专题01 因式分解（考点清单，知识导图+8个考点清单&题型解读）八年级数学上学期鲁教版五四制

清单01 因式分解（8个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 【清单02】提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律. 【清单03】公式法 1.平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 2.完全平方公式 两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 【清单04】十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 【清单05】因式分解的一般步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【考点题型一】判断是否是因式分解 【例1】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（      ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列从左边到右边的变形，其中是因式分解的是（  ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-4】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-5】下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　    　） A． B． C． D． 【考点题型二】利用因式分解的结果求参数 【例2】把多项式分解因式，结果是，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】若多项式因式分解的结果为，则b的值是（   ） A．5 B． C．6 D． 【变式2-2】若，则下列结论正确的是（    ） A．等式从左到右的变形是乘法公式， B．等式从左到右的变形是因式分解， C．等式从左到右的变形是乘法公式， D．等式从左到右的变形是因式分解， 【变式2-3】若多项式因式分解后有一个因式，则 ． 【变式2-4】仔细阅读下面例题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：，．∴另一个因式为，． 类比上面方法解答： (1)若二次三项式可分解为，则______． (2)若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及b的值． 【考点题型三】公因式的判定 【例3】把分解因式时，应提取的公因式是（     ） A． B． C． D．2 【变式3-1】多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】多项式（，均为大于1的整数）各项的公因式是（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】整式，下列结论：①A，B的公因式为；②A，B的公因式为．判断正确的是（    ） A．①正确，②不正确 B．①不正确，②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 【变式3-5】、、的公因式是 ． 【变式3-6】将多项式分解因式，应提取的公因式是 ． 【考点题型四】提公因式法分解因式 【例4】把分解因式（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】把多项式分解因式，应提的公因式是（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知，，则 ． 【变式4-3】多项式提公因式后的另一个因式为 ． 【变式4-4】把下列各式因式分解： (1) (2)． 【变式4-5】分解因式： (1) (2) 【考点题型五】平方差公式分解因式 【例5】把分解因式，结果是（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】下列因式分解结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（        ） A． B． C． D． 【变式5-3】用公式对多项式进行因式分解，公式中的可以是（     ） A． B． C． D． 【变式5-4】多项式因式分解的结果为（     ） A． B． C． D． 【变式5-5】因式分解： (1) (2) 【考点题型六】完全平方公式分解因式 【例6】下列各式中，能用完全平方公式分解的个数为（     ） ①；②；③；④；⑤ A．个 B．个 C．个 D．个 【变式6-1】下列各式中，不能用完全平方公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】在中，的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（     ） A．不等边三角形 B．等边三角形 C．只有两边相等的三角形 D．无法确定 【变式6-3】若有理数，满足，则的值等于（ ） A．2 B． C．1 D． 【变式6-4】代数式 ，若代数式M的值为零，求此时x，y，z的值． 【变式6-5】下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______． A．提取公因式；B．平方差公式； C．两数和的完全平方公式；D．两数差的完全平方公式． (2)该同学因式分解的结果是否彻底？______．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ______． (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【考点题型七】综合运用公式法分解因式 【例7】下列因式分解不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】满足，分解因式 ． 【变式7-2】分解因式 ． 【变式7-3】分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式7-4】因式分解： (1) (2) (3) (4) ． 【变式7-5】配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 例如：分解因式． 原式． 例如：求代数式的最小值． 原式． ，当时，有最小值是2． 解决下列问题： (1)若多项式是一个完全平方式，那么常数的值为______； (2)分解因式：______； (3)求代数式的最大或最小值． 【考点题型八】因式分解在有理数简算中的应用 【例8】与相等的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】下列算式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】计算： ． 【变式8-3】（1）因式分解：； （2）利用因式分解计算：． 【变式8-4】如图，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ． (2)利用你从（1）中得出的等式，计算： ①已知，求的值． ②计算：． 【变式8-5】计算： (1)； (2)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 因式分解（8个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 【清单02】提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律. 【清单03】公式法 1.