第13章 全等三角形 综合评价-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年八年级数学上册单元测试(华东师大版)

第13章综合评价 (时间：100分钟　　满分：120分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下列长度的三条线段，能组成等腰三角形的是(C) A．1，1，2 B．2，2，5 C．3，3，5 D．3，4，5 2．如图，△ABD≌△CDB，下面四个结论中不正确的是(C) A.△ABD和△CDB的面积相等 B.△ABD和△CDB的周长相等 C．∠A＋∠ABD＝∠C＋∠CBD D.AD∥BC，且AD＝BC 3．(巴中校级期末)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，点D，P分别是图中所作直线和射线与AB，CD的交点．根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是(D) A．∠ABP＝∠A B．AD＝CD C．∠PBC＝∠ACD D．∠BPC＝118° 　　 　　 4．已知下列命题：①若x＝a，则x2－(a＋b)x＋ab＝0；②若a＞b，则a2＞b2；③如果两个角是直角，那么它们相等．其中原命题与逆命题均为真命题的有(A) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于点B，C，连结AC，BC.若∠ABC＝67°，则∠1＝(B) A．23° B．46° C．67° D．78° 6．已知△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC边于点D，△ABC和△DBC的周长分别是60 cm和38 cm，则△ABC的腰和底边长分别为(D) A．24 cm和12 cm B．16 cm和22 cm C．20 cm和16 cm D．22 cm和16 cm 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O是∠CAB、∠ABC平分线的交点，且BC＝8 cm，AC＝6 cm，AB＝10 cm，则点O到边AB的距离为(B) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm 8．如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N.若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为(C) A．100° B．105° C．115° D．无法确定 　　　 9．如图，在同一平面内，直线l同侧有三个正方形A，B，C，若A，C的面积分别为16和9，则阴影部分的总面积为(B) A．9 B．12 C．16 D．25 10．图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板(即其边长为前一块如图被剪掉正三角形纸板边长的)后，得到图③，④，…，记第n(n≥3)块纸板的周长为Pn，则Pn－Pn－1的值为(C) A．()n－1 B．()n C．()n－1 D．()n 　　 二、填空题(每小题3分，共18分) 11．命题“若x(1－x)＝0，则x＝0”是__假__命题(填“真”或“假”)，证明时可举出的反例是__x＝1__． 12．(昆明中考)如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE＝DF，∠F＝20°，则∠B的度数为__40°__． 13．如图，OA＝OB，点C在OA上，点D在OB上，OC＝OD，AD与BC相交于点E，那么图中全等的三角形共有__4__对． 　　 14．如图，AB＋AC＝7，D是AB上一点，若点D在BC的垂直平分线上，则△ACD的周长为__7__． 15．如图，△ABC的三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC＝BC，若∠BAC＝80°，则∠BOD的度数为__100°__． 16．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC.给出下列结论：①∠BAD＝∠C；②AE＝AF；③∠EBC＝∠C；④FG∥AC；⑤EF＝FG.其中正确的结论是__①②④__．(填序号) 三、解答题(共72分) 17．(6分)(1)判断命题“若∠AOB＝2∠AOC，则OC是∠AOB的平分线”是真命题还是假命题，若是假命题，举出一个反例加以证明； (2)写出命题“有一个角是60°的三角形是等边三角形”的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例加以证明． 解：(1)若∠AOB＝2∠AOC，则OC是∠AOB的平分线是假命题．若OC在∠AOB的外面，∠AOB＝2∠AOC，则OC不是∠AOB的平分线　(2)等边三角形有一个角是60°，真命题 18．(6分)(镇江中考)如图，AD，BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°.求证：△ACB≌△BDA. 证明：∵∠D＝∠C＝90°，∴△ABC和△BAD都是直角三角形．在Rt△ABC和Rt△BAD中， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL) 19．(8分)如图，在△ABC中，请按下列要求用尺规作图(保留作图痕迹，不写作法及证明)： (1)作AB边的垂直平分线l，垂足为点D； (2)在(1)中所得直线l上，求作一点M，使点M到BC边所在直线的距离等于MD. 解：(1)作图略　(2)作图略 20．(8分)如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC， 求证：AD是∠BAC的平分线． 证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∴△BDE与△CDF是直角三角形，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴DE＝DF，∴AD是∠BAC的平分线 21．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°. (1)求∠DAC的度数； (2)求证：AB＝CD. 解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°.∵∠C＋∠BAC＋∠B＝180°，∴∠BAC＝180°－30°－30°＝120°.∵∠DAB＝45°，∴∠DAC＝∠BAC－∠DAB＝120°－45°＝75° (2)证明：∵∠ADC＝∠B＋∠DAB＝75°，∴∠DAC＝∠ADC，∴DC＝AC，∴DC＝AB 22．(10分)如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连结PQ交AC边于D. (1)求证：PD＝DQ； (2)若△ABC的边长为1，求DE的长． 解：(1)证明：过点P做PF∥BC交AC于点F，∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠Q，∠PFD＝∠QCD.∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AFP＝60°，∴△APF是等边三角形，∴AP＝PF.∵AP＝CQ，∴PF＝CQ，∴△PFD≌△QCD(ASA)，∴PD＝DQ　(2)∵△APF是等边三角形，PE⊥AC，∴AE＝EF.∵△PFD≌△QCD，∴CD＝DF，DE＝EF＋DF＝AC.∵AC＝1，∴DE＝ 23．(12分)问题情境：如图①，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与OA，OB相交于点E，F，PE与PF相等吗？请你给出证明； 变式拓展：如图②，已知∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，P是OC上的任意一点，∠EPF＝60°，PE边与OA边相交于点E，PF边与射线OB的反向延长线相交于点F.试解决下列问题： ①PE与PF还相等吗？为什么？ ②试判断OE，OF，OP三条线段之间的数量关系，并说明理由． 解：问题情境：证明：过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N.∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，∴PM＝PN.∵∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，∴∠MPN＝360°－3×90°＝90°.∵∠MPN＝∠EPF＝90°，∴∠MPF＝∠NPE，∴△PMF≌△PNE(ASA)，∴PF＝PE 变式拓展：①PE＝PF.理由：过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N.∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，∴PM＝PN.∵∠PMO＝∠PNO＝90°，∠MON＝120°，∴∠MPN＝360°－2×90°－120°＝60°.∵∠MPN＝∠EPF＝60°，∴∠MPF＝∠NPE，∴△PMF≌△PNE(ASA)，∴PF＝PE ②OE－OF＝OP.理由：易证△POM≌△PON(AAS)，∴OM＝ON.∵△PMF≌△PNE(ASA)，∴FM＝EN，∴OE－OF＝EN＋ON－(FM－OM)＝2OM.在Rt△OPM中，∠PMO＝90°，∠POM＝∠AOB＝60°， ∴∠OPM＝30°，∴OP＝2OM，∴OE－OF＝OP 24．(14分)已知：△ABC是等腰三角形，CA＝CB，0°＜∠ACB≤90°.点M在边AC上，点N在边BC上(点M，点N不与所在线段端点重合)，BN＝AM，连结AN，BM，射线AG∥BC，延长BM交射线AG于点D，点E在直线AN上，且AE＝DE. (1)如图，当∠ACB＝90°时， ①求证：△BCM≌△ACN； ②求∠BDE的度数； (2)当∠ACB＝α，其它条件不变时，∠BDE的度数是__180°－α或α__．(用含α的代数式表示) 解：(1)①证明：∵CA＝CB，BN＝AM，∴CM＝CN，又∠C＝∠C，∴△BCM≌△ACN(SAS) ②∵△BCM≌△ACN，∴∠CBM＝∠CAN.∵AG∥BC，∴∠CBM＝∠ADM，∴∠ADM＝∠CAN.∵AE＝DE，∴∠EAD＝∠EDA，∴∠BDE＝∠CAN＋∠EAD.∵∠ACB＝90°，∴∠CAG＝90°，∴∠BDE＝∠CAN＋∠EAD＝180°－∠CAG＝90° (2)当点E在直线AG上方时，由(1)中②同理可得∠BDE＝∠CAN＋∠EAD.∵∠ACB＝α，AG∥BC，∴∠CAG＝α，∴∠BDE＝∠CAN＋∠EAD＝180°－α；当点E在直线AG下方时，同理可得∠DBC＝∠CAN＝∠ADB，∠ACB＝∠DAC＝α.∵EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA，∴∠BDE＝∠EDA－∠ADB＝∠EAD－∠CAN＝∠DAC＝α.综上所述，∠BDE的度数为180°－α或α 学科网（北京）股份有限公司 $$