专题07 解直角三角形及其应用（五大题型优选题，35题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（上海专用）

专题07 解直角三角形及其应用（五大题型+优选题，35题） 解直角三角形的相关计算 1．（23-24九年级上·上海松江·期中）在中，，，，则的余切值为 ． 2．（23-24九年级上·上海·期中）已知Rt中，，D是边上一点，目，则 ． 3．（23-24九年级上·上海长宁·期中）已知在中，，（如图），把绕着点C按顺时针方向旋转，将点A、B的对应点分别记为点，如果为直角三角形，那么点A与点的距离为 ．    4．（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，，，点是射线上的动点（点不与点重合），在的下方作． (1)求的值； (2)当在线段上时，射线交于点，若与相似时，求的长； (3)在的下方作交于点，连接，若是以为腰的等腰三角形，求的长． 5．（23-24九年级上·上海金山·期中）在中，，，，点D是斜边上一点，过点A作，垂足为点E，交直线于点F． (1)当时，求线段的长； (2)当点F在边上时，设，，求y关于x的函数解析式，及其定义域； (3)当时，求线段的长． 6．（23-24九年级上·上海嘉定·期中）已知，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，且点C的坐标为，连接，与y轴相交于点D    (1)求线段的长度； (2)求点D的坐标； (3)点E在x轴上，如果和相似，求点E的坐标． 7．（23-24九年级上·上海松江·期中）如图，已知在中，点D是边上一点，且，点E是边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的值． 解直角三角形的应用（仰角俯角问题） 8．（23-24九年级上·上海青浦·期中）小明在山坡顶向下看一座农舍的俯角为，如果农舍与山坡底部相距50米，那么山坡的高为 米． 9．（23-24九年级上·上海普陀·期中）如图，一束平行的光线从班级教室窗户射入教室，测得光线与教室地面的所成的夹角，如果窗户的高在地面的影长米，那么窗户的高的长为 米．    10．（23-24九年级上·上海金山·期中）如图，在路边安装路灯，灯柱高10m，与灯杆的夹角为．路灯采用锥形灯罩，照射范围长为，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为，．求：    (1)路灯A离地面的高度（即点A到地面的距离）； (2)灯杆的长度．（参考数据：，） 11．（22-23九年级上·上海青浦·期中）如图，小明想测量河对岸的一幢高楼的高度，小明在河边处测得楼顶的仰角是．距处米的处有幢楼房，小明从该楼房中距地面米的处测得楼顶的仰角是(点、、在同一直线上，且、均与地面垂直)．求楼的高度．      12．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）某校九年级的小红同学，在自己家附近进行测量一座楼房高度的实践活动．如图，她在山坡坡脚A处测得这座楼房的楼顶B点的仰角为60°，小红沿着山坡往上走到C处且测得楼顶B在小红的北偏西45°方向，测得坡脚A在小红的南偏西71.6°方向．已知，且O、A、D在同一条直线上， (1)求楼房的离度； (2)小红在山坡上点C和坡脚A的高度差．（计算过程和结果均保留根号） 解直角三角形的应用（方位角问题） 13．（22-23九年级上·上海闵行·期中）如图，一艘船从处向北偏东的方向行驶千米到处，再从处向正西方向行驶千米到处，这时这艘船与的距离（　　） A．千米 B．千米 C．1千米 D．千米 14．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，海中有一小岛P，在以P为圆心，半径为海里的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东方向上，且A，P之间的距离为32海里．    (1)若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？ (2)如果轮船继续向正东方向航行有危险，轮船自A处开始改变航行方向，沿南偏东度方向航行确保安全通过这一海域，求的取值范围． 15．（22-23九年级上·上海松江·期中）一艘轮船自南向北航行，在A处测得北偏东方向有一座小岛C，继续向北航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的北偏东方向上．在小岛C周围35海里有暗礁，若轮船继续向北航行，是否有触确的危险？（参考数据：，，，） 16．（22-23九年级上·上海·期中）如图，一艘海岸巡逻快艇在基地A的正东方向，且距A地13海里的处巡逻．突然接到基地A命令，要该快艇前往岛，接送一名病人到基地A的医院救治．已知岛在基地A的南偏东的方向，且在处南偏东的方向，巡逻快艇从处出发，平均每小时行驶30海里，需要多少时间才能把病人送到基地A的医院？（参考数据：，） 解直角三角形的应用（坡度坡比问题） 17．（23-24九年级上·上海金山·期中）一段公路路面的坡度为，如果某人沿着这段公路向上行走了260米，那么此人升高了 米． 18．（23-24九年级上·上海长宁·期中）如图，土坡是一个梯形，，斜坡长130米，坡度是，沿走上平台，可以坐电梯直达矩形观景台顶部，在点观察坡底点，俯角是，则观景台的垂直高度为 米．    19．（23-24九年级上·上海松江·期中）某人沿着一个斜坡往上走动了20米，他的垂直高度上升了10米，则这个坡的坡比为 ． 20．（23-24九年级上·上海闵行·期中）已知一条斜坡，向上前进5米，水平高度升高了4米，那么坡比为 ． 21．（23-24九年级上·上海松江·期中）如图，已知梯形是一水库拦水坝的横断面示意图，坝顶宽米，坝高18米，迎水坡的坡度，背水坡的坡度，求坝底宽． 解直角三角形的应用（其他问题） 22．（23-24九年级上·上海普陀·期中）如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在A、B两个位置时达到最高点，且最高点高度相同（不计空气阻力），在C点位置时达到最低点．