平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 2.完全平方公式 两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 【清单04】十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 【清单05】因式分解的一般步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【考点题型一】判断是否是因式分解 【例1】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式的因式分解，解题的关键是正确理解因式分解的意义，根据因式分解的意义即可求出答案． 【详解】解：A.，故不是因式分解，不符合题意； B.，是整式乘法，故不是因式分解，不符合题意； C.，故是因式分解，符合题意； D.，故分解不完全，不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】下列从左边到右边的变形，其中是因式分解的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A．右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误； B．右边不是整式积的形式，不合因式分解的定义，故本选项错误； C．，是因式分解，故本选项正确； D．是单项式，不符合因式分解的定义，不是因式分解，故本选项错误． 故选：C． 【变式1-2】下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用因式分解的定义进行逐一辨别、求解． 此题考查了因式分解的辨别能力，关键是能准确理解并运用因式分解的定义进行求解． 【详解】解：是分式， ∴选项A不符合题意； 不是整式乘积的形式， ∴选项B不符合题意； ， ∴选项C符合题意； ， ∴选项D不符合题意， 故选：C． 【变式1-3】下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式在一个范围（如实数范围内分解，即所有项均为实数）化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解．据此即可求解． 【详解】解：A选项符合因式分解的定义，符合题意； B选项是整式的乘法运算，不符合题意； C选项等号右边不是几个整式的积的形式，不符合题意； D选项等号右边的因式里面包含分式，不符合题意； 故选：A． 【变式1-4】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是因式分解的概念，利用因式分解的概念（把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解）进行判定是解题的关键．根据因式分解的概念，逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、是多项式的乘法运算，不是因式分解，不符合题意； B、符合因式分解的定义，符合题意； C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、是多项式的乘法，不是因式分解，不符合题意； 故选：B． 【变式1-5】下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　    　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解，把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意； B、不是因式分解，故本选项不符合题意； C、不是因式分解，故本选项不符合题意； D、是因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 【考点题型二】利用因式分解的结果求参数 【例2】把多项式分解因式，结果是，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式乘法，解二元一次方程组，因式分解的定义等知识点，根据多项式乘法将因式展开，然后组成方程组，解方程组即可得解， 熟练掌握整式乘法法则是解决此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2-1】若多项式因式分解的结果为，则b的值是（   ） A．5 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，根据以上内容得出多项式因式分解的结果为得出，再求出答案即可． 【详解】多项式因式分解的结果为， ． 故选：D． 【变式2-2】若，则下列结论正确的是（    ） A．等式从左到右的变形是乘法公式， B．等式从左到右的变形是因式分解， C．等式从左到右的变形是乘法公式， D．等式从左到右的变形是因式分解， 【答案】D 【分析】将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此进行判断即可． 本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ， 则， 原等式从左到右的变形是因式分解，从右到左的变形是乘法公式． 故选：D． 【变式2-3】若多项式因式分解后有一个因式，则 ． 【答案】 【分析】本题考考查了对整式分解因式的运用能力，掌握十字相乘法是解本题的关键．本题可利用这一公式，根据题意可设另一个因式为，可以得到，进而得出的值． 【详解】解：根据题意可设另一个因式为， ， ∴， ，． 故答案为：． 【变式2-4】仔细阅读下面例题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：，．∴另一个因式为，． 类比上面方法解答： (1)若二次三项式可分解为，则______． (2)若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及b的值． 【答案】(1)4 (2)另一个因式为，b值为1 【分析】本题主要考查了多项式乘法与因式分解的关系： （1）由题意得，，据此把等式右边展开即可得到答案； （2）设另一个因式为，则，据此仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴； （2）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴另一个因式为，b值为1． 【考点题型三】公因式的判定 【例3】把分解因式时，应提取的公因式是（     ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握相关知识是解题的关键，找公因式的要点是：①公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；②字母取各项都含有的相同字母；③相同字母的指数取次数最低的．根据找公因式的方法解题即可． 【详解】解： ， 的公因式是； 故选：B． 【变式3-1】多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了公因式的定义，多项式的公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的，据此求解即可． 【详解】解：多项式的公因式是， 故选：C． 【变式3-2】多项式（，均为大于1的整数）各项的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了公因式，直接利用公因式的定义进而得出各项的公因式． 【详解】解：， ∴各项的公因式是， 故选B． 【变式3-3】多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公因式的定义，多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后确定公因式即可． 【详解】解：多项式的系数的最大公约数是，相同字母的最低指数次幂是， 多项式的公因式是， 故选：D． 【变式3-4】整式，下列结论：①A，B的公因式为；②A，B的公因式为．判断正确的是（    ） A．①正确，②不正确 B．①不正确，②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，公因式的定义；根据提公因式法，公因式的定义，判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴A，B的公因式为， 故选：B． 【变式3-5】、、的公因式是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求公因式，公因式是指：数字的最大公约数，相同字母的最低次幂组成的式子，据此求解即可． 【详解】解：、、的公因式是， 故答案为：． 【变式3-6】将多项式分解因式，应提取的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的知识，熟练掌握提公因式法因式分解是解题关键．各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式，提公因式的方法为：在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑．公因式的系数应取各项系数的最大公约数，字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；如果多项式的第一项为负，要提出负号，使括号内的第一项的系数成为正数．据此即可获得答案． 【详解】解：， 所以，将多项式分解因式，应提取的公因式是． 故答案为：． 【考点题型四】提公因式法分解因式 【例4】把分解因式（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键，注意不要漏项． 根据提公因式法准确找出公因式即可求解； 【详解】解： 故选：D 【变式4-1】把多项式分解因式，应提的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分解因式，观察可知两个单项式的公因式为，据此可得答案，解答本题的关键要明确：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；③定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂． 【详解】解：， ∴多项式分解因式，应提的公因式是， 故选：C． 【变式4-2】已知，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，提取公因式后整理成已知条件的形式是解题的关键，然后整体代值计算．只要把所求代数式因式分解成已知的形式，然后把已知代入即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：6． 【变式4-3】多项式提公因式后的另一个因式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了提公因式法因式分解，熟练掌握提因式分解的常用方法是解题关键．根据提公因式法分解因式进而即可求解． 【详解】解：， 所以，多项式提公因式后的另一个因式为． 故答案为：． 【变式4-4】把下列各式因式分解： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． （1）提取公因式即可求解； （2）利用十字相乘法分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：． 【变式4-5】分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分解因式； （1）直接提公因式分解因式即可； （2）直接提公因式分解因式即可． 【详解】（1）； （2）． 【考点题型五】平方差公式分解因式 【例5】把分解因式，结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，根据平方差公式和完全平方公式分解即可，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：D． 【变式5-1】下列因式分解结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据提公因式法、平方差公式以及十字相乘法进行解答． 本题主要考查了提公因式法、平方差公式以及十字相乘法因式分解，属于基础题． 【详解】解：A、原式，故本选项不符合题意． B、原式，故本选项不符合题意． C、原式，故本选项符合题意． D、原式，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式5-2】下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握是解答本题的关键．能用平方差公式分解的式子的特点是：二个项，且两项的符号相反，据此逐项分析即可． 【详解】解：A．，故不符合题意； B．，故不符合题意；     C．，不符合平方差公式的特点，故符合题意；     D．，故不符合题意； 故选C． 【变式5-3】用公式对多项式进行因式分解，公式中的可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公式法分解因式，正确运用完全平方公式是解答本题的关键．直接利用平方差公式得出答案． 【详解】解：∵， ∴∴对上式进行因式分解，公式中的a可以是：． 故选：C． 【变式5-4】多项式因式分解的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解，运用平方差公式进行因式分解即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 【变式5-5】因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，多项式若有公因式先提公因式，再考虑运用公式法分解． （1）先提公因式，再用完全平方公式分解； （2）运用平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【考点题型六】完全平方公式分解因式 【例6】下列各式中，能用完全平方公式分解的个数为（     ） ①；②；③；④；⑤ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握完全平方公式因式分解的方法是解题关键．根据完全平方公式分解逐一判断即可． 【详解】解：①，符合题意； ②，不能用完全平方公式分解，不符合题意； ③，不能用完全平方公式分解，不符合题意； ④，符合题意； ⑤，不可以用完全平方公式分解，不符合题意； 能用完全平方公式分解有①④，共个． 故选：B． 【变式6-1】下列各式中，不能用完全平方公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题因式分解，掌握运用公式法分解因式是解决此题的关键． 根据完全平方公式逐项判定即可． 【详解】解：A、能用完全平方公式因式分解，故此选项不符合题意； B、不能用完全平方公式因式分解，故此选项符合题意； C、能用完全平方公式因式分解，故此选项不符合题意； D、能用完全平方公式因式分解，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式6-2】在中，的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（     ） A．不等边三角形 B．等边三角形 C．