专题06 一元二次方程的解法（八大题型优选题，60题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（上海专用）

专题06 一元二次方程的解法（八大题型 优选题，60题） 直接开平方法解一元二次方程 1．（23-24八年级上·上海徐汇·期中）一元二次方程的根是 ． 2．（23-24八年级上·上海·期中）解方程 3．（23-24八年级上·上海青浦·期中）解方程：． 4．（22-23八年级上·上海·期中）解方程： 5．（22-23八年级上·上海青浦·期中）解关于的方程：． 配方法解一元二次方程 6．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）用配方法解方程时，配方法所得的方程是（      ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解方程： 8．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解一元二次方程： ． 9．（23-24八年级上·上海静安·期中）． 10．（23-24八年级上·上海金山·期中）解方程：．（用配方法解） 11．（23-24八年级上·上海青浦·期中）解方程：． 12．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）用配方法解方程： 公式法解一元二次方程 13．（23-24八年级上·上海青浦·期中）在实数范围内因式分解： ． 14．（23-24八年级上·上海普陀·期中）在实数范围内分解因式： ． 15．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）在实数范围内分解因式：= ． 16．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）解方程 (1)． (2)． 17．（22-23八年级上·上海杨浦·期中）解关于的方程：． 18．（22-23八年级上·上海徐汇·期中）解方程： 因式分解法解一元二次方程 19．（23-24八年级上·上海静安·期中）已知三角形两边长分别为4和8，第三边的长是一元二次方程的根，则这个三角形的周长为（　　） A．16 B．22 C．24 D．16或22 20．（23-24八年级上·上海青浦·期中）方程的根是 ． 21．（23-24八年级上·上海青浦·期中）解方程： 22．（23-24八年级上·上海静安·期中）． 23．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）解方程：． 24．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）解方程：． 25．（23-24八年级上·上海普陀·期中）解方程： 配方法的应用 26．（22-23八年级上·上海杨浦·期中）用一根长为厘米的绳子，围成一个面积为平方厘米的长方形，则的值不可能是（ ） A． B． C． D． 27．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）在实数范围内分解因式： ． 28．（23-24八年级上·上海普陀·期中）在实数范围内因式分解： ． 29．（22-23八年级上·上海黄浦·期中）的最大值为 ． 30．（22-23八年级上·上海静安·期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程成为“差1方程”．例如是“差1方程”．若关于x的方程(a，b是常数，)是“差1方程”设，t的最大值为 ． 一元二次方程的根与系数的关系 31．（23-24八年级上·上海青浦·期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”． 例如 是“差1方程”． 已知关于 的方程 （是常数）是“差1方程”，则 的值为 32．（23-24八年级上·上海闵行·期中）关于的一元二次方程有一个根为零，则m的值为 ． 33．（23-24八年级上·上海松江·期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程为“差1方程”．例如是“差1方程”．若关于x的一元二次方程（a是常数，且）是“差1方程”，则a的值为 ． 34．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）已知，且有及，则的值为 ． 35．（22-23八年级上·上海静安·期中）数学家对一元二次方程经过漫长的探索．我国数学家赵爽在他的著作《勾股圆方图注》对给出两根和、积的关系．请你跟随他的脚步开始你的探索之旅． (1)用表示一元二次方程的两个实根，填写表格． 一元二次方程 0 ① ② ③ (2)数学家韦达对规律进行归纳；对于，若，则 ； ．（用含的代数式表示）． (3)设是方程的两个实根，利用上述结论求的值． (4)类比探索，若一元三次方程可以转化为，则 ； （用含的代数式表示）． 根据判别式判断一元二次方程根的情况 36．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）下列关于 的方程一定有实数解的是（     ） A． B． C． D． 37．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）下列方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 38．（23-24八年级上·上海静安·期中）已知、是实数，有且只有三个不同的满足方程，则的最小值是 ． 39．（23-24八年级上·上海长宁·期中）定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程和互为联根方程，那么a的值为 ． 40．（23-24八年级上·上海静安·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，试写出一组满足条件的a、b的值； (2)当时，试判断方程根的情况． 根据一元二次方程根的情况求参数 41．（23-24八年级上·上海青浦·期中）等腰三角形的一边长为1，另两边的长是关于x的方程的两根，那么其周长是 ． 42．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）如果关于的方程没有实数根，那么 的取值范围是 ． 43．（23-24八年级上·上海静安·期中）若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值． 44．（23-24八年级上·上海闵行·期中）已知关于x的一元二次方程，其根的判别式的值是1，求k的值． 45．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值．并求此时方程的根． 一、单选题 46．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如 和有且仅有一个相同的实数根．所以这两个方程为“同伴方程”，若关于的方程 的参数同时满足 和．且该方程与 互为“同伴方程”， 则的值为（   ） A．1或 B． C．1 D．2 47．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（   ） A． B．1 C．1或 D．都不是 48．（23-24八年级上·上海金山·期中）下列方程是关于的一元二次方程，一定有实数解的是（　　） A． B． C． D． 49．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）下列一元二次方程中，有实数根的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 50．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）等腰的一边长为5，另外两边的长是关于的方程的两个实数根，则m的值是 51．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）若是二次根式，则的值为 52．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围 ． 53．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）二次三项式可在实数范围内因式分解，则的取值范围 54．（23-24八年级上·上海青浦·期中）等腰的一边长为5，另外两边的长是关于x的方程的两个实数根，则m的值是 ． 55．（23-24八年级上·上海松江·期中）已知，则 ． 三、解答题 56．（23-24八年级上·上海青浦·期中）在实数范围内因式分解：． 57．（23-24八年级上·上海青浦·期中）解方程： 58．（23-24八年级上·上海长宁·期中）已知关于x的一元二次方程的根的判别式为，求k的值和方程的根． 59．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）材料阅读： 韦达定理： 已知是一元二次方程的两个实数解，则 已知是一元二次方程 的两个实数根， (1)请用含的代数式表示 ___________；___________ (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值：者不存在， 请您说明理由； (3)直接写出使的值为整数的实数的整数值． 60．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一元二次方程的解法（八大题型 优选题，60题） 直接开平方法解一元二次方程 1．（23-24八年级上·上海徐汇·期中）一元二次方程的根是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项再化简，然后利用开平方法可求得结果，正确计算是解答本题的关键． 【详解】解：， 移项得：， 化简得：， 开方得：或， 解得：，， 故答案为：，． 2．（23-24八年级上·上海·期中）解方程 【答案】，． 【分析】本题考查利用直接开平方法解一元二次方程．移项后开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：， 整理得， 开方得， 解得，． 3．（23-24八年级上·上海青浦·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，利用直接开方法解一元二次方程即可；解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 【详解】 ∴ 解得，． 4．（22-23八年级上·上海·期中）解方程： 【答案】 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， ， 即， 解得：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 5．（22-23八年级上·上海青浦·期中）解关于的方程：． 【答案】 【分析】此题考查解一元二次方程，先将方程化为一般形式，再利用直接开平方法求出方程的根． 【详解】解：移项整理得：， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴原方程的解是：． 配方法解一元二次方程 6．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）用配方法解方程时，配方法所得的方程是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解一元二次方程—配方法，熟练掌握配方法的方法步骤是解本题的关键．方程变形后，配方得到结果，即可做出判断． 【详解】解：方程， 变形得：， 配方得：，即， 故选：B． 7．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 移项，然后两边都加上一次项系数的一半的平方，再根据完全平方公式整理，然后求解即可． 【详解】解：移项得，， 配方得，， 即， ， ，． ∴方程的解为，． 8．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解一元二次方程： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，掌握配方法成为解题的关键． 先移项，然后再按照配方法即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ∴． 9．（23-24八年级上·上海静安·期中）． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得． 10．（23-24八年级上·上海金山·期中）解方程：．（用配方法解） 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．根据配方法解一元二次方程的一般步骤解出方程，即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 11．（23-24八年级上·上海青浦·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，首先把常数项移到右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方公式，然后开方求解即可；解题的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：， ， ， ， ∴， 解得，． 12．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）用配方法解方程： 【答案】． 【分析】本题考查了用配方法解方程．首先移项，把常数项移到等号的右边，再将二次项系数化为1，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可使左边变形成完全平方式，右边是常数，直接开方即可求解． 【详解】解：移项得， 一次项系数化为1得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：． 公式法解一元二次方程 13．（23-24八年级上·上海青浦·期中）在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先利用求根公式求出方程的根，然后根据题目中所说的方法进行分解因式即可，解题关键是熟练掌握求方程的根再分解因式的方法． 【详解】解：令， 解得：，， ∴， 故答案为：． 14．（23-24八年级上·上海普陀·期中）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查的是在实数范围内分解因式，一元二次方程的解法，本题令，用含y的代数式表示x，再分解因式即可． 【详解】解：令， ∴， ∴， 解得：，， ∴； 故答案为：． 15．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）在实数范围内分解因式：= ． 【答案】 【分析】首先将原式等于0，解关于x的方程，进而分解因式得出即可． 【详解】解：令 解得：，， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了实数范围内分解因式，正确解方程得出是解题关键． 16．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）解方程 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法并结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）先化为一般形式，再利用公式法解方程即可； （2）先化为一般形式，再利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 17．（22-23八年级上·上海杨浦·期中）解关于的方程：． 【答案】或或或 【分析】先求出“”的值，再代入公式求出即可． 【详解】解：， 分为两种情况：①当方程是一元二次方程时，， ， ∴ ∴，； ②当方程是一元一次方程时，且， 解得， 当时，方程为， 解得； 当时，方程为， 解得． 所以，方程的解为：，，或． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和解一元一次方程，掌握公式法解一元二次方程是解此题的关键． 18．（22-23八年级上·上海徐汇·期中）解方程： 【答案】， 【分析】明确方程中未知数的二次项、一次项系数及常数项，运用求根公式求解． 【详解】解：， ∴， ∴方程的解为，． 【点睛】本题考查一元二次方程的求解，注意根据方程具体情况选用适当的方法求解是解题的关键． 因式分解法解一元二次方程 19．（23-24八年级上·上海静安·期中）已知三角形两边长分别为4和8，第三边的长是一元二次方程的根，则这个三角形的周长为（　　） A．16 B．22 C．24 D．16或22 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，构成三角形的条件，正确的解一元二次方程是解题的关键．先解一元二次方程，根据三边关系确定第三边的长，进而求得三角形的周长． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ∵第三边的长为二次方程的一根， ∴边长4，4，8不能构成三角形， ∴三角形的三边为：4，8，10， ∴三角形的周长为， 故选：B． 20．（23-24八年级上·上海青浦·期中）方程的根是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴ ∴ 解得：，， 故答案为：，． 21．（23-24八年级上·上海青浦·期中）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法求解是解题关键．先移项，再根据因式分解法求解即可． 【详解】解： ， ∴或， ∴，． 22．（23-24八年级上·上海静安·期中）． 【答案】， 【分析】利用因式分解法求解即可；本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 则或 解得， ． 23．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程， 先把原方程整理为，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： 整理得：， ∴， ∴或， 解得． 24．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了解一元二次方程．利用因式分解法解一元二次方程． 【详解】解：， ∴， ∴，， ∴，． 25．（23-24八年级上·上海普陀·期中）解方程： 【答案】，． 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解方程是解本题的关键；本题先把方程化为，再化为两个一次方程即可． 【详解】解：， 去分母得：， 整理得：， ∴， ∴或， 解得：，． 配方法的应用 26．（22-23八年级上·上海杨浦·期中）用一根长为厘米的绳子，围成一个面积为平方厘米的长方形，则的值不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设围成矩形的长为厘米，则围成矩形的宽为厘米，利用矩形的面积计算公式，即可得出，利用完全平方公式可得出，利用平方的非负性可求出的最大值，再对比各选项中的数据后即可得出结论． 【详解】解：设围成矩形的长为厘米， ∴围成矩形的宽为：， ∴ ， ∵ ∴ ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴的值不可能为． 故选：A． 【点睛】本题考查列代数式，完全平方公式，平方的非负性．根据各数量之间的关系，找出关于的关系式是解题的关键． 27．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】先利用配方法进行整理，再根据平方差公式进行因式分解即可。 【详解】解：， 根据平方差公式可得， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，注意在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止是解题的关键． 28．（23-24八年级上·上海普陀·期中）在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】根据配方法化为平方差的形式，进而因式分解，即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数范围内因式分解，熟练掌握配方法是解题的关键． 29．（22-23八年级上·上海黄浦·期中）的最大值为 ． 【答案】 【分析】将式子配方成完全平方式即可得出答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴当时，原式取得最大值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解本题的关键． 30．（22-23八年级上·上海静安·期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程成为“差1方程”．例如是“差1方程”．若关于x的方程(a，b是常数，)是“差1方程”设，t的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出与的关系式，再由，得与的关系，从而得出最后结果． 【详解】解：由题可得： ∴解方程得， 关于的方程、是常数，是“差1方程”， ， ， ， ， ， 时，的最大值为9． 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“差1方程”的定义． 一元二次方程的根与系数的关系 31．（23-24八年级上·上海青浦·期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”． 例如 是“差1方程”． 已知关于 的方程 （是常数）是“差1方程”，则 的值为 【答案】或0/0或 【分析】本题考查根与系数的关系．设方程的两个根为，由题意，得：，，利用完全平方公式的变形式进行计算即可． 【详解】解：设方程的两个根为，由题意，得：，， ∴， 解得：或， 故答案为：或0． 32．（23-24八年级上·上海闵行·期中）关于的一元二次方程有一个根为零，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，，，据此作答即可． 【详解】解：因为一元二次方程有一个根为零， 所以， 解得， 因为， 所以， 故， 故答案为：． 33．（23-24八年级上·上海松江·期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程为“差1方程”．例如是“差1方程”．若关于x的一元二次方程（a是常数，且）是“差1方程”，则a的值为 ． 【答案】或 【分析】根据题意可得，可得，求得，再根据一元二次方程的根与系数的关系可得，求得，从而可得，再解分式方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程是“差1方程”， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， ∴，即， 解得或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查新定义、一元二次方程的根与系数的关系、解分式方程、完全平方公式，理解新定义求得，，是解题的关键． 34．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）已知，且有及，则的值为 ． 【答案】10 【分析】将两边同除以，即可得是的两根，根据根与系数的关系，即可解答． 【详解】解：当时，不成立，故， 两边同除以后，可得， 是的两根， ， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将变形，得到是的两根是解题的关键． 35．（22-23八年级上·上海静安·期中）数学家对一元二次方程经过漫长的探索．我国数学家赵爽在他的著作《勾股圆方图注》对给出两根和、积的关系．请你跟随他的脚步开始你的探索之旅． (1)用表示一元二次方程的两个实根，填写表格． 一元二次方程 0 ① ② ③ (2)数学家韦达对规律进行归纳；对于，若，则 ； ．（用含的代数式表示）． (3)设是方程的两个实根，利用上述结论求的值． (4)类比探索，若一元三次方程可以转化为，则 ； （用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；②；③ (2)， (3) (4)， 【分析】（1）利用直接开平方法和公式法分别求出方程的解，由此即可得； （2）利用公式法求出方程的解，由此即可得； （3）先根据（2）的结论可得，，再根据，代入计算即可得； （4）先化简方程，再比较各项的系数即可得． 【详解】（1）解：， ， ， 则， ， ， 即， 则，， 故答案为：①；②；③． （2）解：， ， 即， 则，， 故答案为：，． （3）解：是方程的两个实根， ，， 则 ． （4）解： ， 则，， 所以，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 根据判别式判断一元二次方程根的情况 36．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）下列关于 的方程一定有实数解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求出每个方程的判别式即可得到答案． 【详解】解：A、，当时，，此时该方程无实数根，故此选项不符合题意； B、，该方程无实数根，故此选项不符合题意； C、，该方程有两个不相等的实数根，故此选项符合题意； D、，该方程无实数根，故此选项不符合题意； 故选C． 37．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）下列方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法．根据根的判别式对选项进行分析，即可求出答案． 【详解】解：A． ，将原方程变形为一般形式得， ∵， ∴原方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意． B． ， ∵， ∴原方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意． C． ∵， ∴原方程没有实数根，故本选项符合题意． D． ∵， ∴原方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意． 故选：C． 38．（23-24八年级上·上海静安·期中）已知、是实数，有且只有三个不同的满足方程，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，由得到，，根据根的判别式得到，，依此，，可得，根据题意由根的判别式得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵有且只有三个不同的值满足方程， ∴，， ∴， ∴， 当时，的最小值， 故答案为：． 39．（23-24八年级上·上海长宁·期中）定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程和互为联根方程，那么a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了利用因式分解法解方程，先利用因式分解法解方程，得到或．再分别将，代入，求出a的值即可．求出方程的两个解是解题的关键． 【详解】解：， 分解因式为， 解得或 ①当时，， 整理得， ∵，∴方程无解； ②当时， ， ∴或（舍去） 故答案为：． 40．（23-24八年级上·上海静安·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，试写出一组满足条件的a、b的值； (2)当时，试判断方程根的情况． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)原方程没有实数解 【分析】（1）利用根的判别式的意义得到，然后取一值，从而得到对应的值； （2）利用和的范围可判断，从而根据根的判别式的意义可判断根的情况； 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【详解】（1）解：根据题意得， 即， 当时，（答案不唯一）； （2）∵ ∴， 即， ∴原方程没有实数解． 根据一元二次方程根的情况求参数 41．（23-24八年级上·上海青浦·期中）等腰三角形的一边长为1，另两边的长是关于x的方程的两根，那么其周长是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质，三角形三边关系，掌握一边分别为腰长和底边两种情况，进行分类讨论是解题的关键． 分别讨论当1为底时，腰长为方程的两个相等的实数根，根据判别式的意义得出，解方程；当腰长为1，则为方程的一个根，求出k，转化一元二次方程，求出解，并根据三角形三边关系判断，即可得出三角形周长．， 【详解】当底边为1时，则腰长为方程的两个相等的根， ，解得， 方程转化为，解得： ∴1、3、3符合三角形三边关系， 当腰长为1时，则为方程的一个根， ，解得， 方程转化为，解得，， ， 1、1、5不符合三角形三边关系，不能构成三角形，舍去， 三角形的周长为， 故答案为：7 42．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）如果关于的方程没有实数根，那么 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的方程没有实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 43．（23-24八年级上·上海静安·期中）若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值． 【答案】(1) (2)， (3)n的值为0或3 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式以及“快乐方程”的定义，读懂题目中“快乐方程”， “快乐数”的定义是解题的关键． （1）根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程”的“快乐数”； （2）先计算，根据“快乐方程”的定义，得到为完全平方数，根据，得到，即可求出或36，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”； （3）关于x的一元二次方程是“快乐方程”，即可求出m的值，求出方程的“快乐数”，根据“开心数”的定义即可求出n的值． 【详解】（1）解：方程的“快乐数为：， 故答案为：； （2）解：方程， ∴， ∵， ∴， 又方程是“快乐方程”， ∴或36， ∴，（舍去）， ∴方程为：， 则， 故其“快乐数”数是； （3）解：， ∴， 设， 则， 又与同奇偶， ∴或或或 解得或， ∴方程为：或； ， ∴， ， 当时， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得：或（舍去）， 当时，， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得， 综上，n的值为0或3． 44．（23-24八年级上·上海闵行·期中）已知关于x的一元二次方程，其根的判别式的值是1，求k的值． 【答案】8 【分析】本题考查了利用一元二次方程根的情况求参数，由一元二次方程的，建立k的方程，求出k的解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程，其根的判别式的值是1， ， ， ∴或， ， ∴k的值为8． 45．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值．并求此时方程的根． 【答案】，；当时，方程的根为，当时，方程的根为 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根可得，从而可求出k的值，然后将k的值代入原方程解方程即可求方程的根． 【详解】∵方程有两个相等的实数根， ∴ 解得：，， 当时，方程为， 解得：； 当时，方程为， 解得：． 一、单选题 46．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如 和有且仅有一个相同的实数根．所以这两个方程为“同伴方程”，若关于的方程 的参数同时满足 和．且该方程与 互为“同伴方程”， 则的值为（   ） A．1或 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由和可得关于x的方程两个实数根为，由，可得的根为或，根据与互为“同伴方程”，即得或．掌握“同伴方程”的定义是解题的关键． 【详解】解：∵同时满足和， 关于的方程两个 实数根为 ， 或， 的根为或 ， 与互为“同伴方程”， 或． 故答案为： 1或． 47．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（   ） A． B．1 C．1或 D．都不是 【答案】B 【分析】本题考查二次根式与最简二次根式，熟练掌握其定义是解题的关键，由于给出的两个二次根式既是最简二次根式又是同类二次根式，那么被开方数就应该相等，由此可得出关于的方程，解方程即可得到的值，舍去不合题意的解即可得到答案． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 移项得：， 解之得：，， 当时，与都不是最简二次根式， ∴不合题意，舍去， 故选：B． 48．（23-24八年级上·上海金山·期中）下列方程是关于的一元二次方程，一定有实数解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的知识．对于一元二次方程（为常数，且），其根的判别式为．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．分别求出各方程求的根的判别式的值，取该值大于等于0的选项即可． 【详解】解：A.∵， ∴该方程没有实数根，选项A不符合题意； B．， ∵的值不确定， ∴无法得出，选项B不符合题意； C.∵， ∴该方程没有实数根，选项C不符合题意； D.∵， ∴该方程有两个不相等的实数根，选项D符合题意． 故选：D． 49．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）下列一元二次方程中，有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，其根的判别式．