达到左侧最高点时与最低点时细绳相应所成的角度为，细绳在右侧达到最高点时与一个水平放置的挡板所成的角度为．（参考数据：）    (1)求小球达到最高点位置与最低点位置时的高度差． (2)求这段细绳的长度． 23．（23-24九年级上·上海宝山·期中）小明家院内靠墙安装了一个遮阳篷（如图1），图2是它的侧面示意图，遮阳篷长米，与水平面的夹角为，靠墙端A离地高度米，已知该地区冬至正午太阳光照入射角，夏至正午太阳光照入射角，因此，点D、E之间的区域是一年四季中阳光不一定照射到的区域，求该区域深度DE的长．（结果精确到0.1米）参考数据：；；． 24．（23-24九年级上·上海崇明·期中）某工程队购进几台新型挖掘机（如图1），该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图2是其侧面结构示意图：是基座（基座高度忽略不计），是主臂，是伸展臂，若主臂长为米，主臂伸展角的范围是：，伸展臂伸展角的范围是：，当主臂伸展角最小，伸展臂伸展角最大时，伸展臂恰好能接触水平地面（点C、Q、A、P在一直线上）．（参考数据：） (1)当挖掘机在A处时，能否挖到距A水平正前方6米远的土石？（请通过计算说明） (2)该工程队承担了新农村景观河的建设任务，计划用该型号的挖掘机进行施工．已知景观河全长1200米，实际开工后每天比原计划多挖20米，因此提前3天完成任务，求工程队原计划每天挖多少米？ 25．（22-23九年级上·上海·期中）图（1）是一台实物投影仪，图（2）是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可移动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于桌面，经测量：，，，． (1)如图（2），，． ①填空：____________度； ②投影探头的端点D到桌面的距离为____________． (2)如图（3），将图（2）中的向下旋转，当时，求投影探头的端点D到桌面的距离．（参考数据：，，，，结果精确到1） 一、填空题 26．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，在正方形中，E是边的中点，将沿直线翻折后，点B落在点M处，连接并延长与边交于点N，那么的值为 ． 二、解答题 27．（23-24九年级上·上海长宁·期中）如图1，在梯形中，，，，，，点在边上，且，过点作交于点，点、分别在射线和线段上．    (1)求线段的长； (2)如图2，当点在线段上（点与点不重合），且，设，，求关于的函数解析式，并写出它的定义域； (3)如果为等腰直角三角形，求线段的长． 28．（23-24九年级上·上海黄浦·期中）如图，梯形中，，，，，．点M在射线上，点N在射线上，且，联结，交射线于点G．    (1)求线段的长； (2)设线段，，当点N在线段上时，试求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)联结，当时，求线段的长． 29．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，在中，，垂足为点，平分交于点，，，．    (1)求的值； (2)求线段的长． 30．（23-24九年级上·上海·期中）如图，甲乙两幢楼之间的距离等于45米，现在要测乙楼的高，（），所选观察点A在甲楼一窗口处，．从A处测得乙楼顶端B的仰角为45°，底部C的俯角为30°，求乙楼的高度 （取，结果精确到1米）． 31．（22-23九年级上·上海静安·期中）某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与层平行，层高为9米，、间的距离为6米，．        (1)请问身高米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在处会不会碰到头部？请说明理由． (2)若采取中段平台设计（如图虚线所示），已知平台，且段和段的坡度，求平台的长度．（参考数据：，，） 32．（23-24九年级上·上海徐汇·期中）筒车是我国古代利用水利驱动的灌溉工具，如图所示，半径为的筒车按逆时针方向，每秒旋转4度，筒车与水面分别交于、，筒车的轴心距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，水筒与点重合时开始计算时间． (1)3.5秒后，盛水筒距离水面（即直线）的高是多少米? (2)若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点，，求盛水筒从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线上?（参考数据：，，） 33．（23-24九年级上·上海青浦·期中）钓鱼岛及其附属岛屿是我国的固有领土，台湾保岛人士组团前往钓鱼岛，宣示主权．当巡逻船航行至海面B处时（如图），测得钓鱼岛位于正北方向20海里的C处，为了防止日本海巡警干扰，就请求我A处的海监船前往C处护航．已知C处位于A处的北偏东45°的方向上，A位于B的北偏西30°的方向上． 求：A、C之间的距离？（结果精确到0.1海里，参考数据：，）． 34．（22-23九年级上·上海·期中）如图，为了测量建筑物AB的高度，先从与建筑物 的底部B点水平相距100米的点C处出发，沿斜坡 行走至坡顶D处，斜坡 的坡度 ，坡顶D到 的距离 米，在点D处测得建筑物顶端A点的仰角为 ，点A、B、C、D、E在同一平面内，根据测量数据，请计算建筑物AB的高度（结果精确到1米）（参考数据： ； ； ） 35．（22-23九年级上·上海长宁·期中）如图，为测量学校旗杆的高度，小明从旗杆正前方3米处的点C出发，沿坡度为的斜坡前进米到达点D，在点D处放置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为，量得测角仪的高为1.5米．A、B、C、D、E在同一平面内，且旗杆和测角仪都与水平地面垂直． (1)求点D的铅垂高度； (2)求旗杆的高度． （结果保留根号，参考数据：，，．） 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 解直角三角形及其应用（五大题型+优选题，35题） 解直角三角形的相关计算 1．（23-24九年级上·上海松江·期中）在中，，，，则的余切值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，直接根据锐角三角函数的定义解答即可，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：在中，，，， ∴的余切值． 故答案为：． 2．（23-24九年级上·上海·期中）已知Rt中，，D是边上一点，目，则 ． 【答案】4 【分析】本题解直角三角形的计算、解一元一次方程、勾股定理，设，则，，可得，在中，，求得，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， 在中，， 解得， ∴， 故答案为：4．    3．（23-24九年级上·上海长宁·期中）已知在中，，（如图），把绕着点C按顺时针方向旋转，将点A、B的对应点分别记为点，如果为直角三角形，那么点A与点的距离为 ．    【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数的应用，运用分类思想是本题的关键． 根据为直角三角形，分两种情况：①当点在线段延长线上时，为直角三角形；②当点在线段BC上时，为直角三角形，依据线段的和差关系进行计算即可得到点A与点的距离． 【详解】解：分两种情况： ①当点在线段延长线上时，为直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当点在线段上时，为直角三角形， 同理可得，， ∴； 综上所述，点A与点的距离为． 故答案为：或．    4．（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，，，点是射线上的动点（点不与点重合），在的下方作． (1)求的值； (2)当在线段上时，射线交于点，若与相似时，求的长； (3)在的下方作交于点，连接，若是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）作，，根据等腰三角形三线合一的性质，及勾股定理，得到，，由三角形面积公式，得到，代入正弦函数即可求解， （2）作，，当时，，根据角平分线性质定理，设，根据面积公式，代入解得：，根据锐角三角函数，即可求解， （3）由，得到，结合，得到，，当时，，作，根据等腰三角形三线合一的性质得到，在中，根据锐角三角函数及够谷歌定理得到，，，即可求解，当时，由，，得到，，作，根据等腰三角形三线合一的性质得到，，由，可设设，在中，根据勾股定理得到，即，由，解得：，由，得到，代入即可求解， 本题考查了等腰三角形三线合一的性质，相似三角形的性质与判定，锐角三角函数，勾股定理，解题的关键是：分情况讨论，找到相似三角形． 【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， （2）解：作，， ∵， 当时，，可设， ，即：，解得：， ∴， （3）解：∵， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴， 当时，， 作， ∴， 在中，， ∴， 当时， ∵，， ∴， ∴， 作， ， ∵， ∴设，则， 在中，，即：，解得：， ∴， ∵，即：，解得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或． 5．（23-24九年级上·上海金山·期中）在中，，，，点D是斜边上一点，过点A作，垂足为点E，交直线于点F． (1)当时，求线段的长； (2)当点F在边上时，设，，求y关于x的函数解析式，及其定义域； (3)当时，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据，求出的长，勾股定理求出的长，同角的余角相等，得到，求出的长，再用求出的长； （2）过点作，交的延长线与点，证明，得到，利用，得到，进而推出y关于x的函数解析式，及其定义域即可； （3）分点在线段上和在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴； （2）过点作，交的延长线与点， 则：，， ∴，即：① 由（1）知：， ∴， ∴，即：②， 由①②，得：， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴； （3）①当点在线段上时， ∵，， ∴，解得：， 经检验，是原方程的解， ∴， ②当点在线段的延长线上时， 设，同法（2）可得：，解得：； 经检验，是原方程的解； ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，求函数表达式．本题的综合性强，难度较大，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，添加辅助线，构造相似三角形． 6．（23-24九年级上·上海嘉定·期中）已知，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，且点C的坐标为，连接，与y轴相交于点D    (1)求线段的长度； (2)求点D的坐标； (3)点E在x轴上，如果和相似，求点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)的坐标为或． 【分析】（1）先求解A，B的坐标，再利用勾股定理计算的长度即可； （2）先求解直线的解析式，再求解直线与轴的交点坐标即可； （3）如图：连接，利用瑞三角函数证明，过作，而，证明四边形为平行四边形，，再证明，可得，再结合平行四边形的性质可得答案，当时，可得，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：令，则， ， ， 令，则， ， ， ； （2）如图，设直线的解析式为，    ， 解得， ， 令，则， ； （3）如图：连接， ， 轴，， ， ， ， ， ， ，    过作，而， ∴四边形为平行四边形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，而， ∴，即， 当时， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴，即， 综上：的坐标为或． 【点睛】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标问题，利用待定系数法求解一次函数的解析式，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 7．（23-24九年级上·上海松江·期中）如图，已知在中，点D是边上一点，且，点E是边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角函数等知识． （1）证明即可； （2）过点作于点，再根据等腰三角形的性质，三角函数即可求解． 添加适当的辅助线是本题的关键． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：过点作于点， ， ， ， 则， ， 在中，， 解得：， ， ． 解直角三角形的应用（仰角俯角问题） 8．（23-24九年级上·上海青浦·期中）小明在山坡顶向下看一座农舍的俯角为，如果农舍与山坡底部相距50米，那么山坡的高为 米． 【答案】/ 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，根据题意画出图形，根据含的直角三角形的性质以及勾股定理解得即可． 【详解】解：根据题意画出图形，点代表山坡，点代表农舍， 由题意知，， ， ， 在中，， ， 解得． 故答案为：米． 9．（23-24九年级上·上海普陀·期中）如图，一束平行的光线从班级教室窗户射入教室，测得光线与教室地面的所成的夹角，如果窗户的高在地面的影长米，那么窗户的高的长为 米．    【答案】/ 【分析】根据题意得出相关角度，再设得出，利用光线平行得出对应比例成立求解即可． 【详解】解：由已知得，得 设，有，， 由题意得， 得，解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行的性质即对应线段成比例，根据已知线段求得关联线段，巧妙解方程是解题的关键． 10．（23-24九年级上·上海金山·期中）如图，在路边安装路灯，灯柱高10m，与灯杆的夹角为．路灯采用锥形灯罩，照射范围长为，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为，．求：    (1)路灯A离地面的高度（即点A到地面的距离）； (2)灯杆的长度．（参考数据：，） 【答案】(1)路灯A离地面的高度为 (2)灯杆的长度为 【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定和性质． （1）过点作，设，则：，在中，表示出的长，在，利用，列出方程求解即可； （2）过点作，易得四边形为矩形，得到，进而求出的长，再利用含30度角的直角三角形的性质，求出的长即可． 【详解】（1）解：过点作，则：，    设，则：， 在中，，则：， 在中，，则：， ∴，解得：， ∴； 答：路灯A离地面的高度为； （2）过点作，    ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 答：灯杆的长度为． 11．（22-23九年级上·上海青浦·期中）如图，小明想测量河对岸的一幢高楼的高度，小明在河边处测得楼顶的仰角是．距处米的处有幢楼房，小明从该楼房中距地面米的处测得楼顶的仰角是(点、、在同一直线上，且、均与地面垂直)．求楼的高度．      【答案】楼的高度为米 【分析】过点作于点，设的长度为米，则米，在和中分别求出和的长度，然后根据，代入数值求出的值． 【详解】解：过点作于点，    则四边形为矩形， 设的长度为米，则米， 在中， ， 即， 在中， ， ， ，米， ， 解得：． 答：楼的高度为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解． 12．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）某校九年级的小红同学，在自己家附近进行测量一座楼房高度的实践活动．如图，她在山坡坡脚A处测得这座楼房的楼顶B点的仰角为60°，小红沿着山坡往上走到C处且测得楼顶B在小红的北偏西45°方向，测得坡脚A在小红的南偏西71.6°方向．已知，且O、A、D在同一条直线上， (1)求楼房的离度； (2)小红在山坡上点C和坡脚A的高度差．（计算过程和结果均保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接解直角三角形即可得到答案； （2）如图所示，过点C作于E，于F，则四边形是矩形，，解直角三角形得到，再证明是等腰直角三角形，得到，设，则，，由，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴， ∴楼房的高度为； （2）解：如图所示，过点C作于E，于F，则四边形是矩形， ∴， 由题意得， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴小红在山坡上点C和坡脚A的高度差为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，熟知解直角三角形的相关知识是解题的关键． 解直角三角形的应用（方位角问题） 13．（22-23九年级上·上海闵行·期中）如图，一艘船从处向北偏东的方向行驶千米到处，再从处向正西方向行驶千米到处，这时这艘船与的距离（　　） A．千米 B．千米 C．1千米 D．千米 【答案】B 【分析】根据直角三角形的三角函数得出，进而得出，利用勾股定理得出即可． 【详解】解：如图： ， ， 千米， 千米，千米， 千米， 千米， 故选B． 【点睛】此题考查了方向角、解直角三角形的应用，解题的关键是根据直角三角形的三角函数得出解答． 14．