阶段能力评价(六)(13.3～13.4)-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年八年级数学上册单元测试(人教版)

阶段能力评价(六)(13.3～13.4) 时间：40分钟　　满分：100分 　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题(每小题5分，共30分) 1．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，则∠A的度数是(D) A．70° B．55° C．50° D．40° 　　 2．如图，BD为△ABC的角平分线，∠ABC＝∠C，∠CBD＝∠A，则图中共有等腰三角形的个数为(D). A．0个　　 B．1个 C．2个　　 D．3个 3．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A＝30°，AB＝8 cm，则BD的长度是(A) A．2 cm　　 B．4 cm C．8 cm　　 D．16 cm 4．如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA的长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD.若∠BAC＝95°，∠C＝35°，则∠DAC的度数是(B) A．15°　　 B．30° C．50°　　 D．65° 　　 5．如图，四边形ABCD是正方形，△PAD是等边三角形，则∠BPC的度数为(B) A．20° B．30° C．35° D．40° 6．如图，在平面直角坐标系中，AB＝2OB，在坐标轴上取一点P，使得△ABP为等腰三角形，则符合条件的点P共有(C) A．4个　　 B．5个 C．6个　　 D．7个 　　 二、填空题(每小题5分，共25分) 7．等腰三角形的一个角为150°，则它的顶角的度数为_150°_． 8．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于_15°_． 9．在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C地，他先沿正东方向走了500 m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图)，由此可知，B，C两地相距_500_m. 　　 10．下面给出的几种三角形： ①有两个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高也是这条边上的中线；④有一个角为60°的等腰三角形． 其中是等边三角形的是_①②④_．(填序号) 11．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为_11_． 三、解答题(共45分) 12．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝CD，点D在BC上，且AD＝BD. (1)求证：∠ADB＝∠BAC； (2)求∠B的度数． 解：(1)证明：如图，∵AB＝AC，AD＝BD，∴∠B＝∠C，∠B＝∠1，∴∠C＝∠1.∵∠ADB＝∠2＋∠C，∠BAC＝∠2＋∠1，∴∠ADB＝∠BAC. (2)∵AC＝CD， ∴∠2＝∠ADC.又∵∠ADC＝∠B＋∠1，∠B＝∠1，∴∠2＝2∠B.在△ABC中，∠B＋∠BAC＋∠C＝5∠B＝180°，∴∠B＝36°. 13．(10分)如图，在四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，求CD的长． 解：如图，延长AD，BC交于点E，∵∠A＝30°，∠B＝90°，∴∠E＝60°.∵∠ADC＝120°，∴∠EDC＝60°，∴△EDC是等边三角形．设CD＝CE＝DE＝x， ∵∠ABC＝90°，∠A＝30°，∴AE＝2BE.∵AD＝4，BC＝1，∴x＋4＝2(1＋x)，解得x＝2，∴CD＝2. 14．(12分)如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC， (1)求证：△ABC是等腰三角形； (2)作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B＝40°，求∠AGC的度数． 解：(1)证明：∵AF平分∠DAC，∴∠DAF＝∠CAF.∵AF∥BC，∴∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，∴∠B＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形．(2)∵∠B＝40°，由(1)知，∠B＝∠ACB，∴∠BAC＝180°－∠B－∠ACB＝100°，∴∠ACE＝∠BAC＋∠B＝140°.∵CG平分∠ACE，∴∠ACG＝∠ACE＝70°.∵AF∥BC，∴∠AGC＝180°－∠BCG＝180°－40°－70°＝70°. 15．(13分)(安徽省池州市东至县期末)如图，点O是等边三角形ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD. (1)求证：△OCD是等边三角形； (2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； (3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 解：(1)证明：∵△BOC≌△ADC，∴OC＝DC.∵∠OCD＝60°，∴△OCD是等边三角形． (2)△AOD是直角三角形．理由如下：∵△OCD是等边三角形，∴∠ODC＝60°.∵△BOC≌△ADC，α＝150°，∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，∴∠ADO＝∠ADC－∠ODC＝150°－60°＝90°，∴△AOD是直角三角形． (3)∵△OCD是等边三角形，∴∠COD＝∠ODC＝60°.∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，∴∠AOD＝360°－∠AOB－∠BOC－∠COD＝360°－110°－α－60°＝190°－α，∠ADO＝∠ADC－∠ODC＝α－60°，∴∠OAD＝180°－∠AOD－∠ADO＝180°－(190°－α)－(α－60°)＝50°.①当∠AOD＝∠ADO时，190°－α＝α－60°，∴α＝125°.②当∠AOD＝∠OAD时，190°－α＝50°，∴α＝140°.③当∠ADO＝∠OAD时，α－60°＝50°，∴α＝110°.综上所述，当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$