2.2 用配方法求解一元二次方程 课件 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

第二章 一元二次方程 2 用配方法求解一元二次方程 初中数学北师大版九年级上册 第1课时 用配方法解简单的一元二次方程 1 探究新知 你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？ x2 = 5 2x2 + 3 = 5 解：开平方，得 解：2x2 + 3 = 5 移项，得 2x2 = 2 x2 = 1 x1 = 1 x2 = -1 x2 + 2x + 1 = 5 (x+6)2 + 72 = 102 你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？ 探究新知 解： x2 + 2x + 1 = 5 ( x + 1)2 = 5 解： (x+6)2 + 72 = 102 (x+6)2 = 102 -72 (x+6)2 = 51 你能解方程 x2 + 12x-15 = 0 吗？你遇到的困难是什么？ 你能设法将这个方程转化成上面的形式吗？与同伴进行交流. 如何配方 x2 + 12x -15 = 0 移项，得 x2 + 12x = 15 两边都加 62，得 x2 + 12x +62 = 15+62 即 ( x + 6 )2 = 51 两边开平方，得 解一元二次方程的基本思路是什么？ x2 + 12x -15 = 0 ( x + 6 )2 = 51 解一元二次方程的思路是将方程转化为 (x+m)2 = n 的形式. 一元二次方程 (代数式)2=常数 一元一次方程 转化 开平方 降次 做一做 填上适当的数，使下列等式成立： 1. x2 + 12x +_____ = (x+6)2 2. x2 - 4x +_____= (x - ___)2 3. x2 + 8x +_____= (x +___)2 62 22 2 42 4 上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？ 一次项系数一半的平方 对于形如 x2+ax 的式子如何配成完全平方式？ 例1 解方程：x2 + 8x–9 = 0. 解: 可以把常数项移到方程的右边，得 x2 + 8x = 9. 两边都加上一次项系数 8 的一半的平方，得 x2 + 8x + 42 = 9 + 42， (x+4)2 = 25. 两边开平方，得 x + 4 = ±5， 即 x+4 = 5，或 x+4 = -5. 所以 x1 = 1，x2 = -9. 我们通过配成完全平方式的方法，得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法. x2 + 12x -15 = 0 ( x + 6 )2 = 51 (x+4)2 = 25 x2 + 8x–9 = 0 思考：用配方法解一元二次方程的步骤是什么？ 达标检测 【选自教材P37 随堂练习】 （1）x2 -10x + 25 = 7 ； （2）x2 -14x = 8； 解下列方程： （1）解: 移项，得 x2 -10x = -18． 两边都加52，得 x2-10x+52 = -18+52． 即 (x-5)2 = 7． 两边开平方，得 ． 达标检测 【选自教材P37 随堂练习】 （1）x2 -10x + 25 = 7 ； （2）x2 -14x = 8； 解下列方程： （2）解：两边都加72，得 x2-14x + 72 = 8+72． 即 (x-7)2 = 57． 两边开平方，得 【选自教材P37 随堂练习】 （3）x2 + 3x = 1； （4）x2+2x+2 = 8x + 4. 解下列方程： 达标检测 （3）解：两边都加( )2，得 x2+3x + ( )2 = 1+ ( )2 ． 即 (x + )2 = ． 两边开平方，得 【选自教材P37 随堂练习】 （3）x2 + 3x = 1； （4）x2+2x+2 = 8x + 4. 解下列方程： 达标检测 （4）解: 移项，得 x2 -6x = 2． 两边都加32，得 x2-6x+32 = 2+32． 即 (x-3)2 = 11． 两边开平方，得 ． 2. 解下列方程： 【选自教材P37 习题2.3 第1题】 （1）x2 + 12x +25= 0； （2）x2+4x = 10. （1）解: 移项，得 x2 +12x = -25． 两边都加62，得 x2+12x+62 = -25+62． 即 (x+6)2 = 11． 两边开平方，得 ． 2. 解下列方程： 【选自教材P37 习题2.3 第1题】 （1）x2 + 12x +25= 0； （2）x2+4x = 10. （2）解：两边都加22，得 x2+4x+22 = 10+22． 即 (x+2)2 = 14． 两边开平方，得 ． 2. 解下列方程： 【选自教材P37 习题2.3 第1题】 （3）x2 - 6x = 11； （4）x2-9x +19= 0. （3）解：两边都加32，得 x2-6x+32 = 11+32． 即 (x-3)2 = 20． 两边开平方，得 ． 2. 解下列方程： 【选自教材P37 习题2.3 第1题】 （3）x2 - 6x = 11； （4）x2-9x +19= 0. （4）解: 移项，得 x2 -9x = -19． 两边都加 ( )2，得 x2-9x+( )2 = -19+( )2． 即 (x - )2 = ． 两边开平方，得 ． 如图，在一块长 35 m、宽 26 m 的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为 850 m2. 道路的宽应为多少？ 【选自教材P38 习题2.3 第2题】 解: 设道路的宽为 x m． 35×26＝850＋(26＋35)x－x2． x2－61x＋60＝0． 得 x1＝60(舍去)，x2＝1． 所以，道路的宽为 1 m． 