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，海中有一小岛P，在以P为圆心，半径为海里的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东方向上，且A，P之间的距离为32海里．    (1)若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？ (2)如果轮船继续向正东方向航行有危险，轮船自A处开始改变航行方向，沿南偏东度方向航行确保安全通过这一海域，求的取值范围． 【答案】(1)有危险 (2)时，轮船能安全通过这一区域 【分析】（1）过P作于B，则的长是A沿方向距离P点的最短距离，求出最短距离，再比较比较即可； （2）设轮船沿南偏东航向是射线，过点P作于D，利用特殊角的三角函数值确定答案． 【详解】（1）解：过点P作轮船航线于B，则的长是A沿方向距离P点的最短距离， 由题意得，， ∴在中，， ∴， ∴， ∵， 答：若轮船继续向正东方向航行有触礁危险． （2）解：设轮船沿南偏东航向是射线，过点P作于D， 当时，角的度数最大， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴沿南偏东最大角度为方向航行确保安全通过这一海域， 即时，轮船能安全通过这一区域． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，关键是如何构造直角三角形并知道求哪一条线段的长． 15．（22-23九年级上·上海松江·期中）一艘轮船自南向北航行，在A处测得北偏东方向有一座小岛C，继续向北航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的北偏东方向上．在小岛C周围35海里有暗礁，若轮船继续向北航行，是否有触确的危险？（参考数据：，，，） 【答案】轮船继续向北航行，有触确的危险，理由见解析 【分析】如图，过作于，由题意可得：，，设海里，而海里，海里，再表示（海里），利用，再建立方程求解即可． 【详解】解：如图，过作于， 由题意可得：，， 设海里，而海里， ∴海里， ∵， ∴（海里）， ∵， ∴，解得：， 经检验符合题意， ∵， ∴轮船继续向北航行，有触确的危险． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练的借助方位角与三角函数解决触礁问题是解本题的关键． 16．（22-23九年级上·上海·期中）如图，一艘海岸巡逻快艇在基地A的正东方向，且距A地13海里的处巡逻．突然接到基地A命令，要该快艇前往岛，接送一名病人到基地A的医院救治．已知岛在基地A的南偏东的方向，且在处南偏东的方向，巡逻快艇从处出发，平均每小时行驶30海里，需要多少时间才能把病人送到基地A的医院？（参考数据：，） 【答案】小时 【分析】过点C作的延长线于点D，得出，，再由三角函数及勾股定理得出，确定，，结合图形求解得出，，，再由勾股定理计算出，，然后求时间即可． 【详解】解：如图所示，过点C作的延长线于点D， ∴，，， ∵，， ∴在中，， 设， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴，， ∵每小时行驶30海里 ∴需要的时间为：小时． 【点睛】题目主要考查解直角三角形的应用及勾股定理解三角形，理解题意，熟练运用三角函数是解题关键． 解直角三角形的应用（坡度坡比问题） 17．（23-24九年级上·上海金山·期中）一段公路路面的坡度为，如果某人沿着这段公路向上行走了260米，那么此人升高了 米． 【答案】100 【分析】 本题考查解直角三角形的应用．设他沿着垂直方向升高了x米，根据坡度的概念用x表示出他行走的水平宽度，根据勾股定理计算即可．掌握坡度等于铅直高与水平距离的比值，是解题的关键． 【详解】解：设此人升高了x米， ∵坡度为， ∴他行走的水平距离为米， 由勾股定理得，， 解得： (负值舍去)， 即他沿着垂直方向升高了100米， 故答案为：100． 18．（23-24九年级上·上海长宁·期中）如图，土坡是一个梯形，，斜坡长130米，坡度是，沿走上平台，可以坐电梯直达矩形观景台顶部，在点观察坡底点，俯角是，则观景台的垂直高度为 米．    【答案】70 【分析】此题考查解直角三角形的应用，勾股定理，以及平行线的性质：根据正切定理设，勾股定理求出，由平行线的性质得出，求出米，即可得到答案． 【详解】解：如图，    ∵斜坡长130米，坡度是， ∴， 设， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（米）． 故答案为：70． 19．（23-24九年级上·上海松江·期中）某人沿着一个斜坡往上走动了20米，他的垂直高度上升了10米，则这个坡的坡比为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了坡角的定义，勾股定理．先根据勾股定理求出水平距离，再利用坡比的定义即可．熟记“坡面的铅直高度和水平宽度的比，叫做坡比”是解题关键． 【详解】解：某人沿着一个斜坡往上走动了20米，他的垂直高度上升了10米， 则此人行驶的水平距离为：， 这个坡的坡比为：． 故答案为：． 20．（23-24九年级上·上海闵行·期中）已知一条斜坡，向上前进5米，水平高度升高了4米，那么坡比为 ． 【答案】 【分析】先求出水平方向上前进的距离，然后根据坡比斜坡的垂直高度与水平宽度的比，把相关数值代入整理为的形式即可． 【详解】如图所示：   米，米，则米，则坡比， 故答案为． 【点睛】本题考查解直角三角形，正确理解坡比的定义是解题的关键． 21．（23-24九年级上·上海松江·期中）如图，已知梯形是一水库拦水坝的横断面示意图，坝顶宽米，坝高18米，迎水坡的坡度，背水坡的坡度，求坝底宽． 【答案】米 【分析】此题考查了坡度坡角问题．分别过点、作，，垂足分别为点、，分别在中，在中根据坡度的定义即可求解．注意构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解是关键． 【详解】解：分别过点、作，，垂足分别为点、， 根据题意，可知米，， ， 四边形是矩形， 米， 在中，背水坡的坡度， ， 米， 在中，迎水坡的坡度 ， 米， 米， 答：坝底的长度为米． 解直角三角形的应用（其他问题） 22．