点，判断出△BDC′是直角三角形是解题的关键． 利用勾股定理求最短路径长 1. （23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，圆柱形玻璃容器高，底面圆的周长为，在外侧底部点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧顶端的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题、求展开图上两点折叠后的距离 【分析】把圆柱的侧面展开，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图所示，， 答：蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度为30cm． 故选：B．    【点睛】本题主要考查平面展开-最短路径问题、勾股定理等知识点，计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值是解题的关键． 2. （23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查平面展开最短路径问题，两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想象能力，将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答，解题的关键是能将侧面展开成长方形，从而用勾股定理求解． 【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的边长， ∴长为米；宽为米． 于是最短路径为：米． 故选：B．    3. （23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是多少（取3）（    ） A． B．8 C． D．10 【答案】D 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】此题考查平面展开-最短路径问题．要求蚂蚁爬行的最短距离，需将半圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”通过勾股定理得出结果． 【详解】解：将圆柱的侧面展开为矩形， 其中为半圆的弧长，为半径的长，， 根据勾股定理可得， 故爬行的最短路程为． 故选：D 4. （23-24八年级上·陕西榆林·期中）如图，在圆柱的截面中，和分别为下底面和上底面的直径，，动点从点出发，沿着圆柱的侧面运动到的中点的最短路程为 ．    【答案】13 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】先把圆柱的侧面展开，连接，利用勾股定理即可得出的长． 【详解】解：如图所示，在圆柱的截面中，， ∴， 故答案为：13．    【点睛】本题考查的是平面展开开最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 5. （22-23八年级上·陕西西安·期中）如图，台阶阶梯每一层高，宽，长，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是 ． 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】将阶梯的表面展开，形成一个矩形；根据勾股定理求解即可； 【详解】解：如图，阶梯的表面展开，形成一个矩形； ∵台阶阶梯每一层高，宽，长 ∴ （） 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用；将蚂蚁行进过程中的多个平面展开形成一个矩形是解题的关键． 6. （23-24八年级上·陕西汉中·期中）如图，在中，，，，平分，，分别是和上的动点，则的最小值为 ．    【答案】 【知识点】垂线段最短、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】作点关于直线的对称点，连接，作于．根据对称的性质可得，推出，根据垂线段最短可知当点与H重合，C，P，共线时，的值最小，最小值就是线段的长． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，作于．如图：    ∵点与点关于直线的对称， ∴垂直平分， ∴， 则， 根据垂线段最短可知当点与重合，，，共线时，，此时的值最小，即的值最小， ∵，，， ∴， 则， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称-最短距离的问题，勾股定理，三角形的面积等，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题． 7. （23-24八年级上·陕西·期中）在中，，，，点，分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）、最短路径问题 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，最短路径问题． 过点B作，使得，连接，，先证明，得到，则，当点A、Q、M三点共线时，，利用勾股定理求出的长度，即可得到答案． 【详解】如图，过点B作，使得，连接，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 当点A、Q、M三点共线时，， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为： 8. （23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，点D为上一点且，点F和点E分别是线段和上一动点，连接，，，则三角形周长的最小值为 ．    【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称−最短路径问题，勾股定理； 作D关于的对称点G，作D关于的对称点H，连接交于F交于E，则此时的周长最小，且周长的最小值为的长度，求出，，，然后根据勾股定理即可得到答案． 【详解】解：如图，作D关于的对称点G，作D关于的对称点H，连接交于F交于E，则此时的周长最小，且周长的最小值为的长度，    ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即三角形周长的最小值为， 故答案为：． 9. （23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，，点为内一点，且，若点、分别是边、上的动点，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关性质定理． 作点D关于对称的对应点，作点D关于对称的对应点，连接，交于点E，交于点F，连接，此时周长的最小．勾股轴对称的性质得出，，进而得出，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：作点D关于对称的对应点，作点D关于对称的对应点，连接，交于点E，交于点F，连接，此时周长的最小， ∵点D和点关于对称，点D和点关于对称， ∴，， ∵， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵点D和点关于对称，点D和点关于对称， ∴， ∴周长， 故答案为：．    勾股定理综合应用 1. （23-24八年级上·陕西西安·期中）某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一栋楼的外墙面上，这时云梯底端距墙脚的距离，． (1)当消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），即，那么它的底部B在水平方向滑动到的距离是多少？ (2)在演练中，高的楼房窗口处有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的楼房窗口去救援被困人员？ 【答案】(1)它的底部B在水平方向滑动到的距离是 (2)云梯的顶端能到达高的楼房窗口去救援被困人员 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）在中利用勾股定理求出，可得的长度，然后在中利用勾股定理求出，进而可求的长； （2）利用勾股定理求出能够到达墙面的最大高度，然后与进行比较即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， 即它的底部B在水平方向滑动到的距离是； （2）解：若云梯底端离墙的距离刚好为云梯长度的， 则能够到达墙面的最大高度为：， ∵， ∴， ∴云梯的顶端能到达高的楼房窗口去救援被困人员． 2. （23-24八年级上·陕西西安·期中）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 【答案】(1)会受到台风的影响，理由见解析； (2) 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】（1）作，中，根据勾股定理，求出的长，进而求得的长，即可求解， （2）假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，所以，根据勾股定理求出的长，即可， 此题考查了勾股定理的应用，应用勾股定理解决实际问题，正确理解题意确定直角三角形利用勾股定理进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解：会受到台风的影响. 理由：如图，过点A作，垂足为D， 在中，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， 答：农场A会受到台风的影响， （2）解：如图， 假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，所以，，由勾股定理，可得 ∵台风的速度是， ∴受台风影响的时间为， 答：台风影响该农场持续时间为． 3. （22-23八年级下·陕西安康·期中）公元前6世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了直角三角形三边之间的数量关系：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，这个结论称之为“勾股定理”．    (1)如图1，将等腰直角三角板顶点放在直线上，过点作，过点作，垂足分别为，设，请结合此图证明勾股定理． (2)如图2，朵朵同学把四个直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓（实线）的周长为48，，求这个图案的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】以弦图为背景的计算题、勾股定理的证明方法、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）先根据证明，得到，，再由进行证明即可； （2）由图形的周长为48，得，由图可知，根据勾股定理求得，进而得到，再根据图案的面积可求得答案． 【详解】（1）证明：由已知，得，，． 又，， ，， ， ， ， ． 又， ， ． （2）图形的周长为48，由图可知， ． 由图可知， 在中，， 即， 解得， ， 图案的面积． 【点睛】本题是勾股定理的探究与应用，主要考查了勾股定理的性质及应用，全等三角形的判定与性质，解题关键是通过面积法来探究勾股定理． 4. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）已知：如图，在，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)求边的长： (2)当时，求点A、P之间的距离． (3)当为直角三角形时，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)4或． 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解． （1）利用勾股定理求解即可得； （2）求出，则，在中，，由勾股定理得即可； （3）先求出，再分①当，②当两种情况，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：在中，，， ∴由勾股定理得； （2）解：当时，，则， 在中，，由勾股定理得， ， 即点A、P之间的距离为． （3）解：由题意知． ①当时，如图，点P与点C重合，则， ∴； ②当时，如图2，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得． 综上所述，当为直角三角形时，t的值为4或． 5. （23-24八年级上·陕西西安·期中）【问题提出】 （1）如图①，在中，，，，则是 三角形；（填“直角”“锐角”或“钝角”） 【问题探究】 （2）如图②，，点C为射线上一点，且，点D为射线上的动点，当为等腰三角形时，求的长；（结果保留根号） 【问题解决】 （3）如图③，为某植物园的一片绿化区域，且米，米，米，已知在的延长线上，距离A点40米的点D处有一口灌溉水井（灌溉水井的大小忽略不计），管理人员计划沿修一条小路，并在上找一点E，在中种植栀子花，请你计算当种植栀子花的区域为等腰三角形时，的长．（结果保留根号）    【答案】（1）直角；（2）当△OCD为等腰三角形时，OD=或；（3）或或 【知识点】等腰三角形的定义、用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方；两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形；等腰三角形等边对等角． （1）由勾股定理的逆定理可得出结论； （2）分两种情况，由等腰直角三角形的性质及勾股定理可得出答案； （3）分三种情况，由等腰直角三角形的性质及勾股定理可得出答案． 【详解】解：（1）在中，，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角； （2）分两种情况： ①如图，过C作交于D，    ∵， ∴， ∴， ∴， ②如图，过C作交于D，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上所述，当△OCD为等腰三角形时，或； （3）∵米，米，米，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，， 又∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ①当时，则，    ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， 解得：， ∴， ②当时，则，    ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ③当时，    ， 综上所述，△ADE为等腰三角形时，或或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质，正确进行分类讨论是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$