35 m 26 m 游行队伍有 8 行 12 列，后又增加了 69 人，使得队伍增加的行、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？ 【选自教材P38 习题2.3 第3题】 解:设增加 x 行． (8＋x)(12＋x)－8×12＝69． x2＋20x－69＝0． (x＋23)(x－3)＝0． x1＝－23(舍去)，x2＝3． 所以，增加了 3 行或 3 列． 通过这节课的学习活动，你有什么收获？ 课堂小结 用配方法解一元二次方程 一元二次方程 (代数式)2=常数 一元一次方程 配方 开平方 降次 n≥0 第二章 一元二次方程 2 用配方法求解一元二次方程 初中数学北师大版九年级上册 第2课时 用配方法解复杂的一元二次方程 20 复习导入 上节课我们学习了配方法解一元二次方程的基本步骤: 例如， x2 - 6x–40 = 0 移项，得 x2 - 6x = 40 方程两边都加上 32 （一次项系数一半的平方），得 x2 - 6x + 32 = 40 + 32 即 (x-3)2 = 49 开平方，得 x - 3 = ±7 即 x - 3 = 7 或 x - 3 = -7 所以 x1 = 10，x2 = -4 将下列各式填上适当的项，配成完全平方式(口头回答). 1. x2+2x+________= (x +______)2 抢答！ 12 1 2. x2-4x+________ = (x -______)2 22 2 3. x2+________+36 = (x +______)2 12x 6 4. x2 + 10x +________= (x +______)2 52 5 5. x2-x+________= (x-______)2 探究新知 请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别： x2 + 6x + 8 = 0 3x2 + 18x + 24 = 0 如果一元二次方程的系数不是 1 ，我们应该怎样使用配方法去解方程呢？ 在方程的两边同时除以二次项系数 例2 解方程 3x2 + 8x – 3 = 0 解：方程两边都除以 3，得 移项，得 配方，得 两边开平方，得 所以 一小球以 15 m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度 h(m) 与时间 t(s) 满足关系: h = 15t - 5t2，小球何时能达到 10 m 的高度？ 做一做 解：根据题意得 15t -5t2 = 10 方程两边都除以 -5，得 t2 -3t = -2 配方，得 两边开平方，得 请你描述一下，在做一做中 t 有两个值，它们所在时刻小球的运动状态. 一小球以 15 m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度 h(m) 与时间 t(s) 满足关系: h = 15t - 5t2，小球何时能达到 10 m 的高度？ 做一做 t = 1 时，小球向上运动， t = 2 时，小球向下运动。 达标检测 【选自教材P39 随堂练习】 （1）3x2 -9x + 2 = 0； 解下列方程： 解：两边同时除以 3，得 配方，得 移项，得 两边开平方，得 【选自教材P39 随堂练习】 （2）2x2 + 6 = 7x； 解下列方程： 解：两边同时除以 2，得 移项，得 配方，得 两边开平方，得 （3）4x2 -8x - 3 = 0. 【选自教材P39 随堂练习】 解下列方程： 解：两边同时除以 4，得 配方，得 两边开平方，得 2. 解下列方程： 【选自教材P40 习题2.4 第1题】 （1）6x2 - 7x + 1= 0； 解：两边同时除以 6，得 配方，得 移项，得 两边开平方，得 2. 解下列方程： 【选自教材P40 习题2.4 第1题】 （2）5x2 –18 = 9x ； 解：两边同时除以 5，得 移项，得 配方，得 两边开平方，得 2. 解下列方程： 【选自教材P40 习题2.4 第1题】 （3）4x2 –3x = 52 ； 解：两边同时除以 4，得 配方，得 两边开平方，得 2. 解下列方程： 【选自教材P40 习题2.4 第1题】 （4）5x2 = 4–2x . 解：两边同时除以 5，得 移项，得 配方，得 两边开平方，得 3. 印度古算术中有这样一首诗：“一群猴子分两队， 高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林 里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮。告我总数 有多少，两队猴子在一起？”你能解决这个问题吗？ 【选自教材P40 习题2.4 第2题】 解: 设共有猴子 x 只． 得 x1＝16，x2＝48． 所以，共有猴 16 只或 48 只． 如图，A，B，C，D 是矩形的四个顶点，AB = 16 cm，BC = 6 cm，动点 P 从点 A 出发，以 3 cm/s 的速度向点 B 运动，直到点 B 为止；动点 Q 同时从点 C出发，以 2 cm/s 的速度向点 D 运动. 何时点 P 和点 Q 之间的距离是 10 cm ？ 【选自教材P40 习题2.4 第3题】 解: 设 t 秒后点 P 和点 Q 的距离是 10 cm． (3t＋2t－16)2 ＝ 102－62． 所以，1.6 s或 4.8 s后点 P 和点 Q 的距离是 10 cm． 点击播放 通过这节课的学习活动，你有什么收获？ 课堂小结 如果一元二次方程的系数不是 1 ，要先在方程的两边同时除以二次项系数，然后再进行配方。 THANKS! 感谢聆听 请多指点 EVCapture4.0.2软件录制 Lavf56.38.102 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn $$