精品解析：广东省汕头市潮南实验学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

2024-2025学年度第一学期 九年级数学第一学月测试卷 内容：第21-22章 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程：进行判断即可． 【详解】解：A、当a=0时， 不是一元二次方程，故本选项不符合题意． B、该方程含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意． C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意． D、该方程不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意． 故选C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2. 抛物线y=（x＋2）2＋1的对称轴是（ ） A. 直线x＝－1 B. 直线x＝1 C. 直线x＝2 D. 直线x＝－2 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用顶点式的特殊性可求对称轴． 【详解】∵抛物线y=（x＋2）2＋1的顶点坐标是：（-2，1）， ∴对称轴是：直线x=-2， 故选D． 【点睛】本题主要考查抛物线的对称轴，属于二次函数的基础知识，难度较小． 3. 方程化为一般形式为，其中一次项系数为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，先根据整式的乘法法则展开，整理，化成一般形式，根据一次项系数的定义解答即可． 【详解】， 整理，得， 即， 一次项系数为． 故选：B． 4. 若二次函数y＝x2﹣2x+a有最小值为6，则a的值为（　　） A. ﹣6 B. 6 C. ﹣7 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】把二次函数的一般式化为顶点式，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得： ， ∵1＞0，即开口向上， ∴当x=1时，二次函数有最小值， ∴，解得：； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 5. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，先根据一元二次方程根与系数的关系判断A，B，再根据根的判别式判断C，D． 【详解】∵一元二次方程的两个实数根为， ∴． ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴． 当时，， ∵， ∴． ∴A，C，D不正确，B正确． 故选：B． 6. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 图象的对称轴为直线 C. 函数的最小值为 D. 当时，y随x增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟知二次函数的性质是解答的关键．根据二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵，， ∴该二次函数的图象开口向上，故选项A错误，不符合题意； 对称轴为直线，故选项B错误，不符合题意； 最小值为，故选项C正确，符合题意； 当时，y随x增大而增大，故选项D错误，不符合题意， 故选：C． 7. 如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则所列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意易得该无盖纸盒的底面长为，宽为，然后问题可求解． 【详解】解：设剪去小正方形的边长为， 则由题意可列方程为， 故选A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 8. 加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式，则最佳加工时间为（ ）min． A. 2 B. 5 C. 2或5 D. 3.5 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴公式直接计算即可． 【详解】解：∵的对称轴为（min）， 故：最佳加工时间为3. 5min， 故选择：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数性质的应用，涉及二次函数对称轴公式，记住抛物线对称轴公式是解题关键． 9. 对于实数，，，，我们定义运算，例如：，上述记号就叫做二阶行列式．若，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了定义运算，解一元二次次方程，利用题中的新定义列出关于一元二次方程，解方程即可求解，正确得出一元二次方程是解题关键． 【详解】解：∵， ∴，整理得， 解得：，， 故选：． 10. 若一次函数y=ax+b的图象经过一、二、四象限，则函数y=ax2+bx的图象只可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数y=ax+b的图象位置确定a、b的符号，根据a、b的符号确定二次函数y=ax2+bx图象的位置即可得． 【详解】解：∵一次函数y=ax+b的图象经过一、二、四象限， ∴a＜0，b＞0， ∴二次函数y=ax2+bx的图象开口向下， 对称轴x=->0，在y轴右边， ∴函数y=ax2+bx的图象只可能是D， 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数解析式的系数与图象位置的关系．图象的所有性质都与解析式的系数有着密切关系． 二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分） 11. 方程的根是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用公式法求解即可，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 【详解】解：， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，， 故答案为：，． 12. 二次函数y＝﹣（x﹣2）2+1，当x＞3时，y随x的增大而_____． 【答案】减小 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式可得二次函数开口向下，则在对称轴右侧，y随x的增大而减小，由此求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向下，其对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而减小， ∴当x＞3时，y随x的增大而减小， 故答案为：减小． 【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 13. 若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义可得，根据常数项为0得到，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的常数项为0， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地形如，其中a、b、c是常数且的方程叫做一元二次方程，其中c叫做常数项． 14. 已知点，，都在二次函数的图象上，，，的大小关系是___________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，再比较各个点到对称轴的距离，即可求解. 【详解】解：∵， ∴抛物线图象开口向上，对称轴为直线，在对称轴右边y随x的增大而增大，左边y随x的增大而减小， ∵，，， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题关键是理解函数图象的增减性. 15. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+3m-1=0，则3m-1=-m2，根据根与系数的关系得出m+n=-3，再将其代入整理后的代数式计算即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根， ∴m2+3m-1=0， ∴3m-1=-m2， ∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根， ∴m+n=-3， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程()的两根时，，．也考查了一元二次方程的解． 16. 边长为1的正方形的顶点在x轴的正半轴上，如图将正方形绕顶点O顺时针旋转得正方形，使点B恰好落在函数的图象上，则a的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点B向x轴引垂线，连接，可得的长度，进而得到点B的坐标，代入二次函数解析式即可求解． 【详解】解：如图，作轴于点E，连接， 正方形绕顶点O顺时针旋转， ， ， ， ， ， ， ， ， 点B坐标为， 代入得， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查坐标转换问题及待定系数法求二次函数解析，理解题意，掌握旋转的性质确定点的坐标是解题关键． 17. 若关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是__________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，理解方程的解是解答的关键．根据方程的解的意义可得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵方程的解是，， ∴方程的解、满足，， 解得，， 故答案为：，． 三、解答题（本大题7小题，共62分） 18. 已知抛物线的解析式为．求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点． 【答案】 证明：∵ ， ∴此抛物线与x轴必有两个不同的交点． 【解析】 【分析】由可得答案． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，熟知当二次函数与x轴有两个不同的交点则一元二次方程有两个不同的实数根是解题的关键． 19. 去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%． （1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额； （2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率． 【答案】（1）504万元；（2）20%． 【解析】 【分析】(1)根据“前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%”即可求解； (2)设去年8、9月份营业额的月增长率为x，则十一黄金周的月营业额为350(1+x)2，根据“十一黄金周这七天的总营业额与9月份的营业额相等”即可列方程求解． 【详解】解：(1)第七天的营业额是450×12%=54(万元)， 故这七天的总营业额是450+450×12%=504(万元)． 答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元． (2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x， 依题意，得：350(1+x)2=504， 解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2(不合题意，舍去)． 答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20. 商场将进货价为元/个的台灯以元/个的价格销售，每月能售出个，调查表明：这种台灯的销售单价每上涨元，其月销售量就会减少个．规定该台灯的销售单价不得低于元且不得超过元． （1）为了实现这种台灯的月销售利润为元，则销售单价应定为多少元？ （2）当台灯的销售单价为多少时，获得的利润最大？最大为多少？ 【答案】（1）这种台灯的销售单价应定为元． （2）当台灯的销售单价为元时，获得的利润最大，最大为元． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的实际应用、二次函数的实际应用、二次函数最值，解题关键是熟练掌握二次函数最值求解方法． （1）设这种台灯的销售单价应定为元，根据题意列出方程并求解后，结合的取值范围即可得解； （2）设获得的利润为元，根据题意得到，结合二次函数最值求法得到最大值，结合题意即可得解． 【小问1详解】 解：设这种台灯的销售单价应定为元， 根据题意，得， 整理，得， 解得或， ， ． 答：这种台灯的销售单价应定为元． 【小问2详解】 解：设获得的利润为元， 根据题意，得， ， 当时，随的增大而增大， 当时，最大，最大值为． 答：当台灯的销售单价为元时，获得的利润最大，最大为元． 21. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值． 【答案】（1）；（2）1 【解析】 【分析】（1）直接利用根的判别式即可求解； （2）根据韦达定理可得，，得到，根据两个根和m都是整数，进行分类讨论即可求解． 【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）设该方程的两个根为、， ∵该方程的两个根都是符号相同的整数， ∴，， ∴， ∴m的值为1或2， 当时，方程两个根为、； 当时，方程两个根与不是整数； ∴m的值为1． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、韦达定理，掌握上述知识点是解题的关键． 22. 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（一1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m）． （1）求抛物线的解析式． （2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标． （3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）线段PE最大时点P的坐标为（，）；（3）存在，此时点D的坐标为（，0）或（，0）或（1，0）或（-3，0） 【解析】 【分析】（1）将点A和点B的坐标代入即可求出结论； （2）先利用抛物线解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出直线AC的解析式，设点P的坐标为（x，），易知点E的坐标为（x，）且-1≤x≤2，从而求出PE与x的函数解析式，然后利用二次函数求最值即可； （3）设点D的坐标为（n，0），点F的坐标为（t，），根据平行四边形的对角线分类讨论，然后根据平行四边形的对角线互相平分和中点公式列出方程，即可分别求解． 【详解】解：（1）将A（一1，0），B（3，0）两点坐标分别代入抛物线解析式中，得 解得： ∴抛物线的解析式为； （2）将点C（2，m）代入抛物线解析式中，得 =-3 ∴点C的坐标为（2，-3） 设直线AC的解析式为y=kx＋d 将A（一1，0）和点C（2，-3）的坐标分别代入，得 解得： ∴直线AC的解析式为 设点P的坐标为（x，），易知点E的坐标为（x，）且-1≤x≤2 ∴PE=－ = = ∵-1＜0 ∴抛物线的开口向下， ∴当时，PE有最大值，最大值为 此时点P的坐标为（，）； （3）存在， 设点D的坐标为（n，0），点F的坐标为（t，） 若AD和CF为平行四边形的对角线时， ∴AD的中点即为CF的中点 ∴ 解②，得， 将代入①，解得：n=； 将代入①，解得：n=； ∴此时点D的坐标为（，0）或（，0）； 若AC和DF为平行四边形的对角线时， ∴AC的中点即为DF的中点 ∴ 解②，得，（此时点F和点C重合，故舍去） 将代入①，解得：n=1； ∴此时点D的坐标为（1，0）； 若AF和CD为平行四边形的对角线时， ∴AF的中点即为CD的中点 ∴ 解②，得，（此时点F和点C重合，故舍去） 将代入①，解得：n=-3； ∴此时点D的坐标为（-3，0）； 综上：存在，此时点D的坐标为（，0）或（，0）或（1，0）或（-3，0）． 【点睛】此题考查的是二次函数与几何图形的综合大题，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、利用二次函数求最值和平行四边形的性质是解题关键． 23. 已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根． （2）若平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是已知方程的两个实数根． ①若平行四边形ABCD是矩形，且m＝5时．求矩形的面积？ ②当m取何值时？平行四边形ABCD是菱形，并求菱形边长？ 【答案】 （1）证明：∵△＝m2﹣4（m﹣1）＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0， ∴无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）①4；②m＝2，菱形的边长为1 【解析】 【分析】（1）计算判别式的值，然后利用非负数的性质得到△≥0，从而得到结论； （2）①先解方程得到AB、AD的长，然后计算矩形的面积； ②根据菱形的性质得到AB＝AD，则△＝0，从而得到m＝2，然后解方程可确定菱形的边长． 【详解】（1） 略 （2）解：①当m＝5时，x2﹣5x+4＝0，解得x1＝1，x2＝4， 即AB、AD的长为1、4， ∴矩形的面积＝1×4＝4； ②∵平行四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD， ∴△＝0，即（m﹣2）2＝0，解得m＝2， 方程化为x2﹣2x+1＝0，解得x1＝x2＝1， ∴菱形的边长为1． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系、平行四边形的性质和菱形的性质． 24. 如图，中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动到达时停止，另一动点从A出发沿着边以的速度运动到达时停止，，两点同时出发，运动时间为． （1）若的面积是面积的，求的值； （2）的面积能否与四边形面积相等？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【答案】（1）当时，的面积是面积的． （2）的面积不能与四边形面积相等，理由如下： 当的面积与四边形面积相等， 即当时， ∴，整理得， ∵， ∴此方程没有实数根， ∴的面积不能与四边形面积相等． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式等知识点，根据题意正确得到一元二次方程成为解题的关键． （1）利用面积公式表示出和的面积，再根据题意列出关于t的方程求解即可； （2）假设的面积与四边形面积相等，利用面积列出方程，方然后根据方程解的情况即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ∵ ∴， ∴，整理得，解得：． 答：当时，的面积是面积的． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期 九年级数学第一学月测试卷 内容：第21-22章 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线y=（x＋2）2＋1的对称轴是（ ） A. 直线x＝－1 B. 直线x＝1 C. 直线x＝2 D. 直线x＝－2 3. 方程化为一般形式为，其中一次项系数为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 若二次函数y＝x2﹣2x+a有最小值为6，则a的值为（　　） A. ﹣6 B. 6 C. ﹣7 D. 7 5. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则（ ） A. B. C. D. 6. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 图象的对称轴为直线 C. 函数的最小值为 D. 当时，y随x增大而增大 7. 如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则所列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 8. 加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式，则最佳加工时间为（ ）min． A. 2 B. 5 C. 2或5 D. 3.5 9. 对于实数，，，，我们定义运算，例如：，上述记号就叫做二阶行列式．若，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 若一次函数y=ax+b的图象经过一、二、四象限，则函数y=ax2+bx的图象只可能是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分） 11. 方程的根是______． 12. 二次函数y＝﹣（x﹣2）2+1，当x＞3时，y随x的增大而_____． 13. 若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为_____． 14. 已知点，，都在二次函数的图象上，，，的大小关系是___________. 15. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 16. 边长为1的正方形的顶点在x轴的正半轴上，如图将正方形绕顶点O顺时针旋转得正方形，使点B恰好落在函数的图象上，则a的值为_________． 17. 若关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是__________． 三、解答题（本大题7小题，共62分） 18. 已知抛物线的解析式为．求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点． 19. 去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%． （1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额； （2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率． 20. 商场将进货价为元/个的台灯以元/个的价格销售，每月能售出个，调查表明：这种台灯的销售单价每上涨元，其月销售量就会减少个．规定该台灯的销售单价不得低于元且不得超过元． （1）为了实现这种台灯的月销售利润为元，则销售单价应定为多少元？ （2）当台灯的销售单价为多少时，获得的利润最大？最大为多少？ 21. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值． 22. 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（一1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m）． （1）求抛物线的解析式． （2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标． （3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 23. 已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根． （2）若平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是已知方程的两个实数根． ①若平行四边形ABCD是矩形，且m＝5时．求矩形的面积？ ②当m取何值时？平行四边形ABCD是菱形，并求菱形边长？ 24. 如图，中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动到达时停止，另一动点从A出发沿着边以的速度运动到达时停止，，两点同时出发，运动时间为． （1）若的面积是面积的，求的值； （2）的面积能否与四边形面积相等？若能，求出的值；若不能，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $