期中押题卷03【范围：必修一第1-5章】-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（江苏专用）

2024-2025学年上学期期中押题卷03 高一年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第1-5章（苏教版）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 2．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 3．化简(，)的结果是（    ） A． B． C． D． 4．若函数在区间上为单调增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 6．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7．若，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 8．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，，若与B构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（    ） A．-2 B． C．0 D．1 10．设函数,若函数恰有2个零点，则的值可能为（    ） A． B． C． D．3 11．设为正实数，定义在上的函数满足，且对任意的，都有成立，则（    ） A．或 B．关于直线对称 C．为奇函数 D． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．若命题甲“”和命题乙“或”中有且仅有一个是真命题，则实数x的取值范围是 . 13．为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润s（单位：万元）与生产线运转时间t（单位：年，）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为 年． 14．已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，有成立，则不等式的解集为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 15．（1）化简： （2）计算：. 16．已知命题，，命题和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立; (1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围; (2)若命题有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围. 17．如果函数的定义域为，且恒成立，则函数的图像关于直线对称．已知函数 (1)若，求的值； (2)证明：函数的图像关于对称； (3)若关于的不等式恒成立，求m的取值范围． 18．某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单位为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） (1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 19．若函数的定义域为，且对于任意的、，“”的充要条件是“”，则称函数为上的“单值函数”.对于函数，记 ，，，…，，其中，2，3，…，并对任意的，记集合，并规定. (1)若，函数的定义域为，求和； (2)若函数的定义域为，且存在正整数，使得对任意的，，求证：函数为上的“单值函数”； (3)设，若函数的定义域为，且表达式为： 判断是否为上的“单值函数”，并证明对任意的区间，存在正整数，使得. 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年上学期期中押题卷03 高一年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第1-5章（苏教版）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据韦恩图确定阴影部分元素与集合的关系，结合交、并运算求阴影部分的集合. 【详解】由题设，阴影部分元素属于集合或，但不属于， 又，， 所以阴影部分的集合为. 故选：D 2．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断. 【详解】由题意可得：命题“”的否定是“”. 故选：B. 3．化简(，)的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实数指数幂的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】根据实数指数幂的运算法则得：原式. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了实数指数幂的化简、求值，其中解答中熟记指数幂的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查计算能力. 4．若函数在区间上为单调增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴方程，得到不等式，求出答案. 【详解】开口向上，对称轴为， 要想在区间上为单调增函数，则. 故选：B 5．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据确定奇偶性，排除两个选项，再由函数值的正负排除一个选项，得出正确结论． 【详解】记，函数定义域为，则， 所以函数为奇函数，排除BC， 又当时，，排除D， 故选：A 6．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差比较法及不等式的性质逐项判断即可求解. 【详解】对于A，，因为，所以， 所以，即，于是有故A错误； 对于B，因为， 因为，所以，但与的大小不确定，故不一定成立，故B错误； 对于C，因为，因为，所以，所以，即，于是有，故C正确； 对于D，因为，因为，所以，所以，即，于是有，故D错误. 故选：C. 7．若，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用乘“1”法即可求解. 【详解】可变形为， 所以 ， 当且仅当即，时取等号， 故选：C 8．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由条件可得且，然后代入不等式，即可得到结果. 【详解】由题意可知，是关于的方程的两实根，且， 则，解得， 则不等式可化为， 即，所以，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，，若与B构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（    ） A．-2 B． C．0 D．1 【答案】BCD 【分析】考虑时，，时，，依次将各个选项中的数据带入，计算集合，再判断和之间的关系得到答案. 【详解】当时，， 当时，， 对选项A：若，，此时，不满足； 对选项B：若，，此时，满足； 对选项C：若，，此时，满足； 对选项D：若，，此时，满足； 故选：BCD. 10．设函数,若函数恰有2个零点，则的值可能为（    ） A． B． C． D．3 【答案】AC 【分析】先画出函数的图象，利用函数零点的定义，转化为函数和有2个交点，利用数形结合，即可求a的取值范围. 【详解】令，得． 则函数恰有2个零点可转化为函数和有2个交点， 作出的大致图象，如图所示．    由图可知，当时，恰有2个零点． 故选：AC. 11．设为正实数，定义在上的函数满足，且对任意的，都有成立，则（    ） A．或 B．关于直线对称 C．为奇函数 D． 【答案】ABD 【分析】采用赋值法可判断选项A，B，C；根据函数周期性可判断选项D. 【详解】因为对于任意的，都有成立， 令，代入可得， 由因为，联立可得或，故A正确； 令，代入可得， 当时，有， 则关于直线对称， 当时，有， 再令，代入可得，得， 所以， 即关于直线对称， 综上所述，关于直线对称，B正确； 令，代入可得， 又因为，所以， 根据B选项，，所以， 故为偶函数，故C错误； 由上面可得，， 所以，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：采根据已知条件对任意的，都有成立，用赋值法可得函数性质，从而判断选项. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．若命题甲“”和命题乙“或”中有且仅有一个是真命题，则实数x的取值范围是 . 【答案】 【分析】分甲命题为真乙命题为假和甲命题为假乙命题为真分类求解，最后再求并集即可. 【详解】若甲命题为真乙命题为假，则，可得，即； 若甲命题为假乙命题为真，则，可得或，即； 综上所述，实数x的取值范围是. 故答案为： 13．为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润s（单位：万元）与生产线运转时间t（单位：年，）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为 年． 【答案】7 【分析】求出年平均利润函数，利用均值不等式求解即可. 【详解】依题意，年平均利润为, 由于，当且仅当，即时取等号，此时， 所以当每条生产线运行的时间时，年平均利润最大. 故答案为：7. 14．已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，有成立，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出函数的单调性、奇偶性，再利用性质解不等式. 【详解】令，由是定义在R上的奇函数，得，则为偶函数， 由对任意的，当时，有成立， 得在上单调递减， 因此函数在上单调递增，由，得， 不等式，因此，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 15．（1）化简： （2）计算：. 【答案】（1）9；（2）. 【分析】（1）利用根式及指数运算计算即得. （2）利用对数运算及换底公式计算即得. 【详解】（1）原式. （2）原式 . 16．已知命题，，命题和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立; (1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围; (2)若命题有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）直接由方程的根求出参数的范围； （2）由韦达定理表示出方程的根，再转化成恒成立问题求参数的范围. 【详解】（1）得，两根， ，，命题p为真命题， （2）由（1）知p真：， 当命题q为真命题时：， 对任意实数恒成立， 因为 或 若命题p，q有且只有一个为真命题，则： p真q假：得 p假q真：得或 综上：或 17．如果函数的定义域为，且恒成立，则函数的图像关于直线对称．已知函数 (1)若，求的值； (2)证明：函数的图像关于对称； (3)若关于的不等式恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用条件代入解方程即得； （2）计算再与比较得即得证； （3）先运用函数的单调性定义推导函数的单调性，再运用单调性和对称性求解抽象不等式，最后分离变量，利用基本不等式即得参数范围. 【详解】（1）因，由解得； （2）因， 则， 故函数的图像关于对称. （3）任取，由 因，则，即；因，则，即； ，，故，即，故在上单调递增， 因的图象关于对称，故在上单调递减. 由可得，，即（*）， 当时，不等式显然成立；时，由（*）可得， 因，，当且仅当时等号成立， 故得，解得，，即m的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于求解抽象不等式时，需判断函数的单调性，在求解含参的不等式恒成立问题，一般首选参变分离，将问题转化成求函数的最值，其次是数形结合讨论函数的方法. 18．某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单位为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） (1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 【答案】(1)采用方案二；理由见解析 (2)24 【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解； （2）根据题意，得到，利用换元法和基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：方案一的总费用为（元）； 方案二的总费用为（元）， 由， 因为，可得，所以， 即，所以，所以采用方案二，花费更少. （2）解：由（1）可知， 令，则， 所以，当时，即时，等号成立， 又因为，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以差的最小值为，当且仅当时，等号成立， 所以两种方案花费的差值最小为24元. 19．若函数的定义域为，且对于任意的、，“”的充要条件是“”，则称函数为上的“单值函数”.对于函数，记 ，，，…，，其中，2，3，…，并对任意的，记集合，并规定. (1)若，函数的定义域为，求和； (2)若函数的定义域为，且存在正整数，使得对任意的，，求证：函数为上的“单值函数”； (3)设，若函数的定义域为，且表达式为： 判断是否为上的“单值函数”，并证明对任意的区间，存在正整数，使得. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3)是上的“单值函数”，证明见解析． 【分析】（1）根据新定义直接计算； （2）根据新定义用反证法证明； （3）根据新定义证明是否为上的“单值函数”，由函数定义说明的长度不变，然后得出在，，，…,（存在正整数，它们的长度和大于1）中，必然存在正整数，使得，利用单值函数的定义得出，，从而证明结论成立． 【详解】（1）时，，所以， 时，，所以， 时，，所以； （2）由已知单值函数的定义可以改写为：若函数的定义域为，且对于任意的、，“”的充要条件是“”，则称函数为上的“单值函数. 假设不是上的单值函数，则存在，，成立，即，于是，即，依此类推，得， 但由题意，因此，而，因此， 这样得出了矛盾的结论，所以假设不成立，即是上的单值函数； （3）由新定义知是单值函数，也是单值函数， ，则， 又时，，时，， 又，因此对任意的，， 所以是上的“单值函数”， 对于任意有限的区间，记表示区间的长度，如果一个集合是若干个区间的并集，则等于组成它的所有区间的长度之和， 对于任意的区间， ，，不妨设，，， 若，则，， 若，则，， 若，则，， 所以， 对于任意的区间，显然存在正整数，使得， 因此在，，，…,（它们的长度和大于1）中，必然存在正整数，使得， 因此必存在，使得，又是上的单值函数， 所以，，…，， 这表示，取， 所以对任意的区间，存在正整数，使得. 【点睛】方法点睛：对于函数新定义问题，关键是正确理解新定义，能迅速运用新定义解题，本题中对单值函数的定义理解时关键点改写为，对理解新定义起到很好的辅助作用（与单调性定义比较），加速理解新定义，在问题3的证明中抓住函数的定义域区间“长度”与值域“长度”不变，从而有，然后利用新定义追根溯源得出． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$