（23-24九年级上·上海普陀·期中）如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在A、B两个位置时达到最高点，且最高点高度相同（不计空气阻力），在C点位置时达到最低点．达到左侧最高点时与最低点时细绳相应所成的角度为，细绳在右侧达到最高点时与一个水平放置的挡板所成的角度为．（参考数据：）    (1)求小球达到最高点位置与最低点位置时的高度差． (2)求这段细绳的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得出，进而得出答案； （2）根据题意得出，进而得出的长，进而得出答案. 【详解】（1）解：连接交于点, 可知,    由题意可得则 故之间的高度差为； （2）由 知, 的高度差也是, 故, 解得： 则 答: 这段细绳的长度为. 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意得出与的关系是解题关键. 23．（23-24九年级上·上海宝山·期中）小明家院内靠墙安装了一个遮阳篷（如图1），图2是它的侧面示意图，遮阳篷长米，与水平面的夹角为，靠墙端A离地高度米，已知该地区冬至正午太阳光照入射角，夏至正午太阳光照入射角，因此，点D、E之间的区域是一年四季中阳光不一定照射到的区域，求该区域深度DE的长．（结果精确到0.1米）参考数据：；；． 【答案】3.8米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过C作于，于，在中，利用正弦函数的定义求得的长，在中，在中，再利用正切函数的定义求出，的长，即可求解． 【详解】解∶过C作于，于， 根据题意知， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， 又， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 答：该区域深度的长为3.8米 24．（23-24九年级上·上海崇明·期中）某工程队购进几台新型挖掘机（如图1），该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图2是其侧面结构示意图：是基座（基座高度忽略不计），是主臂，是伸展臂，若主臂长为米，主臂伸展角的范围是：，伸展臂伸展角的范围是：，当主臂伸展角最小，伸展臂伸展角最大时，伸展臂恰好能接触水平地面（点C、Q、A、P在一直线上）．（参考数据：） (1)当挖掘机在A处时，能否挖到距A水平正前方6米远的土石？（请通过计算说明） (2)该工程队承担了新农村景观河的建设任务，计划用该型号的挖掘机进行施工．已知景观河全长1200米，实际开工后每天比原计划多挖20米，因此提前3天完成任务，求工程队原计划每天挖多少米？ 【答案】(1)能挖到距A水平正前方6米远的土石 (2)工程队原计划每天挖80米 【分析】本题主要考查解直角三角形和分式方程的应用， （1）过点B作于点D，可求得，，进一步求得，则，有，即可求得判断能否挖到； （2）设工程队原计划每天挖x米，则实际开工后每天挖米，列出分式方程求解即可． 【详解】（1）过点B作于点D，如图， 由题意可知：，，米， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 故能挖到距A水平正前方6米远的土石； （2）设工程队原计划每天挖x米，则实际开工后每天挖米，则 ，解得，（舍去）， 经检验是原方程的解， 故工程队原计划每天挖80米． 25．（22-23九年级上·上海·期中）图（1）是一台实物投影仪，图（2）是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可移动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于桌面，经测量：，，，． (1)如图（2），，． ①填空：____________度； ②投影探头的端点D到桌面的距离为____________． (2)如图（3），将图（2）中的向下旋转，当时，求投影探头的端点D到桌面的距离．（参考数据：，，，，结果精确到1） 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】（1）①延长交于，由三角形的外角定理即可求解；②先解直角三角形求出，进而计算即可求解； （2）过作，过作于，先求出的长，然后再由（1）中②的结果即可求解． 【详解】（1）①如下图所示： 如图，延长交于， ∵， ∴，且， 在中，由三角形的外角定理可知： ， 故答案为： ②∵， ∴，， ∵， ∴到的距离为． 故答案为： （2）如图，过作，过作于， 由题意得：， ∴， 由（1）中②知，点至的距离为， ∴至的距离为：． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形． 一、填空题 26．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，在正方形中，E是边的中点，将沿直线翻折后，点B落在点M处，连接并延长与边交于点N，那么的值为 ． 【答案】 【分析】连接，正方形和翻折的性质，得到，，设，等边对等角结合三角形的内角和定理，求出，得到，进而得到，得到四边形为平行四边形，得到，求出，勾股定理求出的长，根据同角的余角相等，得到，结合勾股定理求出的长，进而得到的长，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为正方形，为的中点， ∴，，，， 连接，如图， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 设， 则：，， ∴， 在中，； ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形中的折叠问题，勾股定理，解直角三角形，平行四边形的判定和性质．本题的综合性强，难度较大，属于压轴题．根据题意，正确的画出图形，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 二、解答题 27．（23-24九年级上·上海长宁·期中）如图1，在梯形中，，，，，，点在边上，且，过点作交于点，点、分别在射线和线段上．    (1)求线段的长； (2)如图2，当点在线段上（点与点不重合），且，设，，求关于的函数解析式，并写出它的定义域； (3)如果为等腰直角三角形，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3)为或或 【分析】（1）过A作，于是得到，解直角三角形即可得到结论； （2）过M作于P，于K，反向延长交于Q，则，解直角三角形求得，，，于是得到，，推出，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论； （3）①当M在线段上时，根据全等三角形的性质和等量代换得到，列方程得到，解方程即可得到结论；②当M在的延长线上时，根据已知条件得到，由全等三角形的性质得到，由（2）知，，，列方程即可得到结论．③当时，过点N作交，于点P，H，作交的延长线于点R，交直线于点Q．利用全等三角形的性质求解． 【详解】（1）解：过A作，    ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； （2）解：过M作于P，于K，反向延长交于Q，      则， 在中， ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∵， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， 当N与D重合是时， ， 整理，， 解得，（点不在线段上，不符合题意，舍去） 因为点与点不重合 所以 则； （3）解：①当M在线段上时， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ 则 由（2）知 ∴ 由（1）知， 故， 则， 故， ②当M在的延长线上时，    ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 由（2）知，，， ∴， ∴ ∴， ∴ ③当时，过点N作交，于点P，H，作交的延长线于点R，交直线于点Q    由， 可得，， 设，则，， ∴， 由，可得， ∴， ∴ 综上所述，为或或． 【点睛】本题考查了四边形综合题，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，求函数的解析式，要求有较强的作辅助线能力，证明以及分类讨论是解题的关键． 28．（23-24九年级上·上海黄浦·期中）如图，梯形中，，，，，．点M在射线上，点N在射线上，且，联结，交射线于点G．    (1)求线段的长； (2)设线段，，当点N在线段上时，试求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)联结，当时，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过点A作于点H，过点D作于点E，根据锐角三角函数和勾股定理求出，则，根据勾股定理可得，由得到，，由得到，则，即可得到答案； （2）延长交的延长线于点F，由平行线分线段成比例可得，设，则，得到在，，即可得到函数关系式； （3）分点N在上和点N在的延长线上两种情况，利用解直角三角形与相似三角形的判定和性质分别列方程进行求解即可． 【详解】（1）解：过点A作于点H，过点D作于点E，    在中，， ∴， ∴， 在中，，由勾股定理得到， ， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴； （2）延长交的延长线于点F，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）当点N在上，如图，    ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 即， 当点N在的延长线上时，，    延长交射线于点P， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 经检验，是分式方程的解， 即， 综上所述，线段的长为或． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、解分式方程、解一元一次方程等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识是解题的基础，分类讨论是解题的关键． 29．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，在中，，垂足为点，平分交于点，，，．    (1)求的值； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据 可以得到的长，然后根据勾股定理可以得到的长，再根据的长，从而可以得到的长，再利用勾股定理可以得到的长，然后即可求得的值； （2）根据题意和等腰三角形的性质，可以得到然后即可计算出的长． 【详解】（1）， ， 解得 在中,， ， ， 在 中, ， ； （2），平分， ， 又 ， ， 即 解得 【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 30．（23-24九年级上·上海·期中）如图，甲乙两幢楼之间的距离等于45米，现在要测乙楼的高，（），所选观察点A在甲楼一窗口处，．从A处测得乙楼顶端B的仰角为45°，底部C的俯角为30°，求乙楼的高度 （取，结果精确到1米）． 【答案】约为71米 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解． 【详解】解：从观察点A作，交于点E，依题意，可知（米），． ∵, ∴为等腰直角三角形． ∴（米）． 在中，，得 （米） ∴ （米）．   答：乙楼的高度约为71米． 31．（22-23九年级上·上海静安·期中）某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与层平行，层高为9米，、间的距离为6米，．        (1)请问身高米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在处会不会碰到头部？