第14章 勾股定理 综合评价-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年八年级数学上册单元测试(华东师大版)

第14章综合评价 (时间：100分钟　　满分：120分) 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足(a－3)2＋|b－4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为(C) A．25 B．7 C．25或7 D．25或16 2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列说法中，不能推出△ABC是直角三角形的是(B) A.a2－c2＝b2 B．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 C.(a＋b)2＝c2＋2ab D．∠A＝2∠B＝2∠C 3．如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.若OD＝12，OP＝15，则PE的长为(A) A．9 B．10 C．11 D．12 　　 4．如图，∠AED＝90°，正方形ABCD和正方形AEFG的面积分别是289和225，则以DE 为直径的半圆的面积是(B) A．4π B．8π C．16π D．32π 5．(台州中考)如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是(B) A． B． C． D． 6．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C为网格线交点，则∠ABC＋∠BAC＝(A) A．45° B．60° C．75° D．90° 　　　　 7．如图，将三边分别为3，4，5的△ABC，沿最长边AB翻转180°成△ABC1，则CC1的长等于(D) A. B． C． D． 8．如图，在圆柱的轴截面ABCD中，AB＝，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离为(A) A．10 B．12 C．20 D．14 9．《九章算术》提供了许多勾股数如(3，4，5)，(5，12，13)等一组勾股数最大的数称为“弦数”．经研究，若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个数组成勾股数．若m是大于1的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1以得到两个整数，那么m与这两个数组成勾股数，根据上面的规律，由10生成的勾股数的“弦数”是(C) A．16 B．24 C．25 D．32 10．如图，AB⊥BC，AD⊥BD，AB＝BC＝10，AD＝8，BD＝6，则S△ACD为(C) A.48 B．50 C．56 D．64 二、填空题(每小题3分，共18分) 11．在△ABC中，∠C＝90°，若AB＝7，AC＝4，则BC＝____． 12．在△ABC中，BC＝1，AC＝2，当AB＝____时，∠B＝90°. 13．命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，用反证法证明时，若先假设这两条直线不平行，则它们必相交，最终推出与__②__矛盾．(填序号) ①两点确定一条直线；②过一点与已知直线垂直的直线只有一条；③过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条；④定义． 14．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝12，BC＝5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为____． 　　　 15．如图，在正方形ABCD中，AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短，则EP＋BP的最短长度是__5__． 16．在△ABC中，BC＝1，∠ABC＝45°，BC边上的高为2，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD＝90°，连结CD，则线段CD的长为__或__． 三、解答题(共72分) 17．(6分)如图，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C都在小正方形的顶点上，请问△ABC是直角三角形吗？ 解：由勾股定理，得AB2＝32＋42＝25，BC2＝42＋22＝20，AC2＝22＋12＝5. ∵AC2＋BC2＝5＋20＝25＝AB2，∴∠ACB＝90°，即△ABC是直角三角形 18．(6分)用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 解： 已知，如图，∠1是△ABC的一个外角，求证：∠1＝∠A＋∠B.证明：假设∠1≠∠A＋∠B，在△ABC中，∠A＋∠B＋∠2＝180°，∴∠A＋∠B＝180°－∠2.∵∠1＋∠2＝180°，∴∠1＝180°－∠2，∴∠1＝∠A＋∠B，与假设相矛盾，∴假设不成立，∴原命题成立，即∠1＝∠A＋∠B 19．(8分)已知△ABC的三边分别为a，b，c，且a＋b＝4，ab＝1，c＝，试判断△ABC的形状． 解：△ABC是直角三角形．理由：∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝42－2×1＝14，c2＝()2＝14，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形 20．(8分)如图，在△ABC中，AB＝20，AC＝12，BC＝16，把△ABC折叠，使AB落在直线AC上，求重叠部分(阴影部分)的面积． 解：设CD＝x，在△ABC中，AB＝20，AC＝12，BC＝16，∴AC2＋BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°.把△ABC折叠，使AB落在直线AC上，∴BD＝B′D＝16－x，B′C＝AB－AC＝20－12＝8.在Rt△DCB′中，∠DCB′＝90°，CD2＋B′C2＝DB′2，∴x2＋82＝(16－x)2，解得x＝6，∴重叠部分(阴影部分)的面积为×6×12＝36 21．(8分)如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． (1)在图①中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； (2)在图②中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，； (3)如图③，点A，B，C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数． 解：(1)如图　(2)如图 (3)连结AC，由勾股定理得AC2＝BC2＝32＋12＝10，AB2＝42＋22＝20，AB2＝AC2＋BC2，∴∠ACB＝90°.∵AC＝BC，∴∠ABC＝45° 22．(10分)台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B行驶，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300 km，BC＝400 km，又AB＝500 km，以台风中心为圆心周围250 km以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为20千米/小时，台风影响该海港持续的时间有多长？ 解：(1)海港C受台风影响．理由：过点C作CD⊥AB，∵AC＝300 km，BC＝400 km，AB＝500 km，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴AC·BC＝CD·AB，∴300×400＝500×CD，∴CD＝240(km). ∵以台风中心为圆心周围250 km以内为受影响区域，∴海港C受台风影响　(2)当EC＝250 km，FC＝250 km时， 正好影响C港口，∵ED＝＝70(km)，∴EF＝140 km.∵台风的速度为20千米/小时，∴140÷20＝7(小时)，答：台风影响该海港持续的时间为7小时 23．(12分)探索乘法公式时，设置由图形面积的不同表示方法验证了乘法公式．我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个长方形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形(如图①)，这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a，b与斜边c满足关系式a2＋b2＝c2，称为勾股定理． (1)爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图②)，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程； (2)小明又把这四个全等的直角三角形拼成了一个梯形(如图③)，利用上面探究所得结论，求当a＝3，b＝4时梯形ABCD的周长； (3)如图④，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上，请在图中画出△ABC的高BD，利用上面的结论，求高BD的长． 解：(1)由图得ab×4＋c2＝(a＋b)2，整理得2ab＋c2＝a2＋b2＋2ab，即a2＋b2＝c2　(2)∵a＝3，b＝4，∴c＝＝5，∴梯形ABCD的周长为a＋c＋3a＋c＝4a＋2c＝4×3＋2×5＝22　(3)画图略；∵S△ABC＝×3×3＝，∴AC·BD＝.∵AC＝＝5，∴×5×BD＝，∴BD＝ 24．(14分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，AC＝6 cm，动点P从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s. (1)求BC边的长； (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值； (3)当△ABP为等腰三角形时，求t的值． 解：(1)在Rt△ABC中，BC2＝AB2－AC2＝102－62＝64(cm2)，∴BC＝8 cm　(2)由题意知BP＝2t cm，①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝8 cm，即t＝4；②当∠BAP为直角时，BP＝2t cm，CP＝(2t－8)cm，AC＝6 cm.在Rt△ACP中，AP2＝62＋(2t－8)2，在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2，∴102＋[62＋(2t－8)2]＝(2t)2，解得t＝，∴当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝　(3)①当AB＝BP时，t＝5；②当AB＝AP时，BP＝2BC＝16(cm)，∴t＝8；③当BP＝AP时，AP＝BP＝2t cm，CP＝|2t－8|cm，AC＝6 cm.在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋CP2，∴(2t)2＝62＋(2t－8)2，解得t＝.综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝ 学科网（北京）股份有限公司 $$