只有两边相等的三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】利用配方法把原式变形，根据非负数的性质得到，根据等边三角形的概念判断即可．本题考查的是因式分解的应用、等边三角形的概念，灵活运用配方法、非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：， 则， ， ， ，，， ， 是等边三角形， 故选：B． 【变式6-3】若有理数，满足，则的值等于（ ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，利用完全平方公式化简是解题的关键． 利用完全平方公式化简后再根据绝对值和平方的非负性即可得出结果． 【详解】解：， 化简得，， ， ． 故选：C． 【变式6-4】代数式 ，若代数式M的值为零，求此时x，y，z的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先把多项式进行因式分解，利用因式的平方都不小于0求出x，y，z的值．解题的关键是正确的把多项式进行因式分解． 【详解】解：， 即：， ， ∵，，， ∴，，， ∴，． 【变式6-5】下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______． A．提取公因式；B．平方差公式； C．两数和的完全平方公式；D．两数差的完全平方公式． (2)该同学因式分解的结果是否彻底？______．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ______． (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2)不彻底，； (3) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键． （1）根据分解因式的过程直接得出答案； （2）该同学因式分解的结果不彻底，将继续分解因式即可得解； （3）利用换元法，将看成一个整体，设，进行因式分解即可得解； 【详解】（1）解：，是利用了两数和的完全平方公式， 故选：C． （2）解： ， 该同学因式分解的结果不彻底， ， ． （3）解：设， ． 【考点题型七】综合运用公式法分解因式 【例7】下列因式分解不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解，用提公因式法，综合提公因式以及公式法，公式法等方法一一分析判断即可． 【详解】解：．，因式分解正确，故该选项不符合题意； ．，因式分解正确，故该选项不符合题意； ．，原因式分解错误，故该选项符合题意； ．，因式分解正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式7-1】满足，分解因式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，非负数的性质，先根据非负数的性质得到，再利用平方差和完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式7-2】分解因式 ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 先利用平方差公式因式分解，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【变式7-3】分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）先提公因式，然后再用平方差公式分解因式即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （3）用提公因式法分解因式即可； （4）先提公因式，然后用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ； （4）解： ． 【变式7-4】因式分解： (1) (2) (3) (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查分解因式： （1）根据提取公因法，即可得到答案； （2）先提取公因式，再合并同类项，再提取公因数，即可得到答案； （3）先提取公因式，再利用平方差公式，即可得到答案； （4）先利用完全平方公式，再利用平方差公式，即可分解因式． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式7-5】配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 例如：分解因式． 原式． 例如：求代数式的最小值． 原式． ，当时，有最小值是2． 解决下列问题： (1)若多项式是一个完全平方式，那么常数的值为______； (2)分解因式：______； (3)求代数式的最大或最小值． 【答案】(1)9 (2) (3)有最大值4 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，因式分解．熟练掌握完全平方公式，平方差公式，因式分解是解题的关键． （1）由题意知，，可得，然后作答即可； （2）根据，作答即可； （3）由题意知，，由，可知，进而可得当时，有最大值，然后求解作答即可． 【详解】（1）解：多项式是一个完全平方式，， ； 故答案为：9； （2）解：； 故答案为：； （3）解：由题意知，， ， ， 当时，有最大值4． 【考点题型八】因式分解在有理数简算中的应用 【例8】与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查完全平方公式进行因式分解，根据完全平方公式因式分解即可得答案． 【详解】解：， 故选：C． 【变式8-1】下列算式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了运用平方差公式和完全平方公式进行简便运算，灵活运用平方差公式和完全平方公式是解答本题额关键． 【详解】解：A、，选项正确，不符合题意； B、，选项正确，不符合题意； C、，选项正确，不符合题意； D、，选项错误，符合题意． 故选：D． 【变式8-2】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律问题，平方差公式，先将原式用平方差公式变形，可以得到，再分组计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式8-3】（1）因式分解：； （2）利用因式分解计算：． 【答案】 （1）（2）90000 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用， 对于（1），先提出公因式，再根据平方差公式分解； 对于（2），根据完全平方公式分解，再计算即可． 【详解】解：（1）原式 = =； 原式 ． 【变式8-4】如图，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ． (2)利用你从（1）中得出的等式，计算： ①已知，求的值． ②计算：． 【答案】(1) (2)①3；② 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的特征是解题的关键． （1）由图1，图2分别确定阴影部分面积，得． （2）①根据平方差公式求解；②运用平方差公式写成两数和乘以两数差形式，求解即可． 【详解】（1）解：图1阴影部分的面积为：， 图2阴影部分的面积为：， ； （2）解：①，， ； ② ． 【变式8-5】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了负整数指数幂以及零指数幂以及完全平方公式等知识； （1）先计算乘方、负整数指数幂以及零指数幂，再进行加减运算即可； （2）利用完全平方公式运算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$