请说明理由． (2)若采取中段平台设计（如图虚线所示），已知平台，且段和段的坡度，求平台的长度．（参考数据：，，） 【答案】(1)不会，理由见解析 (2)7米 【分析】（1）先过点作，交于点，根据，，得出，再根据正切定理求出的长，然后与人的身高进行比较，即可得出答案； （2）根据的长求出，再过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，设，则，根据段和段的坡度，求出和的长，最后根据，即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作，交于点，        ，， ， 不会碰到头部； （2）， ， 过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 设，则， 段和段的坡度， ，， ， （米）．      【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是坡度角，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形． 32．（23-24九年级上·上海徐汇·期中）筒车是我国古代利用水利驱动的灌溉工具，如图所示，半径为的筒车按逆时针方向，每秒旋转4度，筒车与水面分别交于、，筒车的轴心距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，水筒与点重合时开始计算时间． (1)3.5秒后，盛水筒距离水面（即直线）的高是多少米? (2)若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点，，求盛水筒从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线上?（参考数据：，，） 【答案】(1)3.5秒后，盛水筒距离水面（即直线）的高是 (2)盛水筒从最高点开始，至少经过恰好在直线上 【分析】（1）连接，，过点作，垂足为，可得，根据三角函数求出，在中求出的长解题即可； （2）延长交于点，则点为最高点，先在中求出，在中求得解题即可． 【详解】（1）连接，，过点作，垂足为， 由题意得：， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴3.5秒后，盛水筒距离水面（即直线）的高是； （2）延长交于点，则点为最高点， ∵点在上，且与相切， ∴当点在上，此时点是切点，连接，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴盛水筒从最高点开始，至少经过恰好在直线上． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，切线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 33．（23-24九年级上·上海青浦·期中）钓鱼岛及其附属岛屿是我国的固有领土，台湾保岛人士组团前往钓鱼岛，宣示主权．当巡逻船航行至海面B处时（如图），测得钓鱼岛位于正北方向20海里的C处，为了防止日本海巡警干扰，就请求我A处的海监船前往C处护航．已知C处位于A处的北偏东45°的方向上，A位于B的北偏西30°的方向上． 求：A、C之间的距离？（结果精确到0.1海里，参考数据：，）． 【答案】10.3海里 【分析】作，垂足为D，设，利用解直角三角形的知识，可得出，继而可得出，结合题意海里可得出方程，解出x的值后即可得出答案． 【详解】解： 如图，作，垂足为D， 由题意得，，． 设，在中，可得, 在中，可得 又∵，即， 解得：， ∴（海里）． 答：A、C之间的距离为10.3海里． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题意构造直角三角形，将实际问题转化为数学模型进行求解，难度一般． 34．（22-23九年级上·上海·期中）如图，为了测量建筑物AB的高度，先从与建筑物 的底部B点水平相距100米的点C处出发，沿斜坡 行走至坡顶D处，斜坡 的坡度 ，坡顶D到 的距离 米，在点D处测得建筑物顶端A点的仰角为 ，点A、B、C、D、E在同一平面内，根据测量数据，请计算建筑物AB的高度（结果精确到1米）（参考数据： ； ； ） 【答案】建筑物 的高度约为68米 【分析】过D作 于F，由坡度的定义求出 （米），则 （米），再解直角三角形求出 的长，即可得出答案 【详解】如图，过D作 于F． 则 ， 米， ∵斜坡CD的坡度 ，坡顶D到BC的距离 米， ∴ （米）， ∴ （米）， 在 中， ， ∵ ， ∴ （米）， ∴ （米）， 即建筑物 的高度约为68米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题、坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 35．（22-23九年级上·上海长宁·期中）如图，为测量学校旗杆的高度，小明从旗杆正前方3米处的点C出发，沿坡度为的斜坡前进米到达点D，在点D处放置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为，量得测角仪的高为1.5米．A、B、C、D、E在同一平面内，且旗杆和测角仪都与水平地面垂直． (1)求点D的铅垂高度； (2)求旗杆的高度． （结果保留根号，参考数据：，，．） 【答案】(1)米 (2)7.7米 【分析】（1）延长交延长线于点，则，中求得、； （2）作，可得、，根据、可得答案. 【详解】（1）解：延长交射线延长线于点， 由题意得，在中， 米 米，米 答：点的铅垂高度是米. （2）解：过点作于 由题意得，米， 即为点观察点时的仰角， ， 四边形为矩形 米，米 在中，米 米 答：旗杆的高度约为7.7米. 【点睛】本题主要考查了直角三角形的应用：仰角俯角问题和坡度坡比问题，掌握其相关的定义，并构造合适的直角三角形是解题的关键. 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$