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A.对于方程，其判别式，该方程无实数根，不符合题意； B. 对于方程，其判别式，该方程无实数根，不符合题意； C. 对于方程，其判别式，该方程无实数根，不符合题意； D. 对于方程，其判别式，该方程有两个不相等的实数根，符合题意． 故选：D． 二、填空题 50．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）等腰的一边长为5，另外两边的长是关于的方程的两个实数根，则m的值是 【答案】64 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，等腰三角形的性质等知识点，结合一元二次方程的解和根的判别式，分已知边长5是底边和腰两种情况讨论即可．掌握分类讨论思想是解此题的关键． 【详解】解：关于的方程有两个实数根， 则，得， 当底边长为5时，则另两边相等， ， ； 当腰长为5时，另两边中至少有一个是5， 则一定是方程的一个根，代入得：， 解得． ， 解得：，， 此时三角形的三边为：5，5，11； ， ∴此种情况不存在， 的值为64． 故答案为：64． 51．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）若是二次根式，则的值为 【答案】4 【分析】根据二次根式的定义以及二次根式的被开方数大于零是解答本题的关键． 【详解】解：∵是二次根式， ∴、，解得：或（舍去）． 故答案为4． 52．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围 ． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式列不等式求解即可；掌握当方程有两个不同的实数根是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，解得：且 故答案为：且． 53．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）二次三项式可在实数范围内因式分解，则的取值范围 【答案】且且且 【分析】本题考查根的判别式的应用，根据二次三项式的定义给出各系数不为0，再根据“可在实数范围内因式分解”得出，从而得解，掌握“可在实数范围内因式分解”即是是解题的关键，注意系数不为0． 【详解】解：∵是二次三项式， ∴且 ∴且且 ∵二次三项式可在实数范围内因式分解， ∴ 解得：， ∴且且且． 54．（23-24八年级上·上海青浦·期中）等腰的一边长为5，另外两边的长是关于x的方程的两个实数根，则m的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的解，也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．根据5为底边和腰两种情况求解即可． 【详解】设等腰的腰长为a，底边长为b， 当，则5和b是关于x的方程的两个实数根， ∴ ∴； 当，则a和a是关于x的方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：或． 55．（23-24八年级上·上海松江·期中）已知，则 ． 【答案】2 【分析】设，可得，再解方程并结合非负数的性质即可求解． 【详解】解：设， 则， 整理得，， 配方得，， 即， 开平方得，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：2． 三、解答题 56．（23-24八年级上·上海青浦·期中）在实数范围内因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查特殊方法分解因式，涉及二次根式性质等知识，将看作常数，令，这是一个关于未知数的一元二次方程，利用公式法解一元二次方程即可得到答案，掌握这种特殊的因式分解方法是解决问题的关键． 【详解】解：将看作常数，令，这是一个关于未知数的一元二次方程， ， ， ，即， ∴． 57．（23-24八年级上·上海青浦·期中）解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，提取公因式后整理得， ，继而可得两个关于x的一元一次方程，解之可得． 【详解】， ， ， ， ． 58．（23-24八年级上·上海长宁·期中）已知关于x的一元二次方程的根的判别式为，求k的值和方程的根． 【答案】k的值为4，方程的根为， 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，二次根式有意义的条件，公式法解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的判别式，公式法解一元二次方程是解题的关键．由题意知，，，解得，，，计算求出满足要求的解即可；一元二次方程为，公式法求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，， ， 整理得，， ， ∴或， 解得，或（舍去）， ∴， ∴， 解得，，， ∴k的值为4，方程的根为，． 59．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）材料阅读： 韦达定理： 已知是一元二次方程的两个实数解，则 已知是一元二次方程 的两个实数根， (1)请用含的代数式表示 ___________；___________ (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值：者不存在， 请您说明理由； (3)直接写出使的值为整数的实数的整数值． 【答案】(1)1； (2)不存在，理由见解析 (3)或或． 【分析】（1）根据根与系数的关系可得，再运用完全平方公式变形即可解答； （2）根据根与系数的关系可得，然后根据根与系数的关系、整式的混合运算即可解答； （3）结合（1）并结合分式的加减运算、完全平方公式可得，再根据为整数，可得或或，最后结合即可解答． 【详解】（1）解：， ，解得：， ∴． 故答案为：1，． （2）解：方程有两个实数根， ， 解得： 与矛盾 不存在的值，使成立． （3）解： 的值为整数 或或， 又， ∴或或． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系、完全平方公式、根的判别式、分式的混合运算等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 60．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】且 【分析】根据方程有两个不等的实数根，得到判别式大于0，且，列式求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得， ， ， 实数的取值范围为且． 【点睛】本题考查根的判别式．解题的关键是熟练掌握根的情况和判别式的大小关系． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$