专题01 因式分解（考点串讲，6大考点梳理+题型剖析+3大易错+押题预测）八年级数学上学期鲁教版五四制

八年级新鲁教版（2024）数学上册期中考点大串讲 串讲01 因式分解 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 六大常考点：知识梳理 六大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 三大易错易混经典例题+针对训练 期中真题对应考点练 考点透视 知识点1．因式分解的意义 1、分解因式的定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式． 知识点2．公因式 1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式． 2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 知识点3．因式分解——提公因式法 1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、具体方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数． 知识点4．因式分解——运用公式法 1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． 平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2； 知识点5．因式分解——十字相乘法 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的 方法，通常叫做十字相乘法． x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解． 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积； 知识点6．因式分解法的应用 1、利用因式分解解决求值问题． 2、利用因式分解解决证明问题． 3、利用因式分解简化计算问题． 题型剖析 题型一 判断是否是因式分解 例1．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（　 ） A．（3－x）（3＋x）=9－x2 B．m3－n3=（m－n）（m2+mn+n2） C．（y+1）（y－3）=－（3－y）（y+1） D．4yz－2y2z+z=2y（2z－yz）+z 【答案】B 【详解】解：A、（3－x）（3＋x）=9－x2是整式乘法，不符合题意； B、m3－n3=（m－n）（m2+mn+n2），左边等于右边，属于因式分解，符合题意； C、（y+1）（y－3）=－（3－y）（y+1），是恒等变形，不是因式分解，不符合题意； D、4yz－2y2z+z=2y（2z－yz）+z，右边不是整式积的形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：B． 【点拨】此题考查了因式分解的意义，分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定． 举一反三 1．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（    ） A． x2－x y2= x (x－y)2 B．－x2－2 x －=( x+1)2 C． ( x+2)2= x2+4 x +4 D．4 x2 +2 x y+ y2=( 2 x +y)2 【答案】B 【详解】解：A、x2－x y2= x (x－y)2，故该选项变形错误，不符合题意； B、－x2－2 x －=( x+1)2，变形正确，是因式分解，符合题意； C、( x+2)2= x2+4 x +4，不是因式分解，不符合题意； D、4 x2 +2 x y+ y2=( 2 x +y)2，故该选项变形错误，不符合题意． 故选：B． 【点拨】本题考查了因式分解的意义．这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断；同时还要注意变形是否正确． 分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此即可得答案． 题型二 根据因式分解的结果求参数 例1．若x2－3x－10=( x+a) ( x+b)，则a + b = ． 【答案】－3 【详解】解：∵x2－3x－10=( x+a) ( x+b)= x2+(a + b) x + a b， ∴a + b =－3． 故答案为：－3． 【点拨】此题考查了因式分解和多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式右边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a与b的值，即可求出所求． 举一反三 1．若多项式2x2+a x－6能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为x－2，则a的值为 ． 【答案】－1 【详解】解：∵多项式2x2+a x－6能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为x－2， ∴当x－2=0时，2x2+a x－6的值也为0， ∴当x=2时，2x2+a x－6的值也为0， ∴2×22+2a －6 =0， ∴a=－1， 故答案为：－1． 【点拨】本题主要考查了因式分解，根据题意可得当x=2时，2x2+a x－6的值也为0，则2×22+2a －6 =0，解之即可得到答案． 题型三 提公因式法分解因式 例1．因式分解：3a(x－y) －3b(y－x)． 【答案】3 (x－y)( a+ b) 【详解】解：3a(x－y) －3b(y－x) = 3a(x－y) +3b(x－y) =3 (x－y)( a+ b) ． 【点拨】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．用提取公因式法分解即可． 举一反三 1．将下列各式分解因式： (1) a2－5a； (2) ab+ ac； (3) 4a3b2－6ab3c； (4) x2y－2x2y3 －3x3y． 【答案】(1) a (a－5) (2) a (b+ c) (3) 2ab2 (2a2－ 3bc) (4) x2y (1－2y2－ 3x) 【详解】（1）解：原式=a (a－5)； （2）解：原式=a (b+ c)； （3）解：原式=2ab2 (2a2－ 3bc)； （4）解：原式=x2y (1－2y2－ 3x)． 【点拨】本题主要考查了因式分解，确定各式的公因式是解题关键． （1）提公因式a，即可完成因式分解； （2）提公因式a，即可完成因式分解； （3）提公因式2ab2，即可完成因式分解； （4）提公因式x2y，即可完成因式分解． 题型四 平方差公式分解因式 例1．下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（       ） A． x2－y2 B．－x2+y2 C．－x2－y2 D．(－9 x)2－(－y)2 【答案】C 【详解】解：A． x2－y2=( x) 2－y2=( x+y)( x－y)，故不符合题意； B．－x2+y2= y2－x2 = (y +x)( y－x)，故不符合题意；     C．－x2－y2=－(x2+y2)，不符合平方差公式的特点，故符合题意；     D．(－9 x)2－(－y)2= (9 x)2－(y)2= (9 x+y)－(9 x－y)，故不符合题意； 故选C． 【点拨】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握a2－b2=( a+ b)( a－ b)是解答本题的关键．能用平方差公式分解的式子的特点是：二个项，且两项的符号相反，据此逐项分析即可． 举一反三 1．把下列多项式分解因式： (1)4 x2y2－4 (2) 2 p2m2－12 pm+18p． 【答案】(1) 4( xy+1) ( xy－1) (2) 2 p(m－3)2 【详解】（1）解：原式=4( x2y2－1)= 4( xy+1) ( xy－1)； （2）原式=2 p (m2－6m+9) =2 p(m－3)2 【点拨】本题考查了因式分解，利用提公因式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据平方差公式，可分解因式； （2）根据提公因式法，可得完全平方公式，根据完全平方公方式，可得答案． 题型五 完全平方公式分解因式 例1．因式分解：(a－2b)2－4a+8b+4． 【答案】(a－2b－2)2 【详解】解：(a－2b)2－4a+8b+4 =(a－2b)2－4(a－2b)+4 =(a－2b－2)2 【点拨】此题考查了因式分解，把原式变形为(a－2b)2－4(a－2b)+4，利用完全平方公式进行因式分解即可． 1．分解因式： (1)4x2+4x+1 (2) －a+2a2－a3 举一反三 【答案】 (1) (2x+1)2 (2) －a (1－a)2 【详解】 （1）解：4x2+4x+1 = (2x+1)2； （2）解：－a+2a2－a3 =－a(1－2a+a2) =－a (1－a)2． 【点拨】 （1）利用完全平方公式因式分解即可； （2）提公因式后利用完全平方公式因式分解即可． 本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 题型六 因式分解的综合应用 1．分解因式 （1）ab2－4ab+2a． （2）(a2+ b2)2－4a2b2． 【答案】（1）a(b2－4b+2)；（2）(a+ b)2(a－b)2． 【分析】（1）直接提取公因式a即可； （2）直接利用平方差公式，完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）ab2－4ab+2a = a(b2－4b+2)； （2） (a2+ b2)2－4a2b2=(a2+ b2)2－(2ab)2 =(a2+ b2+2ab)( a2+ b2－2ab) =(a+ b)2(a－b)2 【点拨】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键，注意因式分解要彻底． 举一反三 2．探究活动： （1）如图①，可以求出阴影部分的面积是 　　（写成两数平方差的形式）； （2）如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是 　　（写成多项式乘法的形式）； （3）比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式 　　． 知识运用： （4）用合理的方法计算：7.52×1.6－2.52×1.6． 【答案】（1）a2－ b2；（2）(a+ b)(a－b)；（3）a2－ b2=(a+ b)(a－b)；（4）80 【详解】（1）解：根据阴影部分的面积=大正方形的面积－小正方形的面积，即a2－ b2， 故答案为：a2－ b2． （2）解：由图可知矩形的长是(a+ b)，宽是(a－b)，所以面积是(a+ b)(a－b)， 故答案为：(a+ b)(a－b)． （3）解：根据阴影部分面积相等可得：a2－ b2=(a+ b)(a－b)， 故答案为：a2－ b2=(a+ b)(a－b)． （4）解：7.52×1.6－2.52×1.6 =(7.52－2.52)×1.6 =(7.5－2.5)(7.5+2.5)×1.6 =5×10×1.6 =80．   【点拨】本题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积差即可求解； （2）分别表示出阴影部分的长和宽，由面积公式就可求出面积即可； （3）根据阴影部分的面积相等建立等式即可； （4）根据平方差公式进行计算即可求解． 易错易混 易错题型一——综合运用公式法分解因式 1．因式分解：x2－4xy－4+4y2． 【答案】(x－2y+2)(x－2y－2)． 【详解】解：原式=( x2－4xy+4y2)－4 =(x－2y)－22 =(x－2y+2)(x－2y－2)． 【点拨】本题考查了整式的因式分解，选择适当的方法进行因式分解是解题的关键，先利用分组分解法因式分解，再利用平方差公式因式分解即可． 2．因式分解：(x2+4)2 －16x2． 【答案】(x+2)2 (x－2)2 【详解】(x2+4)2 －16x2 =(x2+4)2 －(4x)2 =(x2+4－4x) (x2+4+4x) =(x+2)2 (x－2)2． 【点拨】此题考查了因式分解的方法，综合利用公式法分解因式即可，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 易错题型二——因式分解的综合应用 1．把下列多项式分解因式： (1)4x2y2－4 (2)2pm2－12pm+18p． 【答案】(1)4(xy+1)( xy－1) (2) 2p(m－3)2 【详解】（1）解：原式=4(x2y2－1)= 4(xy+1)( xy－1)； （2）原式=2p (m2－6m+9) =2p(m－3)2 【点拨】本题考查了因式分解，利用提公因式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据平方差公式，可分解因式； （2）根据提公因式法，可得完全平方公式，根据完全平方公方式，可得答案． 易错题型三——因式分解在有理数简算中的应用 1．简便计算： (1)999992+199999； (2)2022－542+256×352 【答案】(1)10000000000； (2)128000 【详解】（1）解：999992+199999 =999992+99999+100000 =99999(99999+1)+1000000 =99999×100000+100000 =100000×(99999+1) =100000×100000 =10000000000． 【点拨】本题主要考查了因式分解的应用、平方差公式、乘法运算律等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）利用因式分解进行计算即可； （2）利用平方差公式进行计算和乘法运算律求解即可． （2）解：2022－542+256×352 =(202+54)(202－54)+ 256×352 = 256×148+256×352 =256×(148+352) =256×500 =128000． 易错题针对训练 1. 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值． 解：因为a＋b＝7，ab＝4， 所以原式＝ab(a＋b) ＝4×7＝28. 【点拨】提取公因式变形后，将a＋b与ab作为一个整体代入计算即可得出答案。 2. 已知a＋b＝5，ab＝10，求 a3b＋a2b2＋ ab3的值． 解： a3b＋a2b2＋ ab3＝ ab(a2＋2ab＋b2) ＝ ab(a＋b)2. 当a＋b＝5，ab＝10时， 原式＝ ×10×52＝125. 押题预测 练习&巩固 1.[2023年烟台市7年级上册期末] 分解因式：(1)(a＋b)2－4a2； (2)9(m＋n)2－(m－n)2. 解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a) ＝(b－a)(3a＋b)； (2)原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n) ＝(2m＋4n)(4m＋2n) ＝4(m＋2n)(2m＋n)． 2. [2023年济宁市7年级上册期末] (1)39×37－13×91； (2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14. 解：(1) 39×37－13×91＝3×13×37－13×91 ＝ 13×(3×37－91)＝13×20＝260； (2) 29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14 ＝ 20.16×(29＋72＋13－14)＝2016. 3． [2023年泰安市7年级期中] 若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式(x﹣2)和 (x﹣1)， 求mn的值. 解：∵x4+mx3+nx﹣16的最高次数是4， ∴可设x4+mx3+nx﹣16=(x-1)(x-2)(x2+ax+b). 则x4+mx3+nx-16=x4+(a-3)x3+(b-3a+2)x2+(2a-3b)x+2b， 比较系数得 2b=-16，b-3a+2=0，a-3=m，2a-3b=n， 解得a=-2，b=-8，m=-5，n=20. ∴mn=﹣5×20=﹣100． 4. [2023年济宁市7年级上册月考] 甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1）(x+9).求a+b的值. 解：分解因式甲看错了b，但a是正确的， 其分解结果为x2+ax+b=(x+2)(x+4)=x2+6x+8， ∴a=6. 同理，乙看错了a，但b是正确的， 分解结果为x2+ax+b=(x+1)(x+9)=x2+10x+9， ∴b=9. ∴a+b=15． $$